浙江省L16聯(lián)盟2023-2024學年高三下學期開學適應性測試數(shù)學試題

浙江省L16聯(lián)盟2024年高三返校適應性測試數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.半徑為2的圓上長度為4的圓弧所對的圓心角是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的弧長公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓弧所對的圓心角為，因為半徑為2的圓上圓弧長度為4，可得，所以.故選：B.2.直線過拋物線的焦點，且在軸與軸上的截距相同，則的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得拋物線的焦點為，設(shè)直線方程為，代入直線方程求得的值，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點為，又由直線在軸與軸的截距相同，可得直線方程為，將點代入，可得，所以直線的長為.故選：A.3.如圖，某種車樁可在左右兩側(cè)各?？恳惠v單車，每輛單車只能?？坑谝粋€車樁.某站點設(shè)有4個均停滿共享單車的這樣的車樁.若有兩人在該站點各自挑選一輛共享單車騎行，且所挑單車不?？坑谕卉嚇?，則不同的選法種數(shù)是（）A.24 B.36 C.48 D.96【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用分步計數(shù)原理和組合知識即可求出結(jié)果.【詳解】由題有，故選：C.4.隨機變量服從正態(tài)分布.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用對稱性得到，，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，故選：B.5.已知.設(shè)甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)以及充分和必要條件等知識確定正確答案.【詳解】依題意，，對于甲：，即，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，故.對于乙：，兩邊取以為底的對數(shù)得，由于，所以，則，設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以由，即，若或，則，若不在的同一單調(diào)區(qū)間，則，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A6.已知復數(shù)，其中且，則的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由復數(shù)模的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.【詳解】復數(shù)，其中且，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點，在直線上，的幾何意義是點到點的距離，其最小值為點到直線的距離，最小值為.故選：D7.高為3，長寬為的長方體中，以為球心的球兩兩相切，過點作球的切線交球于點在長方體外部，則點的軌跡長度是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出球的半徑分別為，得到方程，求出，從而得到點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，位于長方體外部的圓弧部分，求出答案.【詳解】設(shè)球的半徑分別為，則，，，解得，過點作球的切線交球于點，則點的軌跡為球的小圓，其中圓心為，則在線段上，如圖所示，⊥，，由勾股定理得，為等腰直角三角形，故，由于在長方體外部，故點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，位于長方體外部的圓弧部分，其中位于長方體外部的部分占到整個圓的，故軌跡長度為.故選：C8.已知數(shù)列滿足，且對任意均有.記的前項和為，則（）A.28 B.140 C.256 D.784【答案】B【解析】【分析】令，得到，令，求得，得出為等差數(shù)列，求得，利用累加法求得，再令，得到，求得，得出，即可求解.【詳解】由數(shù)列滿足，且，令，可得，即，再令，可得，即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又由，可得，即，又由即，所以及，令，可得，代入可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是證明數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，再結(jié)合累加法并求出，從而得到，最后計算即可.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而得到選項A正確，再由元素與集合，集合與集合間的關(guān)系，對B，C和D逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】易知方程無解，所以，所以選項A正確，因為，所以選項B錯誤，因為集合是以為元素的集合，由元素與集合間的關(guān)系，知選項C正確，又空集是任何集合的子集，所以選項D正確，故選：ACD.10.設(shè)，向量，向量，則（）A.必不互為平行向量B.必不互為垂直向量C.存在，使D.對任意【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)平行向量、垂直向量、相等向量的坐標表示以及向量的數(shù)量積運算，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：若互相平行，則，即，又，，則，即，顯然不成立，故必不互為平行向量，A正確；對B：若，則，，此時，與垂直，故B錯誤；對C：若，則，且，即，且，又，，則，且，顯然無法同時成立，即不可能相等，故C錯誤；對D：，則，故對任意，D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，曲線.過不在上的點恰能作兩條的切線，切點分別為，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求導函數(shù)，結(jié)合題意利用導數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為有兩點問題，求導，分類討論研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出，從而判斷AB，分類作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象分析數(shù)形結(jié)合判斷CD.【詳解】因為，所以，所以經(jīng)過的切線方程為，由切線過點知，令，則恰有兩個零點，且，當時，，則在單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；當時，則若，當或時，當時，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，當或時，當時，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故或時，函數(shù)才可能有兩個零點，又，故，此時顯然有兩條切線，所以，即，當時，，故選項A錯誤，B正確；由上述分析，，當時，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，示意圖如圖：顯然，且，所以，當時，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，示意圖如圖：顯然，，由得，所以，即，綜上，，，故選項C和D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了導數(shù)的幾何意義與數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點問題，解題關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合的思想分析研究零點的范圍.本題中根據(jù)曲線有兩個切線結(jié)合拐點性質(zhì)得到，然后數(shù)形結(jié)合分析即可求解，若利用單純的代數(shù)運算求解判斷比較困難．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】##05【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，故，變形后得到，求出答案.【詳解】因為的定義域為R，且為奇函數(shù)，故，即對恒成立，化簡得，故，解得.故答案為：13.已知數(shù)列滿足，且其前項和為公比為2的等比數(shù)列.則的前項積是__________.（用含的式子表示）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到數(shù)列的前項和為，進而得出，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，又，由題知①，當時，②，由①②得到，所以，設(shè)數(shù)列的前項積為，當時，，當時，，顯然時適合上式，所以，故答案為：.14.已知雙曲線與平行于軸的動直線交于兩點，點在點左側(cè)，雙曲線的左焦點為，且當時，.則雙曲線的離心率是__________；當直線運動時，延長至點使，連接交軸于點，則的值是__________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根據(jù)條件，設(shè)，代入雙曲線方程得，再根據(jù)條件即可得，從而求出結(jié)果；利用，得到，設(shè)，則有，，，代入化簡即可得出結(jié)果.【詳解】當時，設(shè)，則有，解得，又，所以，又，所以，兩邊同除，得到，解得或（舍），因為，有，設(shè)，則，，，，所以，又，所以，故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于第二空，利用，得到，設(shè)，，求出，化簡并結(jié)合雙曲線定義，即可求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）時，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：至多只有一個零點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）當時，，得到，進而可求出，，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；（2）將的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成與交點個數(shù)，對求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，即可證明結(jié)果.【小問1詳解】當時，，則，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】由，得到，整理得到，令，則，當時，，當時，，所以在區(qū)間上恒成立，當且僅當時取等號，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，則與最多有一個交點，即至多只有一個零點16.如圖，多面體中，四邊形與四邊形均為直角梯形.已知點四點共面，且.（1）證明：（i）平面平面；（ii）多面體是三棱臺；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】16.（i）證明見解析；（ii）證明見解析17【解析】【分析】（1）（i）由線線平行得到線面平行，進而得到面面平行；（ii）由面面平行得到線線平行，即，作出輔助線，證明出直線相交于點，故多面體是三棱臺；（2）由勾股定理逆定理得到線線垂直，從而建立空間直角坐標系，得到平面的法向量，求出兩平面的夾角余弦值.【小問1詳解】（i）四邊形與四邊形均為直角梯形，，故，，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為平面，，所以平面平面；（ii）由（i）知，平面平面，又四點共面，平面平面，平面平面，故，由于四邊形與四邊形均為直角梯形，且，故與不垂直且夾角為銳角，與不垂直且夾角為銳角，所以為相交直線，延長兩直線相交于點，所以直線，直線，又平面，平面，故平面，平面，又平面平面，故，故直線相交于點，故多面體是三棱臺；【小問2詳解】因為，故，則⊥，故⊥，又，故，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成角大小為，則.17.記的內(nèi)角的對邊分別為.已知.（1）當角最大時，求其最大值并判斷的形狀；（2）若的中線，求面積的最大值.【答案】（1），等邊三角形（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，由正弦定理得到，再利用余弦定理及重要不等式可得，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，利用向量的中線公式得到，再結(jié)合余弦定理得到，進而可得到，，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由得到，又由余弦定理得，當且僅當取等號，又，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即角最大值為，又，所以為等邊三角形.【小問2詳解】因為，得到，又，所以①，又由余弦定理得②，由①②得到，又，所以，得到，當且僅當時取等號，此時，，由（1）知，所以，即面積的最大值為.18.已知曲線由和組成，點，點，點在上.（1）求的取值范圍（當與重合時，）；（2）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）注意到是橢圓的左右焦點，且是圓與軸的交點，分點是否在軸的右側(cè)兩種情況討論即可得解；（2）當兩點在半橢圓上時（不含軸），設(shè)，求出，同理求出，進而可求出面積的表達式，再討論兩點都在半圓上，一點在半圓上一點在半橢圓上（不含軸）和一點在軸上一點在半橢圓上三種情況討論，進而可得出答案.【小問1詳解】注意到是橢圓的左右焦點，且是圓與軸的交點，當點在軸的右側(cè)時，由橢圓的定義可得；當點不在軸的右側(cè)時，設(shè)，則，因為，所以，所以，綜上所述，；小問2詳解】記的面積為，當兩點在半橢圓上時（不含軸），設(shè)，聯(lián)立，則有，故，同理可得，故，令，則，則，由，得，所以，所以；當兩點都在半圓上時，，則；當一點在半圓上一點在半橢圓上時（不含軸），由對稱性，可設(shè)點在半橢圓上，則，故，由，可得，所以，所以；當一點在軸上一點在半橢圓上時，由對稱性，可設(shè)點是曲線與軸的交點，則點為橢圓的右頂點，則，，綜上所述，面積的取值范圍為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.19.一般地，元有序?qū)崝?shù)對稱為維向量.對于兩個維向量，定義：兩點間距離，利用維向量的運算可以解決許多統(tǒng)計學問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標準點的距離，與哪個標準點的距離最近就歸為哪類.某公司對應聘員工的不同方面能力進行測試，得到業(yè)務能力分值?管理能力分值?計算機能力分值?溝通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：崗位業(yè)務能力分值管理能力分值計算機能力分值溝通能力分值合計分值會計（1）215412業(yè)務員（2）523515后勤（3）235313管理員（4）454417對應聘者的能力報告進行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對應四維向量的四個坐標.（1）將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；（2）小剛與小明到該公司應聘，已知：只有四個崗位的擬合距離的平方均小于20的應聘者才能被招錄.（i）小剛測試報告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個點，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；（ii）小明已經(jīng)被該公司招錄，其測試報告經(jīng)公司計算得到四種