2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=(3?4i)i，則z的虛部為(

)A.3i B.3 C.4i D.42.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件，為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用按比例分層隨機抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從乙種型號的產(chǎn)品中抽取件數(shù)為(

)A.24 B.9 C.36 D.183.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是(

)A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.84.已知在平行四邊形ABCD中，E為AC上靠近點A的三等分點，設(shè)BA=a,BC=A.23a?+13b? 5.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為(

)A.63π B.2636.已知向量m=(2,λ)，n=(2?λ,?4)，若m與n共線且反向，則實數(shù)λ的值為(

)A.4 B.2 C.?2 D.?2或47.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=2BC=2，AC=3，則此四面體的外接球表面積為(

)A.3π B.8π C.9π D.88.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是5”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與乙互斥 B.丙發(fā)生的概率為16 C.甲與丁相互獨立 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是(

)A.若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形

B.若B=30°,b=2,c=22，則C=45°

C.若a=2,b=4,cosC=14，則c=4

D.若△ABC10.某市2023年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖扇形圖，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A.招商引資后，工資凈收入較前一年減少

B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍

C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的13

D.11.如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面是AB=8，BC=4的矩形，直四棱柱的高為4，E，F(xiàn)A.直線A1B與CF相交B.異面直線DB1與CE所成角為90°

C.二面角D1?CE?D的平面角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知z1=2+3i，z2=?4+i，則|13.已知互不相等的4個正整數(shù)從小到大排序為a1，a2，a3，a4，若它們的和為12，且這4個數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，則這4個數(shù)據(jù)的第14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點D是AB的中點.若2a+b=2ccosB，且AC=1,CD=32，則AB=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23．

(1)求(16.(本小題15分)

某社區(qū)為了解志愿者每周志愿服務(wù)的時長，在全社區(qū)300名志愿者中隨機抽取20名志愿者在某個星期的志愿服務(wù)記錄，統(tǒng)計他們當周在社區(qū)的志愿服務(wù)時長，按時長分組，得到頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求a的值；社區(qū)對志愿服務(wù)時長大于或等于11小時的志愿者認定為優(yōu)秀志愿者，如果以當周志愿服務(wù)統(tǒng)計結(jié)果作為依據(jù)，請估計該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)；

(2)求出這20名志愿者當周志愿服務(wù)時長的樣本眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù))．17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，AC⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，且PA=AC=2,AB=1,EF=52．

(1)證明：AB⊥PC；

(2)求二面角F?AE?C18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=3，CD=1，∠ACD=60°，∠ABC=30°．

(1)證明：AD⊥CD；

(2)求△ABC面積的最大值；

(3)設(shè)E為線段AB的中點，求DE的最大值．19.(本小題17分)

在某抽獎活動中，初始時的袋子中有3個除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅.每次隨機抽取一個小球后放回.抽獎規(guī)則如下：設(shè)定抽中紅球為中獎，抽中白球為未中獎；若抽到白球，放回后把袋中的一個白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài).記第n次抽獎中獎的概率為Pn．

(1)求P2，P3；

(2)若存在實數(shù)a，b，c，對任意的不小于4的正整數(shù)n，都有Pn=aPn?1+bPn?2+cPn?3，試確定a，答案解析1.B

【解析】解：z=(3?4i)i=4+3i，

故其虛部為3，

故選：B．

2.A

【解析】解：用按比例分層隨機抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，

則應(yīng)從乙種型號的產(chǎn)品中抽取件數(shù)為：60×400200+400+300+100=24．

故選：3.C

【解析】解：對于A，當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故A錯誤；

對于B，當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故B錯誤；

對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點，則方差S2>15(6?2)2=3.2>2.4，

∴平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6，故C正確；

對于D，當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，

平均數(shù)為：x?=15(1+2+3+3+6)=34.A

【解析】解：因為平行四邊形ABCD中，E為AC上靠近點A的三等分點，

所以AE=13AC，

所以BE=AE5.B

【解析】解：設(shè)圓錐母線長為l，高為?，底面半徑為r=2，

則由2π×2=πl(wèi)，得l=22，

所以?=l26.A

【解析】解：由向量m=(2,λ)，n=(2?λ,?4)共線，得λ(2?λ)=?8，解得λ=?2或λ=4，

當λ=?2時，m=(2,?2)，n=(4,?4)，m與n同向，不符合題意，

當λ=4時，m=(2,4)，n=(?2,?4)，m與n反向，符合題意，

所以實數(shù)λ的值為47.B

【解析】解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又AC⊥CB，

∴可得BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，

∴此四面體的外接球的球心即為PB的中點，直徑即為PB，

設(shè)球的半徑為R，

∵PA=2BC=2，AC=3，∴AB=2，

∴2R=PB=PA2+AB2=228.C

【解析】解：由題意可知，有放回地隨機取兩次，共有36種情況，

兩點數(shù)和為6的所有可能為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5種情況，

兩點數(shù)和為7的所有可能為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6種情況，

所以P(丙)=536，P(丁)=636=16，

P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=56×6=536，P(丁)=66×6=16，

對于A選項，甲與乙可以同時發(fā)生，故選項A錯誤；

對于B選項，P(丙)=536，故選項B錯誤；

對于C選項，P(甲丁)=136，P(甲)=16，P(丁)=16，

所以P(甲丁)=P(甲)P(丁)，即甲與丁相互獨立，故選項9.ACD

【解析】解：選項A，由正弦定理及bcosC+ccosB=b，得sinBcosC+sinCcosB=sinB，

所以sin(B+C)=sinA=sinB，

因為A，B∈(0,π)，所以A=B，

所以△ABC是等腰三角形，即選項A正確；

選項B，由正弦定理知，bsinB=csinC，

所以sinC=csinBb=22×122=22，

因為b<c，所以B<C，所以C=45°或135°，即選項B錯誤；

選項C，由余弦定理知，c2=a2+b2?2abcosC=4+16?2×2×4×14=16，

所以c=4，即選項C正確；

選項D10.BD

【解析】解：設(shè)招商引資前經(jīng)濟收入為M，而招商引資后經(jīng)濟收入為2M，

對于A，招商引資前工資性收入為M×60%=0.6M，而招商引資后的工資性收入為2M×37%=0.74M，

所以工資凈收入增加了，故A錯誤；

對于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為M×4%=0.04M，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2M×5%=0.1M，

所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，故B正確；

對于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為0.1M+0.56M=0.66M<13×2M，

所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的13，故C錯誤；

對于D，招商引資前經(jīng)營凈收入為M×30%=0.3M，招商引資后經(jīng)營凈收入為2M×30%=0.6M，

所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確．

11.AD

【解析】解：因為A1F//BC且AF≠BC，可得四邊形CFA1B為梯形，

所以CF與BA1必相交，所以A正確；

由題意，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，因為BB1⊥平面ABCD，

CE?平面ABCD，所以BB1⊥CE，

假設(shè)異面直線DB1與CE所成角是90°，即DB1⊥CE．

DB1BB1?平面BB1D，DB1∩BB1=B1．

可得CE⊥平面BB1D，而DB?平面BB1D，

則CE⊥DB，

在長方形ABCD中，因為AB=8，BC=4，

取CD中點F，可知正方形BCFE中CE⊥BF，

可得DB與CE不垂直，矛盾，

所以異面直線DB1與CE所成角不是90°，所以B錯誤；

由上圖可知DE=CE=42，又CD=8，即CD2=CE2+DE2，則CE⊥DE，

又DD1⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以CE⊥DD1，

DD1∩DE=D，DD1，DE?平面DD1E所以CE⊥平面DD1E，

D1E?平面DD1E，則CE⊥D1E12.2【解析】解：z1=2+3i，z2=?4+i，則|z113.92【解析】解：互不相等的4個正整數(shù)從小到大排序為a1，a2，a3，a4，

則這4個數(shù)據(jù)的極差為：a4?a1，中位數(shù)為a2+a32，

這4個數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，

則a4?a1=2×a2+a32=a2+a3，即a4=a1+a2+a3，

a1，a2，a3，14.7【解析】解：因為2a+b=2ccosB，由正弦定理得2sinA+sinB=2sinCcosB，

又因為sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBcosC+sinB=0，

因為B∈(0,π)，可得sinB>0，所以cosC=?12，

又因為CD為△ABC的一條中線，CD=32，

可得CD=12(CA+CB)，

所以CD2=14(15.解：因為a與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23，

所以a?【解析】(1)由平面向量的數(shù)量積運算即可求得；

(2)由求模公式計算即可求得．

16.解：(1)根據(jù)題意可得(a+0.075+0.175+0.15+a)×2=1，

∴a=0.05；

∵服務(wù)時長大于或等于11小時的頻率為0.05×2=0.1，

∴估計該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)為300×0.1=30；

(2)這20名志愿者當周志愿服務(wù)時長的樣本眾數(shù)為8小時；

中位數(shù)為7+0.5?0.1?0.150.175=8.428≈8.4小時；

平均數(shù)為【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)眾數(shù)的概念，中位數(shù)的概念，平均數(shù)的概念，即可求解．

17.解：(1)證明：∵E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，

∴PB=2EF=5，

∵AB2+PA2=PB2，∴AB⊥PA，∵AC⊥平面PAB，

∴AB⊥AC，

∵AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，

∴AB⊥PC；

(2)根據(jù)題意，取AC的中點M，過M作MN⊥AE交AE于N，

連接FM，F(xiàn)N，ME，

因為F為PC中點，M為AC的中點，

則FM////PA，且FM=12PA=1，

又PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，

∴PA⊥平面ABC，

∴FM⊥平面ABC，而AE?平面ABC，

∴AE⊥FM，又MN⊥AE，F(xiàn)M∩MN=M，F(xiàn)M，MN?平面FMN，

∴AE⊥平面FMN，

∵FN?平面FMN，∴AE⊥FN，

即∠FNM為二面角F?AE?C的平面角，

在Rt△AME中，AM=1，ME=12，則AE=1+1【解析】(1)先根據(jù)勾股定理逆定理證得AB⊥PA，再根據(jù)AB⊥AC，即可證出；

(2)取AC的中點M，過M作MN⊥AE交AE于N，連接FM、FN，ME，由幾何關(guān)系證明∠FNM為二面角F?AE?C的平面角，再由勾股定理和等面積求出MN即可求出結(jié)果．

18.解：(1)由題知，在△ACD中，

由正弦定理得sin∠CADCD=sin∠ACDAD，∴sin∠ACD=12，

∵AD>CD，∴∠ACD>∠CAD，∴∠CAD=π6，

∴∠D=π?∠ACD?∠CAD=π2，∴AD⊥CD；

(2)在△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC=2，

由余弦定理知：cos∠ABC=AB2+BC2?AC22AB?BC=32

∴A