2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊學(xué)案：第12章復(fù)數(shù)

第12章復(fù)數(shù)

12.1復(fù)數(shù)的概念

課程1.通過方程的解?認識復(fù)數(shù).

標準2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示?理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.

》基礎(chǔ)認知-自主學(xué)習(xí)《

【概念認知】

1.復(fù)數(shù)的概念

形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中i叫作虛數(shù)單位,滿足i2=

-1；復(fù)數(shù)通常用字母Z表示，即z=a+bi(a,bwR),其中a與b分

別叫作復(fù)數(shù)z的實部與虛部.

2.復(fù)數(shù)的分類

實數(shù)(6=0)

(1)復(fù)數(shù)”+歷(a,6GR)(純虛數(shù)Gz=0)

虛數(shù)(〃/0)［非純虛數(shù)(。工。)

⑵復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示.

3.復(fù)數(shù)相等的充要條件

在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,beR}中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,

dwR),我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d.

【自我小測】

1.(1+小)i的實部與虛部分別是()

A.1,小B.1+小,0

C.0,1+/D.0,(1+小)i

選C.(l+小)i可看作0+(1+5)i=a+bi,

所以實部a=0,虛部b=1+y/3.

2.如果(x+y)i=x-1,則實數(shù)x,y的值分別為()

A.x=l,y=-1B.x=0,y=-1

C.x=1,y=0D.x=0,y=0

選A.因為(x+y)i=x-1,

[x+y=0,

所以

lx-1=0,

所以x=1,y=-1.

3.若xi-i?=y+2i,x,yQR,則復(fù)數(shù)x+yi=()

A.-2+iB.2+i

C.1-2iD.1+2i

選B.由i2=T,得xi-i?=1+xi,

則由題意得1+xi=y+2i,

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x=2,y=l,

故x+yi=2+i.

4.下列命題：

①若a￡R,則(a+l)i是純虛數(shù)；

②若(X?-l)+(x2+3x+2)i(xeR)是純虛數(shù),則x=±1；

③兩個復(fù)數(shù)不能比較大小.

其中錯誤命題的序號是_______.

當a=-1時，(a+l)i=0,故①錯誤；若(X?-1)+(x2+3x+2)i是純

虛數(shù)，

fx2-1=0,

則

p+3x+2#0,

即x=1,故②錯；兩個復(fù)數(shù)當它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的,

③中忽視了這一特殊情況，故③錯.

答案：①②③

5.已知x2+ix+6=2i+5x,若xwR,貝Ux二；若xwC,

貝Ux=.

當x￡R時，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得

x2-5x+6=0,

解得x=2；

x=2,

當x@C時，x=a+bi(a,b￡R),

fa2-b2-b+6=5a,

則有V

[2ab+a=2+5b.

[a=2,[a=3,

解得或

[b=0[b=-1.

所以x=2或x=3-i.

答案：23-i或2

6.實數(shù)x取什么值時,復(fù)數(shù)z=(x2+x-6)+(x2-2x-15)i是⑴實

數(shù)；(2)虛數(shù)；⑶純虛數(shù).

⑴當x2-2x-15=0,

即x=-3或x=5時，復(fù)數(shù)z為實數(shù)；

(2)當x2-2x-15#0,

即x>3且對5時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)；

(3)當x2+x-6=0Sx2-2x-15^0,

即x=2時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

；份學(xué)情診斷.課時測評《

【基礎(chǔ)全面練】

一、單選題

1.設(shè)a,b￡R,i是虛數(shù)單位，則“ab=0”是漫數(shù)a+bi為純虛數(shù)”的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

選B.a+bi為純虛數(shù)，則a=0,b#0，此時ab=0；反之a(chǎn)b=0不能得

出a=0厲0.所以，ab=0”是復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

2.若a,b￡R,且a〉b,那么()

A.ai>biB.a+i>b+i

C.ai2>bi2D.bi2>ai2

選D.虛數(shù)不能比較大小，故A,B錯；

因為i2=-1,a>b,所以ai2Vbi2，故C錯D對.

3.如果z=m(m+1)+(m2-l)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()

A.1B.0

C.-1D.-1或1

fm(m+1)=0,

選B.由題意知1解得m=0.

[m?-1R0,

二、填空題

4.以4T的虛部為實部，以8i2+也i的實部為虛部的復(fù)數(shù)是

小i-4的虛部為小,8i2+V2i=-8+^2i的實部為-8.

答案：小-8i

5.滿足方程x2-2x-3+(9y2-6y+l)i=O的實數(shù)對(x,y)表示的點

的個數(shù)為.

fx2-2x-3=0,

由題意知，

[9y2-6y+1=0,

x=3,x=-1,r1、

解得，1或11所以實數(shù)對(X,y)表示的點有3,、,

[-1,共有2個.

答案：2

三、解答題

6.已知復(fù)數(shù)z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,則當實數(shù)m為何值時,

復(fù)數(shù)z⑴是實數(shù)；⑵是虛數(shù)；⑶是純虛數(shù).

(1)當m2-m-6=0,

即m=3或m=-2時，z為實數(shù).

(2)當m2-m-6#0,即mW-2且m#3時，z是虛數(shù).

fm2+3m+2=0,

⑶當，即m=-1時，z是純虛數(shù).

Im2-m-6#0,

【綜合突破練】

一、選擇題

1.已知關(guān)于X的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m￡R)有實根n,且z

=m+ni,則復(fù)數(shù)z=()

A.3+iB.3-i

C.-3-iD.-3+i

選B.由題意,知n?+(m+2i)n+2+2i=0,

即n2+mn+2+(2n+2)i=0,

fn2+mn+2=0,

所以

[2n+2=0,

fm=3,

解得1所以z=3-i.

[n=-1,

2.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,ywR)，則()

A.z2>0

B.z的虛部是yi

C.若z=l+2i,則x=l,y=2

D.z為實數(shù)時，x+y=0

選C.對于A選項，取z=i,則z2=-l<0小選項錯誤；對于B選項,

復(fù)數(shù)z的虛部為y,B選項錯誤；對于C選項，若z=1+2i,則x=1,

y=2,C選項正確；對于D選項，z為實數(shù)時，y=0,D選項錯誤.

3.已知復(fù)數(shù)zi=m+(4-m2)i(m￡R),Z2=2cos0+(A,+3sin0)i(X,

。QR),并且zi=Z2,則入的取值范圍為()

99

A.-7<X<y^B.諱<X<7

9

C.-1<X<1D.-T7<X<7

----16-----

選D.由zi=z2,

m=2cos0,

消去m,

{4-m2=X+3sin0,

,(3、29

得九二4sin20-3sin0=41sin0-gJ-.

9

由于-l<sin旺1,故-正<X<7.

4.(多選)對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR),下列結(jié)論錯誤的是()

A.若a=0,則a+bi為純虛數(shù)

B.若a-bi=3+2i,貝Ua=3,b=2

C.若b=0,則a+bi為實數(shù)

D.z為虛數(shù)時,b#0

選AB.因為z=a+bi(a,b@R),

當a=0且bM時復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故A錯誤；

當b=0時，復(fù)數(shù)為實數(shù)，故C正確；

z為虛數(shù)時，屏0,故D正確；

a=3,a=3,

對于B：a-bi=3+2i,則即故B錯誤.

-b=2,b=-2,

Bi【加固訓(xùn)練】

（多選題）已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是（）

A.若x,y￡C,貝Ux+yi=3-2i的充要條件是x=3,y=-2

B.(a2+l)i(a￡R)是純虛數(shù)

C.若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛集---對應(yīng)

D.當m=4時，復(fù)數(shù)1g(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是純虛數(shù)

選BD.取x=-2i,y=-3i,則x+yi=3-2i,但不滿足x=3,y=

-2,故A錯誤;

VaeR,a2+l>0恒成立，所以?+l）i是純虛數(shù)，故B正確；若a

=0,貝Uai不是純虛數(shù)，故C錯誤；m=4時，復(fù)數(shù)1g（m2-2m-7）

+(m2+5m+6)i=42i是純虛數(shù)，故D正確.

二、填空題

22

5若log2(x-3x-2)+ilog2(x+2x+1)>1，則實數(shù)x的值是

【思路導(dǎo)引】復(fù)數(shù)值大于1,則復(fù)數(shù)必為實數(shù)，即虛部為0,實部大

于1.

22

因為log2(x-3x-2)+ilog2(x+2x+1)>1,

flog2(x2-3x-2)>1,fx2-3x-2>2,

所以一,即,

[log2(x2+2x+1)=0,[x-+2x+1=1,

解得X=-2.

答案：-2

6.復(fù)數(shù)z=cos*+oj+isin及+oj，且。￡~2,2,若z是實數(shù),

則0的值為；若z為純虛數(shù)，則。的值為.

z=cos3++isin'=-sin0+icos0.

jrjr

當Z是實數(shù)時，cos0=0,因為。￡-2,2'

7rf-sin0=0,

所以0=±3；當2為純虛數(shù)時《

2[cos殍0,

又0寸4圖，所以。=0.

答案：或0

三、解答題

7.已知集合乂={9+3)+伊-1"8},集合N={3i,l)+(b

+2)i},且MANM,MAN#,求整數(shù)a,b的值.