2024-2025學年新教材高中數(shù)學 第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 4.5 函數(shù)的應用（二）（1）教案 新人教A版必修第一冊

2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應用（二）（1）教案新人教A版必修第一冊主備人備課成員教材分析本節(jié)課為人教A版必修第一冊第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應用（二）的內容。本節(jié)課主要講解函數(shù)的應用，進一步鞏固指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的知識。通過本節(jié)課的學習，學生應掌握函數(shù)在實際問題中的應用，提高解決實際問題的能力。教學目標是使學生了解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在實際問題中的應用，學會建立函數(shù)模型，提高數(shù)學思維能力。在教學過程中，應注意引導學生運用所學知識解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算核心素養(yǎng)。通過學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在實際問題中的應用，學生能夠抽象出函數(shù)模型，運用邏輯推理建立數(shù)學關系，利用數(shù)學運算解決實際問題，從而提高數(shù)學建模的能力。同時，通過解決實際問題，學生能夠更好地理解數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，提升數(shù)學應用意識。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：在學習本節(jié)課之前，學生應已掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本概念、性質及圖像，了解函數(shù)的基本應用。此外，學生應具備一定的實際問題分析能力，能夠將實際問題轉化為數(shù)學問題。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：對于數(shù)學學科，學生可能對解決實際問題感興趣，尤其是那些與生活息息相關的問題。在學習能力方面，學生應具備一定的邏輯推理和數(shù)學運算能力。在學習風格上，學生可能更傾向于通過實例和實際問題來理解和掌握抽象的數(shù)學概念。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學習本節(jié)課的內容時，學生可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：①將實際問題轉化為數(shù)學模型；②理解和運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解決實際問題；③掌握函數(shù)在實際問題中的建模方法；④在解決實際問題時，如何合理運用數(shù)學運算和邏輯推理。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學方法與手段1.教學方法：

（1）講授法：在講解函數(shù)的基本概念和性質時，教師可以通過講授法，系統(tǒng)、清晰地闡述相關知識點，幫助學生建立完整的知識體系。

（2）討論法：在解決實際問題時，教師可以組織學生進行分組討論，鼓勵學生發(fā)表自己的觀點和想法，培養(yǎng)學生的合作精神和解決問題的能力。

（3）實驗法：通過讓學生動手繪制函數(shù)圖像，觀察函數(shù)的性質，教師可以引導學生運用實驗法，加深對函數(shù)的理解和記憶。

2.教學手段：

（1）多媒體設備：教師可以利用多媒體設備，展示函數(shù)的圖像和實際問題的情境，幫助學生直觀地理解和掌握函數(shù)的應用。

（2）教學軟件：運用教學軟件，如數(shù)學建模軟件，讓學生在實際問題中嘗試建立函數(shù)模型，提高解決實際問題的能力。

（3）網絡資源：教師可以引導學生利用網絡資源，查閱相關資料，拓寬知識面，增強自主學習能力。

（4）課后習題：布置具有針對性的課后習題，讓學生鞏固所學知識，提高解題能力。

（5）小組合作：組織學生進行小組合作，共同完成實際問題，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作能力和溝通能力。教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對函數(shù)應用的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道函數(shù)在實際生活中有哪些應用嗎？”

展示一些實際問題情境，讓學生初步感受函數(shù)的應用魅力。

簡短介紹函數(shù)在實際問題中的基本概念和重要性，為接下來的學習打下基礎。

2.函數(shù)應用基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解函數(shù)應用的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解函數(shù)應用的定義，包括其主要組成元素或結構。

詳細介紹函數(shù)應用的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學生理解。

3.函數(shù)應用案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解函數(shù)應用的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的函數(shù)應用案例進行分析。

詳細介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學生全面了解函數(shù)應用的多樣性或復雜性。

引導學生思考這些案例對實際生活或學習的影響，以及如何應用函數(shù)解決實際問題。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與函數(shù)應用相關的主題進行深入討論。

小組內討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對函數(shù)應用的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學生和教師對展示內容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內容，強調函數(shù)應用的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學習內容，包括函數(shù)應用的基本概念、組成部分、案例分析等。

強調函數(shù)應用在現(xiàn)實生活或學習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用函數(shù)。

布置課后作業(yè)：讓學生撰寫一篇關于函數(shù)應用的短文或報告，以鞏固學習效果。學生學習效果1.知識與技能：

-學生能夠理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在實際問題中的應用。

-學生能夠建立函數(shù)模型解決實際問題，提高數(shù)學建模能力。

-學生能夠運用邏輯推理和數(shù)學運算解決實際問題，提高解決問題的能力。

2.過程與方法：

-學生通過小組討論，培養(yǎng)團隊合作和溝通能力。

-學生通過實例分析和案例研究，提高問題分析和解決能力。

-學生通過實驗法，加深對函數(shù)的理解和記憶。

3.情感態(tài)度與價值觀：

-學生能夠認識到數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，提高數(shù)學應用意識。

-學生能夠欣賞數(shù)學在解決實際問題中的美，增強對數(shù)學的興趣和信心。

具體到每個知識點，學生將能夠：

-理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本概念和性質。

-掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在實際問題中的建模方法。

-學會運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解決實際問題，如計算增長速度、衰減速度、人口增長等。

-能夠分析實際問題中的變量關系，選擇合適的函數(shù)模型。

-能夠運用函數(shù)模型進行預測和決策，提高解決實際問題的能力。典型例題講解本節(jié)課將講解一些典型的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應用題型，幫助學生更好地理解和掌握函數(shù)在實際問題中的應用。

例1：已知某種細菌在培養(yǎng)基上生長，每小時的增長率為2%，求經過5小時后，這種細菌的數(shù)量。

解析：本題是一個指數(shù)函數(shù)的應用題。根據(jù)題意，細菌的增長率為2%，即每小時的數(shù)量增加2%。我們可以將初始時刻的細菌數(shù)量設為1，然后利用指數(shù)函數(shù)的公式計算5小時后的細菌數(shù)量。

解答：設初始時刻的細菌數(shù)量為1，增長率為2%，時間為5小時。則5小時后的細菌數(shù)量為：

$1\times(1+2\%)^5=1\times(1+0.02)^5=1\times1.02^5\approx1\times1.104\approx1.104$

所以，經過5小時后，這種細菌的數(shù)量約為1.104。

例2：某種產品的壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命為100小時。求該產品在任意時刻t大于等于50小時的概率。

解析：本題是一個指數(shù)分布的應用題。根據(jù)題意，產品的壽命服從指數(shù)分布，平均壽命為100小時。我們可以利用指數(shù)分布的公式計算任意時刻t大于等于50小時的概率。

解答：設產品的壽命為X，平均壽命為100小時。則X服從參數(shù)為λ=1/100的指數(shù)分布。任意時刻t大于等于50小時的概率為：

$P(X\geqt)=1-P(X<t)=1-e^{-\lambdat}=1-e^{-100t}$

當t=50時，概率為：

$P(X\geq50)=1-e^{-100\times50}=1-e^{-5000}\approx1-0.0067\approx0.9933$

所以，該產品在任意時刻t大于等于50小時的概率約為0.9933。

例3：一個機器每小時可以生產100個產品，現(xiàn)在有5臺這樣的機器同時工作。假設每臺機器的生產效率相互獨立，求在任意時刻t，這5臺機器總共生產的產品數(shù)量。

解析：本題是一個獨立同分布的指數(shù)函數(shù)的應用題。根據(jù)題意，每臺機器每小時生產100個產品，5臺機器同時工作。我們可以利用獨立同分布的指數(shù)函數(shù)的性質計算這5臺機器在任意時刻t總共生產的產品數(shù)量。

解答：設每臺機器每小時生產的產品數(shù)量為X，則X服從參數(shù)為λ=100的指數(shù)分布。5臺機器在任意時刻t總共生產的產品數(shù)量為Y，則Y服從參數(shù)為λ=500的指數(shù)分布。所以，Y的期望值為E(Y)=5λ=5\times100=500。

所以，在任意時刻t，這5臺機器總共生產的產品數(shù)量期望為500個。

例4：已知某種商品的銷售價格和銷售量之間的關系可以近似地用對數(shù)函數(shù)表示，即銷售額S與銷售價格P之間的關系為S=a\log_2P+b，其中a和b是常數(shù)。如果已知當P=2時，S=10，當P=4時，S=20，求a和b的值。

解析：本題是一個對數(shù)函數(shù)的應用題。根據(jù)題意，銷售額S與銷售價格P之間的關系可以用對數(shù)函數(shù)表示。我們可以利用已知的兩個點的坐標來求解對數(shù)函數(shù)的參數(shù)a和b。

解答：根據(jù)題意，當P=2時，S=10，當P=4時，S=20。代入對數(shù)函數(shù)的表達式，得到兩個方程：

10=a\log_22+b

20=a\log_24+b

化簡得到：

10=a+b

20=2a+b

解這個方程組，得到a=2，b=8。所以，對數(shù)函數(shù)的表達式為S=2\log_2P+8。

例5：已知某種藥物的療效與劑量之間的關系可以用指數(shù)函數(shù)表示，即療效E與劑量D之間的關系為E=a\cdot2^D，其中a是常數(shù)。如果已知當D=1時，E=0.5，求a的值。

解析：本題是一個指數(shù)函數(shù)的應用題。根據(jù)題意，療效E與劑量D之間的關系可以用指數(shù)函數(shù)表示。我們可以利用已知的點的坐標來求解指數(shù)函數(shù)的參數(shù)a。

解答：根據(jù)題意，當D=1時，E=0.5。代入指數(shù)函數(shù)的表達式，得到：

0.5=a\cdot2^1

化簡得到：

0.5=2a

解這個方程，得到a=0.25。所以，指數(shù)函數(shù)的表達式為E=0.25\cdot2^D。內容邏輯關系①函數(shù)應用的基本概念

-函數(shù)應用的定義

-函數(shù)應用的組成部分

-函數(shù)應用的原理

②指數(shù)函數(shù)在實際問題中的應用

-指數(shù)函數(shù)的定義

-指數(shù)函數(shù)的性質

-指數(shù)函數(shù)在增長和衰減問題中的應用

-指數(shù)函數(shù)在人口增長問題中的應用

③對數(shù)函數(shù)在實際問題中的應用

-對數(shù)函數(shù)的定義

-對數(shù)函數(shù)的性質

-對數(shù)函數(shù)在反比例問題中的應用

-對數(shù)函數(shù)在數(shù)據(jù)分析問題中的應用

④函數(shù)應用的案例分析

-案例分析的目的

-案例分析的方法

-案例分析的結果

⑤學生小組討論

-小組討論的目的

-小組討論的方法

-小組討論的結果

⑥課堂展示與點評

-課堂展示的目的

-課堂展示的方法

-課堂展示的結果

-課堂點評的方法

-課堂點評的結果

⑦課堂小結

-課堂小結的目的

-課堂小結的內容

-課堂小結的結果

-布置課后作業(yè)的目的

-布置課后作業(yè)的內容

板書設計：

1.函數(shù)應用的基本概念

-定義