2023高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布分層演練新人教A版選擇性

7.4二項分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布A級基礎(chǔ)鞏固1.有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取2件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X<2)等于()A.715B.815解析:由題意,知X取0,1,2,X服從超幾何分布,則P(X=0)=C72C102=715,P(所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=715+715=答案:C2.一批產(chǎn)品共50件,次品率為4%,從中任取2件,則含有1件次品的概率約為()....022解析:由于次品率為4%,故次品數(shù)為50×4%=2,正品數(shù)為502=48,故從中任取2件,含有1件次品的概率為C21C48答案:A3.盒中有10個螺絲釘,其中有3個是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)取出4個,則概率是310的事件為(解析:對于選項A,概率為C31C73C104=12;對于選項B,概率為C74C104=答案:C4.12人組成的興趣小組,有5名男同學(xué),現(xiàn)從小組中任意選6人參加競賽,用X表示這6人中男同學(xué)的人數(shù),則下列概率中等于C5()A.P(X=2)B.P(X=3)C.P(X≤2)D.P(X≤3)解析:從12人中選6人共有C126若X=3,則6人中男同學(xué)的人數(shù)為3的可能情況有C5則P(X=3)=C5答案:B5.數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道對同學(xué)進(jìn)行檢測,規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某同學(xué)只會求解其中的4道題,則他能及格的概率是45解析:設(shè)從6道題中隨機(jī)抽的3道題中該同學(xué)會求解的道數(shù)為X,則X服從超幾何分布,由超幾何分布的概率公式可得,他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C42C21B級拓展提高6.一個班級共有30名學(xué)生,其中有10名女生,現(xiàn)從中任選3人代表班級參加學(xué)校開展的某項活動,假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X,男生人數(shù)為變量Y,則P(X=2)+P(Y=2)等于()A.CB.CC.CD.(解析:由題意,得P(X=2)=C102C201C30所以P(X=2)+P(Y=2)=C10答案:C7.在10件產(chǎn)品中存在次品,從中抽取2件檢查,其次品數(shù)為X,已知P(X=1)=1645()A.10%B.20%C.30%D.40%解析:設(shè)10件產(chǎn)品中存在n件次品.已知從中抽取2件,其次品數(shù)為X,且P(X=1)=1645,所以Cn1化簡,得n210n+16=0,解得n=2或n=8.又因為該產(chǎn)品的次品率不超過40%,所以n≤4,所以n=2,所以這10件產(chǎn)品的次品率為210=20%答案:B8.在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響.具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列.解:(1)接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率為P=C84C(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,且X服從超幾何分布.則P(X=0)=C40C65C105=142,P(X=1)=C41P(X=3)=C43C62C105=521故X的分布列如下表所示.X01234P1510519.為了加強(qiáng)環(huán)保知識的宣傳,某學(xué)校組織了垃圾分類知識競賽活動.活動設(shè)置了四個箱子,分別寫有“廚余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”,另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取20張,按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得5分,投放錯誤得0分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得5分,放入其他箱子,得0分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人,將他們的得分按照區(qū)間[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分組,繪成頻率分布直方圖如圖所示.(1)分別求出所抽取的20人中得分落在區(qū)間[0,20]和(20,40]上的人數(shù);(2)從所抽取的20人中得分落在區(qū)間[0,40]上的選手中隨機(jī)選取3名,以X表示這3名選手中得分不超過20分的人數(shù),求X的分布列和均值.解:(1)由題意,知所抽取的20人中得分落在區(qū)間[0,20]上的有0.0050×20×20=2(人),得分落在區(qū)間(20,40]上的有0.0075×20×20=3(人).因此,所抽取的20人中得分落在區(qū)間[0,20]上的人數(shù)為2,得分落在區(qū)間(20,40]上的人數(shù)為3.(2)由題意可知,隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C33C53=110,P(X=1)=C21C32所以隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.X012P133因為n=3,p=25,所以隨機(jī)變量X的均值E(X)=3×25=C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多選題一個不透明的袋中有6個同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球,下列變量服從超幾何分布的是()A.X表示取出的最大號碼B.X表示取出的最小號碼C.取出一個黑球記2分,取出一個白球記1分,X表示取出的4個球的總得分D.X表示取出的黑球個數(shù)答案:CD11.多選題一個不透明的袋中有大小相同的4個紅球和2個白球,給出下列4個結(jié)論,其中正確的有()A.從中任取3球,恰有一個白球的概率是3B.從中有放回的取球6次,每次任取一球,則取到紅球次數(shù)的方差為4C.現(xiàn)從中不放回的取球2次,每次任取1球,則在第一次取到紅球后,第二次再次取到紅球的概率為2D.從中有放回的取球3次,每次任取一球,則至少有一次取到紅球的概率為26解析:A選項,恰有一個白球的概率P=C21CB選項,每次任取一球,取到紅球次數(shù)X~B(6,23)其方差為6×23×(123)=C選項,設(shè)A={第一次取到紅球},B={第二次取到紅球}.則P(A)=23,P(A∩B)=4×36×5=25,所以P(D選項,每次取到紅球的概率P=23,所以至少有一次取到紅球的概率為1(123)3=故選ABD.答案:ABD12.多空題某校為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況,從某項體育測試成績中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的成績進(jìn)行分析,得到成績頻率分布直方圖(如圖所示).已知成績在區(qū)間[90,100]上的學(xué)生人數(shù)為8,且有4名女生的成績在區(qū)間[50,60)上,則n=50.現(xiàn)從成績在區(qū)間[50,60)上的樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,記所抽取學(xué)生中女生的人數(shù)為X,則X的均值是