3.3.1拋物線的標準方程（解析版）

3.3.1拋物線的標準方程同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．已知點在拋物線上，則拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將點代入求得拋物線方程，再將其轉(zhuǎn)化為標準方程即可得解.【詳解】因為點在拋物線上，所以，則，所以拋物線的標準方程是，則拋物線的焦點坐標為，故選：C.2．頂點在原點、坐標軸為對稱軸的拋物線，過點，則它的方程是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】分焦點在軸和軸上討論，并利用待定系數(shù)法即可得到答案.【詳解】當拋物線的焦點在軸上時，設(shè)拋物線的方程為．因為拋物線過點，所以，所以．所以拋物線的方程為；當拋物線的焦點在軸上時，因為拋物線過點，設(shè)拋物線的方程為，因為拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的方程為，即，綜上拋物線的方程為或.故選：A.3．對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【解析】將拋物線方程改寫為標準方程形式，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點坐標.【詳解】由題知，該拋物線的標準方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標為.故選：A.4．拋物線經(jīng)過點（1，2），則此拋物線焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】先求出，再根據(jù)拋物線標準方程的特征可求解.【詳解】因為拋物線經(jīng)過點（1，2），所以，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離等于.故選：D5．頂點在原點，且過點的拋物線的標準方程是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線的標準方程.【詳解】點在第二象限.當焦點在x軸上時，可設(shè)拋物線的標準方程為，把代入解得：，所以拋物線的標準方程為.當焦點在y軸上時，可設(shè)拋物線的標準方程為，把代入解得：，所以拋物線的標準方程為.故選：D6．以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點與原點之間的距離為2的拋物線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標準方程.【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為．因為焦點與原點之間的距離為2，所以，所以，所以拋物線方程為或．故選：C．7．焦點在直線上的拋物線的標準方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】分別求得直線與x軸，y軸的交點得到拋物線的焦點即可.【詳解】解：直線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，-3），當以（4，0）為焦點時，拋物線的標準方程為，當由（0，-3）為焦點時，拋物線的標準方程為，故選：B8．以為焦點的拋物線的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意設(shè)拋物線方程為，結(jié)合焦點坐標求得，即可得出答案.【詳解】因為拋物線焦點為，所以可設(shè)拋物線方程為，且，則，所以拋物線方程為．故選：D．9．拋物線的焦點到準線的距離為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)拋物線中p的幾何意義可求解．【詳解】解：拋物線的焦點到準線的距離是，故選：D．10．焦點坐標為的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點位置寫出拋物線的標準方程.【詳解】焦點坐標為，則拋物線開口向左，焦點在軸上，故拋物線的標準方程是.故選：D二、填空題11．拋物線的焦點坐標是.【答案】【分析】將拋物線方程化為標準形式后可得結(jié)果.【詳解】由得，所以，，所以拋物線的焦點坐標是.故答案為：.12．拋物線的準線方程為.【答案】【分析】拋物線的準線方程為，由此得到題目所求準線方程.【詳解】拋物線的準線方程是.故答案為：.13．拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，其上有一點，其到準線的距離為6，則．【答案】【分析】由題意設(shè)拋物線的方程為，由條件得，進而可得拋物線的方程，把點坐標代入，可求得.【詳解】由題意焦點在x軸正半軸上，設(shè)拋物線的方程為，∵準線方程為，點到準線的距離為6，∴，∴，∴拋物線的方程為，∵點在拋物線上，∴，∴.故答案為：.14．已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點，則該拋物線的標準方程為．【答案】或【分析】先設(shè)拋物線方程，再把點代入可得拋物線方程.【詳解】設(shè)拋物線方程為，或.將代入，分別得方程為或.故答案為：或.15．已知拋物線：，則拋物線的焦點坐標為．【答案】/【分析】把拋物線的方程化成標準形式，再寫出焦點坐標即可.【詳解】拋物線：，即，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：三、解答題16．分別求適合下列條件的方程：(1)長軸長為10，焦距為4的橢圓標準方程；(2)經(jīng)過點的拋物線的標準方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)長軸和焦距的定義求出a、c，進而求出b，即可求解；（2）設(shè)拋物線方程為或，將點P坐標代入，即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為由條件可得.所以.所以，當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為；當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為.（2）當拋物線的焦點在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標準方程為，將點的坐標代入拋物線的標準方程得，此時，所求拋物線的標準方程為；當拋物線的焦點在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標準方程為，將點的坐標代入拋物線的標準方程得，解得，此時，所求拋物線的標準方程為.綜上所述，所求拋物線的標準方程為或.17．求以坐標原點為頂點，以軸為對稱軸，并經(jīng)過點的拋物線的標準方程．【答案】【分析】由待定系數(shù)法求解即可.【詳解】因為拋物線以坐標原點為頂點，以軸為對稱軸，所以設(shè)其標準方程為，又因為點在所求拋物線上，所以將其坐標代入拋物線方程可得，解得，因此所求拋物線的標準方程為.18．已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：(1)；(2)．【答案】(1)焦點為，準線方程為；(2)焦點為，準線方程為．【分析】（1）根據(jù)拋物線標準方程即可判斷焦點位置及，進而寫出焦點坐標和準線方程；（2）將拋物線化成標準方程可得，即可寫出焦點坐標和準線方程；【詳解】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點在軸正半軸上，所以可得其焦點為，準線方程為；（2）將化成標準方程為，可得，且焦點在軸負半軸上，所以焦點為，準線方程為.19．求拋物線上到焦點的距離等于9的點的坐標．【答案】或【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點，再根據(jù)拋物線的定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，，焦點，準線為，設(shè)，則，得，，所以.能力進階能力進階20．求拋物線的焦點坐標和準線方程．【答案】，【分析】由拋物線的焦點坐標和準線方程分別為，，結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】由拋物線的焦點坐標和準線方程分別為，，由題意拋物線標準方程為，所以，即，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為．21．根據(jù)下列條件分別求拋物線的方程：(1)準線方程為；(2)經(jīng)過點(－3，1)．【答案】(1)(2)y2＝－x或x2＝9y.【分析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)可得；（2）設(shè)拋物線方程，代入坐標可得，注意討論開口方向.【詳解】（1）由題意得焦點在y軸的負半軸上，所以設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)．