高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+專題訓(xùn)練(新高考專用)專題07函數(shù)的奇偶性與周期性(原卷版+解析)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練07函數(shù)的奇偶性與周期性練高考明方向1、【2022年新高考I卷第12題】2、【2022年新高考I卷8題】3、【2022年新高考I卷8題】4．(2023年高考全國(guó)乙卷理科)設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()A． B． C． D．5．(2023年高考全國(guó)甲卷理科)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則 ()A． B． C． D．6、【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減7、【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是A． B．C． D．8．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)函數(shù)在的圖像大致為 ()A．B．C． D．10．【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則__________．11．【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．12、【2019年高考江蘇】設(shè)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是▲.13．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則 ()A． B．0 C．2 D．5014．(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)函數(shù)在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)．若,則滿足的的取值范圍是 ()A． B． C． D．15．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則 ()A． B． C． D．講典例備高考函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性奇函數(shù)的定義偶函數(shù)的定義函數(shù)的對(duì)稱性奇偶性的判斷奇偶性的應(yīng)用周期性的判斷周期性的應(yīng)用類型一、奇函數(shù)、偶函數(shù)的判斷基礎(chǔ)知識(shí)：1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2、常用結(jié)論（1）①如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(3)奇函數(shù)的特殊性質(zhì)①若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若f(x)存在最值，則f(x)min＋f(x)max＝0.②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)為奇函數(shù)，則F(－x)＋F(x)＝2c.特別地，若F(x)存在最值，則F(x)min＋F(x)max＝2c.基本題型：1．（利用定義判斷函數(shù)奇偶性）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．（利用定義、圖象判斷函數(shù)奇偶性）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))3．（利用性質(zhì)法判斷奇偶性）設(shè)函數(shù),的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)4．（利用定義、性質(zhì)判斷函數(shù)奇偶性）(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，則下列結(jié)論正確的有()A．|f(x)|是偶函數(shù)B．－f(x)是奇函數(shù)C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)基本方法：1、函數(shù)奇偶性的判定方法定義法圖象法性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇類型二、奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的應(yīng)用1．（利用奇函數(shù)定義求值）函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．2．（利用偶函數(shù)定義求值）若函數(shù)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))為偶函數(shù)，則a＝________.3、（利用奇偶性求解析式）函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A． B．C． D．4．（利用奇偶性求解析式）已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，則f(－2)＝()A．4 B．3C．2 D．15.（奇函數(shù)與單調(diào)性交匯）已知定義在上的函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，對(duì)任意的，恒有，則使不等式成立的的取值范圍是__________.6．（奇函數(shù)與單調(diào)性交匯）定義在的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：①任意的都有；②任意的，當(dāng)，都有，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7、（偶函數(shù)與單調(diào)性交匯）已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是（）A． B．C． D．8．（偶函數(shù)與單調(diào)性交匯）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．類型三、函數(shù)的周期性基礎(chǔ)知識(shí)：1、周期函數(shù)的定義：周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期2、函數(shù)周期性的常用結(jié)論（1）若是一個(gè)周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個(gè)周期，進(jìn)而可得：也是的一個(gè)周期（2）函數(shù)周期性的判定：①：可得為周期函數(shù)，其周期②的周期③的周期④（為常數(shù)）的周期⑤（為常數(shù)）的周期基本題型：1、（函數(shù)周期性的判斷）函數(shù)f(x)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，滿足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)為偶函數(shù)，則f(x)()A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)2．（函數(shù)周期性的判斷）(多選)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，則下列說(shuō)法正確的是()A．函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)B．函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)f(x－1)為奇函數(shù)D．函數(shù)f(x－3)為偶函數(shù)3．（利用周期性求值）設(shè)是定義在上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，則（）A．0 B．1 C． D．24．（利用周期性求值）函數(shù)滿足，且，則（）A． B． C． D．5．（利用周期性求解析式）設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(4,6]時(shí)f(x)＝2x＋1，則f(x)在區(qū)間[－2,0)上的表達(dá)式為()A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1基本方法：1．函數(shù)周期性的判斷方法判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．2．利用函數(shù)周期性求值的方法技巧根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．類型四、函數(shù)的對(duì)稱性基礎(chǔ)知識(shí)：1、（1）關(guān)于軸對(duì)稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是偶函數(shù)）；（2）關(guān)于軸對(duì)稱（3）是偶函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對(duì)稱。（4）若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．（5）若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．（6）若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．2、對(duì)稱性最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：（1）可利用對(duì)稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值（2）在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對(duì)稱性得到另一半圖像（3）極值點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸（對(duì)稱中心）對(duì)稱（4）在軸對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同基本題型：1．（函數(shù)對(duì)稱性的判斷）已知函數(shù)，則A．在（0，2）單調(diào)遞增 B．在（0，2）單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱2、（對(duì)稱性與單調(diào)性交匯）已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是A． B．C． D．3、（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）函數(shù)f(x)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，滿足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)為偶函數(shù)，則f(x)()A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)4、（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）已知是定義在上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.若當(dāng)時(shí)，，則（）A．0 B．1 C．2 D．45、（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）（多選題）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)6.（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）已知函數(shù)對(duì)滿足，且，若的圖象關(guān)于對(duì)稱，，則=____________．新預(yù)測(cè)破高考1、（多選題）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B． C． D．3、已知定義在上的奇函數(shù)，滿足時(shí)，，則的值為（）A．-15 B．-7 C．3 D．154、已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝e－x.設(shè)a＝f(logeq\f(1,2)3)，b＝f(log210)，c＝f(log2200)，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>b>a5、若函數(shù)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍為（）A． B．C． D．6．（多選題）下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A． B．C． D．7．（多選題）已知、都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．y=gfx+1為偶函數(shù) C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．y=fgx+1為偶函數(shù)8．（多選題）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，在上又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．9、關(guān)于函數(shù)QUOTE??(??)=???sin??f(x)=x?sinxA．QUOTE????fx是奇函數(shù) B．QUOTE????fx在QUOTE?∞,+∞?∞,+∞上單調(diào)遞增C．QUOTE??=0x=0是QUOTE????fx的唯一零點(diǎn) D．QUOTE????fx是周期函數(shù)10．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．11．已知定義在上的函數(shù)滿足，設(shè)，若的最大值和最小值分別為和，則（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．13．設(shè)函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的最小值為（）A． B． C． D．14．已知當(dāng)時(shí)，，則以下判斷正確的是（）．A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定15．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為10，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為16、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，若，則x的取值范圍是________．17、已知，方程在內(nèi)有且只有一個(gè)，則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為18、已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則______________19．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時(shí)，，則不等式的解集是___________．20.已知函數(shù)若為奇函數(shù)，則_________.2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練07函數(shù)的奇偶性與周期性練高考明方向1、【2022年新高考I卷第12題】2、【2022年新高考I卷8題】3、【2022年新高考I卷8題】4．(2023年高考全國(guó)乙卷理科)設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()A． B． C． D．答案：B【解析】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)．故選：B5．(2023年高考全國(guó)甲卷理科)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則 ()A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．，所以．思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．6、【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減答案：D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.7、【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或.解得或，所以滿足的的取值范圍是，8．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）答案：C【解析】是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，．，，又在(0，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即.故選C．9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)函數(shù)在的圖像大致為 ()A．B．C． D．答案：B【解析】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C．又，排除選項(xiàng)A、D，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性，縮小選項(xiàng)范圍，通過(guò)計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．在解決圖象類問(wèn)題時(shí)，我們時(shí)常關(guān)注的是對(duì)稱性、奇偶性，特殊值，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，極限思想等方法。10．【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則__________．答案：【解析】由題意知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，，所以，兩邊取以為底?shù)的對(duì)數(shù)，得，所以，即．11．【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．答案：【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對(duì)任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立即在R上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.12、【2019年高考江蘇】設(shè)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是▲.答案：【解析】作出函數(shù)，的圖象，如圖：由圖可知，函數(shù)的圖象與的圖象僅有2個(gè)交點(diǎn)，即在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，要使關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，由到直線的距離為1，可得，解得，∵兩點(diǎn)連線的斜率，∴，綜上可知，滿足在(0,9]上有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的k的取值范圍為.13．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則 ()A． B．0 C．2 D．50答案：C解析：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且滿足，所以，即，所以，，因此是周期函數(shù)且．又，且，所以，所以，故選C．14．(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)函數(shù)在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)．若,則滿足的的取值范圍是 ()A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞減,要使成立,則滿足,所以由得,即使成立的滿足,選D．【點(diǎn)評(píng)】奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題,要重視利用奇、偶函數(shù)與單調(diào)性解決不等式和比較大小問(wèn)題,若在上為單調(diào)遞增的奇函數(shù),且,則,反之亦成立．15．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則 ()A． B． C． D．答案：B【解析】的圖像的對(duì)稱中心為又函數(shù)滿足，所以圖像的對(duì)稱中心為：所以，故選Ｂ講典例備高考函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性奇函數(shù)的定義偶函數(shù)的定義函數(shù)的對(duì)稱性奇偶性的判斷奇偶性的應(yīng)用周期性的判斷周期性的應(yīng)用類型一、奇函數(shù)、偶函數(shù)的判斷基礎(chǔ)知識(shí)：1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2、常用結(jié)論（1）①如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(3)奇函數(shù)的特殊性質(zhì)①若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若f(x)存在最值，則f(x)min＋f(x)max＝0.②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)為奇函數(shù)，則F(－x)＋F(x)＝2c.特別地，若F(x)存在最值，則F(x)min＋F(x)max＝2c.基本題型：1．（利用定義判斷函數(shù)奇偶性）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．答案：B【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞增，所以B是正確的；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D中，由函數(shù)，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，不符合題意.2．（利用定義、圖象判斷函數(shù)奇偶性）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))【詳解】(1)因?yàn)閒(x)有意義，則滿足eq\f(1－x,1＋x)≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)．(2)法一：定義法當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．法二：圖象法：作出f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．3．（利用性質(zhì)法判斷奇偶性）設(shè)函數(shù),的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)答案：C【詳解】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，對(duì)于A，，故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，故是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.4．（利用定義、性質(zhì)判斷函數(shù)奇偶性）(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，則下列結(jié)論正確的有()A．|f(x)|是偶函數(shù)B．－f(x)是奇函數(shù)C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)答案：ABC【詳解】∵f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，定義域?yàn)镽，則f(－x)＝eq\f(e－x－ex,2)＝－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)，∴|f(x)|為偶函數(shù)，－f(x)為奇函數(shù)，f(x)|f(x)|為奇函數(shù)．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函數(shù)，∴f(|x|)f(x)是奇函數(shù)．故選ABC.基本方法：1、函數(shù)奇偶性的判定方法定義法圖象法性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇類型二、奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的應(yīng)用1．（利用奇函數(shù)定義求值）函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．答案：【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，，即，則，即，，則，，則.當(dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)椋呵?，此時(shí)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，.2．（利用偶函數(shù)定義求值）若函數(shù)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))為偶函數(shù)，則a＝________.答案：或－1【解析】由題意，令u(x)＝1－eq\f(a2＋1,ex＋1)，根據(jù)函數(shù)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))為偶函數(shù)，可得u(x)＝1－eq\f(a2＋1,ex＋1)為奇函數(shù)，所以u(píng)(0)＝1－eq\f(a2＋1,e0＋1)＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.3、（利用奇偶性求解析式）函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A． B．C． D．答案：C【解析】時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，，因此，當(dāng)時(shí)，，故選C.4．（利用奇偶性求解析式）已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，則f(－2)＝()A．4 B．3C．2 D．1答案：C【解析】由題意f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，由函數(shù)的奇偶性得f(－x)－g(x)＝x2－x－2，聯(lián)立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.5.（奇函數(shù)與單調(diào)性交匯）已知定義在上的函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，對(duì)任意的，恒有，則使不等式成立的的取值范圍是__________.答案：分析：首先判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，故，所以為奇函數(shù)，又在單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，可知在上單調(diào)遞增，又對(duì)任意的，恒有，，解得，所以，即。6．（奇函數(shù)與單調(diào)性交匯）定義在的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：①任意的都有；②任意的，當(dāng)，都有，則不等式的解集是（）A． B． C． D．答案：D【詳解】根據(jù)題意，由①知函數(shù)為奇函數(shù)，由②知函數(shù)在上為減函數(shù)，所以可得函數(shù)在是奇函數(shù)也是減函數(shù)，所以不等式，移項(xiàng)得，變形，所以，得.7、（偶函數(shù)與單調(diào)性交匯）已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是（）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此，由得，又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得，因此，的解集是.8．（偶函數(shù)與單調(diào)性交匯）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：利用偶函數(shù)的對(duì)稱性分析函數(shù)的單調(diào)性，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出的大小關(guān)系從而比較函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).因?yàn)?，，，所以，?故選：A類型三、函數(shù)的周期性基礎(chǔ)知識(shí)：1、周期函數(shù)的定義：周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期2、函數(shù)周期性的常用結(jié)論（1）若是一個(gè)周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個(gè)周期，進(jìn)而可得：也是的一個(gè)周期（2）函數(shù)周期性的判定：①：可得為周期函數(shù)，其周期②的周期③的周期④（為常數(shù)）的周期⑤（為常數(shù)）的周期基本題型：1、（函數(shù)周期性的判斷）函數(shù)f(x)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，滿足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)為偶函數(shù)，則f(x)()A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案：A【解析】因?yàn)閒(4＋x)為偶函數(shù)，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直線x＝2和x＝4是f(x)的兩條對(duì)稱軸．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函數(shù)．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)為偶函數(shù)，于是f(x)是偶函數(shù)，故選A.2．（函數(shù)周期性的判斷）(多選)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，則下列說(shuō)法正確的是()A．函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)B．函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)f(x－1)為奇函數(shù)D．函數(shù)f(x－3)為偶函數(shù)答案：BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，則f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，由此可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，令F(x)＝f(x－1)，則F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)．在f(x)＋f(2＋x)＝0中，將x換為x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，則函數(shù)F(x)＝f(x－1)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，由題意不妨取滿足條件的函數(shù)f(x)＝coseq\f(π,2)x，則f(x－3)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－3))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(3π,2)))＝－sineq\f(π,2)x為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．3．（利用周期性求值）設(shè)是定義在上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，則（）A．0 B．1 C． D．2答案：D分析：根據(jù)題意，利用函數(shù)的周期性以及圖象分析可得；【詳解】由題意可得：，，則.故選：D.4．（利用周期性求值）函數(shù)滿足，且，則（）A． B． C． D．答案：C分析：由題意，所以令，化簡(jiǎn)，得到，從而，聯(lián)立兩式求解出的周期為6，從而，即可求出.【詳解】由題意，取，則，即①，所以②，聯(lián)立①②得，，所以，所以函數(shù)的周期為，由，所以.故選：C5．（利用周期性求解析式）設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(4,6]時(shí)f(x)＝2x＋1，則f(x)在區(qū)間[－2,0)上的表達(dá)式為()A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1答案：B【解析】當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)，－x∈(0,2]，∴－x＋4∈(4,6]，又∵當(dāng)x∈(4,6]時(shí)，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.∵f(x＋4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1.∴當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)，f(x)＝－2－x＋4－1.基本方法：1．函數(shù)周期性的判斷方法判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．2．利用函數(shù)周期性求值的方法技巧根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．類型四、函數(shù)的對(duì)稱性基礎(chǔ)知識(shí)：1、（1）關(guān)于軸對(duì)稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是偶函數(shù)）；（2）關(guān)于軸對(duì)稱（3）是偶函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對(duì)稱。（4）若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．（5）若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．（6）若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．2、對(duì)稱性最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：（1）可利用對(duì)稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值（2）在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對(duì)稱性得到另一半圖像（3）極值點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸（對(duì)稱中心）對(duì)稱（4）在軸對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同基本題型：1．（函數(shù)對(duì)稱性的判斷）已知函數(shù)，則A．在（0，2）單調(diào)遞增 B．在（0，2）單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱答案：C【解析】由題意知，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤；又（），由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以A，B錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】如果函數(shù)，，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸；如果函數(shù)，，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱中心．2、（對(duì)稱性與單調(diào)性交匯）已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是A． B．C． D．答案：C【解析】根據(jù)題意，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，則，即，解得，即a的取值范圍為.故選C．3、（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）函數(shù)f(x)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，滿足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)為偶函數(shù)，則f(x)()A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案：A【解析】因?yàn)閒(4＋x)為偶函數(shù)，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直線x＝2和x＝4是f(x)的兩條對(duì)稱軸．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函數(shù)．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)為偶函數(shù)，于是f(x)是偶函數(shù)，故選A.【點(diǎn)評(píng)】雙對(duì)稱函數(shù)具有周期性；若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和x＝b對(duì)稱(b>a)，則2(b－a)是函數(shù)y＝f(x)的周期；若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和(b,0)對(duì)稱(b>a)，則2(b－a)是函數(shù)y＝f(x)的周期；若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(b>a)，則4(b－a)是函數(shù)y＝f(x)的周期．4、（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）已知是定義在上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.若當(dāng)時(shí)，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4答案：C【解析】是定義在上的奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，，是周期為的周期函數(shù)，.5、（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）（多選題）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)答案：ABC【解析】因?yàn)?，所以，即，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以B正確；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，根據(jù)，令代有，所以，令代有，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)為上的偶函數(shù)，，所以函數(shù)不單調(diào)，D不正確.6.（對(duì)稱性、周期性與奇偶性交匯）已知函數(shù)對(duì)滿足，且，若的圖象關(guān)于對(duì)稱，，則=____________．答案：【解析】分析：先由對(duì)稱性可得是偶函數(shù)，再利用賦值求得的值，從而可判斷周期性，答案易得.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，即是偶函數(shù).對(duì)于，令，可得，又，所以，則.所以函數(shù)對(duì)滿足.所以.所以，即是周期為的周期函數(shù).所以，.所以.故答案為：.新預(yù)測(cè)破高考1、（多選題）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．答案：AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，為偶函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知在上遞增，不符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，為奇函數(shù)，不符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，為偶函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意.2．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B． C． D．答案：D【解析】分析：確定函數(shù)為奇函數(shù)和增函數(shù)，化簡(jiǎn)得到，解得答案.【詳解】，，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)連續(xù)，故在上單調(diào)遞增.，故，即，解得.3、已知定義在上的奇函數(shù)，滿足時(shí)，，則的值為（）A．-15 B．-7 C．3 D．15答案：A【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則,解得，因?yàn)槠婧瘮?shù)當(dāng)時(shí),，則。4、已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝e－x.設(shè)a＝f(logeq\f(1,2)3)，b＝f(log210)，c＝f(log2200)，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>b>a答案：C【解析】∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)的周期為2.又∵f(x－1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴a＝f(log23)＝f(log23－2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,4)))，b＝f(log210)＝f(log210－4)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(5,8)))，c＝f(log2200)＝f(log2200－8)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(25,32))).∵－1<log2eq\f(5,8)<log2eq\f(3,4)<log2eq\f(25,32)<0，且函數(shù)f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，∴b>a>c.5、若函數(shù)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍為（）A． B．C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，可得，則，有，解可得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，則，，則在上為增函數(shù)，而在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，若，即，解可得，則，即，解得，又由，則有，即的取值范圍為；6．下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A． B．C． D．答案：AB【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，且，所以函?shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；由函數(shù)的圖像可知：函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B正確；而選項(xiàng)中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以函數(shù)在上也單調(diào)遞增，但是不滿足題意.7．已知、都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．y=gfx+1為偶函數(shù) C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．y=fgx+1為偶函數(shù)答案：ACD【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，A項(xiàng)：gf?x+1=g?fx+1=gfx+1，則函數(shù)y=gfx+1為偶函數(shù)，A正確；B項(xiàng)：gf?x=g?fx≠?g8．（多選題）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，在上又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．答案：AC【詳解】對(duì)A，開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，所以是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，故A正確；對(duì)B，為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故C正確；對(duì)D，令，為偶函數(shù)，當(dāng)，為減函數(shù)，故D錯(cuò)誤，9、關(guān)于函數(shù)QUOTE??(??)=???sin??f(x)=x?sinxA．QUOTE????fx是奇函數(shù) B．QUOTE????fx在QUOTE?∞,+∞?∞,+∞上單調(diào)遞增C．QUOTE??=0x=0是QUOTE????fx的唯一零點(diǎn) D．QUOTE????