天津市濱海新區(qū)三校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月督導(dǎo)試題含解析

PAGE18-天津市濱海新區(qū)三校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月督導(dǎo)試題（含解析）一、選擇題（每小題5分，共45分）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)集合的補集、并集運算即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，故選：．【點睛】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．2.對于實數(shù)，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由于不等式的基本性質(zhì)，“a＞b”?“ac＞bc”必需有c＞0這一條件．解：主要考查不等式的性質(zhì)．當(dāng)c=0時明顯左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊．故選B考點：不等式的性質(zhì)點評：充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系的重要條件．3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，用導(dǎo)數(shù)法可得，從而有，可得確定選項.【詳解】設(shè)，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以，解除B，C，D.故選A【點睛】本題主要考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的實力，屬于中檔題.4.已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，且兩兩垂直，是邊長為的正三角形，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三棱錐的結(jié)構(gòu)求出，由三棱錐與其外接球關(guān)系知球直徑等于（這個結(jié)論不清晰的學(xué)生可自行以為棱，把三棱錐補成一個長方體再視察）．【詳解】由題中條件易得，從而球的半徑，體積，故選：C．【點睛】本題考查球的體積，解題關(guān)鍵是駕馭三棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和．5.已知圓：與直線相交于兩點.若為正三角形，則實數(shù)的值為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，將圓C的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析其圓心與半徑，求出圓心到直線的距離d，由直線與圓的位置關(guān)系分析可得圓心C到直線的距離dr，解可得m的值，即可得答案．【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程是；則圓心，半徑為（其中）；所以圓心到直線的距離為，在等邊三角形中得，，解得.故選：A【點睛】本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，涉及圓的弦長公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是駕馭圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．6.假如函數(shù)y＝3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點（，0）中心對稱，那么|φ|的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)函數(shù)y＝3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點中心對稱，令x代入函數(shù)使其等于0，求出φ的值，進(jìn)而可得|φ|的最小值.【詳解】∵函數(shù)y＝3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點中心對稱.∴∴當(dāng)時，有.故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的簡潔性質(zhì)，考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理計算實力，屬基礎(chǔ)題.7.已知奇函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，若a＝﹣f（1og3），b＝f（），c＝f（2﹣0.8），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.c＜a＜b【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合自變量的大小，比較出的大小關(guān)系.【詳解】由于是奇函數(shù)，所以.，而在上遞減，故.故選：B【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查對數(shù)運算，考查依據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.8.已知雙曲線與拋物線的交點為，直線經(jīng)過拋物線的焦點，且線段的長度等于雙曲線的虛軸長，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對稱性知軸，從而在拋物線中，于是有，這樣有，代入雙曲線方程得關(guān)系，從而可求得離心率．【詳解】由題易知，軸.又由直線經(jīng)過拋物線的焦點，把代入可得，從而可得，即.又點，即在雙曲線上，可得，即，進(jìn)而，離心率.故選：.【點睛】本題考查求雙曲線離心率，解題時要找到關(guān)于的關(guān)系，為此利用弦長，它在拋物線中等于，又等于，從而用表示出點坐標(biāo)，代入雙曲線方程得所需關(guān)系式．9.已知函數(shù)，若方程有2個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出當(dāng)直線與曲線相切時；當(dāng)時，，令，得，再對的值分狀況探討，分段分析方程的實根的個數(shù)，從而得到的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)直線與曲線相切時，設(shè)切點為，因為，所以切線的斜率，所以，切點為，代入得，.又時，，令，得，即，所以①當(dāng)時，有1個實根，此時有1個實根，滿意條件；②當(dāng)時，有2個實根，此時有1個實根，不滿意條件；③當(dāng)時，無實根，此時要使有2個實根，應(yīng)有且，即且.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或或.故選：B.【點睛】本題主要考查方程的根的問題，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z滿意，則______.【答案】【解析】【分析】把已知等式變形，再把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，最終由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.【詳解】解：由，得，∵，∴，則.故答案為：.【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題11.如圖莖葉圖記錄了甲．乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成果（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為______，______．【答案】(1).5(2).8【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)的概念，求出x、y的值．【詳解】依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：∵甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，∴x＝5；又∵乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，∴16.8，解得：y＝8；綜上，x、y的值分別為5、8．故答案為(1).5(2).8【點睛】本題考查了利用莖葉圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的問題，是基礎(chǔ)題．12.一個袋中裝有10個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中隨意摸出2個球，至少得到一個白球的概率是，則袋中的白球個數(shù)為_____，若從袋中隨意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝_____．【答案】(1).5(2).【解析】【分析】依據(jù)至少得到一個白球的概率為，可得不含白球的概率為，結(jié)合超幾何分布的相關(guān)學(xué)問可得白球的個數(shù)，以及隨機變量的期望，得到答案．【詳解】依題意，設(shè)白球個數(shù)為，至少得到一個白球的概率是，則不含白球的概率為，可得，即，解得，依題意，隨機變量，所以．故答案為：5，．【點睛】本題主要考查了超幾何分布中事務(wù)的概率，以及超幾何分布的期望的求解，其中解答中熟記超幾何分布的相關(guān)學(xué)問，精確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于中檔試題．13.若綻開式中全部項系數(shù)和為81，則綻開式的常數(shù)項為________.【答案】8【解析】【分析】在綻開式中，令可得全部項系數(shù)和，可解得，再由通項公式可得常數(shù)項8【詳解】在的二項綻開式中，令得全部項的系數(shù)和為，解得，所以的二項綻開式中的通項為，令，得，常數(shù)項為，故答案為8.【點睛】本題考查了二項式定理．屬中檔題．14.若，，且，則最小值是_____．【答案】13【解析】【分析】由題得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式求解即可【詳解】由題得，故又，當(dāng)且僅當(dāng)x=8,y=5,等號成立故答案為13【點睛】本題考查基本不等式求最值，考查換元思想，精確計算變形是關(guān)鍵，是中檔題15.如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.【答案】.【解析】【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【點睛】本題考查在三角形中平面對量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).實行幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，a，b，C為內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿意.（1）求角B的大?。唬?）已知，，（i）求b及；（ii）求.【答案】（1）；（2）（i）；；（ii）.【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，結(jié)合，可得，依據(jù)范圍可求B的值.（2）（i）由已知利用余弦定理可求b及的值；（ii）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而利用二倍角公式可求，的值，依據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式即可解得的值.【詳解】解：（1）∵，由正弦定理得，∴，，∵，且，∴，∵，∴.（2）（i）∵，，，∴，∴.（ii）∵，∴，，∴.【點睛】此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查計算實力，屬于中檔題17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，M，N分別為線段，上的點（不在端點）.（1）當(dāng)M為中點時，，求證：面；（2）當(dāng)M為中點且N為中點時，求證：平面平面；（3）當(dāng)N為中點時，是否存在M，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）取中點E，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明面.（2）以A為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面平面.（3）假設(shè)存在存在，使得直線與平面所成角的正弦值為..推導(dǎo)出，求出平面的法向量，利用向量法能推導(dǎo)出不存在M，使得直線與平面所成角的正弦值為.【詳解】解：（1）證明：取中點E，連結(jié)，，∵在四棱錐中，平面，，，，M為中點，，∴，，∵，，∴平面平面，∵平面，∴面.（2）證明：以A為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量，∵，∴平面平面.（3）解：假設(shè)存在存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，.則，解得，，，∴，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，整理，得，無解，∴不存在M，使得直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查線面平行的判定和面面垂直的判定，考查線面角，考查空間想象實力和計算實力，屬于中檔題18.已知數(shù)列前n項和為，數(shù)列等差數(shù)列，且滿意，前9項和為153.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為.【答案】（1），，，；（2）.【解析】【分析】（1）運用數(shù)列的遞推式：時，，時，，可得；再設(shè)的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，進(jìn)而得到；（2）求得，再由數(shù)列的裂項相消求和，化簡可得所求和.【詳解】解：（1）由，可得，時，，對也成立，則，，由數(shù)列等差數(shù)列，公差設(shè)d，滿意，前9項和為153，可得，，即，解得，，則，；（2），則前n項和.【點睛】此題考查等差數(shù)列的基本量計算，考查裂項相消求和法，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題19.已知橢圓C：的離心率，橢圓C上的點到其左焦點的最大距離為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點A作直線與橢圓相交于點B，則軸上是否存在點P，使得線段，且？若存在，求出點P坐標(biāo)；否則請說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓C上的點到其左焦點的最大值為，可得，結(jié)合離心率解方程組即可得解；（Ⅱ）先探討直線的斜率時，可得P，探討直線的斜率不為0時，設(shè)為直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得點B，進(jìn)而得AB的中垂線方程，令可得點P，再由求解方程即可.【詳解】（Ⅰ）由題可知，故設(shè)則又∵橢圓C上的點到其左焦點的最大值為∴可判定那一點的坐標(biāo)為∴∴∴a=2，∴∴橢圓C的方程為（Ⅱ）由，可知點P在線段AB的中垂線上，由題意知直線的斜率明顯存在設(shè)為.當(dāng)直線的斜率時，則B(2,0).設(shè).由，解得，又.當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)為直線的方程為：.聯(lián)立得：.有：，解得，即.AB的中點為，線段AB的中垂線為：，令，得.即..解得，此時.綜上可得或.【點睛】本題主要考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了運算求解實力及向量的坐標(biāo)運算，屬于中檔題.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時，，求函數(shù)在上的最小值；（3）當(dāng)時，有兩個零點，，且，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由，求得，分類探討求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到答案.（3）由，依據(jù)題意，得到，，兩式相減，，令，得到函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，又∵，∴，，∴，∴在上單調(diào)遞增.（2）由，則，（1）當(dāng)時，，，此時圖數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，