高考數(shù)一輪復習 4.1 平面向量的概念及其線性運算限時集訓 理

限時集訓(二十三)平面向量的概念及其線性運算(限時：50分鐘滿分：106分)一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分)1.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝()A．a＋eq\f(3,4)b B.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b2．設P是△ABC所在平面內的一點，＋＝2B，則()A．＋＝0 B．＋＝0C．＋＝0 D．＋＋＝03．(·杭州模擬)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向4．已知向量p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)，其中a、b均為非零向量，則|p|的取值范圍是()A．[0，eq\r(2)] B．[0,1]C．(0,2] D．[0,2]5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，則λ＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)6．已知四邊形ABCD中，＝，||＝||，則這個四邊形的形狀是()A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形7．(·保定模擬)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則eq\f(x·y,x＋y)的值為()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)8．設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)9．已知m，n是實數(shù)，a，b是不共線的向量，若m(3a－2b)＋n(4a＋b)＝2a－5b，則m10．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________.(用a，b表示)11．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝________.12．設a，b是兩個不共線的非零向量，若8a＋kb與ka＋2b共線，則實數(shù)k13．(·淮陰模擬)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________.14．如圖，在等腰直角三角形ABC中，點O是斜邊BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，則mn的最大值為________．三、解答題(本大題共3個小題，每小題14分，共42分)15．已知P為△ABC內一點，且3＋4＋5＝0，延長AP交BC于點D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，.16．設兩個非零向量e1和e2不共線．(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線；(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三點共線，求k的值．17．設點O在△ABC內部，且有4＋＋＝0，求△ABC的面積與△OBC的面積之比．答案[限時集訓(二十三)]1．B2.B3.D4.D5.A6.B7.B8.A9．解析：由題意知，(3m＋4n－2)a＋(－2m＋n＋5)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n－2＝0，,－2m＋n＋5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝－1.))答案：2－110．解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋eq\f(1,2)b，所以＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b11．解析：∵＝＋，＝eq\f(1,2)＋，∴λ＝eq\f(1,2)λ＋λ.＝＋eq\f(1,2)，∴μ＝μ＋eq\f(1,2)μ，∴＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1.))∴λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)12．解析：因為8a＋kb與ka＋2b共線，所以存在實數(shù)λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是兩個不共線的非零向量，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，))解得k＝±4.答案：±413．解析：由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AM并延長交BC于D，則＝eq\f(2,3)，因為AD為中線，則＋＝2＝3，所以m＝3.答案：314．解析：以A為原點，線段AC、AB所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系，設三角形ABC的腰長為2，則B(0,2)，C(2,0)，O(1,1)．∵＝m，＝n，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,m)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)，0))，∴直線MN的方程為eq\f(nx,2)＋eq\f(my,2)＝1，∵直線MN過點O(1,1)，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，得m＋n＝2，∴mn≤eq\f(m＋n2,4)＝1，當且僅當m＝n＝1時取等號，∴mn的最大值為1.答案：115．解：∵＝－＝－a，＝－＝－b，又3＋4＋5＝0.∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0.∴＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b.設＝t(t∈R)，則＝eq\f(1,3)ta＋eq\f(5,12)tb.①又設＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．而＝＋＝a＋.∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＝1－k，,\f(5,12)t＝k，))解得t＝eq\f(4,3).代入①得＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.∴＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b，＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.16．解：(1)證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，∴＝＋＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)，∴與共線．又∵與有公共點C，∴A、C、D三點共線．(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三點共線，∴與共線，從而存在實數(shù)λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(