四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月一診模擬文試題含解析

四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月一診模擬（文）試題考試時(shí)間：120分鐘總分：150分一、選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求.把答案涂在答題卷上.）1.已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】∵，∴，即集合的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿意，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，由虛部定義得到結(jié)果.【詳解】由得：，的虛部為.故選：B.3.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出“方程表示橢圓”的充要條件，即可推斷.【詳解】“方程表示橢圓”的充要條件為，即且.故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B4.已知圓臺(tái)形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側(cè)面綻開(kāi)圖的扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，則母線長(zhǎng)為（）A.4 B.8 C.10 D.16【答案】A【解析】【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)公式和圓心角，即可計(jì)算求解.【詳解】如圖，弧長(zhǎng)為，弧長(zhǎng)為，因?yàn)閳A心角為，，，則母線.故選：A.5.一種藥品在病人血液中的量不低于1500mg時(shí)才有療效，假如用藥前，病人血液中該藥品的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3000mg的此藥品，為了持續(xù)保持療效，則最長(zhǎng)須要在多少小時(shí)后再次注射此藥品（，結(jié)果精確到0.1）（）A.2.7 B.2.9 C.3.1 D.3.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于的式子，依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)注射個(gè)小時(shí)后須要向病人血液中再次注射該藥品，則，由得：故最大值為3.1,故選：C6.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)程序框圖，明確該程序的功能是求分段函數(shù)的值，由此依據(jù)該函數(shù)值域，可求得答案.【詳解】由程序框圖可知：運(yùn)行該程序是計(jì)算分段函數(shù)的值，該函數(shù)解析式為：，輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，必有當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即得．故選∶C．7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因，所以.故選：C8.已知函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先函數(shù)的奇偶性解除兩個(gè)選項(xiàng)，在依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)位置及范圍內(nèi)的函數(shù)值正反，得最符合的函數(shù)圖象即可.【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)?，所以所以函?shù)為奇函數(shù)，故解除B，D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，令得，所以函數(shù)最小正零點(diǎn)為，則，則符合圖象特點(diǎn)的是選項(xiàng)A，解除選項(xiàng)C.故選：A.9.記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中肯定成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，舉反例推斷ABD即可，依據(jù)基本量法推斷C即可.【詳解】對(duì)A，若，則，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，則，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)公差為，則由可得，即，故，故C正確；對(duì)D，設(shè)公差為，則，故D錯(cuò)誤；故選：C．10.已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，點(diǎn)，在拋物線C上，若，則（）．A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由焦準(zhǔn)距求出，結(jié)合拋物線第肯定義得，整理得，由代換即可求解.【詳解】拋物線焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，所以，依題意，，而，，故，即，則，故，故選：A．11.在正方體中，P是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.平面內(nèi)隨意一條直線都不與平行B.平面和平面的交線不與平面平行C.平面內(nèi)存在多數(shù)條直線與平面平行D.平面和平面的交線不與平面平行【答案】B【解析】【分析】對(duì)A，依據(jù)與平面相交推斷即可；對(duì)B，依據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)推斷即可；對(duì)CD，延長(zhǎng)，交于，依據(jù)線面平行的性質(zhì)推斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)榕c在平面內(nèi)且不平行，故與相交，故與平面相交，若平面內(nèi)隨意一條直線與平行，則平面，沖突，故A正確；對(duì)B，由平行，平面，平面，故平面.設(shè)平面和平面的交線為，由線面平行的性質(zhì)可得，又平面，平面，故平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)CD，延長(zhǎng)，交于，連接如圖.由題意，平面和平面的交線即直線，故當(dāng)平面內(nèi)的直線與平行時(shí)，與平面也平行，故C正確；交線與平面交于，故D正確；故選：B12.已知，且，則下列說(shuō)法正確的有（）①；②；③；④.A.①②③ B.②③④ C.②④ D.③④【答案】B【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性后可推斷①②④正負(fù)，利用極值點(diǎn)偏移可推斷③的正誤.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，，故，而，故，故①錯(cuò)誤.又，故，故②正確，此時(shí)，故④正確.設(shè)，則（不恒為零），故在上為增函數(shù)，故，必有即，所以，即，由的單調(diào)性可得即，故③成立.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等關(guān)系的探討，留意依據(jù)等式或不等式的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，并結(jié)合單調(diào)性來(lái)比較大小關(guān)系，在不等式關(guān)系的探討中，留意利用極值點(diǎn)偏移來(lái)處理大小關(guān)系.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，答案填在答題卷的橫線上.）13.若滿意約束條件則的最大值為_(kāi)_______.【答案】5【解析】【分析】由約束條件做出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在軸的截距，采納數(shù)形結(jié)合的方式即可得到結(jié)果.【詳解】由約束條件可知，可行域如上圖所示，令，則，當(dāng)在軸的截距最小時(shí)，最大由，求得，則所以故答案為:14.已知（），則的最小值為_(kāi)__________.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)可得，再依據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故的最小值為4.故答案為：415.為了測(cè)量一個(gè)不規(guī)則公園兩點(diǎn)之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距的兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)A的正東方向上，且四點(diǎn)在同一水平面上．從點(diǎn)A處觀測(cè)得點(diǎn)在它的東北方向上，點(diǎn)在它的西北方向上；從點(diǎn)處觀測(cè)得點(diǎn)在它的北偏東方向上，點(diǎn)在它的北偏西方向上，則之間的距離為_(kāi)_____km.【答案】2【解析】【分析】由題意確定相應(yīng)的各角的度數(shù)，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.【詳解】由題意可知，,,故在中，，故，，在中，，故，，所以在中，，則,故答案為：216.已知，，且，則的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】由題意，均在圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓上，再依據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合幾何意義分析最值求解即可.【詳解】解：由題知，三點(diǎn)共圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，所以，，設(shè)，數(shù)形結(jié)合可得在上的投影，所以，，即，故當(dāng)，時(shí)有最小值，此時(shí)當(dāng)時(shí)，時(shí)有最大值，所以，綜上，的取值范圍是，所以，的最小值是故答案為：三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答、第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分，每題12分.17.已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別記作a，b，c，滿意，且．（1）求；（2）若點(diǎn)，分別在邊和上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函數(shù)基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；（2）利用三角形面積公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.【小問(wèn)1詳解】因，所以，因?yàn)?，所以，又，且為銳角，所以，所以．因?yàn)椋裕裕拘?wèn)2詳解】設(shè)，，依據(jù)題設(shè)有，所以，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．18.新冠肺炎是近百年來(lái)人類遭受的影響范圍最廣的全球性大流行病毒．對(duì)前所未知、突如其來(lái)、來(lái)勢(shì)洶洶的疫情天災(zāi)，習(xí)近平總書記親自指揮、親自部署，強(qiáng)調(diào)把人民生命平安和身體健康放在第一位．明確堅(jiān)決打贏疫情防控的人民斗爭(zhēng)、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)．當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢(shì)依舊困難嚴(yán)峻．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或起先呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛藏期．一探討團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：分組第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組潛藏期（單位：天）人數(shù)100200300250130155（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法在其次，三組共選取5人參與傳染病學(xué)問(wèn)學(xué)習(xí)，若從參與學(xué)習(xí)的5人中隨機(jī)選取2人參與考試，求恰有一人來(lái)自其次組的概率；（2）該傳染病的潛藏期受諸多因素的影響，為探討潛藏期與患者年齡的關(guān)系，以潛藏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表．請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有95%的把握認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān)．潛藏期天潛藏期天總計(jì)50歲以上（含50歲）10050歲以下55總計(jì)200附：0.050.0250.00103.8415.0246.635，其中．【答案】（1）（2）填表見(jiàn)解析；沒(méi)有【解析】【分析】（1）依據(jù)分層抽樣確定抽取人數(shù)，然后列舉出全部結(jié)果，由古典概型概率公式可得；（2）依據(jù)公式計(jì)算，然后查表可得.小問(wèn)1詳解】依據(jù)分層抽樣方法，其次組抽取人數(shù)為，第三組抽取人數(shù)為，假設(shè)其次組2人為，；第三組3人為，，，從5人中抽取2人有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共10種選擇，恰有一人來(lái)自其次組有6種，故恰有一人來(lái)自其次組的概率為；【小問(wèn)2詳解】依據(jù)分層抽樣方法，潛藏期不超過(guò)6天的抽取人數(shù)為，潛藏期超過(guò)6天的抽取人數(shù)為，依據(jù)題意補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：潛藏期天潛藏期天總計(jì)50歲以上（含50歲）653510050歲以下5545100總計(jì)12080200則，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān).19.如圖所示，已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)M、N分別在，上，，O是線段的中點(diǎn)，將沿直線進(jìn)行翻折，A翻折到點(diǎn)P，使得平面平面，如圖所示.（1）求證：；（2）若，求點(diǎn)M到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由，證得，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而證得；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合，求得的值，結(jié)合平面，利用點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的等邊三角形，且，在中，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?【小問(wèn)2詳解】解：由是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可得的高為，因?yàn)?，可得，,則的面積為，又由平面，且，所以三棱錐的體積為，在直角中，，可得，所以的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.已知橢圓且四個(gè)點(diǎn)、、、中恰好有三個(gè)點(diǎn)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：直線l與定圓相切，并求出的值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）依據(jù)給定條件，利用橢圓的對(duì)稱性推斷橢圓經(jīng)過(guò)的三點(diǎn)，再代入求解作答.（2）直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直的向量表示，并求出原點(diǎn)到直線l的距離，再探討直線斜率不存在的狀況作答.【小問(wèn)1詳解】由橢圓的對(duì)稱性知，，必在橢圓上，則不在橢圓上，有在橢圓上，因此，解得，所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則點(diǎn)，因，則，解得，即原點(diǎn)O到直線l的距離為，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，有，，，因，則，整理得，滿意，原點(diǎn)O到直線l的距離，綜上得：原點(diǎn)O到直線l的距離恒為，即直線l與圓相切，所以直線l與定圓相切，.21.設(shè)函數(shù)（）．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而分和兩種狀況探討求解即可；（2）由題知，，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，再令，則，進(jìn)而證明，再構(gòu)造函數(shù)，，求解最小值即可證明.【小問(wèn)1詳解】解：由已知，當(dāng)時(shí)，在恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，若時(shí)，，在上單調(diào)遞增，若時(shí)，，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】解：由題：（）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，即，，要證，只需證明，即證，只需證，即證，令，而，則，只需證明，令函數(shù)，，求導(dǎo)得：令函數(shù)，，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是有，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即成立，所以原不等式得證．【點(diǎn)睛】本題其次問(wèn)解題的關(guān)鍵在于依據(jù)題意得，，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，再依據(jù)題意，結(jié)合換元法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明證明即可.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，，點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸為正半軸為極軸的建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作直線l與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）將曲線C的參數(shù)方程化為一般方程，再化為極坐標(biāo)方程即可；（2）由韋達(dá)定理可知，依據(jù)余弦定理可知從而求解結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】曲線的平面直角坐標(biāo)系方程為，故曲線的極坐標(biāo)方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，由韋達(dá)