高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題(新高考地區(qū)專用)考向41離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征(六大經(jīng)典題型)(原卷版+解析)

考向41離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征經(jīng)典題型一：離散型隨機變量經(jīng)典題型二：求離散型隨機變量的分布列經(jīng)典題型三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)經(jīng)典題型四：離散型隨機變量的均值經(jīng)典題型五：離散型隨機變量的方差經(jīng)典題型六：決策問題(2023·全國·高考真題（理））甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【解析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.(2023·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．答案：

【解析】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，所以,故答案為：，.知識點一．離散型隨機變量的分布列1、隨機變量在隨機試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗就是隨機試驗．（2）有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機變量的線性關(guān)系：若是隨機變量，，是常數(shù)，則也是隨機變量．2、離散型隨機變量對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．（2）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量；②離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果，但離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不能一一列出．3、離散型隨機變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注意：①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關(guān)事件的概率．知識點二．離散型隨機變量的均值與方差1、均值若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質(zhì)．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（3）．（4）如果相互獨立，則．3、方差若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機變量的標準差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越??；（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（2）方差公式的變形：．1、用定義法求離散型隨機變量的分布列及均值、方差的步驟：（1）理解的意義，寫出可能取的全部值；（2）求取每個值的概率；（3）寫出的分布列；（4）由均值的定義求．2、求離散型隨機變量的分布列一般要涉及到隨機變量概率的求法，求概率時一定要弄清相應(yīng)的概率類型（古典概型、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)實驗、條件概率）．（1）利用古典概型求事件A的概率，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m．如果基本事件的個數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來，然后再求出事件A中的基本事件數(shù)，利用公式求出事件A的概率，注意列舉時必須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個數(shù)比較多，列舉有一定困難時，也可借助兩個計數(shù)原理及排列組合知識直接計算m，n，再運用公式求概率．（2）較為復(fù)雜的概率問題的處理方法有：①轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；②采用間接法，先求事件A的對立事件的概率，再由求事件A的概率．3、高考對離散型隨機變量的均值與方差的考查主要有以下三個命題角度：（1）已知離散型隨機變量符合條件，求其均值與方差；（2）已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值；（3）已知離散型隨機變量滿足兩種方案，試作出判斷．利用隨機變量的期望與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準確與否等很多問題都與這兩個特征兩量有關(guān)．若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機變量，的期望，當(dāng)時，不應(yīng)認為它們一定一樣好，需要用來比較這兩個隨機變量的方差，確定它們的偏離程度．若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．經(jīng)典題型一：離散型隨機變量1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（

）A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數(shù)2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機變量的是（

）A．電燈炮的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標的環(huán)數(shù)C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個在軸上隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次4．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）對一批產(chǎn)品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗結(jié)果為()A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品經(jīng)典題型二：求離散型隨機變量的分布列5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.6．(2023·河南·上蔡縣衡水實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)隨機變量的概率分布列如下表：1234則（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）甲，乙兩位同學(xué)組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機會答題，同樣也是兩次機會.每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為.若乙有機會答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.8．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知袋內(nèi)有5個白球和6個紅球，從中摸出2個球，記，求X的分布列.經(jīng)典題型三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)9．(2023·全國·模擬預(yù)測）隨機變量的分布列如表：其中，，成等差數(shù)列，則（

）01

A． B． C． D．10．(2023·重慶九龍坡·三模）若隨機變量X的分布列如下所示，且，則a?b的值分別是（

）-10120.30.2A．0.1，0.4 B．0.4，0.1C．0.3，0.2 D．0.2，0.311．(2023·浙江紹興·二模）設(shè)，隨機變量的分布列是012若，則（

）A． B．C． D．12．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知隨機變量的分布列是01隨機變量的分布列是123以下錯誤的為（

）A． B．C． D．13．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機變量X的分布列，則a＝（

）A．1 B． C． D．14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量X的概率分布列如下：則（

）X－1012PA． B． C． D．15．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量ξ的分布列為（k=1，2，3，4，5），則下列說法錯誤的是（

）A． B．P（0.5<<0.8）=0.2 C．P（0.1<<0.5）=0.2 D．P（=1）=0.316．(2023·廣西桂林·模擬預(yù)測（文））設(shè)0＜a＜1．隨機變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時，（

）A．E（X）不變 B．E（X）減小 C．V（X）先增大后減小 D．V（X）先減小后增大經(jīng)典題型四：離散型隨機變量的均值17．(2023·浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測）盒中有大小相同的5個紅球和3個白球，從中隨機摸出3個小球，記摸到白球的個數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．18．(2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）小明班的語文老師昨天報了一次聽寫，語文老師給了小明滿分分，但實際上小明有一處寫了個錯別字，告訴了小王和小丁，錯一處扣分，但小明自己不會給老師說，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會告訴其他同學(xué)，老師知道后就會把分扣下來，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．19．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）冬奧會的兩個吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運動和現(xiàn)代科技特點．冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設(shè)計創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀念品商店買了6個“冰墩墩”和3個“雪容融”，隨機選了3個寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.520．(2023·江西南昌·模擬預(yù)測（理））如圖是飛行棋部分棋盤圖示，飛機的初始位置為0號格，拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點數(shù)為1，2，飛機在原地不動；若拋出的點數(shù)為3，4，飛機向前移一格；若拋出的點數(shù)為5，6，飛機向前移兩格．記拋擲骰子一次后，飛機到達1號格為事件．記拋擲骰子兩次后，飛機到達2號格為事件．(1)求；(2)判斷事件是否獨立，并說明理由；(3)拋擲骰子2次后，記飛機所在格子的號為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．(2023·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知一個袋子里裝有顏色不同的個小球，其中紅球個，黃球個，現(xiàn)從中隨機取球，每次只取一球．(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取得紅球”的概率(2)若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有紅球或取球次數(shù)達到四次就終止取球，記取球結(jié)束時一共取球次，求隨機變量的分布列與期望．22．(2023·四川成都·模擬預(yù)測（理））成都高中為了鍛煉高三年級同學(xué)的身體，同時也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來的緊張感，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)狀態(tài)，特組織學(xué)生進行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結(jié)果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學(xué)投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨立.記該班同學(xué)次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.經(jīng)典題型五：離散型隨機變量的方差23．(2023·浙江·紹興一中模擬預(yù)測）已知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個和白色小球個，從中任取3個，記隨機變量為取出的3個球中黑球的個數(shù)，則（

）A．都與m有關(guān) B．與m有關(guān)，與m無關(guān)C．與m無關(guān)，與m有關(guān) D．都與m無關(guān)24．(2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動3次，設(shè)質(zhì)點最終所在位置的坐標為X，則X的方差為（

）A．0 B． C．3 D．525．(2023·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））隨機變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（

）A．10 B．117 C．38 D．3526．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）設(shè)，隨機變量的分布列分別如下，則(

)012P012PA．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則27．(2023·浙江溫州·三模）已知隨機變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．28．(2023·浙江·三模）設(shè)，隨機變量的分布列是0p1P則當(dāng)p在區(qū)間內(nèi)增大時，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小29．(2023·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，隨機變量的分布列為X012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小30．(2023·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）已知兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量和，根據(jù)市場分析，和的分布列如下：(1)在兩個項目上各投資200萬元，和（單位：萬元）表示投資項目和所獲得的利潤，求和；(2)將萬元投資項目，萬元投資項目，表示投資項目所得利潤的方差與投資項目所得利潤的方差之和.則當(dāng)為何值時，取得最小值？31．(2023·北京延慶·模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會的成功舉辦，帶動中國3億多人參與冰雪運動，這是對國際奧林匹克運動發(fā)展的巨大貢獻．2020《中國滑雪產(chǎn)業(yè)白皮書》顯示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（單位：萬人次）數(shù)據(jù)如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龍江1491011955新疆133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陜西79477610山西7839100(1)從滑雪人次排名前10名的省份中隨機抽取1個省份，求該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；(2)從滑雪人次排名前5名的省份中隨機選取3個省份，記這3個省份中2020-2021的滑雪人次超過150萬人次的省份數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記表格中2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)的方差分別為與，試判斷和的大小．結(jié)論不要求證明32．(2023·河南河南·一模（理））一個不透明袋子里裝有紅色小球x個，綠色小球y個，藍色小球z個，小球除顏色外其他都相同.從中任取一個小球，規(guī)定取出的小球是藍色的積3分，綠色的積2分，紅色的積1分.(1)若，從該袋子中隨機有放回的抽取2個小球，記X為取出小球的積分之和，求X的分布列；(2)從該袋子中隨機取一個小球，記Y為此小球的對應(yīng)積分，若，求.33．(2023·北京市大興區(qū)精華培訓(xùn)學(xué)校三模）某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時到崗，完成負責(zé)工序即可離崗，等待時按每小時10元進行補貼，記加工原料時工藝師乙、丙獲得的總補貼為（單位：元），例如：加工原料1時工藝師乙等待1小時，獲得補貼10元，丙等待7小時，獲得補貼70元，則，已知完成各工序所需時長(小時)如下表：

原料工序原料1原料2原料3原料4原料5原料6工序1112324工序2643141工序3534632由于客戶催單，需要將每件原料時長最長的工序時間減少1小時，記此時加工原料時工藝師乙、丙獲得的總補貼為（單位：元），例如：.（1）從6件原料中任選一件，求的概率；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）經(jīng)典題型六：決策問題34．(2023·山東·煙臺二中模擬預(yù)測）某新華書店將在六一兒童節(jié)進行有獎促銷活動，凡在該書店購書達到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人贏取“購書券”的游戲．游戲規(guī)則為：游戲共三局，每局游戲開始前，在不透明的箱中裝有個號碼分別為、、、、的小球（小球除號碼不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個小球（摸球者無法摸出小球號碼）．若雙方摸出的兩球號碼之差為奇數(shù)，則甲被扣除個積分，乙增加個積分；若號碼之差為偶數(shù)，則甲增加個積分，乙被扣除個積分．游戲開始時，甲、乙的初始積分均為零，游戲結(jié)束后，若雙方的積分不等，則積分較大的一方視為獲勝方，將獲得“購書券”獎勵；若雙方的積分相等，則均不能獲得獎勵．(1)設(shè)游戲結(jié)束后，甲的積分為隨機變量，求的分布列；(2)以（1）中的隨機變量的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎勵更為有利時，記正整數(shù)的最小值為．①求的值，并說明理由；②當(dāng)時，求在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購書券”獎勵的概率．35．(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝：若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．(1)若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙還是丙與甲進行比賽？(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金3萬元，負隊獲獎金1.5萬元；若平局，兩隊各獲獎金1.8萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．36．(2023·福建莆田·模擬預(yù)測）某企業(yè)有生產(chǎn)能力相同的甲、乙兩條生產(chǎn)線，生產(chǎn)成本相同的同一種產(chǎn)品.為保障產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門分別從這兩條生產(chǎn)線上各隨機抽取100件產(chǎn)品，并檢測其某項質(zhì)量指標值.根據(jù)該質(zhì)量指標值對應(yīng)的產(chǎn)品等級，統(tǒng)計得到甲、乙生產(chǎn)線的樣本頻數(shù)分布表如下：質(zhì)量指標值等級次品二等品一等品二等品三等品次品甲生產(chǎn)線（件）2194024141乙生產(chǎn)線（件）2165012191(1)根據(jù)樣本頻數(shù)分布表，估計乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標值的中位數(shù)；(2)該企業(yè)為了守法經(jīng)營，將所有次品銷毀，每銷毀一件次品的費用為10元.已知一、二、三等品的售價分別為120元/件、90元/件、60元/件.為響應(yīng)政府拉閘限電的號召，企業(yè)計劃關(guān)停一條生產(chǎn)線.視頻率為概率，若您是企業(yè)的決策者，根據(jù)生產(chǎn)線效益的差異情況，您應(yīng)關(guān)停哪條生產(chǎn)線，并說明理由.37．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）某企業(yè)生產(chǎn)流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進行檢測.若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級品可賣1700元，每件二級品可賣1000元，三級品禁止出廠且銷毀.某日檢測抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示.(1)根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機取出2件，求至少有一件產(chǎn)品是一級品的概率；(2)現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機抽取10件產(chǎn)品，再從這10件中任意抽取3件，設(shè)取到二級品的件數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知該生產(chǎn)線原先的年產(chǎn)量為80萬件，為提高企業(yè)利潤，計劃明年對該生產(chǎn)線進行升級，預(yù)計升級需一次性投入2000萬元，升級后該生產(chǎn)線年產(chǎn)量降為70萬件，但產(chǎn)品質(zhì)量顯著提升，不會再有三級品，且一級品與二級品的產(chǎn)量比會提高到，若以該生產(chǎn)線今年利潤與明年預(yù)計利潤為決策依據(jù)，請判斷該次升級是否合理.1．（2023·浙江·高考真題）設(shè)，則隨機變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大2．（多選題）（2023·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)3．（2023·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．4．（2023·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)5．（2023·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.6．（2023·江蘇·高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．7．（2023·全國·高考真題（理））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．8．（2023·天津·高考真題（理））設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.9．（2023·浙江·高考真題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.10．（2023·浙江·高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_______；______．經(jīng)典題型一：離散型隨機變量1．答案：B【解析】根據(jù)離散型隨機變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項，其中A、C選項是事件，D選項取到球的個數(shù)是個，ACD錯誤；故選：B.2．答案：B【解析】對于A，電燈炮的使用壽命是變量，但無法將其取值一一列舉出來，故A不符題意；對于B，小明射擊1次，擊中目標的環(huán)數(shù)是變量，且其取值為，故X為離散型隨機變量，故B符合題意；對于C，測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機變量，故C不符題意；對于D，一個在軸上隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置是變量，但無法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機變量，故D不符題意.故選：B.3．答案：D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．4．答案：D【解析】由題意表示第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為，因此前次檢測到的都是正品，第次檢測的是一件次品.故選D.經(jīng)典題型二：求離散型隨機變量的分布列5．答案：1024【解析】由題意.故答案為：1024.6．答案：C【解析】根據(jù)隨機變量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，則．故選:C．7．【解析】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對1題后，乙才有機會答題.所以乙有機會答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.8．【解析】由題意得，X的可能取值為0，1，，.可得X的分布列如表所示：X01P經(jīng)典題型三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)9．答案：D【解析】因為，，成等差數(shù)列，所以，根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)：，所以，所以.故選：D.10．答案：A【解析】因為，所以，解得，因為，所以，解得，故選：A11．答案：B【解析】由分布列可知：.，，即所以聯(lián)立方程組得：，解得：故選：B12．答案：C【解析】對于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確．對于B中，，所以B正確．對于C中，，，所以，所以C錯誤．對于D中，，，，，，計算得，所以，所以D正確.故選：C．13．答案：C【解析】由題意得隨機變量X的分布列如表所示.X1Pa由分布列的性質(zhì)得，，解得.故選：C.14．答案：C【解析】由分布列性質(zhì)可得：，則，由,故選：C15．答案：D【解析】由題意可得，則，則，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確，故選：D.16．答案：D【解析】，∴E（X）增大；，∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．故選：D．經(jīng)典題型四：離散型隨機變量的均值17．答案：B【解析】盒中有大小相同的5個紅球和3個白球，從中隨機摸出3個球，記摸到白球的個數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為：0123．故選：B．18．答案：D【解析】由題意可知的可能取值為：、，則，，因此，.故選：D.19．答案：B【解析】設(shè)小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)為，則.則；；；.所以.故選：B20．【解析】（1）由題意，因為飛機每前移一格的概率為，故；（2）由題意，事件拋擲骰子一次后，飛機到達1號格，只能是前移了1格；事件拋擲骰子兩次后，飛機到達2號格可能前移了兩次一格，或一次前移兩格一次原地不動.故，，因此，所以事件，相互獨立．（3）隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以隨機變量的分布列為01234所以．21．【解析】（1）連續(xù)取球三次，記取得紅球的次數(shù)為，則，則．（2）隨機變量的所有可能取值為，，，，，，所以隨機變量的分布列為所以隨機變量的期望為．22．【解析】(1)，即投籃6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，故所求概率為.(2)的可能取值為，，，的分布列為X103050P故經(jīng)典題型五：離散型隨機變量的方差23．答案：C【解析】由題可知：，，故，==．故選：C．24．答案：C【解析】X可能取值為1，，3，，則，故選：C．25．答案：C【解析】，k＝1，2，3，，解得，，，.故選：C26．答案：A【解析】設(shè)隨機變量為X，其可能的取值是，對應(yīng)概率為，則其數(shù)學(xué)期望(均值)為，其方差為：，則，，；，，；∴，若，則，，故，即，故A正確，B錯誤；若，則，但無法判斷與1的大小，故無法判斷的大小，故CD錯誤．故選：A．27．答案：D【解析】，，，，，.故選：D.28．答案：D【解析】，，令，則，易得單調(diào)遞減，又，故存在，使得，則在單增，在單減，即先增大后減小.故選：D.29．答案：A【解析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)可知，，，因為，所以單調(diào)遞增，故選：A30．【解析】（1）依題意得：102041624，.（2）設(shè)投資項目所獲利潤為，投資項目所獲利潤為.，故當(dāng)時，取得最小值.31．【解析】（1）由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的頻率為．

設(shè)事件從滑雪人次排名前十的省份中隨機抽取1個省份，該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．所以；（2）由題意可知，X的可能取值是．

，，，所以X的分布列為X123P所以X的數(shù)學(xué)期望為=；（3）通過表格可以發(fā)現(xiàn)2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)中，2020-2021這一組數(shù)據(jù)比較分散不集中，所以．32．【解析】(1)由題意，抽取2個小球可能為{紅，紅}，{綠，綠}，{藍，藍}，{紅，綠}，{紅，藍}，{綠，藍}，則X可能為2、3、4、5、6，又每次抽到紅、綠、藍球的概率分別、、，∴，，，，，∴X的分布列如下：23456(2)由題設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，，，∴，則，，，∴.33．【解析】（1）由題意得，，，，，，，，，，，，所以從6件原料中任選一件，有，，，，所以從6件原料中任選一件，的概率為；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，則，則；；，X的分布列為XP所以X的數(shù)學(xué)期望為；（3）>．經(jīng)典題型六：決策問題34．【解析】(1)記“一局游戲后甲被扣除個積分”為事件，“一局游戲后乙被扣除個積分”為事件，由題可知，則，當(dāng)三局均為甲被扣除個積分時，，當(dāng)兩局為甲被扣除個積分，一局為乙被扣除個積分時，，當(dāng)一局為甲被扣除個積分，兩局為乙被扣除個積分時，，當(dāng)三局均為乙被扣除個積分時，，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列為－6P(2)①由（1）易得，顯然甲、乙雙方的積分之和恒為零，當(dāng)游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎勵更為有利時，則需，所以，，即正整數(shù)的最小值；②當(dāng)時，記“甲至少有一局被扣除積分”為事件，則，由題設(shè)可知若甲獲得“購書券”獎勵則甲被扣除積分的局數(shù)至多為，記“甲獲得“購書券”獎勵”為事件，易知事件為“甲恰好有一局被扣除積分”，則，所以，，即在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購書券”獎勵的概率為．35．【解析】（1）第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：;第一場比賽，業(yè)余隊安排丙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：，因為，所以，所以.所以，業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙與甲進行比賽.（2）由已知萬元或萬元.由（1）知，業(yè)余隊最優(yōu)決策是第一場應(yīng)該安排乙與甲進行比賽.此時，業(yè)余隊獲勝的概率為，專業(yè)隊獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（萬元）而，所以的取值范圍為：（單位：萬元）.36．【解析】(1)∵乙生產(chǎn)線抽取了100件產(chǎn)品，由樣本頻數(shù)分布表可知，質(zhì)量指標值位于前兩組的頻數(shù)為18，前三組的頻數(shù)為68，∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標值的中位數(shù)為x，則，解得，∴乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標值的中位數(shù)為；(2)由題可得甲生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為X，則（元），乙生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為Y，則（元）（元），∴甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入低于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入，應(yīng)關(guān)停甲生產(chǎn)線.37．【解析】(1)抽取的100件產(chǎn)品是一級品的頻率是，則從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取1件，是一級品的概率是，設(shè)從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機選2件，至少有一件是一級品的事件為，則，所以至少有一件產(chǎn)品是一級品的概率是.(2)依題意，10件產(chǎn)品中一級品7件，二級品2件，三級品1件，的可能值是，，，，所以的分布列為：012.(3)今年利潤為：(萬元)，明年預(yù)計利潤為：(萬元)，顯然有，所以該次升級方案合理.1．答案：D【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，先減小后增大.方法2：則故選D.2．答案：AC【解析】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC3．【解析】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當(dāng)時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.4．【解析】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.5．【解析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．6．【解析】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.7．【解析】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：

是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.8．【解析】(Ⅰ)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望.(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：.9．答案：

1

【解析】，所以，,所以,則．由于．故答案為：1；．10．答案：

【解析】因為對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機變量，，，所以.故答案為：.考向41離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征經(jīng)典題型一：離散型隨機變量經(jīng)典題型二：求離散型隨機變量的分布列經(jīng)典題型三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)經(jīng)典題型四：離散型隨機變量的均值經(jīng)典題型五：離散型隨機變量的方差經(jīng)典題型六：決策問題(2023·全國·高考真題（理））甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【解析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.(2023·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．答案：

【解析】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，所以,故答案為：，.知識點一．離散型隨機變量的分布列1、隨機變量在隨機試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗就是隨機試驗．（2）有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機變量的線性關(guān)系：若是隨機變量，，是常數(shù)，則也是隨機變量．2、離散型隨機變量對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．（2）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量；②離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果，但離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不能一一列出．3、離散型隨機變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注意：①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關(guān)事件的概率．知識點二．離散型隨機變量的均值與方差1、均值若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質(zhì)．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（3）．（4）如果相互獨立，則．3、方差若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機變量的標準差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越??；（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（2）方差公式的變形：．1、用定義法求離散型隨機變量的分布列及均值、方差的步驟：（1）理解的意義，寫出可能取的全部值；（2）求取每個值的概率；（3）寫出的分布列；（4）由均值的定義求．2、求離散型隨機變量的分布列一般要涉及到隨機變量概率的求法，求概率時一定要弄清相應(yīng)的概率類型（古典概型、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)實驗、條件概率）．（1）利用古典概型求事件A的概率，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m．如果基本事件的個數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來，然后再求出事件A中的基本事件數(shù)，利用公式求出事件A的概率，注意列舉時必須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個數(shù)比較多，列舉有一定困難時，也可借助兩個計數(shù)原理及排列組合知識直接計算m，n，再運用公式求概率．（2）較為復(fù)雜的概率問題的處理方法有：①轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；②采用間接法，先求事件A的對立事件的概率，再由求事件A的概率．3、高考對離散型隨機變量的均值與方差的考查主要有以下三個命題角度：（1）已知離散型隨機變量符合條件，求其均值與方差；（2）已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值；（3）已知離散型隨機變量滿足兩種方案，試作出判斷．利用隨機變量的期望與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準確與否等很多問題都與這兩個特征兩量有關(guān)．若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機變量，的期望，當(dāng)時，不應(yīng)認為它們一定一樣好，需要用來比較這兩個隨機變量的方差，確定它們的偏離程度．若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．經(jīng)典題型一：離散型隨機變量1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（

）A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數(shù)答案：B【解析】根據(jù)離散型隨機變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項，其中A、C選項是事件，D選項取到球的個數(shù)是個，ACD錯誤；故選：B.2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機變量的是（

）A．電燈炮的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標的環(huán)數(shù)C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個在軸上隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置答案：B【解析】對于A，電燈炮的使用壽命是變量，但無法將其取值一一列舉出來，故A不符題意；對于B，小明射擊1次，擊中目標的環(huán)數(shù)是變量，且其取值為，故X為離散型隨機變量，故B符合題意；對于C，測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機變量，故C不符題意；對于D，一個在軸上隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置是變量，但無法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機變量，故D不符題意.故選：B.3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次答案：D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．4．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）對一批產(chǎn)品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗結(jié)果為()A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品答案：D【解析】由題意表示第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為，因此前次檢測到的都是正品，第次檢測的是一件次品.故選D.經(jīng)典題型二：求離散型隨機變量的分布列5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.答案：1024【解析】由題意.故答案為：1024.6．(2023·河南·上蔡縣衡水實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)隨機變量的概率分布列如下表：1234則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】根據(jù)隨機變量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，則．故選:C．7．(2023·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）甲，乙兩位同學(xué)組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機會答題，同樣也是兩次機會.每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為.若乙有機會答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.【解析】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對1題后，乙才有機會答題.所以乙有機會答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.8．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知袋內(nèi)有5個白球和6個紅球，從中摸出2個球，記，求X的分布列.【解析】由題意得，X的可能取值為0，1，，.可得X的分布列如表所示：X01P經(jīng)典題型三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)9．(2023·全國·模擬預(yù)測）隨機變量的分布列如表：其中，，成等差數(shù)列，則（

）01

A． B． C． D．答案：D【解析】因為，，成等差數(shù)列，所以，根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)：，所以，所以.故選：D.10．(2023·重慶九龍坡·三模）若隨機變量X的分布列如下所示，且，則a?b的值分別是（

）-10120.30.2A．0.1，0.4 B．0.4，0.1C．0.3，0.2 D．0.2，0.3答案：A【解析】因為，所以，解得，因為，所以，解得，故選：A11．(2023·浙江紹興·二模）設(shè)，隨機變量的分布列是012若，則（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由分布列可知：.，，即所以聯(lián)立方程組得：，解得：故選：B12．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知隨機變量的分布列是01隨機變量的分布列是123以下錯誤的為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】對于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確．對于B中，，所以B正確．對于C中，，，所以，所以C錯誤．對于D中，，，，，，計算得，所以，所以D正確.故選：C．13．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機變量X的分布列，則a＝（

）A．1 B． C． D．答案：C【解析】由題意得隨機變量X的分布列如表所示.X1Pa由分布列的性質(zhì)得，，解得.故選：C.14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量X的概率分布列如下：則（

）X－1012PA． B． C． D．答案：C【解析】由分布列性質(zhì)可得：，則，由,故選：C15．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量ξ的分布列為（k=1，2，3，4，5），則下列說法錯誤的是（

）A． B．P（0.5<<0.8）=0.2 C．P（0.1<<0.5）=0.2 D．P（=1）=0.3答案：D【解析】由題意可得，則，則，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確，故選：D.16．(2023·廣西桂林·模擬預(yù)測（文））設(shè)0＜a＜1．隨機變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時，（

）A．E（X）不變 B．E（X）減小 C．V（X）先增大后減小 D．V（X）先減小后增大答案：D【解析】，∴E（X）增大；，∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．故選：D．經(jīng)典題型四：離散型隨機變量的均值17．(2023·浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測）盒中有大小相同的5個紅球和3個白球，從中隨機摸出3個小球，記摸到白球的個數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．答案：B【解析】盒中有大小相同的5個紅球和3個白球，從中隨機摸出3個球，記摸到白球的個數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為：0123．故選：B．18．(2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）小明班的語文老師昨天報了一次聽寫，語文老師給了小明滿分分，但實際上小明有一處寫了個錯別字，告訴了小王和小丁，錯一處扣分，但小明自己不會給老師說，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會告訴其他同學(xué)，老師知道后就會把分扣下來，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可知的可能取值為：、，則，，因此，.故選：D.19．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）冬奧會的兩個吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運動和現(xiàn)代科技特點．冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設(shè)計創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀念品商店買了6個“冰墩墩”和3個“雪容融”，隨機選了3個寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5答案：B【解析】設(shè)小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)為，則.則；；；.所以.故選：B20．(2023·江西南昌·模擬預(yù)測（理））如圖是飛行棋部分棋盤圖示，飛機的初始位置為0號格，拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點數(shù)為1，2，飛機在原地不動；若拋出的點數(shù)為3，4，飛機向前移一格；若拋出的點數(shù)為5，6，飛機向前移兩格．記拋擲骰子一次后，飛機到達1號格為事件．記拋擲骰子兩次后，飛機到達2號格為事件．(1)求；(2)判斷事件是否獨立，并說明理由；(3)拋擲骰子2次后，記飛機所在格子的號為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題意，因為飛機每前移一格的概率為，故；（2）由題意，事件拋擲骰子一次后，飛機到達1號格，只能是前移了1格；事件拋擲骰子兩次后，飛機到達2號格可能前移了兩次一格，或一次前移兩格一次原地不動.故，，因此，所以事件，相互獨立．（3）隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以隨機變量的分布列為01234所以．21．(2023·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知一個袋子里裝有顏色不同的個小球，其中紅球個，黃球個，現(xiàn)從中隨機取球，每次只取一球．(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取得紅球”的概率(2)若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有紅球或取球次數(shù)達到四次就終止取球，記取球結(jié)束時一共取球次，求隨機變量的分布列與期望．【解析】（1）連續(xù)取球三次，記取得紅球的次數(shù)為，則，則．（2）隨機變量的所有可能取值為，，，，，，所以隨機變量的分布列為所以隨機變量的期望為．22．(2023·四川成都·模擬預(yù)測（理））成都高中為了鍛煉高三年級同學(xué)的身體，同時也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來的緊張感，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)狀態(tài)，特組織學(xué)生進行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結(jié)果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學(xué)投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨立.記該班同學(xué)次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)，即投籃6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，故所求概率為.(2)的可能取值為，，，的分布列為X103050P故經(jīng)典題型五：離散型隨機變量的方差23．(2023·浙江·紹興一中模擬預(yù)測）已知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個和白色小球個，從中任取3個，記隨機變量為取出的3個球中黑球的個數(shù)，則（

）A．都與m有關(guān) B．與m有關(guān)，與m無關(guān)C．與m無關(guān)，與m有關(guān) D．都與m無關(guān)答案：C【解析】由題可知：，，故，==．故選：C．24．(2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動3次，設(shè)質(zhì)點最終所在位置的坐標為X，則X的方差為（

）A．0 B． C．3 D．5答案：C【解析】X可能取值為1，，3，，則，故選：C．25．(2023·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））隨機變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（

）A．10 B．117 C．38 D．35答案：C【解析】，k＝1，2，3，，解得，，，.故選：C26．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）設(shè)，隨機變量的分布列分別如下，則(

)012P012PA．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：A【解析】設(shè)隨機變量為X，其可能的取值是，對應(yīng)概率為，則其數(shù)學(xué)期望(均值)為，其方差為：，則，，；，，；∴，若，則，，故，即，故A正確，B錯誤；若，則，但無法判斷與1的大小，故無法判斷的大小，故CD錯誤．故選：A．27．(2023·浙江溫州·三模）已知隨機變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，，，，，.故選：D.28．(2023·浙江·三模）設(shè)，隨機變量的分布列是0p1P則當(dāng)p在區(qū)間內(nèi)增大時，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小答案：D【解析】，，令，則，易得單調(diào)遞減，又，故存在，使得，則在單增，在單減，即先增大后減小.故選：D.29．(2023·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，隨機變量的分布列為X012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小答案：A【解析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)可知，，，因為，所以單調(diào)遞增，故選：A30．(2023·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）已知兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量和，根據(jù)市場分析，和的分布列如下：(1)在兩個項目上各投資200萬元，和（單位：萬元）表示投資項目和所獲得的利潤，求和；(2)將萬元投資項目，萬元投資項目，表示投資項目所得利潤的方差與投資項目所得利潤的方差之和.則當(dāng)為何值時，取得最小值？【解析】（1）依題意得：102041624，.（2）設(shè)投資項目所獲利潤為，投資項目所獲利潤為.，故當(dāng)時，取得最小值.31．(2023·北京延慶·模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會的成功舉辦，帶動中國3億多人參與冰雪運動，這是對國際奧林匹克運動發(fā)展的巨大貢獻．2020《中國滑雪產(chǎn)業(yè)白皮書》顯示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（單位：萬人次）數(shù)據(jù)如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龍江1491011955新疆133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陜西79477610山西7839100(1)從滑雪人次排名前10名的省份中隨機抽取1個省份，求該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；(2)從滑雪人次排名前5名的省份中隨機選取3個省份，記這3個省份中2020-2021的滑雪人次超過150萬人次的省份數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記表格中2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)的方差分別為與，試判斷和的大?。Y(jié)論不要求證明【解析】（1）由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的頻率為．

設(shè)事件從滑雪人次排名前十的省份中隨機抽取1個省份，該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．所以；（2）由題意可知，X的可能取值是．

，，，所以X的分布列為X123P所以X的數(shù)學(xué)期望為=；（3）通過表格可以發(fā)現(xiàn)2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)中，2020-2021這一組數(shù)據(jù)比較分散不集中，所以．32．(2023·河南河南·一模（理））一個不透明袋子里裝有紅色小球x個，綠色小球y個，藍色小球z個，小球除顏色外其他都相同.從中任取一個小球，規(guī)定取出的小球是藍色的積3分，綠色的積2分，紅色的積1分.(1)若，從該袋子中隨機有放回的抽取2個小球，記X為取出小球的積分之和，求X的分布列；(2)從該袋子中隨機取一個小球，記Y為此小球的對應(yīng)積分，若，求.【解析】(1)由題意，抽取2個小球可能為{紅，紅}，{綠，綠}，{藍，藍}，{紅，綠}，{紅，藍}，{綠，藍}，則X可能為2、3、4、5、6，又每次抽到紅、綠、藍球的概率分別、、，∴，，，，，∴X的分布列如下：23456(2)由題設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，，，∴，則，，，∴.33．(2023·北京市大興區(qū)精華培訓(xùn)學(xué)校三模）某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時到崗，完成負責(zé)工序即可離崗，等待時按每小時10元進行補貼，記加工原料時工藝師乙、丙獲得的總補貼為（單位：元），例如：加工原料1時工藝師乙等待1小時，獲得補貼10元，丙等待7小時，獲得補貼70元，則，已知完成各工序所需時長(小時)如下表：

原料工序原料1原料2原料3原料4原料5原料6工序1112324工序2643141工序3534632由于客戶催單，需要將每件原料時長最長的工序時間減少1小時，記此時加工原料時工藝師乙、丙獲得的總補貼為（單位：元），例如：.（1）從6件原料中任選一件，求的概率；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）【解析】（1）由題意得，，，，，，，，，，，，所以從6件原料中任選一件，有，，，，所以從6件原料中任選一件，的概率為；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，則，則；；，X的分布列為XP所以X的數(shù)學(xué)期望為；（3）>．經(jīng)典題型六：決策問題34．(2023·山東·煙臺二中模擬預(yù)測）某新華書店將在六一兒童節(jié)進行有獎促銷活動，凡在該書店購書達到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人贏取“購書券”的游戲．游戲規(guī)則為：游戲共三局，每局游戲開始前，在不透明的箱中裝有個號碼分別為、、、、的小球（小球除號碼不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個小球（摸球者無法摸出小球號碼）．若雙方摸出的兩球號碼之差為奇數(shù)，則甲被扣除個積分，乙增加個積分；若號碼之差為偶數(shù)，則甲增加個積分，乙被扣除個積分．游戲開始時，甲、乙的初始積分均為零，游戲結(jié)束后，若雙方的積分不等，則積分較大的一方視為獲勝方，將獲得“購書券”獎勵；若雙方的積分相等，則均不能獲得獎勵．(1)設(shè)游戲結(jié)束后，甲的積分為隨機變量，求的分布列；(2)以（1）中的隨機變量的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎勵更為有利時，記正整數(shù)的最小值為．①求的值，并說明理由；②當(dāng)時，求在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購書券”獎勵的概率．【解析】(1)記“一局游戲后甲被扣除個積分”為事件，“一局游戲后乙被扣除個積分”為事件，由題可知，則，當(dāng)三局均為甲被扣除個積分時，，當(dāng)兩局為甲被扣除個積分，一局為乙被扣除個積分時，，當(dāng)一局為甲被扣除個積分，兩局為乙被扣除個積分時，，當(dāng)三局均為乙被扣除個積分時，，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列為－6P(2)①由（1）易得，顯然甲、乙雙方的積分之和恒為零，當(dāng)游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎勵更為有利時，則需，所以，，即正整數(shù)的最小值；②當(dāng)時，記“甲至少有一局被扣除積分”為事件，則，由題設(shè)可知若甲獲得“購書券”獎勵則甲被扣除積分的局數(shù)至多為，記“甲獲得“購書券”獎勵”為事件，易知事件為“甲恰好有一局被扣除積分”，則，所以，，即在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購書券”獎勵的概率為．35．(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝：若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．(1)若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙還是丙與甲進行比賽？(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金3萬元，負隊獲獎金1.5萬元；若平局，兩隊各獲獎金1.8萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．【解析】（1）第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：;第一場比賽，業(yè)余隊安排丙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：，因為，所以，所以.所以，業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙與甲進行比賽.（2）由已知萬元或萬元.由（1）知，業(yè)余隊最優(yōu)決策是第一場應(yīng)該安排乙與甲進行比賽.此時，業(yè)余隊獲勝的概率為，專業(yè)隊獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（萬元）而，所以的取值范圍為：（單位：萬元）.36．(2023·福建莆田·模擬預(yù)測）某企業(yè)有生產(chǎn)能力相同的甲、乙兩條生產(chǎn)線，生產(chǎn)成本相同的同一種產(chǎn)品.為保障產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門分別從這兩條生產(chǎn)線上各隨機抽取100件產(chǎn)品，并檢測其某項質(zhì)量指標值.根據(jù)該質(zhì)量指標值對應(yīng)的產(chǎn)品等級，統(tǒng)計得到甲、乙生產(chǎn)線的樣本頻數(shù)分布表如下：質(zhì)量指標值等級次品二等品一等品二等品三等品次品甲生產(chǎn)線（件）2194024141乙生產(chǎn)線（件）2165012191(1)根據(jù)樣本頻數(shù)分布表，估計乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標值的中位數(shù)；(2)該企業(yè)為了守法經(jīng)營，將所有次品銷毀，每銷毀一件次品的費用為10元.已知一、二、三等品的售價分別為120元/件、90元/件、60元/件.為響應(yīng)政府拉閘限電的號召，企業(yè)計劃關(guān)停一條生產(chǎn)線.視頻率為概率，若您是企業(yè)的決策者，根據(jù)生產(chǎn)線效益的差異情況，您應(yīng)關(guān)停哪條生產(chǎn)線，并說明理由.【解析】(1)∵乙生產(chǎn)線抽取了100件產(chǎn)品，由樣本頻數(shù)分布表可知，質(zhì)量指標值位于前兩組的頻數(shù)為18，前三組的頻數(shù)為68，∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標值的中位數(shù)為x，則，解得，∴乙生產(chǎn)線的該質(zhì)量指標值的中位數(shù)為；(2)由題可得甲生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為X，則（元），乙生產(chǎn)線生產(chǎn)次品的概率為，一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，設(shè)乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的收入為Y，則（元）（元），∴甲生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入低于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均收入，應(yīng)關(guān)停甲生產(chǎn)線.37．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）某企業(yè)生產(chǎn)流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進行檢測.若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級品可賣1700元，每件二級品可賣1000元，三級品禁止出廠且銷毀.某日檢測抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示.(1)根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機取出2