2024-2025學年度北師版九上數(shù)學-專題2-特殊平行四邊形中的最值問題【課外培優(yōu)課件】

第一章特殊平行四邊形專題2特殊平行四邊形中的最值問題

1.如圖，在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，

AC

＝6，

BC

＝8，

AB

＝10，點

P

為直線

AB

上一動點，連接

PC

，則線段

PC

長的最

小值是（

D

）A.4B.4.5C.5D.4.8（第1題圖）D

（第2題圖）B3.如圖，已知正方形

ABCD

的邊長為2，點

E

為邊

BC

的中點，

點

P

在對角線

BD

上移動，則△

PCE

周長的最小值是（

C

）（第3題圖）C4.如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AD

＝3，

CD

＝4，點

P

是

AC

上

一個動點（點

P

與點

A

，

C

不重合），過點

P

分別作

PE

⊥

BC

于

點

E

，

PF

∥

BC

交

AB

于點

F

，連接

EF

，則

EF

的最小值

為

?.

（第4題圖）5.如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝4，

BC

＝6，點

P

是矩形

ABCD

內(nèi)一動點，且

S△

PAB

＝

S△

PCD

，則

PC

＋

PD

的最小值為

?

?.（第5題圖）2

6.如圖，將兩張長為9、寬為3的矩形紙條交叉，使重疊部分是

一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的面積有最小值

9，則菱形面積的最大值是

?.（第6題圖）15

【解析】如圖，此時菱形

ABCD

的面積最大.設

AB

＝

x

，則

EB

＝

9－

x

，

AE

＝3.由勾股定理，得32＋（9－

x

）2＝

x2.解得

x

＝5.

S最

大＝5×3＝15.故答案為15.7.矩形

OABC

在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點

B

的坐標

為（－3，5），點

D

在線段

AO

上，且

AD

＝2

OD

，點

E

在線段

AB

上.當△

CDE

的周長最小時，求點

E

的坐標.解：如答圖，作點

D

關(guān)于直線

AB

的對稱點

D

'，連接

CD

'交

AB

于點

E

'.此時△

DCE

'的周長最小.∵四邊形

OABC

是矩形，且

B

（－3，5），∴

OA

＝3，

OC

＝5.∵

AD

＝2

OD

，∴

AD

＝2，

OD

＝1.∴

AD

'＝

AD

＝2.∴

D

'（－5，0）.又∵

C

（0，5），答圖∴直線

CD

'的函數(shù)表達式為

y

＝

x

＋5.當

x

＝－3時，

y

＝－3＋5＝2.∴

E

'（－3，2），即當△

CDE

的周長最小時，點

E

的坐標為（－3，2）.答圖答圖8.如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AD

＝12，

AB

＝8，點

E

是

AB

上

一點，且

EB

＝3，點

F

是

BC

上一動點.若將△

EBF

沿

EF

翻折

后，點

B

落在點

P

處，求點

P

到點

D

的距離的最小值.解：如答圖，連接

PD

，

DE

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

A

＝90°.∵

AB

＝8，

BE

＝3，∴

AE

＝5.∵

AD

＝12，

由折疊，得

EP

＝

EB

＝3.∵

EP

＋

DP

≥

ED

，答圖∴當點

E

，

P

，

D

共線時，

DP

最小.∴

DP

的最小值＝

DE

－

EP

＝13－3＝10.答圖

9.如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝4，

AD

＝6，點

E

是

AB

所

在直線的一個動點，點

F

是對角線

AC

上的動點，且

AE

＝

CF

，

則

BF

＋

CE

的最小值為

?.

答圖答圖10.如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝5，

BC

＝4，點

E

，

F

分

別是

AD

，

BC

的中點，點

P

，

Q

在

EF

上，且滿足

PQ

＝2，則四

邊形

ABQP

周長的最小值為

?.12

答圖

當

B

，

P

，

E

三點共線時，

BP

＋

PE

最小，即為

BH

的長度.∵∠

AFB

＝∠

DFH

，∠

A

＝∠

H

＝90°，∴∠

ABF

＝∠

PDE

＝30°.∴

BF

＝2

AF

.

在Rt△

ABF

中，由勾股定理，得AF2＋

AB2＝

BF2，答圖∴

AF2＋22＝4

AF2.

答圖

12.（選做）閱讀下列材料：小華遇到這樣一個問題：如圖1，在△

ABC

中，∠

ACB

＝30°，

BC

＝6，

AC

＝5，在△

ABC

內(nèi)部有一點

P

，連接

PA

，

PB

，

PC

，求

PA

＋

PB

＋

PC

的最小值.圖1小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法將這三條

端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，

并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)“兩點之間，線段最

短”，就可以求出這三條線段和的最小值了.他先后嘗試了翻

折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題.他的做法：如圖2，將△

APC

繞點

C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得

到△

EDC

，連接

PD

，

BE

，則

BE

的長即為所求.圖2（1）請你寫出圖2中，

PA

＋

PB

＋

PC

的最小值為

?.

圖2（2）參考小華解決問題的方法，解決下列問題：①如圖3，在菱形

ABCD

中，∠

ABC

＝60°，在菱形

ABCD

內(nèi)部

有一點

P

，請在圖3中畫出并指明長度等于

PA

＋

PB

＋

PC

最小值

的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；圖3②若①中菱形

ABCD

的邊長為4，請直接寫出當

PA

＋

PB

＋

PC