統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例學(xué)生用書

第三節(jié)平面對(duì)量的數(shù)量積與平面對(duì)量應(yīng)用舉例·最新考綱·1．理解平面對(duì)量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面對(duì)量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系．5．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)潔的平面幾何問題．6．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)潔的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題．·考向預(yù)料·考情分析：平面對(duì)量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，與長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直有關(guān)的問題，平面對(duì)量數(shù)量積的綜合應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過平面對(duì)量數(shù)量積的計(jì)算及應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記5個(gè)學(xué)問點(diǎn)1．向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則________就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b________；若θ＝180°，則a與b________；若θ＝90°，則a與b________．[提示]只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角．2．平面對(duì)量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量________叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影________的乘積3.平面對(duì)量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?________．(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a|·|b|.特殊地，a·a＝________或者|a|＝________．(4)cosθ＝________．(5)a·b≤________．4．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝________＝________．(3)安排律：(a＋b)·c＝________．5．平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a與b的夾角為θ，則數(shù)量積a·b＝________模|a|＝________夾角cosθ＝________向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?________二、必明5個(gè)常用結(jié)論1．求平面對(duì)量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，則|a|＝x22．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量．()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．()(4)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.()(二)教材改編2．[必修4·P107例6改編]設(shè)a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，則t的值為()A．－4B．4C．327D．－3．[必修4·P108習(xí)題T6改編]已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，則a與b的夾角θ為()A．π6B．C．2π3D．(三)易錯(cuò)易混4．(不理解向量的幾何意義致誤)已知AB＝(－1，2)，點(diǎn)C(2，0)，D(3，－1)，則向量AB在CD方向上的投影為________；向量CD在AB方向上的投影為________．5．(向量數(shù)量積的性質(zhì)不熟致誤)若平面四邊形ABCD滿意AB+CD＝0，(AB-AD)·(四)走進(jìn)高考6．[2024·全國(guó)乙卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________．提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算[基礎(chǔ)性]1．[2024·河南高三月考]已知向量a，b的夾角為120°，且|a|＝1，|b|＝2，則(a－3b)·(2a＋b)＝()A．－8B．－5C．2D．192．[2024·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高三開學(xué)考試]正四面體ABCD棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則AE·AF的值為()A．a(chǎn)2B．12a2C．14a2D．33．已知向量a，b滿意a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，則向量b在a方向上的投影為()A．55B．－55C．－24．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿意AP＝12(AB+AC)，則|PD反思感悟計(jì)算向量數(shù)量積的三個(gè)角度(1)定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可干脆運(yùn)用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解.考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用[綜合性]角度1平面對(duì)量的模[例1](1)[2024·蘇州中學(xué)高三月考]已知非零向量a，b的夾角為60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，則|a|＝()A．12B．1C．2(2)[2024·福建南平市監(jiān)測(cè)]已知單位向量e1，e2的夾角為2π3，則|e1－λe2A．22B．12C．3反思感悟1．求向量模長(zhǎng)的方法利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要駕馭此類問題的處理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，則|a|＝x2．求向量模的最值(范圍)的方法(1)代數(shù)法，先把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解；(3)利用肯定值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(取值范圍)．角度2平面對(duì)量的夾角[例2](1)[2024·全國(guó)卷Ⅲ]已知向量a，b滿意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝()A．－3135B．－1935C．17(2)[2024·山西省八校高三聯(lián)考]已知向量a＝(－1，2)，單位向量b滿意b·(a＋5b)＝52，則向量a，b的夾角θ聽課筆記：反思感悟求向量夾角問題的方法(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝a·(2)坐標(biāo)法：若已知a＝(x1，y1)與b(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝x1x2+y(3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解．角度3平面對(duì)量的垂直[例3](1)已知平面對(duì)量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b與b垂直，則λ＝()A．－1B．1C．－2D．2(2)已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB+AC，且AP⊥BC，則實(shí)數(shù)聽課筆記：反思感悟有關(guān)平面對(duì)量垂直的兩類題型【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·合肥市第六中學(xué)高三模擬]若單位向量a，b滿意(a－2b)·(a＋b)＝－12，則|a－bA．1B．2C．3D．22．[2024·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考]已知非零向量a，b滿意|a|＝2|b|，且(a－b)·b＝0，則a與b的夾角為________．3．[2024·四川遂寧市高三模擬]已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，且kb－a與a垂直，則k＝________．考點(diǎn)三平面對(duì)量的綜合應(yīng)用[綜合性]角度1平面對(duì)量與三角函數(shù)[例4][2024·湖北高三月考]已知向量a＝(3sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)．(1)若a∥b，且x∈(－π，0)，求x的值；(2)若函數(shù)f(x)＝2a·b－1，且fx2＝13，求sin聽課筆記：反思感悟平面對(duì)量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．角度2平面對(duì)量與解三角形[例5]在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量m＝(2sinB，2－cos2B)，n＝2sin2π4+(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．聽課筆記：反思感悟本例的第(1)小題，利用向量垂直的充要條件將問題轉(zhuǎn)化為三角方程，使問題獲得解決．第(2)小題突出了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用．本例不僅考查了解三角形的技巧和方法，還注意了分類探討思想的考查．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考]已知向量a＝(cosα，3)，b＝(sinα，－4)，a∥b，則3sinA．－12C．－43D．2．[2024·河南洛陽(yáng)模擬]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(a－2b)sinA＝(c＋b)(sinC－sinB)，設(shè)D是AB的中點(diǎn)，若CD＝1，則△ABC面積的最大值是()A．2－1B．2＋1C．3－22D．3＋223．[2024·福建泉州模擬]已知函數(shù)f(x)＝d·e，其中d＝(2cosx，－3sin2x)，e＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)與n＝(2，sinC)共線，求邊長(zhǎng)b和c的值．微專題23平面對(duì)量與三角形的“四心”邏輯推理三角形的“四心”：設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝a2(2)O為△ABC的重心?OA+(3)O為△ABC的垂心?OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(4)O為△ABC的內(nèi)心?aOA＋bOB＋cOC＝0.類型1平面對(duì)量與三角形的“重心”問題[例1][2024·山東萊州一中高三開學(xué)考試]O是平面上肯定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意OP＝OA＋λ(AB+AC)，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡肯定通過△A．外心B．垂心C．內(nèi)心D．重心解析：令D為BC的中點(diǎn)，則OP＝OA＋λ(AB+AC)＝OA＋2λ于是有AP＝2λAD，∴點(diǎn)A、D、P共線，即點(diǎn)P的軌跡通過三角形ABC的重心．答案：D類型2平面對(duì)量與三角形的“內(nèi)心”問題[例2]在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的內(nèi)心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，則動(dòng)點(diǎn)PA．1063C．43D．62解析：依據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則12bcsinA＝12(a＋b＋c)r，解得r＝所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2答案：B類型3平面對(duì)量與三角形的“垂心”問題[例3]已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意OP＝OA＋λ(ABABcosB+ACACcosC)，λA．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心解析：因?yàn)镺P＝OA＋λ(ABAB所以AP＝OP-OA＝λ(所以BC·AP＝BC·λ(ABABcosB+ACACcosC)＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，所以BC⊥AP，所以點(diǎn)P在答案：B類型4平面對(duì)量與三角形的“外心”問題[例4]已知在△ABC中，AB＝1，BC＝6，AC＝2，點(diǎn)O為△ABC的外心，若AO＝xAB＋yAC，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)為()A．45，C．-45解析：取AB的中點(diǎn)M和AC的中點(diǎn)N，連接OM，ON，則OM⊥AB，ON⊥AC，OM＝AM-AO＝12AB－(xAB＋yAC)＝12-xAB－yAC，ON＝AN-由OM⊥AB，得12-xAB2－yAC由ON⊥AC，得12-yAC2－x又因?yàn)锽C2＝(AC-AB)2＝AC2－2AC·AB+AB2，所以AC把③代入①、②得1-2x+y=0，解得x＝45，y＝3故實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)為45答案：A類型5平面對(duì)量與三角形的“四心”問題[例5]已知向量OP1，OP2，OP3滿意條件OP1+證明：由已知條件可得OP1+OP2同理OP2·O即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，∴|P1P2|＝|P從而△P1P2P3是正三角形．第三節(jié)平面對(duì)量的數(shù)量積與平面對(duì)量應(yīng)用舉例積累必備學(xué)問一、1．(1)∠AOB(3)同向反向垂直2．|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3．(2)a·b＝0(3)|a|2a·a(4)a·bab(5)|a||4．(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c5．x1x2＋y1y2x1x1x2+y1y2x12三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．解析：因?yàn)閍·b＝5×(－6)－7t＝－2，所以t＝－4.答案：A3．解析：cosθ＝a·bab＝-632×6＝－32答案：D4．解析：由點(diǎn)C(2，0)，D(3，－1)，得CD＝(1，－1)，所以向量AB在CD方向上的投影為|AB|cos〈AB，CD〉＝AB·CDCD＝－322，向量CD在AB方向上的投影為|CD答案：－3225．解析：由四邊形ABCD滿意AB+CD＝0知，四邊形ABCD為平行四邊形．又由(AB-AD)·AC＝0，即DB·AC＝0，可知該平行四邊形的對(duì)角線答案：菱形6．解析：因?yàn)閍－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得，3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35答案：3提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一1．解析：∵a·b＝1×2×-1∴(a－3b)·(2a＋b)＝2|a|2－5a·b－3|b|2＝2×1－5×(－1)－3×4＝－5.答案：B2．解析：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以AE·AF＝12(AB+AC)·12AD＝14(a·a·cosπ3＋a·a·cosπ3)＝1答案：C3．解析：由a＝(1，2)，可得|a|＝5，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影為a·ba答案：D4．解析：方法一如圖，在正方形ABCD中，由AP＝12(AB+AC)得點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴|PD|＝5，PB·PD＝PB·(PC+CD)＝PB方法二∵AP＝12(AB+AC)，∴P為BC的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝2-02+1-22答案：5－1考點(diǎn)二例1解析：(1)因?yàn)榉橇阆蛄縜，b的夾角為60°，且|b|＝1，所以a·b＝|a|·|b|cos60°＝12|a又因?yàn)閨2a－b|＝1，所以(2a－b)2＝1，即4a2＋b2－4a·b＝1，所以4|a|2＋|b|2－4×12|a|＝1，整理可得：4|a|2－2|a|＝0，因?yàn)閨a|≠0，解得：|a|＝1(2)因?yàn)閑1·e2＝|e1||e2|cos2π3＝－12，所以|e1－λe2|2＝e12+λ2e22－2所以|e1－λe2|≥32答案：(1)A(2)C例2解析：(1)由題意得cos〈a，a＋b〉＝a＝a＝25-65×25+36-12＝解析：(2)由b·(a＋5b)＝52得a·b+5b2＝52，∵|b|＝1，∴a·b＝－52，又|a|＝5，∴cosθ＝－12答案：(1)D(2)2π3例3解析：(1)由已知得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，因?yàn)棣薬－b與b垂直，所以(λa－b)·b＝0,即(λ－4，－3λ＋2)·(4，－2)＝0，所以4λ－16＋6λ－4＝0，解得λ＝2，故選D.(2)因?yàn)锳P⊥BC，所以AP·BC＝0.又AP＝λAB+AC，BC＝AC-AB，所以(λAB+AC)·(AC-AB)＝0，即(λ－所以(λ－1)|AC||AB|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×2×3×-12－9λ＋4＝0.解得λ＝答案：(1)D(2)7對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：因?yàn)閍，b為單位向量，所以(a－2b)·(a＋b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝－a·b－1＝－12，所以a·b＝－1所以|a－b|＝a-b2＝a答案：C2．解析：由題意，設(shè)|a|＝2|b|＝2t(t＞0)，又(a－b)·b＝0?a·b＝b2＝t2，設(shè)a與b的夾角為θ，所以cosθ＝a·bab＝t22t答案：π3．解析：∵a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，∴kb－a＝(－3k－2，－k－1)，∵kb－a與a垂直，∴(－3k－2)×2＋(－k－1)×1＝0，解得k＝－57答案：－5考點(diǎn)三例4解析：(1)由a∥b，得3sinxcosx－cos2x＝0，即cosx(3sinx－cosx)＝0，所以cosx＝0或3sinx－cosx＝0.當(dāng)cosx＝0時(shí)，x∈(－π，0)，則x＝－π2當(dāng)3sinx－cosx＝0時(shí)，得tanx＝33，x∈(－π，0)，則x＝－5π綜上，x的值為－π2或－5π(2)f(x)＝2a·b－1＝23sinxcosx＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2(32sin2x＋12cos2x)＝2sin由fx2＝2sinx+π6＝13，得sin所以sin2x-π6＝sin2x+π6-π＝2sin2x+π6－1＝2×136例5解析：(1)因?yàn)閙⊥n，所以m·n＝0，所以2sinB·2sin2π4+B2＋(2－cos2B)·(－1)＝0.所以2sinB·1-co