廣東省汕頭市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段考試

第一.選擇題（每題5分，共60分)1.國家射擊運(yùn)動(dòng)員甲在某次訓(xùn)練中次射擊成果（單位：環(huán)）如：，則這組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z是的根，則（）A.1 B. C.2 D.33.如圖，在三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，，則（

）

A．B．C．D．4.已知不重合的平面、、和直線，則“”的充分不必要條件是（）A.內(nèi)有多數(shù)條直線與平行 B.內(nèi)的任何直線都與平行C.且 D.且5.2024年12月，考古工作者又公布了關(guān)于北京建城的一件重要文字證據(jù)。這次在琉璃河遺址新發(fā)覺的銘文，不僅是A國建城最早的文字證據(jù)，更是北京建城最早的文字證據(jù)?？脊艑W(xué)家對(duì)現(xiàn)場(chǎng)文物樣本進(jìn)行碳14年頭學(xué)檢測(cè)，檢驗(yàn)出碳14的殘留量約為初始量的69%。已知被測(cè)物中碳14的質(zhì)量M隨時(shí)間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿意（表示碳14原有的質(zhì)量），據(jù)此推想該遺址屬于以下哪個(gè)時(shí)期（）（參考數(shù)據(jù)：）A．西周 B．兩漢 C．唐朝 D．元朝

6.已知隨機(jī)事務(wù)，滿意，，，則（

）A． B． C． D．7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（）A.1B.2 C. D.38.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，則當(dāng)取最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.（下面是多選題，每小題漏選2分，錯(cuò)選0分）9.下列命題中正確的是（）A.若，，則與所在直線不愿定平行B.向量、、共面即它們所在直線共面C.空間隨意兩個(gè)向量共面D.若，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使10.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．的最大值為11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是上底面和側(cè)面的中心，則（）A.B.C.點(diǎn)到平面的距離為D.直線與平面所成的角為60°12.若，則下面不等式錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．二.填空題（每小題5分，共20分）13.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是14.已知，則的值為．15.設(shè)實(shí)數(shù)滿意，則函數(shù)的最大值是16.在長(zhǎng)方體中，，過且與直線平行的平面將長(zhǎng)方體分成兩部分，現(xiàn)同時(shí)將兩個(gè)球分別放入這兩部分幾何體內(nèi)，則在平面變更的過程中，當(dāng)兩個(gè)球的半徑之和達(dá)到最大時(shí)，此時(shí)較小球的表面積為三.解答證明題（共70分）17.（10分）設(shè)，向量，，，且，.(1)求；(2)求向量與夾角的大?。?8.（12分）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)分別為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求BQ與面BDP所成角的正弦值.19.（12分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿意．（1）求證：；（2）若為上一點(diǎn)，且，求的面積的最大值．20.（12分）我校近幾年加大了對(duì)學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對(duì)象，今年5月我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參與競(jìng)賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成果（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），視察圖形中的信息，回答下列問題：（1）；從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次考試成果的平均數(shù)及第三四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是多少；（精確到0.1）（2）已知學(xué)生成果評(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成果不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成果優(yōu)秀的概率．21.（12分）如圖甲，已知在長(zhǎng)方形中，，，M為DC的中點(diǎn)．將沿折起，如圖乙，使得平面平面．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角的余弦值為．22.（12分）已知函數(shù)（）.(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)與，求的取值范圍.高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)階段考試參考答案一、第1-8題：CBDD，AADA第9—12題：AC，AC，BCD，ACD二、，，，第8題解答：由題意，在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，為平面的法向量，則，,，則，令則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，所以，則又，，即，所以，代入可得，則所以，則故選：.第12題解答：設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗?，所以，所?，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選：ACD第16題解答：如圖所示：平面將長(zhǎng)方體分成兩部分，有可能在平面上或平面上，依據(jù)對(duì)稱性知，兩球半徑和的最大值是相同的，故僅考慮在平面上的狀況，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

設(shè)，圓對(duì)應(yīng)的半徑為，依據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，在中，，，，則，又當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，由內(nèi)切圓等面積法求得，則設(shè)圓對(duì)應(yīng)的半徑為，同理可得，又，解得.故，，設(shè)，則，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易知，函數(shù)單減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即兩個(gè)球的半徑之和達(dá)到最大，此時(shí)，則，則，，且，則小球的表面積為.故答案為：.三、解答題17、【詳解】（1）由題意，，，可得，解得，則，，所以，故.（2）因?yàn)?，所以，故向量與的夾角為.18、【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，由中位線可知且，又因?yàn)榍?，所以且，所以為平行四邊形，所?結(jié)合平面平面可知，平面.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)面PBD的一個(gè)法向量為，由即取，可得設(shè)BQ與面BDP所成角為，則所以BQ與面BDP所成角的正弦值為.19、【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，，所以，所以，所以或．若，則；若，則，舍去；所以成立．【小問2詳解】在中，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，即，所以．在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，又，所以，所以的面積．又，所以，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，的面積最大值為2．20、【小問1詳解】本次考試成果的平均數(shù)約為.所以本次考試成果的平均數(shù).設(shè)第三四分位數(shù)為m，由解得所以估計(jì)第三四分位數(shù)約為【小問2詳解】第5組人數(shù)為，第6組人數(shù)為，被抽取的成果在內(nèi)的4人，分別記為，，，；成果在內(nèi)的3人，分別記為，，；則從這7人中隨機(jī)抽取2人的狀況為：，，，共21種；其中被抽到2人中至少有1人成果優(yōu)秀的狀況為：，，，，，共15種.故抽到2人中至少有1人成果優(yōu)秀的概率為.21、【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵且，，平面，∴平面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，，M是的中點(diǎn)，∴，取的中點(diǎn)O，連接，則平面，取的中點(diǎn)N，連接，則，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，設(shè)，，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得．再由，則，∴或（舍），所以E為的靠近D點(diǎn)的五等分點(diǎn)．22、【詳解】（1）解法一：若時(shí)，求函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.故.解法二：若時(shí)，求函數(shù)；畫出和的圖像如下圖所示：易得.（2）解法一：若，則，這與存在兩個(gè)不同零點(diǎn)沖突.若，，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的零點(diǎn)與，所以，得，此時(shí)，；若，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，得，，有