高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.3誘導(dǎo)公式1學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

5．3誘導(dǎo)公式(1)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)(二)(三)(四)．直觀想象數(shù)學(xué)運算2.了解誘導(dǎo)公式的意義和作用.3.能運用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第87頁[教材提煉]知識點一誘導(dǎo)公式(二)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)如圖，作P1關(guān)于原點的對稱點P2，以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？知識梳理公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.知識點二誘導(dǎo)公式(三)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)如圖，作P1關(guān)于x軸的對稱點P3，那么P1與P3點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？知識梳理公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.知識點三誘導(dǎo)公式(四)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)如圖，作P1關(guān)于y軸的對稱點P4，那么OP1與OP4所表示的角有什么關(guān)系？函數(shù)值有什么關(guān)系？知識梳理公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.公式一～四都叫做誘導(dǎo)公式，它們分別反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四組公式的共同特點是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．簡記為“函數(shù)名不變，符號看象限”．[自主檢測]1．已知tanα＝4，則tan(π－α)等于()A．π－4 B．4C．－4 D．4－π答案：C2．sin585°的值為()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)答案：A3．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin(π－α)＝________.答案：eq\f(\r(5),5)4．若tan(π＋α)＝eq\f(1,3)，則tanα＝________.答案：eq\f(1,3)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第88頁探究一給角求值[例1]求下列各三角函數(shù)的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－eq\f(16π,3))；(3)sineq\f(4,3)π·cos(－eq\f(19,6)π)·taneq\f(21,4)π.[解析](1)法一：sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)法一：cos(－eq\f(16π,3))＝coseq\f(16π,3)＝cos(eq\f(4π,3)＋4π)＝coseq\f(4π,3)＝cos(π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).法二：cos(－eq\f(16π,3))＝cos(eq\f(2π,3)－6π)＝coseq\f(2π,3)＝cos(π－eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(3)原式＝sineq\f(4π,3)·cos(2π＋eq\f(7π,6))·tan(4π＋eq\f(5π,4))＝sineq\f(4π,3)·coseq\f(7π,6)·taneq\f(5π,4)＝sin(π＋eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,6))·tan(π＋eq\f(π,4))＝(－sineq\f(π,3))·(－coseq\f(π,6))·taneq\f(π,4)＝(－eq\f(\r(3),2))×(－eq\f(\r(3),2))×1＝eq\f(3,4).利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按下面步驟進(jìn)行：求值：cos(2nπ＋eq\f(2π,3))·sin(nπ＋eq\f(4π,3))．解析：①當(dāng)n為奇數(shù)時，原式＝coseq\f(2π,3)·(－sineq\f(4π,3))＝cos(π－eq\f(π,3))·[－sin(π＋eq\f(π,3))]＝(－coseq\f(π,3))·sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(3),4).②當(dāng)n為偶數(shù)時，原式＝coseq\f(2π,3)·sineq\f(4π,3)＝cos(π－eq\f(π,3))·sin(π＋eq\f(π,3))＝(－coseq\f(π,3))·(－sineq\f(π,3))＝－eq\f(1,2)×(－eq\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),4).探究二給值求值[例2][教材P195第8題拓展探究](1)已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，則sin(eq\f(4,3)π－x)＝________.[解析]sin(eq\f(4,3)π－x)＝sin[π＋(eq\f(π,3)－x)]＝－sin(eq\f(π,3)－x)＝－eq\f(1,3).[答案]－eq\f(1,3)(2)已知sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，且0＜x＜eq\f(π,2)，則tan(eq\f(2,3)π＋x)＝________.[解析]∵0＜x＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).又sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)＞0，∴0＜eq\f(π,3)－x＜eq\f(π,3).cos(eq\f(2,3)π＋x)＝cos[π－(eq\f(π,3)－x)]＝－cos(eq\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－sin2\f(π,3)－x)＝－eq\r(1－\f(1,3)2)＝－eq\f(2\r(2),3)，sin(eq\f(2,3)π＋x)＝sin[π－(eq\f(π,3)－x)]＝sin(eq\f(π,3)－x)＝eq\f(1,3)，∴tan(eq\f(2,3)π＋x)＝eq\f(sin\f(2,3)π＋x,cos\f(2,3)π＋x)＝eq\f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq\f(\r(2),4).[答案]－eq\f(\r(2),4)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值．解析：因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3).(1)解決條件求值問題時，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．探究三化簡三角函數(shù)式[例3]化簡cos(eq\f(4n＋1,4)π＋x)＋cos(eq\f(4n－1,4)π－x)(n∈Z)．[解析]原式＝cos(nπ＋eq\f(π,4)＋x)＋cos(nπ－eq\f(π,4)－x)．(1)當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時，原式＝cos[(2k＋1)π＋eq\f(π,4)＋x]＋cos[(2k＋1)π－eq\f(π,4)－x]＝－cos(eq\f(π,4)＋x)－cos(－eq\f(π,4)－x)＝－2cos(eq\f(π,4)＋x)；(2)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時，原式＝cos(2kπ＋eq\f(π,4)＋x)＋cos(2kπ－eq\f(π,4)－x)＝cos(eq\f(π,4)＋x)＋cos(－eq\f(π,4)－x)＝2cos(eq\f(π,4)＋x)．故原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2cos\f(π,4)＋x，n為奇數(shù),2cos\f(π,4)＋x，n為偶數(shù))).利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的注意點(1)當(dāng)碰到kx±α(k∈Z)的形式時，要注意對k分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，其目的在于將不符合條件的問題，通過分類使之符合條件，達(dá)到能利用公式的形式．(2)要注意觀察角之間的關(guān)系，巧妙地利用角之間的關(guān)系，會給問題的解決帶來很大的方便，如kπ－α＝2kπ－(kπ＋α)，k∈Z.化簡：cos(kπ＋eq\f(π,6))sin(kπ－eq\f(2,3)π)(k∈Z)．解析：當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，原式＝cos(2nπ＋eq\f(π,6))sin(2nπ－eq\f(2π,3))＝－coseq\f(π,6)sineq\f(2π,3)＝－coseq\f(π,6)sin(π－eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,6)sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(3,4).當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，原式＝cos(2nπ＋π＋eq\f(π,6))sin(2nπ＋π－eq\f(2π,3))＝cos(π＋eq\f(π,6))sineq\f(π,3)＝－coseq\f(π,6)sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(3,4).綜上，原式＝－eq\f(3,4).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第89頁一、角的終邊關(guān)系與誘導(dǎo)公式的拓展在弧度制下，常見的對稱關(guān)系如下(可結(jié)合圖象分析)：α與β的終邊關(guān)于x軸對稱α＋β＝2kπ(k∈Z)α與β的終邊關(guān)于y軸對稱α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱α＋β＝eq\f(4k＋1,2)π(k∈Z)α與β的終邊關(guān)于直線y＝－x對稱α＋β＝eq\f(4k－1,2)π(k∈Z)α與β的終邊在同一條直線上α－β＝kπ(k∈Z)α與β的終邊垂直α－β＝eq\f(4k±1,2)π(k∈Z)公式一～四拓展為sin(nπ＋α)＝(－1)nsinα，cos(nπ＋α)＝(－1)ncosα.[典例]化簡：eq\f(sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ],sinkπ－θ·coskπ＋θ)(k∈Z)．[解析]原式＝eq\f(－1k＋1sinθ·－1k＋1cos－θ,－1ksin－θ·－1kcosθ)＝eq\f(－12k＋2sinθcosθ,－12ksin－θcosθ)＝－1.[答案]－1二、盲目套