高等數(shù)學(xué)教程　下冊　第4版 課件 9.3 空間曲面和曲線

曲面在空間解析幾何中被看作點的軌跡.曲面方程的定義:9.3空間曲面和曲線9.3.1空間曲面方程(2)不在曲面上的點的坐標(biāo)都不滿足方程;(1)曲面上任一點的坐標(biāo)都滿足方程;如果曲面與三元方程有下述關(guān)系:而曲面S稱為方程的圖形.

那么,方程就稱為曲面S的方程,解由題意,有所求方程為特別地,球心在原點的球面方程為即設(shè)是球面上任一點,例1

建立球心在點半徑為

R的球面方程.球面的一般方程為經(jīng)配方,可化為球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.例如配方后得例如與分別表示上、下半球面.定義繞其平面上的一條直線這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.此曲線稱母線.稱為旋轉(zhuǎn)曲面.旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,為方便,常把曲線所在一條平面曲線母線軸作坐標(biāo)軸.平面取作坐標(biāo)面,旋轉(zhuǎn)軸取將代入得所求方程為例2求

yOz坐標(biāo)面上的已知曲線繞

z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.(2)點M到z軸的距離解xOz坐標(biāo)面上的已知曲線繞

x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為同理:yOz坐標(biāo)面上的已知曲線解

圓錐面方程所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面.兩直線的交點稱為圓錐面的頂點,兩直線的夾角圓錐面的半頂角.稱為試建立頂點在坐標(biāo)原點O,旋半頂角為

的圓錐面的方程.轉(zhuǎn)軸為z軸,面上直線方程為例3直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周圓錐面的方程也可寫成圓錐面的幾種常用形式與分別表示開口朝上與朝下的半錐面.曲面研究的另一個基本問題:根據(jù)曲面方程研究曲面的圖形.一般來說方程F(x,y,z)=0的圖形不容易直接得到,但如果取定x、y、z中的某個變量，與平面z=z0的交線.時，的全貌.例如

z=z0

為常數(shù)它是曲面F(x,y,z)=0F(x,y,z0)=0就是一條曲線，我們可以通過這些交線了解曲面這種方法稱為截痕法.定義平行于定直線并沿定曲線C這條定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線,動直線L稱為柱面的母線.所形成的曲面稱為柱面.移動的直線L

準(zhǔn)線母線柱面舉例拋物柱面平面從柱面方程看柱面的特征：(其他類推)在空間直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線為xOy面上的曲線C.通過坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和平移,其一般方程為三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.我們可以把二次曲面的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.1.橢球面用平行于坐標(biāo)平面的平面去截橢球面(必須相交)所有截痕(或稱截口曲線)都是橢圓.2.單葉雙曲面xyoz用平面z=z0

截割該曲面時，所有的截痕曲線都是橢圓，用平面x=x0

或y=y0

截割該曲面時，截痕曲線是雙曲線3.雙葉雙曲面xyo4.二次錐面二次錐面與平面z=z0(非零)的截口曲線都是橢圓,而與平面x=0或y=0的接口曲線都是一對直線.特例：圓錐面.直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面.兩直線的交點稱為圓錐面的頂點,兩直線的夾角稱為圓錐面的半頂角.(與

同號)5.橢圓拋物面zxyoxyzo特殊地:當(dāng)

時,方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面分別表示開口朝上與朝下的旋轉(zhuǎn)拋物面.例如與(與

同號)(馬鞍面)設(shè)圖形如下:6.雙曲拋物面馬鞍面與平面z=0的截口為對直線，與平面z=z0≠0截口曲線都是雙曲線。而與平面x=x0

或y=y0

的截口曲線都是拋物線空間曲線的一般方程空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點:曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.空間曲線方程例4

方程組表示怎樣的曲線?解表示圓柱面,表示平面,交線為橢圓C例5

方程組表示怎樣的曲線?解上半球面(如圖)圓柱面(如圖)交線為藍色部分(如圖)稱為空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的就得到曲線上的一個點全部點.消去變量z后得:——曲線關(guān)于xOy的投影柱面.設(shè)空間曲線C的一般方程:投影柱面的特征：此柱面必包含曲線C,以曲線C為準(zhǔn)線、

C母線垂直于所投影的坐標(biāo)面.例6設(shè)一立體

由上半球面解半球面和錐面的交線為的投影.所圍成,求它在xOy面上和錐面類似地:可定義空間曲線在其它坐標(biāo)面上的投影.yOz