人教A版（2019）選修第二冊 變化率問題（含解析）

人教A版(2019)選修第二冊5.L1變化率問題

(共19題)

一、選擇題(共12題)

1.已知函數(shù)y=/(%),當(dāng)自變量％由％°改變到xo+kzlx(k為常數(shù))時(shí)，函數(shù)值的改變量Jy

為()

A./(x04-kAx)B./(x0)4-kAx

C./(&)?kAxD./(x0+kAx)—/(x0)

2.已知函數(shù)y=/(x)在x=x處的導(dǎo)數(shù)為1，則lim()

02Ax

A.0B-IC.1D.2

3.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù),則函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是

4.函數(shù)/(x)=2%在區(qū)間［&,Xo+/x］上的平均變化率為()

A.xa+AxB.1+AxC.2+AxD.2

2

5.函數(shù)/(x)=x在區(qū)間［x0,x0+Ax］上的平均變化率為在［々-4/與］上的平均變化率為

k2,則fci與k2的大小關(guān)系是()

A.七>k2B.匕<k2C.ki=k2D.無法確定

6.若函數(shù)y=f(x)=ax+b在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為3,則a=()

A.-3B.2C.3D.-2

2

7.函數(shù)/(x)=x在x0到x0+Ax之間的平均變化率為心,在右一到與之間的平均變化

率為k2,則fci，的的大小關(guān)系是()

A.<k2B.k]>k2C.ki=k2D.無法確定

8.一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移5(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系是s=5t—?jiǎng)t該物體

在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度是()

A.-1m/sB.1m/sc.2m/sD.6m/s

9.y=M在％=1處的導(dǎo)數(shù)為()

A.2xB.2c.2+4%D.1

10.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處存在導(dǎo)數(shù)為2,則lim"i+3-f⑴=()

z3x->03Ax

21i

A.B.6c.D.

332

11.己知/1(1)=1.limf(i+33-f⑴等于()

AX

1

A.1B.-1c.3D.

3

12.已知函數(shù)y=2/的圖象上的點(diǎn)P(l,2)及鄰近點(diǎn)Q(14-Ax,2+Ay),則w的值為()

Ax

A.4B.4xc.4+2(4x)2D.4+221%

二、填空題(共4題)

13.一棵樹2021年1月1日高度為4.5m,2022年1月1日高度為4.98m,則這棵樹2021

年高度的月平均變化率是—.

14.物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程是s=vt，則該物體在運(yùn)動(dòng)過程中的平均速度與任何時(shí)刻的瞬

時(shí)速度的關(guān)系是—.

15.已知曲線y=x2-l上兩點(diǎn)4(2,3),B(2+Ax,3+Ay),當(dāng)Zlx=1時(shí)，割線AB的斜率

是；當(dāng)4尤=0.1時(shí)，割線AB的斜率是.

16.若質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)方程為s=tsint,其中s的單位為m,t的單位為s,則質(zhì)子在t=2s時(shí)的瞬

時(shí)速度為_m/s.

三、解答題(共3題)

17.已知曲線y=f(x)=x2,y=g(x)=：,過兩條曲線的交點(diǎn)作兩條曲線的切線，求兩切線與x

軸圍成的三角形的面積.(請用導(dǎo)數(shù)的定義求切線的斜率，否則只得結(jié)論分)

18.已知曲線C:y=x3.

⑴求曲線C在橫坐標(biāo)為x=1的點(diǎn)處的切線方程，并判斷該切線與曲線C是否還有其他的公

共點(diǎn)，若有，求出公共點(diǎn)；

(2)求曲線C過點(diǎn)(1,1)的切線方程.

19.已知直線h為曲線y=/+x-2在點(diǎn)(1,0)處的切線，12為該曲線的另一條切線，且lrll2.

(1)求直線12的方程；

(2)求由直線12和x軸圍成的三角形的面積.

答案

一、選擇題（共12題）

1.【答案】D

【解析】Ay=/（x0+kAx）-/（x0）.

2.【答案】B

3.【答案】A

【解析】函數(shù)/（%）的導(dǎo)數(shù)/,（x）在［a/］上是增函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線/（%）在

區(qū)間［a,切上各點(diǎn)處切線斜率是逐漸增大的，只有A選項(xiàng)符合.

4.【答案】D

【解析】由題意，可得平均變化率為—理匕=2（X°+4X）-2X。=2.

AxAx

5.【答案】A

【解析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式可得，

k_f（Xo+4*）-f（Xo）_（而+4爐一片=2久+4久，

k--（-。）-/（q5）_幡-（與-泡2=2_A

2~Ax_4%-0，

則的一上2=24%，容易判斷Ax大于零，所以>fc2-

6.【答案】C

【解析】根據(jù)平均變化率的定義，可知?=（2。+：）-'+〃）=a=3.

Ax2-1

7.【答案】D

【解析】因?yàn)楹?—：）-"、。）=2x0+Ax,k2=f（x。）/x/x）=2Ax>

1

XQ+AX-XQU,XO-（XO-AX）u

又Ax可正可負(fù)且不為零，

所以kl,k2的大小關(guān)系不確定.

故選D.

8.【答案】A

【解析】因?yàn)槿?(t+M(t+dA(5t-t2)=5_2t-戊,

At

所以該物體在"3s時(shí)的瞬時(shí)速度為limg=-1m/s.

9.【答案】B

【解析】因?yàn)閒M=x2,x=l,

所以Ay=/(I+Ax')2—/(l)=(1+Ax')2—1=2-+(4x)2,

所以”=2+4x,

Ax

當(dāng)4%t0時(shí)，—2,

Ax

所以r(i)=2.

10.【答案】A

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，

Hm仆次一/⑴

Ax->02Ax

=三lim△…一f⑴

3AX

=-X2

3

2

=—

3,

11.【答案】c

12.【答案】D

【解析】?=2(I+4X)2-2X12=4+2/x.

AxAx

二、填空題(共4題)

13.【答案】0.04

【解析】若竺=0.04.

12

14.【答案】相等

【解析】物體做勻速運(yùn)動(dòng)，所以任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度都是一樣的.

15.【答案】5；4.1

16.【答案】sin2+2cos2

【解析】因?yàn)閟'=(tsint)'=sint+tcost,

所以所求瞬時(shí)速度為(sin2+2cos2)m/s.

三、解答題(共3題)

17.【答案】由仁［得｛＞；：

故兩條曲線的交點(diǎn)j標(biāo)為(1,1),兩條曲線切線的斜率分別為

(⑴=limf⑷+"-f⑴=(”x+i)2T=Um(Ax+2)

lim2,

4XTO444x->04%4x->0

，⑴=Hmg('+i)-g(i)=Hm^±±Zi=Hm)=-1.

uAx-^OAxAx-^QAx-^Q\21X+1/

所以兩條切線的方程分別為y-l=2(x-l),y-l=-(x-1),

即y=2x-l與y=-x+2,兩條切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),(2,0),

所以兩切線與x軸圍成的三角形的面積為|xlx|2-i|=^.

21214

18.【答案】

(1)將x=1代入曲線C的方程得y=l,

所以切點(diǎn)為P(l,l).

y'lx=ilim—

4x-0

(l+dX)3-l

lim

Ax

=lim[3+3Ax+(Ax)2]

4x->0

=3,

所以k=y'\X=1=3.

所以曲線在點(diǎn)P(l,l)處的切線方程為y-l=3(x-l),即3x-y-2=0.

y=3x—2,解得上;或修：二;:

由

y=x3,

因此切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另一公共點(diǎn)(-2,-8).

2

(2)設(shè)切點(diǎn)為由(1)可知y'\x=Xo=3x0,則切線方程為y-x1=3x^(x-x0),

因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在該切線上，將(1,1)代入，整理得2焉—3亞+1=0,解得％0=1或々=一/

①當(dāng)與=1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，相應(yīng)的切線方程為3x-y—2=0.

②當(dāng)x0=時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(一；，一；)，相應(yīng)的切線方程為、+；=；(》+；)，即3x-4y+

2.\2.8/o4-\2/

1=0.

19.【答案】

(1)因?yàn)閂11=Hm