初中數(shù)學(xué)中考壓軸題拔高尖子生輔導(dǎo)

努力的你，未來可期！

初中數(shù)學(xué)中考壓軸題拔高尖子生輔導(dǎo)

—.解答題(共30小題)

1.(2014?犍為縣一模)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(2,m),B(-3,n)為兩動點，其中m>l,

連接OA,OB,OA±OB,作BC_Lx軸于C點，AD_Lx軸于D點.

(1)求證：mn=6；

(2)當(dāng)SAAOB=10時，拋物線經(jīng)過A,B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點F,過點F作直線1交拋物線于P,Q兩點，問是否存在直線1,使

SAPOF：SAQOF=1：2?若存在，求出直線1對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得OC、OD、BC、AD的長，由于OA_LOB,可證得△BOO△OAD,根據(jù)相

似三角形所得比例線段，即可證得所求的結(jié)論.

(2)欲求拋物線的解析式，需先求出A、B的坐標(biāo)；根據(jù)(1)的相似三角形，可得3OA=mOB,用OB表

示出OA,代入△OAB的面積表達式中，可得到OB?的值，在RtABOC中，利用勾股定理可求得另外一個

OB2的表達式，聯(lián)立兩式可得關(guān)于m、n的等式，結(jié)合(1)的結(jié)論即可求出m、n的值，從而確定A、B

的坐標(biāo)和拋物線的解析式.

(3)求直線1的解析式，需先求出P、Q的坐標(biāo)，已知SAPOF：SAQOF=1：2,由于兩三角形同底不等高，

所以面積比等于高的比，即P、Q兩點橫坐標(biāo)絕對值的比，可設(shè)出點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩者的比例關(guān)系表

示出點Q的坐標(biāo)，由于點Q在拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可求得點P、Q的坐標(biāo),

進而可利用待定系數(shù)法求得直線1的解析式.

解答：證明：(1)：A,B點坐標(biāo)分別為(2,m),(-3,n),

BC=n,OC=3,OD=2,AD=m,

又;OA±OB,易證△CBCH△DOA,

.空旦萼，

一而.AF

??彳G，

/.mn=6.

解：(2)由(1)得，OA專B0，又S/kAOB=10,

■^OB*OA=10,

即BO?OA=20,

/.mBO2=60,

又「OB2=BC2+OC2=n2+9,

m(n2+9)=60,

又mn=6①，

/.m(n2+9)=mn?n+9m=6n+9m=60,

拼搏的你，背影很美!

2n+3m=20②，

①②聯(lián)立得，m=6(m=>|不合題意，舍去)，n=l；

，A坐標(biāo)為(2,6),B坐標(biāo)為(-3,1),

易得拋物線解析式為y=-x2+10.

(3)直線AB為y=x+4,且與y軸交于F(0,4)點，

OF=4,

假設(shè)存在直線1交拋物線于P,Q兩點，且使SAPOF：SAQOF=1：2,如圖所示,

則有PF：FQ=1：2,作PM^y軸于M點，QN，y軸于N點，

；P在拋物線y=-x2+10±,

二設(shè)P坐標(biāo)為(t,-t2+10),

貝I]FM=-t2+10-4=-t2+6,易證△PMF-△QNF,

.PMMFPF1

QN=2PM=-2t,NF=2MF=-2t2+12,

ON=-2t2+8,

二Q點坐標(biāo)為(-2t,2t2-8),

Q點在拋物線y=-x2+10上,2t2-8=-4t2+10,

解得t=-我，(t=正舍去)，_

，P坐標(biāo)為(-、巧，7),Q坐標(biāo)為(2如,-2),

???易得直線PQ為y=-后+4；_

根據(jù)拋物線的對稱性可得直線PQ的另解為y=V3x+4.

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圖形面積的求法以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式

的方法，在(3)題中，能夠?qū)⑷切蔚拿娣e比轉(zhuǎn)化為P、Q兩點橫坐標(biāo)的比例關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

2.(2014?昆山市二模)已知：如圖1,拋物線y=-x?+bx+c的頂點為Q,與x軸交于A(-1,0)、B(5,0)兩

點，與y軸交于C點.

(1)求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標(biāo)；

(2)在該拋物線的對稱軸上求一點P,使得APAC的周長最小.請在圖中畫出點P的位置，并求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點D是第一象限拋物線上的一個動點，過D作DELx軸，垂足為E.

①有一個同學(xué)說："在第一象限拋物線上的所有點中，拋物線的頂點Q與x軸相距最遠，所以當(dāng)點D運動至點Q

時，折線D-E-0的長度最長這個同學(xué)的說法正確嗎？請說明理由.

②若DE與直線BC交于點F.試探究：四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不能,

請簡要說明理由；

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：綜合題；壓軸題.

分析：(1)將A(-1,0)、B(5,0)分別代入y=-x?+bx+c中即可確定b、c的值，然后配方后即可確定其頂

點坐標(biāo)；

(2)連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.求得C點的坐標(biāo)后然后確定直線BC的解析式，最后求得

其與x=2與直線BC的交點坐標(biāo)即為點P的坐標(biāo)；

(3)①設(shè)D(t,-t2+4t+5),設(shè)折線D-E-O的長度為L,求得L的最大值后與當(dāng)點D與Q重合時

L=9+2=ll〈亞相比較即可得到答案；

4

②假設(shè)四邊形DCEB為平行四邊形，則可得至IJEF=DF,CF=BF.然后根據(jù)DEIIy軸求得DF,得至UDF>

EF,這與EF=DF相矛盾，從而否定是平行四邊形.

解答：解：(1)將A(-1,0)、B(5,0)分別代入y=-x?+bx+c中，

f0=_1-b+c?(b=4

得Q,z得，y=-x9-+4x+5.

0=-25+5b+c1c=5

'.4y=-X2+4X+5=-(x-2)2+9,Q(2,9).

(2)如圖1,連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.

AC長為定值，，要使APAC的周長最小，只需PA+PC最小.

?點A關(guān)于對稱軸x=2的對稱點是點B(5,0),拋物線y=-x?+4x+5與y軸交點C的坐標(biāo)為(0,5).

二由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5,將B(5,0)代入5k+5=0,得k=-l,

y=-x+5,...當(dāng)x=2時，y=3,...點P的坐標(biāo)為(2,3).

(3)①這個同學(xué)的說法不正確.

?.?設(shè)D(t,-t2+4t+5),設(shè)折線D-E-O的長度為L,則

L=-t2+4t+5+t=~t2+5t+5=~(t-

?.?a<0,.?.當(dāng)七=1時'L最大值若.

而當(dāng)點D與Q重合時，L=9+2=U<->

4

該該同學(xué)的說法不正確.

②四邊形DCEB不能為平行四邊形.

如圖2,若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF,CF=BF.

?.?DEMy軸，.,.邁0=1，OE=BE=2.5.

EB-BF

當(dāng)XF=2.5時，yF=-2.5+5=25即EF=2.5；

當(dāng)XD=2.5時，yD=~(2.5-2)2+9=8.75，即DE=8.75.

DF=DE-EF=8.75-2.5=6,25>2.5.即DF>EF,這與EF=DF相矛盾，

四邊形DCEB不能為平行四邊形.

圖1圖2

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點的確定方法及有關(guān)的幾何知識.在

求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果.

3.(2014?河西區(qū)模擬)已知拋物線y=x?+bx+c的頂點為P,與y軸交于點A,與直線OP交于點B.

(1)如圖1,若點P的橫坐標(biāo)為1,點B的坐標(biāo)為(3,6),試確定拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，若點M是直線AB下方拋物線上的一點，且SAABM=3,求點M的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點P在第一象限，且PA=PO,過點P作PDLx軸于點D.將拋物線y=x?+bx+c平移，平移后的拋

物線經(jīng)過點A、D,該拋物線與x軸的另一個交點為C,請?zhí)骄克倪呅蜲ABC的形狀，并說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題.

分析：(1)首先求出b的值，然后把b=-2及點B(3,6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x?+bx+c求出c的值，拋

物線的解析式即可求出；

(2)首先求出A點的坐標(biāo)，進而求出直線AB的解析式，設(shè)直線AB下方拋物線上的點M坐標(biāo)為(x,x2

-2x+3),過M點作y軸的平行線交直線AB于點N,則N(x,x+3),根據(jù)三角形面積為3,求出x的值,

M點的坐標(biāo)即可求出；

(3)由PA=PO,OA=c,可得pD奇，又知拋物線y=x?+bx+c的頂點坐標(biāo)為p(4c-b),即可

22

求出b和c的關(guān)系，進而得到A(0,lb),P(--lb，lb),D(-lb，0),根據(jù)B點是直線與拋物

線的交點，求出B點的坐標(biāo)，由平移后的拋物線經(jīng)過點A,可設(shè)平移后的拋物線解析式為產(chǎn)x2+mx+*b2,

再求出b與m之間的關(guān)系，再求出C點的坐標(biāo)，根據(jù)兩對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結(jié)合

ZAOC=90。即可證明四邊形OABC是矩形.

解答：解：(1)依題意，-—^=1，

2X1

解得b=-2.

將b=-2及點B(3,6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x?+bx+c得6=32-2X3+C.

解得c=3.

所以拋物線的解析式為y=x2-2x+3.

(2)拋物線y=x2-2x+3與y軸交于點A,

A(0,3).

B(3,6),

可得直線AB的解析式為y=x+3.

設(shè)直線AB下方拋物線上的點M坐標(biāo)為(x,X2-2X+3),過M點作y軸的平行線交直線AB于點N,則N

-

SA=SA+SA=^MN*IXRXA|=3-

△ABMANN△BMN2BA

?■?■|[x+3-（x2-2x+3）]X3=3-

解得Xl=l,X2=2.

故點M的坐標(biāo)為（1,2）或（2,3）.

(3)如圖2,由PA=PO,OA=c,可得PD專.

2

?.?拋物線y=x?+bx+c的頂點坐標(biāo)為P(-微，，

二拋物線y=x？+bx+.b?，A(0,P(彳/)，D(0)，

可得直線OP的解析式為尸-lbx.

2

■.?點B是拋物線y=x+bx+-1b2與直線行-,bx的圖象的交點，

令-x2+bx+-^b2-

解得x,=-b,=--?

X1*xXo22

2

可得點B的坐標(biāo)為(-b,lb).

2

2

由平移后的拋物線經(jīng)過點A,可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x+lnx+-lbZ

將點D(-為0)的坐標(biāo)代入產(chǎn)x2+mx+32,得

22

則平移后的拋物線解析式為y=x

令y=0,即J2=o-

解得x『-b,x2~~^b-

依題意，點C的坐標(biāo)為(-b,0).

2

則BC=lb.

貝l|BC=OA.

又BCIIOA,

四邊形OABC是平行四邊形.

???ZAOC=90°,

四邊形OABC是矩形.

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識，此題設(shè)計拋物線解析式得求法，拋物線頂點與對稱軸的求法以及

矩形的判定，特別是第三問設(shè)計到平移的知識，同學(xué)們作答時需認(rèn)真，此題難度較大.

4.(2014?資陽二模)如圖已知點A(-2,4)和點B(1,0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A，，點B的對應(yīng)點為B，，若四邊形AA，B，B為菱形，求平移

后拋物線的表達式；

(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線AB，的交點為點C,試在x軸上找點D,使得以點B，、C、D為頂點的三角形

與△ABC相似.

考點：二次函數(shù)綜合題；兩點間的距離公式；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題；分類討論.

分析：(1)已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標(biāo)，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得m、n的值.

(2)根據(jù)A、B的坐標(biāo)，易求得AB的長；根據(jù)平移的性質(zhì)知：四邊形AA，B，B一定為平行四邊形，若四

邊形AA，B，B為菱形，那么必須滿足AB=BB，，由此可確定平移的距離，根據(jù)"左加右減”的平移規(guī)律即可求

得平移后的拋物線解析式.

(3)易求得直線AB，的解析式，聯(lián)立平移后的拋物線對稱軸，可得到C點的坐標(biāo)，進而可求出AB、BC、

AC、B，C的長；在(2)題中已經(jīng)證得AB=BB\那么NBAC=NBB，C,即A、B，對應(yīng)，若以點B\C、D

為頂點的三角形與△ABC相似，可分兩種情況考慮：①NB，CD=NABC,此時△B,CD”△ABC,

②NB,DC=ZABC,止匕時△B，DO△ABC；

根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可求得不同的BD長，進而可求得D點的坐標(biāo).

解答：解：(1)由于拋物線經(jīng)過A(-2,4)和點B(1,0),則有：

(4

f"n=4,解得

lirrl-2itrl-n=0門="

故m=--,n=4.

3

(2)由(1)得：y=-&之-及+4=--(x+1)2+—；

3333

由A(-2,4)、B(1,0),可得AB=J(i+2)2+(。-4)2=5；

若四邊形AA，B，B為菱形，貝IjABuBB?S,即B，(6,0)；

故拋物線需向右平移5個單位，即：

y=-9(x+1-5)2+回=-?(x-4)?+西.

3333

(3)由(2)得：平移后拋物線的對稱軸為：x=4；

???A(-2,4),B，(6,0),

直線ABZ：y=--x+3；

2

當(dāng)x=4時，y=l,故C(4,1)；

所以：AC=3遙，B(C=V5-BC=V10；

由(2)知：AB=BBZ=5,即NBAC=NBB，C；

若以點B\C、D為頂點的三角形與△ABC相似，則：

①NB,CD=ZABC,則4BQDs&ABC,可得：

義上皿，即亞上』B，D=3,

AB~AC5-3A/5

此時D(3,0)；

②NB,DC=ZABC,貝必B，DO△ABC,可得：

BLC-BL-D,即WLS,B，D=g

AC-AB3V5~53

此時D(型，0)；

3

綜上所述，存在符合條件的D點，且坐標(biāo)為：D(3,0)或(生，0).

3

點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知

識；(3)題中，在相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊不確定的情況下，一定要分類討論，以免漏解.

5.(2014?南充模擬)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2,OC=OE=4,

B為線段OA的中點，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M,點P為線段

FG上一個動點(與F、G不重合)，PQI1y軸與拋物線交于點Q.

(1)求經(jīng)過B、E、C三點的拋物線的解析式；

(2)判斷ABDC的形狀，并給出證明；當(dāng)P在什么位置時，以P、0、C為頂點的三角形是等腰三角形，并求出此

時點P的坐標(biāo)；

(3)若拋物線的頂點為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能,

請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；待定系數(shù)法.

分析：(1)利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理，即可證得ABDC是直角三角形；分OP=OC,PC=OC,OP=PC三種情況即可

求得P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點P為(x,x+2)Q(x,-X2+3X+4),貝I]PQ=-X?+2X+2,根據(jù)PQNM是菱形，貝IPQ=MN,即可

求得PM的長，判斷是否成立，從而確定；根據(jù)②的解法即可確定P的坐標(biāo).

解答：解:(1)B(-1,0)E(0,4)C(4,0)設(shè)解析式是y=ax?+bx+c,

a-b+c=O

可得,c=4，

k16a+4b+c=0

a=-1

解得＜b=3，

、c=4

y=-X2+3X+4；

（2）ABDC是直角三角形，

???BD2=BO2+DO2=5,DC2=DO2+CO2=20,BC2=（BO+CO）2=25

BD2+DC2=BC2,

:BDC是直角三角形.

點A坐標(biāo)是（-2,0）,點D坐標(biāo)是（0,2）,

設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b,貝內(nèi)-2k+b=0,

[b=2

解得：4二1,

lb=2

則直線AD的解析式是y=x+2,

設(shè)點P坐標(biāo)是（x,x+2）

當(dāng)OP=OC時x2+（x+2）2=16,

解得：x=-1±A/7（x=-1-有不符合，舍去）此時點P（-1+J7，1+\,即）

當(dāng)PC=OC時（x+2）2+（4-x）2=],方程無解；

當(dāng)PO=PC時，點P在OC的中垂線上，

.?.點P橫坐標(biāo)是2,得點P坐標(biāo)是（2,4）；

當(dāng)APOC是等腰三角形時，點P坐標(biāo)是（-1+6，1+6）或（2,4）；

（3）點M坐標(biāo)是（W,I），點N坐標(biāo)是（￡,-?§）,/.MN=H,

22244

設(shè)點P為（x,x+2）,Q（x,-X2+3X+4）,貝！JPQ=-x2+2x+2

①若PQNM是菱形，貝i]PQ=MN,可得xi=0.5,X2=1.5

當(dāng)X2=1.5時，點P與點M重合；當(dāng)xi=0.5時，可求得PM=、歷，所以菱形不存在.

②能成為等腰梯形，作QHLMN于點H,作PJLMN于點J,則NH=MJ,

貝l|氏（-X2+3X+4）=X+2-1,

42

解得：x=2.5,

此時點P的坐標(biāo)是（2.5,4.5）.

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求拋物線的解析式，和菱形，等腰梯形的

判定.

6.(2014?河南模擬)點P為拋物線y=x2-2mx+m2(m為常數(shù)，m>0)上任一點，將拋物線繞頂點G逆時針旋轉(zhuǎn)

90。后得到的新圖象與y軸交于A、B兩點(點A在點B的上方)，點Q為點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點.

(1)當(dāng)m=2,點P橫坐標(biāo)為4時，求Q點的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點Q(a,b),用含m、b的代數(shù)式表示a；

(3)如圖，點Q在第一象限內(nèi)，點D在x軸的正半軸上，點C為OD的中點，QO平分NAQC,AQ=2QC,當(dāng)QD=m

時，求m的值.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：綜合題；壓軸題.

分析：(1)首先根據(jù)m的值確定出原拋物線的解析式，進而可求得P、G的坐標(biāo)，過P作PE^x軸于E,過Q

作QF^x軸于F,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AGQFVAPGE,則QF=GE、PE=GF,可據(jù)此求得點Q的坐標(biāo).

(2)已知了Q點坐標(biāo)，即可得到QF、FG的長，仿照(1)的方法可求出點P的坐標(biāo)，然后代入原拋物線

的解析式中，可求得a、b、m的關(guān)系式.

(3)延長QC到E,使得QC=CE,那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四邊形OEDQ是平行四邊

形(或證AQCDVAECO),那么QD=OE=m,而AQ=QE,且QO平分NAQC,易證得△AQOV&EQO,

則0A=0E=m,即A點坐標(biāo)為(0,m),然后將點A的坐標(biāo)代入(2)的關(guān)系式中，即可求得m的值.

解答：解：(1)當(dāng)m=2時，y=(x-2)

則G(2,0),

???點P的橫坐標(biāo)為4,且P在拋物線上，

將x=4代入拋物線解析式得：y=(4-2)2=4,

P(4,4),

如圖，連接QG、PG,過點Q作QF^x軸于F,過點P作PELx軸于E,

依題意，可得AGQFV△PGE；

貝!IFQ=EG=2,FG=EP=4,

FO=2.

Q(-2,2).

(2)已知Q(a,b),則GE=QF=b,FG=m-a；

由(1)知：PE=FG=m-a,GE=QF=b,即P(m+b,m-a),

代入原拋物線的解析式中，得：m-a=(m+b)2-2m(m+b)+m2

m-a=m2+b2+2mb-2m2-2mb+m2

a=m-b2,

故用含m,b的代數(shù)式表示a：a=m-b2.

(3)如圖，延長QC到點E,使CE=CQ,連接OE；

,「C為OD中點，

：OC=CD,

?/NECO=ZQCD,

/.△ECOM△QCD,

/.OE=DQ=m；

「AQ=2QC,

/.AQ=QE,

vQO平分NAQC,

/.Z1=Z2,

△AQOM△EQO,

/.AO=EO=m,

:A(0,m),

「A(0,m)在新的函數(shù)圖象上，

/.0=m-m2

mi=l,m2=0(舍)，

/.m=l.

點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義等知識，難度較大.

7.(2014?海拉爾區(qū)模擬)如圖，已知直線丫=1空-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,B兩點，且點A(1,-4)為

拋物線的頂點，點B在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由；

(3)若點Q是y軸上一點，且AABQ為直角三角形，求點Q的坐標(biāo).

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論.

分析：(1)已知點A坐標(biāo)可確定直線AB的解析式，進一步能求出點B的坐標(biāo).點A是拋物線的頂點，那么可

以將拋物線的解析式設(shè)為頂點式，再代入點B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解.

(2)首先由拋物線的解析式求出點C的坐標(biāo)，在APOB和APOC中，已知的條件是公共邊OP,若OB與

0C不相等，那么這兩個三角形不能構(gòu)成全等三角形；若OB等于OC,那么還要滿足的條件為：

ZPOC=ZPOB,各自去掉一個直角后容易發(fā)現(xiàn)，點P正好在第二象限的角平分線上，聯(lián)立直線丫二-x與拋

物線的解析式，直接求交點坐標(biāo)即可，同時還要注意點P在第二象限的限定條件.

(3)分別以A、B、Q為直角頂點，分類進行討論.找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對應(yīng)線段成比例進行求

解即可.

解答：解：(1)把A(l,-4)代入y=kx-6,得k=2,

y=2x-6,

令y=0,解得：x=3,

B的坐標(biāo)是(3,0).

---A為頂點，

???設(shè)拋物線的解析為y=a(x-1)2-4,

把B(3,0)代入得：4a-4=0,

解得a=l,

y=(x-1)2-4=x2-2x-3.

(2)存在.OB=OC=3,OP=OP,.,.當(dāng)NPOB=NPOC時，△POB」△POC,

此時PO平分第二象限，即PO的解析式為y=-x.

設(shè)P(-m,m),貝!|-m=m2-2m-3,解得m=^——^12(m=舍)，

22

22

(3)①如圖，當(dāng)NQiAB=90。時，ADAQISADOB,

二里弛，即返4,二DQ.2

0DDB63^52

OQi=I,即Qi(0,-2)；

22

②如圖，當(dāng)NQ2BA=90。時，△BOQ2s△DOB,

-0B_0Q2an3_0Q2

0DOB63

OQ2=W,即Q2(O,?)；

22

③如圖，當(dāng)NAQ3B=90。時，作AE_Ly軸于E,

則4BOQ3s△Q3EA,

.0B_°Q3即303

"Q3E而，4-0Q3~T'

,OQ32-4OQ3+3=0,.1OQ3=1或3,

即Q3(0,-1),Q4(0,-3).

綜上，Q點坐標(biāo)為(0,-I)或(0,2)或(0,-1)或(0,-3).

22

點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形與相似三角形應(yīng)用

等重點知識.（3）題較為復(fù)雜，需要考慮的情況也較多，因此要分類進行討論.

8.（2014?句容市一模）如圖，R3AOB中，ZA=90°,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，使點A在x軸正半軸上,

OA=2,AB=8,點C為AB邊的中點，拋物線的頂點是原點O,且經(jīng)過C點.

（1）填空：直線OC的解析式為y=2x；拋物線的解析式為y=x?；

（2）現(xiàn)將該拋物線沿著線段OC移動，使其頂點M始終在線段OC上（包括端點0、C）,拋物線與y軸的交點為

D,與AB邊的交點為E；

①是否存在這樣的點D,使四邊形BDOC為平行四邊形？如存在，求出此時拋物線的解析式；如不存在，說明理

由；

②設(shè)ABOE的面積為S,求S的取值范圍.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：幾何綜合題；壓軸題；存在型.

分析：（1）本題須先求出點C的坐標(biāo)然后即可求出直線OC的解析式和拋物線的解析式.

（2）①本題首先需根據(jù)拋物線的移動規(guī)律設(shè)出拋物線的解析式，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出m的

值.

②本題需先求出4BOE的面積S與m的關(guān)系，再根據(jù)m的取值范圍即可求出S的取值范圍.

解答：解：（1）?；OA=2,AB=8,點C為AB邊的中點

二點C的坐標(biāo)為（2,4）點，

設(shè)直線的解析式為y=kx

貝U4=2k,解得k=2

???直線的解析式為y=2x,

設(shè)拋物線的解析式為y=kx2

則4=4k,解得k=l

二拋物線的解析式為y=x2

(2)設(shè)移動后拋物線的解析式為y=(x-m)2+2m

當(dāng)OD=BC,四邊形BDOC為平行四邊形，

OD=BC=4,

①則可得x=0時y=4,

m2+2m=4,

(m+1)2=5

解得nF-1+V5.nF-1-V5(舍去)，

所以方-1+忘

y=(x+1-V5)2+2x(-1+遍)

=(x+1-巡)2-2+2旗，

②,：BE=8-[(2-m)2+2m]

=4+2m-m2.,.SABOE=—BE?OA

2

J(4+2m-m2)x2

2

=-m2+2m+4

=-(m-1)2+5,

而0<m<2,

點評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，在解題時要注意結(jié)合題意求出拋物線的解析式并能列出方程是本題的

關(guān)鍵.

9.(2014?鞍山二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知拋物線y=-9(x-2)2+c與x軸交于A、B兩點(點A

9

在點B的左側(cè))，交y軸的正半軸于點C,其頂點為M,MHLx軸于點H,MA交y軸于點N,sinNMOH=2舍.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；

(2)過H的直線與y軸相交于點P,過O,M兩點作直線PH的垂線，垂足分別為E,F,若噩工時，求點P的

HF2

坐標(biāo)；

(3)將(1)中的拋物線沿y軸折疊，使點A落在點D處，連接MD,Q為(1)中的拋物線上的一動點，直線NQ

交x軸于點G,當(dāng)Q點在拋物線上運動時，是否存在點Q,使△ANG與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件

的直線QG的解析式；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題；存在型；數(shù)形結(jié)合.

分析：(1)由拋物線y=-3(x-2)2+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，交y軸的正半軸于點

9

C,其頂點為M,MH^x軸于點H,MA交y軸于點N,sinNM0H=2舍，求出c的值，進而求出拋物線

方程；

(2)如圖1,由OE_LPH,MF±PH,MH±OH,可證△OEH”△HFM,可知HE,HF的比例關(guān)系，求出

P點坐標(biāo)；

(3)首先求出D點坐標(biāo)，寫出直線MD的表達式，由兩直線平行，兩三角形相似，可得NGI1MD,直線

QG解析式.

解答：解：⑴為拋物線y=-&(x-2)2+c的頂點，

9

/.M(2,c).

OH=2,MH=|c|.

Va<0,且拋物線與x軸有交點，

c>0,

/.MH=c,

?/sinZM0H=以后,

_5

.MH_2&

'ON飛".

OM=2^C,

2

OM2=OH2+MH2,

MH=c=4,

M(2,4),

二拋物線的函數(shù)表達式為：y=-9(x-2)2+4.

9

(2)如圖1,/OE±PH,MF±PH,MH±OH,

/.ZEHO=ZFMH,ZOEH=ZHFM.

/.△OEH~△HFM,

.亞里

.而誣了

..HELI

?1——f

HF2

MF=HF,

ZOHP=ZFHM=45°,

0P=0H=2,

P(0,2).

(3)-/A(-1,0),

D(1,0),

M(2,4),D(1,0),

二直線MD解析式：y=4x-4,

ONIIMH,△AON-△AHM,

.AhLON_AO_l

ATMITAH"3?

AN=至，ON=&N(0,g).

333

如圖3,若AANGSAAMD,可得NGIIMD,

直線QG解析式：y=4x+—,

3

如圖4,若AANGJAADM,可得里理

ADAM

AG3,

6

G0),

6

綜上所述，符合條件的所有直線QG的解析式為：y=4x+&gy=-&x+g

3193

點評：本題二次函數(shù)的綜合題，要求會求二次函數(shù)的解析式和兩圖象的交點，會應(yīng)用三角形相似定理，本題步驟

有點多，做題需要細心.

10.(2014?蘇州模擬)已知，在RtAOAB中,ZOAB=90°,NBOA=30。，AB=2,以O(shè)為原點，OA所在直線為x

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點B在第一象限內(nèi)，將R3OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點

C處.

(1)求點C的坐標(biāo)和過0、C、A三點的拋物線的解析式；

(2)P是此拋物線的對稱軸上一動點，當(dāng)以P、0、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標(biāo)；

(3)M(x,y)是此拋物線上一個動點，當(dāng)△MOB的面積等于△OAB面積時，求M的坐標(biāo).

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：計算題；壓軸題；分類討論.

分析：(1)在RtAOAB中，己知NBOA的度數(shù)和AB的長，可求出0A的值，即可得到點A的坐標(biāo)；由于△OBC

由AOAB折疊所得，那么NBOA=NBOC、且OA=OC,過C作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，通

過解直角三角形可得到點C的坐標(biāo)；最后利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式.

(2)以P、0、C為頂點的等腰三角形并沒有確定腰和底，所以要分情況討論：①CP=OP、②OC=CP、

③OC=OP；

首先設(shè)出點P的坐標(biāo)，在用表達式表示出AOPC三邊長后，按上面所列情況列方程求解即可.

(3)在直線OB兩邊，到OB的距離等于近的直線有兩條，直線和拋物線的交點就是M點，求出即可.

解答：解：(1)由已知條件，可知OC=OA=—皿_=2如,ZCOA=60°,

tan30°

C點的坐標(biāo)為(如,3),

設(shè)過O、A、C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

'c=0fa=-1

貝12a+2炳b+c=O,解得＜

3a+V3b+c=3c=0

所求拋物線的解析式為y=-X2+2A/3X.

（2）由題意，設(shè)p（V3-y），則：

OP2=y2+3>CP2=（y-3）2=y2-6y+9,OC2=12；

①當(dāng)OP=CP時，6y=6,即y=l；

②當(dāng)OP=OC時，y2=9,即y=±3（y=3舍去）；

③當(dāng)CP=OC時，y2-6y-3=0,即y=3±2返；

??.P點的坐標(biāo)是（如,1）或（如,-3）或（.如,3-2如）或（?,3+273）;

過A作ARJ_OB于R,過O作ON_LMN于N,MN與y軸交于點D.

???ZOAB=90°,ZBOA=30°,AB=2,

OA=2-\/3>OB=4,

由三角形面積公式得：4xAR=2歷2,

AR=?，

???△MOB的面積等于△OAB面積，

在直線OB兩邊，到OB的距離等于?的直線有兩條，直線和拋物線的交點就是M點,

ZNOD=ZBOA=30°,ON=V5，

貝OD=2,

求出直線OB的解析式是y=亨，

則這兩條直線的解析式是y=Y￡+2,y=盤-2,

33

占與x+2

f尸V392

解o

y=-X2+2A/3Xy=-X2+2V3X

f一亞

X1=V3X=2V3x43

解得:3

y1=3y3=0

此時，Mi（J3,3）、M2（3）.M3（2?,0）.M4（-立，-I）.

3333

點評:該題主要考查：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面

積的解法等基礎(chǔ)知識；類似（2）題的等腰三角形判定題，通常都要根據(jù)不同的腰和底進行分類討論，以免

漏解.

11.(2014?鄰水縣模擬)已知：如圖，拋物線y=ax?+bx+2與x軸的交點是A(3,0)、B(6,0),與y軸的交點是

C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)P(X,y)(0<x<6)是拋物線上的動點，過點P作PQIIy軸交直線BC于點Q.

①當(dāng)x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？

②是否存在這樣的點P，使AOAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；動點型；開放型.

分析：(1)已知了A,B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式.

(2)①Q(mào)P其實就是一次函數(shù)與二次函數(shù)的差，二次函數(shù)的解析式在(1)中己經(jīng)求出，而一次函數(shù)可根

據(jù)B,C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出.那么讓一次函數(shù)的解析式減去二次函數(shù)的解析式，得出的新的函數(shù)就

是關(guān)于PQ,x的函數(shù)關(guān)系式，那么可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出PQ的最大值以及相對應(yīng)的x的取值.

(3)分三種情況進行討論：

當(dāng)NQOA=90。時，Q與C重合，顯然不合題意.因此這種情況不成立；

當(dāng)NOAQ=90。時，P與A重合，因此P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo)；

當(dāng)NOQA=90。時，如果設(shè)QP與x軸的交點為D,那么根據(jù)射影定理可得出DQ2=OD?DA.由此可得出關(guān)于

x的方程即可求出x