2024年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

PAGE12024年蘭州市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.全卷共120分，考試時(shí)間120分鐘．2.考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等個(gè)人信息填（涂）寫在試卷及答題卡上．3.考生務(wù)必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應(yīng)位置上．4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.的絕對(duì)值是（

）A. B. C. D.2.已知∠A＝80°，則∠A補(bǔ)角是（）A.100° B.80° C.40° D.10°3.2024年一季度，蘭州市堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)、綜合施策，全市國(guó)民經(jīng)濟(jì)起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元．?dāng)?shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.計(jì)算：（）A.a B. C. D.5.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A.同位角相等，兩直線平行 B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D.對(duì)頂角相等7.如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點(diǎn)C，然后步測(cè)出的中點(diǎn)D，E，并步測(cè)出的長(zhǎng)約為，由此估測(cè)A，B之間的距離約為（）A. B. C. D.8.七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具，現(xiàn)將1個(gè)七巧板，2個(gè)九連環(huán)，1個(gè)華容道，2個(gè)魯班鎖分別裝在6個(gè)不透明的盒子中（每個(gè)盒子裝1個(gè)），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率是（）A. B. C. D.9.關(guān)于一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C. D.10.數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國(guó)元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，問(wèn)甜果，苦果各買了多少個(gè)？設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，則可列方程組為（）A. B. C. D.11.如圖，在中，，，，則（）A. B. C. D.12.如圖1，在菱形中，，連接，點(diǎn)M從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)至D，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)至C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長(zhǎng)為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.因式分解______．14.如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則______．15.“輪動(dòng)發(fā)石車”是我國(guó)古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)，則______．16.甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績(jī)（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下三個(gè)推斷：①甲的成績(jī)更穩(wěn)定；②乙的平均成績(jī)更高；③每人再射擊一次，乙的成績(jī)一定比甲高．其中正確的是______．（填序號(hào)）三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.計(jì)算：．18.解不等式組：19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20.如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，連接．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．21.如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求的長(zhǎng)．22.在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過(guò)程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離0341015202227豎直高度03.244168987.043.24（1）根據(jù)上表，請(qǐng)確定拋物線的表達(dá)式；（2）請(qǐng)計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度．23.觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點(diǎn)M，N，先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置記為點(diǎn)B，連接；②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上）；③連接并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在延長(zhǎng)線上的落點(diǎn)記為點(diǎn)D；④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請(qǐng)畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記作；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)：證明：，與是等腰三角形．．（依據(jù)1______）．，（依據(jù)2______），．依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點(diǎn)O在直線l上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）24.為落實(shí)“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時(shí)代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級(jí)共180名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，對(duì)每位學(xué)生的體育和美育水平進(jìn)行測(cè)評(píng)后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級(jí)評(píng)定（成績(jī)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)，包括優(yōu)秀：；良好：；合格：；待提高：）．對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下．信息二：美育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組人數(shù)m727信息三：20位學(xué)生的體育成績(jī)和美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)如下（共20個(gè)點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：______；（2）下列結(jié)論正確的是______；（填序號(hào)）①體育成績(jī)低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的；②參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“合格”；③在信息三中，相比于點(diǎn)A所代表學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升；（3）請(qǐng)結(jié)合以上信息，估計(jì)七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)．25.單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，，，；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，，．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實(shí)驗(yàn)圖示解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）參考數(shù)據(jù)：，．26.如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至E，使得．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長(zhǎng)．27.綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問(wèn)題，如圖，在中，點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，請(qǐng)思考并證明：【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在中，，，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．試猜想四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，，請(qǐng)直接寫出的最小值．28.在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，例如：如圖1，是線段外一點(diǎn)，在的延