新教材高中物理第四章運動和力的關系專題四模型構建-連接體問題導學案新人教版必修第一冊

專題四模型構建——連接體問題課題任務整體法、隔離法在連接體問題中的應用1．“連接體”問題所謂“連接體”，是指運動中的幾個物體或上下疊放在一起或前后擠靠在一起或通過細繩、輕彈簧等連在一起的物體組。在求解連接體問題時常常用到整體法與隔離法。2．整體法與隔離法(1)整體法：在分析連接體問題時，將整個物體系統(tǒng)作為整體分析探討的方法。在分析整體所受外力狀況時常采納整體法。(2)隔離法：在分析連接體問題時，從探討問題的便利性動身，將物體系統(tǒng)中的某一部分物體隔離出來，單獨分析探討的方法。3．整體法、隔離法的選用(1)整體法、隔離法的選取原則當連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度(或運動狀況一樣)時，可以采納整體法；當連接體內(nèi)各物體加速度不相同(或運動狀況不一樣)時，采納隔離法。一般來說，求整體的外力時優(yōu)先采納整體法，整體法分析時不須要考慮各物體間的內(nèi)力；求連接體內(nèi)各物體間的內(nèi)力時只能采納隔離法。(2)整體法、隔離法的交替運用①若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且求物體之間的作用力，可以先用整體法求出加速度，然后再用隔離法選取合適的探討對象，應用牛頓其次定律求作用力，即“先整體求加速度，后隔離求內(nèi)力”。②若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且求整體所受的外力，可以先用隔離法選取合適的探討對象，分析受力且用牛頓其次定律求加速度，然后再用整體法求外力，即“先隔離求加速度，后整體求外力”。例1如圖所示，在光滑的水平地面上，質(zhì)量分別為m1和m2的木塊A和B之間用輕彈簧相連，在拉力F作用下，A、B共同以加速度a做勻加速直線運動，某時刻突然撤去拉力F，撤去瞬間A和B的加速度大小為a1和a2，則()A．a(chǎn)1＝a2＝0B．a(chǎn)1＝a，a2＝0C．a(chǎn)1＝eq\f(m1,m1＋m2)a，a2＝eq\f(m2,m1＋m2)aD．a(chǎn)1＝a，a2＝eq\f(m1,m2)a[規(guī)范解答]在拉力F作用下，A、B和輕彈簧組成的整體的加速度為：a＝eq\f(F,m1＋m2)，隔離A，對A分析得，彈簧的彈力為：F彈＝m1a＝eq\f(Fm1,m1＋m2)；撤去F瞬間，隔離A，對A分析，有：a1＝eq\f(F彈,m1)＝a，隔離B，對B分析，有：a2＝eq\f(F彈,m2)＝eq\f(m1,m2)a，D正確，A、B、C錯誤。[答案]D模型點撥連接體中力的“安排協(xié)議”如下列各圖所示，對于一起做加速運動的物體系統(tǒng)，m1和m2間的彈力或中間繩的拉力F12的大小遵守以下力的“安排協(xié)議”：(1)若外力F作用于m1上，則F12＝eq\f(m2F,m1＋m2)。(2)若外力F作用于m2上，則F12＝eq\f(m1F,m1＋m2)。留意：①此“安排協(xié)議”與有無摩擦無關(若有摩擦，兩物體與接觸面間的動摩擦因數(shù)必需相同)；②兩物體間若有連接物，連接物的質(zhì)量必需很小，可忽視(如輕繩、輕桿、輕彈簧)；③物體系統(tǒng)在水平面、斜面或豎直方向上一起加速運動時，此“安排協(xié)議”都成立。eq\a\vs4\al([變式訓練1])如圖所示，質(zhì)量為M、中間為半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽內(nèi)有一質(zhì)量為m的小鐵球，現(xiàn)用一水平向右的推力F推動凹槽，小鐵球與光滑凹槽相對靜止時，凹槽球心和小鐵球的連線與豎直方向成α角。則下列說法正確的是()A．小鐵球受到的合外力方向水平向左B．F＝(M＋m)gtanαC．系統(tǒng)的加速度為a＝gsinαD．F＝Mgtanα答案B解析隔離小鐵球受力分析，得F合＝mgtanα＝ma，且合外力方向水平向右，故小鐵球的加速度為gtanα，因為小鐵球與凹槽相對靜止，故系統(tǒng)的加速度也為gtanα，A、C錯誤；對整體受力分析，得F＝(M＋m)a＝(M＋m)·gtanα，故B正確，D錯誤。課題任務動力學的臨界問題在動力學問題中，常常會遇到某種物理現(xiàn)象(或物理狀態(tài))剛好要發(fā)生或剛好不發(fā)生的狀況(如恰好滑動、剛好脫離)，這類問題稱為臨界問題。臨界狀態(tài)是物理過程發(fā)生變更的轉(zhuǎn)折點，在這個轉(zhuǎn)折點上，系統(tǒng)的某些物理量達到極值，臨界點的兩側(cè)，物體的受力狀況、運動狀態(tài)一般要發(fā)生變更。1．關鍵詞語：在動力學問題中出現(xiàn)的“最大”“最小”“剛好”“恰能”等詞語，一般都示意了臨界狀態(tài)的出現(xiàn)，隱含了相應的臨界條件。2．臨界問題的常見類型及臨界條件(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體間的彈力恰好為零。(2)相對靜止或相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大靜摩擦力。(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限的，繩子斷裂的臨界條件是實際張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是張力為零。(4)加速度最大與速度最大的臨界條件：當所受合力最大時，具有最大加速度；當所受合力最小時，具有最小加速度。當出現(xiàn)加速度為零時，物體處于臨界狀態(tài)，對應的速度達到最大值或最小值。3．解決臨界問題的三種方法極限法把物理問題(或過程)推向極端狀況(例如使物體的加速度特別大)，分析在極端狀況下可能出現(xiàn)的狀態(tài)，從而找出臨界條件，解決問題假設法有些物理問題沒有明顯的臨界線索，一般用假設法，即假設出現(xiàn)某種臨界狀態(tài)(如假設兩物體間不滑動)，分析物體的受力狀況與題設是否相同，然后再依據(jù)實際狀況處理數(shù)學法將物理量間的關系用代數(shù)式表達出來，結合已知量的取值范圍和其他物理條件，依據(jù)代數(shù)表達式解出臨界值例2如圖所示，在水平向右運動的小車上，有一傾角為α的光滑斜面，質(zhì)量為m的小球被平行于斜面的細繩系住并靜止在斜面上，當小車加速度發(fā)生變更時，為使小球相對于小車仍保持靜止，求小車加速度的允許范圍。[規(guī)范解答]解法一(數(shù)學法)：如圖所示，對小球進行受力分析有：水平方向：FTcosα－FNsinα＝ma①豎直方向：FTsinα＋FNcosα－mg＝0②由②式知，當FT最小為0時，F(xiàn)N有最大值，當FN最小為0時，F(xiàn)T有最大值，分別對應兩種臨界狀態(tài)。結合①②可知，當FN＝0時，加速度a1＝eq\f(g,tanα)當FT＝0時，a2＝－gtanα負號表示加速度方向與速度方向相反，小車向右做減速運動。故小車加速度的允許范圍為：向右時最大為eq\f(g,tanα)，向左時最大為gtanα。解法二(極限法)：小車加速度的方向可能向右，也可能向左。(1)當小車加速度向右時，若加速度足夠大，小球?qū)⒚撾x斜面。設小球恰好不離開斜面時小車向右的加速度為a1，則此時斜面對小球的支持力FN＝0，設細繩對小球的拉力為FT，則水平方向：FTcosα＝ma1豎直方向：FTsinα＝mg解得a1＝eq\f(g,tanα)。(2)當小車加速度向左時，若加速度足夠大，小球?qū)⑾鄬π泵鎸ι线\動。設小球恰好與斜面保持相對靜止時小車向左的加速度為a2，則此時FT＝0，水平方向：FNsinα＝ma2豎直方向：FNcosα＝mg解得a2＝gtanα。[答案]小車加速度的允許范圍為：向右時最大為eq\f(g,tanα)，向左時最大為gtanα模型點撥挖掘臨界條件是解題的關鍵，本題中小車向右運動時，小球相對小車靜止的一種臨界狀況是小球恰好不離開斜面，斜面彈力剛好為零；另一種臨界狀況是繩子剛好沒有彈力，繩子對小球的拉力為零。兩種方法比較可知，極限法較簡潔。對于假設法的運用，見專題五滑塊—木板問題。eq\a\vs4\al([變式訓練2])如圖，粗糙水平地面與兩滑塊間的動摩擦因數(shù)相同，均為0.4，兩滑塊A、B的質(zhì)量分別為M＝5kg、m＝1kg，起先時兩滑塊靜止，細線伸直但無拉力?，F(xiàn)用水平向右的恒力F作用在A滑塊上，設滑塊與水平地面的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)在保證細線中不產(chǎn)生拉力的狀況下，F(xiàn)允許的最大值為多少？(2)當拉力F＝30N時，兩滑塊貼著地面運動的加速度大小為多少？(3)要使B滑塊能離開地面，拉力F至少要多大？答案(1)20N(2)1m/s2(3)69N解析(1)細線剛好不產(chǎn)生拉力時，A滑塊受到地面的摩擦力剛好達到最大靜摩擦力，則：Fmax＝μMg＝0.4×5×10N＝20N，所以在保證細線中不產(chǎn)生拉力的情況下，F(xiàn)的最大值為20N。(2)對兩滑塊組成的整體，依據(jù)牛頓其次定律：F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a解得：a＝1m/s2。(3)B滑塊剛要離開地面時，細線拉力FT的豎直分力等于B滑塊的重力，即FTcos37°＝mg，水平方向：FTsin37°＝ma′聯(lián)立解得：a′＝eq\f(3,4)g；對兩滑塊組成的整體，依據(jù)牛頓其次定律：Fmin－μ(M＋m)g＝(M＋m)a′解得：Fmin＝69N。1．如圖所示，物塊A、B質(zhì)量相等，在水平恒力F的作用下，在水平面上做勻加速直線運動，若水平面光滑，物塊A的加速度大小為a1，物塊A、B間的相互作用力大小為FN1；若水平面粗糙，且物塊A、B與水平面間的動摩擦因數(shù)μ相同，物塊B的加速度大小為a2，物塊A、B間的相互作用力大小為FN2，則以下推斷正確的是()A．a(chǎn)1＝a2 B．FN1＝FC．FN1＝FN2 D．FN1＜FN2答案C解析設物塊A、B的質(zhì)量均為m，接觸面光滑時，對A、B組成的整體分析，依據(jù)牛頓其次定律得a1＝eq\f(F,2m)，對物塊B分析，由牛頓其次定律得FN1＝ma1＝eq\f(F,2)；接觸面粗糙時，對A、B組成的整體分析，依據(jù)牛頓其次定律得a2＝eq\f(F－μ·2mg,2m)＝eq\f(F,2m)－μg，可知a1＞a2，對物塊B分析，由牛頓其次定律得FN2－μmg＝ma2，解得FN2＝eq\f(F,2)，F(xiàn)N1＝FN2，C正確，A、B、D錯誤。2.如圖所示，A、B兩物體用細繩連接后放在斜面上，斜面傾角為α，假如兩物體與斜面間的動摩擦因數(shù)都為μ，則在它們下滑過程中，()A．它們的加速度a＝gsinαB．它們的加速度a＞gsinαC．細繩中的張力FT＝0D．細繩中的張力FT＝mAg(sinα－cosα)答案C解析對A、B組成的系統(tǒng)整體運用牛頓其次定律有(mA＋mB)gsinα－μ(mA＋mB)gcosα＝(mA＋mB)a，解得a＝(sinα－μcosα)g＜gsinα，A、B錯誤；對A進行隔離，運用牛頓其次定律有mAgsinα－μmAgcosα－FT＝mAa，解得FT＝0，C正確，D錯誤。3．(多選)兩個疊在一起的滑塊，置于固定的、傾角為θ的斜面上，如圖所示，滑塊A、B的質(zhì)量分別為M、m，A與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ1，B與A之間的動摩擦因數(shù)為μ2，已知兩滑塊都從靜止起先以相同的加速度從斜面滑下，滑塊B受到的摩擦力()A．等于0 B．方向沿斜面對上C．大小等于μ1mgcosθ D．大小等于μ2mgcosθ答案BC解析把A、B兩滑塊作為一個整體，設其下滑的加速度為a，由牛頓其次定律得(M＋m)gsinθ－μ1(M＋m)·gcosθ＝(M＋m)a，得a＝g(sinθ－μ1cosθ)。由于a<gsinθ，可見B隨A一起下滑過程中，必受到A對它沿斜面對上的摩擦力，設摩擦力為FB，對B受力分析如圖所示，由牛頓其次定律得mgsinθ－FB＝ma，解得FB＝mgsinθ－ma＝mgsinθ－mg(sinθ－μ1cosθ)＝μ1mgcosθ，B、C正確，A、D錯誤。4.如圖所示，質(zhì)量為m2的物塊B放置在光滑水平桌面上，其上放置質(zhì)量為m1的物塊A，A通過跨過定滑輪的細線與質(zhì)量為M的物塊C連接，釋放C，A和B一起以加速度a從靜止起先運動，已知A、B間的動摩擦因數(shù)為μ1，則細線中的拉力大小為()A．Mg B．Mg＋MaC．Mg－Ma D．m1a＋μ1m1g答案C解析對物塊C，由牛頓其次定律得Mg－FT＝Ma，解得FT＝Mg－Ma，A、B錯誤，C正確；對物塊A，由牛頓其次定律得FT－f＝m1a，解得FT＝m1a＋f，因f為靜摩擦力，故不肯定等于μ1m1g，D錯誤。5.(多選)如圖所示，a、b兩物體的質(zhì)量分別為m1、m2，由輕質(zhì)彈簧相連。當用恒力F豎直向上拉著a，使a、b一起向上做勻加速直線運動時，彈簧伸長量為x1，物體的加速度大小為a1；當用大小仍為F的恒力沿斜面對上拉著a，使a、b一起沿光滑斜面對上做勻加速直線運動時，彈簧伸長量為x2，物體的加速度大小為a2。已知斜面的傾角為θ，則有()A．x1＝x2B．x1>x2C．a(chǎn)1＝a2D．a(chǎn)1<a2答案AD解析設彈簧的勁度系數(shù)為k，當用恒力F豎直向上拉時，對a、b和彈簧組成的整體分析有F－(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a1，對b分析有kx1－m2g＝m2a1，解得x1＝eq\f(m2F,km1＋m2)，加速度a1＝eq\f(F,m1＋m2)－g；當用恒力F沿光滑斜面對上拉時，對整體分析有F－(m1＋m2)·gsinθ＝(m1＋m2)a2，對b分析有kx2－m2gsinθ＝m2a2，解得x2＝eq\f(m2F,km1＋m2)，加速度a2＝eq\f(F,m1＋m2)－gsinθ，由以上分析可知，x1＝x2，a1<a2，A、D正確，B、C錯誤。6．(多選)如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端系一個質(zhì)量為m的小球A，小球被水平擋板P托住使彈簧長度恰為自然長度(小球與擋板不粘連)，然后使擋板P以恒定的加速度a(a＜g)起先豎直向下做勻加速直線運動，則()A．小球與擋板分別的時間為t＝eq\r(\f(ka,2mg－a))B．小球與擋板分別的時間為t＝eq\r(\f(2mg－a,ka))C．小球從起先運動直到最低點的過程中，小球速度最大時彈簧的伸長量x＝eq\f(mg,k)D．小球從起先運動直到最低點的過程中，小球速度最大時彈簧的伸長量x＝eq\f(mg－a,k)答案BC解析小球與擋板之間彈力為零時分別，此時小球的加速度仍為a，由牛頓其次定律得mg－kx0＝ma，由勻變速直線運動的位移時間關系式得x0＝eq\f(1,2)at2，解得t＝eq\r(\f(2mg－a,ka))，故A錯誤，B正確；小球速度最大時所受合力為零，即mg－kx＝0，故彈簧的伸長量x＝eq\f(mg,k)，C正確，D錯誤。7.如圖所示，質(zhì)量相等的長方體鋼鐵構件A、B疊放在卡車的水平底板上，卡車底板和B之間的動摩擦因數(shù)為μ1，A和B之間的動摩擦因數(shù)為μ2，μ1＞μ2，卡車剎車的加速度大小最大為a，a＞μ1g，可以認為最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等。卡車沿平直馬路行駛途中遇到緊急狀況時，要求其剎車后在s0距離內(nèi)能平安停下，則卡車行駛的速度不能超過()A.eq\r(2as0) B.eq\r(2μ1gs0)C.eq\r(2μ2gs0) D.eq\r(μ1＋μ2gs0)答案C解析設A、B的質(zhì)量均為m，A和B恰好相對靜止時A、B的加速度為a1，則對A有：f1＝μ2mg＝ma1，得a1＝μ2g，對A、B整體分析，卡車底板對B的摩擦力f2＝2ma1＝2μ2mg<2μ1mg<2ma，故B相對于卡車靜止，可知卡車平安停下的最大剎車加速度大小為a1＝μ2g。由題意知，x＝eq\f(v2,2a1)≤s0，得v≤eq\r(2a1s0)＝eq\r(2μ2gs0)，C正確。8．(多選)如圖所示，A、B兩物塊的質(zhì)量分別為2m和m，靜止疊放在水平地面上，A、B間的動摩擦因數(shù)為μ，B與地面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(1,2)μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g?，F(xiàn)對B施加一水平拉力F，則()A．當F＜2μmg時，A、B相對地面靜止B．當F＝eq\f(5,2)μmg時，A的加速度為eq\f(1,3)μgC．當F＞3μmg時，A相對B滑動D．無論F為何值，A的加速度都不會超過μg答案BD解析A、B之間的最大靜摩擦力為fmax＝μmAg＝2μmg，A、B恰好發(fā)生滑動時A的加速度為a0＝eq\f(fmax,2m)＝μg，B與地面間的最大靜摩擦力為fmax′＝eq\f(1,2)μ(mA＋mB)g＝eq\f(3,2)μmg，故A、B恰好發(fā)生相對滑動時有F0－fmax′＝(m＋2m)a0，解得F0＝eq\f(3,2)μmg＋3ma0＝eq\f(9,2)μmg。當F＜2μmg時，A、B之間不會發(fā)生相對滑動，B與地面間可能會發(fā)生相對滑動，A錯誤；當F＝eq\f(5,2)μmg＜eq\f(9,2)μmg時，A、B間不會發(fā)生相對滑動，由牛頓其次定律有a＝eq\f(F－fmax′,mA＋mB)＝eq\f(\f(5,2)μmg－\f(3,2)μmg,3m)＝eq\f(1,3)μg，B正確；當eq\f(9,2)μmg＞F＞3μmg時，A、B間不會發(fā)生相對滑動，C錯誤；B對A的最大摩擦力為2μmg，無論F為何值，A的加速度不會超過μg，D正確。9．如圖所示，電梯(包括里面全部物體)的總質(zhì)量為500kg，當其受到豎直向上的7000N拉力而運動時，電梯內(nèi)一個質(zhì)量為30kg的光滑球?qū)A角為30°的斜面的壓力為________N，對豎直電梯壁的壓力為________N。(g取10m/s2)答案280eq\r(3)140eq\r(3)解析電梯整體受到重力和拉力的作用，由牛頓其次定律得F－Mg＝Ma，所以電梯的加速度a＝eq\f(F－Mg,M)＝eq\f(7000－500×10,500)m/s2＝4m/s2。對光滑球進行受力分析，如圖所示，由圖可知，F(xiàn)N2沿豎直方向的分力與重力的合力供應加速度，則FN2·cos30°－mg＝ma，代入數(shù)據(jù)得FN2＝280eq\r(3)N，水平方向光滑球受到的合外力為0，所以有FN1＝FN2sin30°＝140eq\r(3)N。由牛頓第三定律得球?qū)π泵婧碗娞荼诘膲毫Υ笮》謩e為280eq\r(3)N和140eq\r(3)N。10.如圖所示，體積相同的兩個小球A和B用1m長的細線相連，A的質(zhì)量為m＝1kg，B的質(zhì)量為A的質(zhì)量的2倍。將它們都浸入水中后恰能處于靜止狀態(tài)(設水足夠深，g取10m/s2)。求：(1)此時細線的張力FT的大??；(2)若細線被剪斷，經(jīng)時間2s后兩球相距多遠？(不計水的阻力)答案(1)5N(2)16m解析(1)因為A、B體積相同，且水足夠深，故A、B所受浮力相同，設浮力大小均為F浮。對A、B及細線組成的整體進行受力分析，依據(jù)平衡條件有2F?。?mg，解得F浮＝15N，對A受力分析有F?。紽T＋mg，解得FT＝5N。(2)若細線被剪斷，因為水足夠深，故在A、B運動過程中F浮可視為恒力。A向上做勻加速運動，依據(jù)牛頓其次定律有F浮－mg＝maA，解得A的加速度大小aA＝5m/s2，B向下做勻加速運動，依據(jù)牛頓其次定律有2mg－F?。?maB，解得B的加速度大小aB＝2.5m/s2，在t＝2s時間內(nèi)，A向上的位移為xA＝eq\f(1,2)aAt2＝10m，B向下的位移為xB＝eq\f(1,2)aBt2＝5m，則2s后兩球相距x＝xA＋xB＋l＝16m。11．如圖所示，一塊質(zhì)量m＝2kg的木塊放置在質(zhì)量M＝6kg、傾角θ＝37°的粗糙斜面體上，木塊與斜面體間的動摩擦因數(shù)μ＝0.8，二者靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)對斜面體施加一個水平向左的作用力F，若要保證木塊和斜面體不發(fā)生相對滑動，求F的大小范圍。(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2)答案0≤F≤310N解析由于μ＞tanθ，故當F＝0時，木塊靜止在斜面上，即F的最小值為0。依據(jù)題意可知，當木塊相對斜面恰不向上滑動時，F(xiàn)有最大值Fm。設此時兩物體運動的加速度為a，兩物體之間的摩擦力大小為f，斜面體對木塊的支持力為FN。對整體和木塊分別進行受力分析，如圖甲、乙：對整體受力分析：Fm＝(m＋M)a，對木塊受力分析：f＝μFN，水平方向：fcosθ＋FNsinθ＝ma，豎直方向：FNcosθ＝mg＋fsinθ，聯(lián)立以上各式，代入數(shù)據(jù)解得Fm＝310N，故F的大小范圍為0≤F≤310N。12．如圖所示，質(zhì)量為4kg的小球用細繩拴著吊在行駛的汽車后壁上，繩與豎直方向的夾角為37°。已知g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)當汽車以a1＝2m/s2的加速度向右勻減速行駛時，細繩對小球的拉力大小和小球?qū)嚭蟊诘膲毫Υ笮。?2)當汽車以a2＝10m/s2的加速度向右勻減速行駛時，細繩對小球的拉力大小和小球?qū)嚭蟊诘膲毫Υ笮?。答?1)50N22N(2)40eq\r(2)N0解析(1)當汽車向右勻減速行駛時，設小球所受車后壁彈力為0時(臨界狀態(tài))的加速度為a0，受力分析如圖甲所示。由