8.1-統(tǒng)計(jì)量及其分布

授課建議1、理解總體、個(gè)體、簡單隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計(jì)算；了解分布、t分布和F分布的定義及性質(zhì)，的概念并會查表計(jì)算；了解正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計(jì)了解分布分位數(shù)量的分布。2、理解點(diǎn)估計(jì)的概念；掌握矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法；了解估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)（無偏性、有效性、一致性）。3、理解區(qū)間估計(jì)的概念，會求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間。4、了解單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)。建議授課時(shí)數(shù)：約12學(xué)時(shí)8.1.1總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量1.總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把所研究對象的全體稱為總體，用隨機(jī)變量X表示.總體中的每一元素稱為個(gè)體，用

表示.從總體中抽取n個(gè)相互獨(dú)立，且與總體X同分布的個(gè)體

稱為總體X的一個(gè)樣本.樣本所含個(gè)體的數(shù)目n稱為樣本容量，n個(gè)觀測值

稱為樣本值.樣本的例8.1.1

為了檢查倉庫里鋼管的質(zhì)量情況，里任取100根鋼管進(jìn)行質(zhì)量檢測，從倉庫以此作為對倉庫里鋼管的質(zhì)量的估計(jì).那么，倉庫里全部鋼管的質(zhì)量是一個(gè)總體，每一根鋼管的質(zhì)量是一個(gè)個(gè)體，從總體中抽取出來的100根鋼管的質(zhì)量構(gòu)成樣本，樣本數(shù)量是100，100根鋼管的質(zhì)量具體數(shù)值x1,x2,…,x100就是樣本值.樣本具有以下兩個(gè)性質(zhì):

(1)獨(dú)立性：在樣本

中，各個(gè)隨機(jī)變量的取值互不影響；

(2)代表性：在樣本

中的每一個(gè)體都與總體X有相同的概率分布.注：有放回地隨機(jī)抽取，得到的是樣本.在實(shí)際工作中，如果樣本容量相對于總體容量而言是很小的，既使是無放回地抽取，也可以近似地認(rèn)為所得到的是一個(gè)樣本.2.統(tǒng)計(jì)量為了對總體分布中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)、推斷，就需要針對不同的問題利用樣本構(gòu)造出某些函數(shù)作為推斷的基礎(chǔ)，這種由樣本構(gòu)造出來的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量.設(shè)

～X,

是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果

中不含任何未知參數(shù)，則稱

為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.當(dāng)

取定一組觀測值

時(shí)，

就是統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)觀測值.設(shè)

是總體X的一個(gè)樣本，常用的統(tǒng)計(jì)量有：（1）樣本均值（2）樣本方差（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差例8.1.2

從某總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，其樣本值為12.6，12.0，12.2，12.8，12.5，求樣本均值和樣本方差.解樣本均值為樣本方差為8.1.2抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.在探討抽樣分布之前，先介紹分布的分位點(diǎn)或臨界值.設(shè)隨機(jī)變量X服從某一分布，對給定的滿足條件的點(diǎn)稱為該分布的上分位點(diǎn)或上側(cè)臨界值.件的點(diǎn)

稱為該分布的雙側(cè)

分位點(diǎn)或雙側(cè)臨界值.

滿足條1.樣本均值的分布設(shè)

是取自正態(tài)總體X~N

的一個(gè)樣本，則與相互獨(dú)立.例8.1.3

設(shè)X~N

，取p{X>1.28}=0.10，所以X0.10=1.28.又由于p{∣X∣>1.645}=0.10，所以=1.645.由于2.

分布

設(shè)

是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X~N(0,1)的一個(gè)樣本，稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的

分布，記作

~.的概率密度為其中是函數(shù)在處的函數(shù)值，“自由度”是指獨(dú)立的隨機(jī)變量的最大個(gè)數(shù).其圖形如圖8.1.3所示.對于給定的正數(shù)稱滿足條件的點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn)或上側(cè)臨界值.分布性質(zhì):（1）設(shè)~~獨(dú)立，則且兩隨機(jī)變量相互（2）圖8.1.3

圖8.1.4

設(shè)

是取自正態(tài)總體X~N

的一個(gè)樣本,樣本均值為樣本方差為.則（1）與

相互獨(dú)立；（2）例8.1.4

設(shè)樣本容量n=8，則于是自由度為8–1=7，若3.t分布設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X~N(0,1)，Y~稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布，記作t~t(n).t

分布的概率密度為對于給定的正數(shù)稱滿足的點(diǎn)為t分布上的分位點(diǎn)或上側(cè)臨界值，如右上圖所示

.稱滿足的點(diǎn)為t分布上的分位點(diǎn)或雙側(cè)臨界值.t分布性質(zhì):（2）當(dāng)n＞45時(shí)，（1）~，其中是N(0,1)的上分位點(diǎn).設(shè)

是取自正態(tài)總體X~N

的一個(gè)樣本，則統(tǒng)計(jì)量

~t(n–1)其中和S分別是樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差.設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，取自正態(tài)總體X~N

的一個(gè)樣本，正態(tài)總體X~N

取自的一個(gè)樣本，則統(tǒng)計(jì)量~其中分別是兩總體的樣本均值，分別是兩總體的樣本方差，分別是兩總體的樣本容量.特別地，當(dāng)n1=n2=n時(shí)，有4.F分布設(shè)隨機(jī)變量~~且U與V相互獨(dú)立，稱統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，記作F~F(n1,n2).F分布的概率密度為對于給定的正數(shù)稱滿足的點(diǎn)為F分布的上分位點(diǎn)或上側(cè)臨界值.其幾何意義如右上圖所示。

例8.1.5

設(shè)F~F(10,20)，F(xiàn)0.10(10，20)=1.94.又若求F0.90(20，10)，由F分布性，查附表可得質(zhì)得