2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-2 .3 兩條直線的位置關(guān)系

2.3兩條直線的位置關(guān)系

2.3.1兩條直線平行與垂直的判定

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一兩直線平行

1.(2022福建廈門一中期末)已知直線h：x+my+7=0和L：(m-2)x+3y+2m=0互相平行,

則實(shí)數(shù)m=()

A.-3B.-1

C.-1或3D.1或-3

2.(2022天津靜海一中月考)已知人5,3)](2111,111+4),。＞+1,2)。(1,0),且直線人8與

CD平行，則m的值為()

A.-lB.0

C.lD.0或1

3.(2022河北張家口期末)關(guān)于x,y的方程組乃:族,*6沒有實(shí)數(shù)解，則

a=.

4.(2022湖南沅陵一中月考)與直線2x+3y+5=0平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為

I的直線的方程為

題組二兩直線垂直

5.(2022湖南臨澧一中期中)已知直線(a+2)x+y+8=0與直線(2a-l)x-(a+2)y-7=0垂直,

則a=()

A.-3+V6B.0或-2

1

C.1或-2D4或-2

6.(2022湖南邵東一中月考)已知直線h：y=Jx-l,12：y=k2x-2,則“k=2”是

4

的(》

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.(2022湖南益陽箴言中學(xué)期末)已知直線1經(jīng)過點(diǎn)(2,-3),且與直線2x-y-5=0垂直，

則直線1在y軸上的截距為()

A.-4B.-2C.2D.4

8.直線1］過點(diǎn)A(m,l)和點(diǎn)B(-l,m),直線L過點(diǎn)C(m+n,n+l)和點(diǎn)D(n+l,n-m),則直線

h與b的位置關(guān)系是.

題組三兩直線平行與垂直的應(yīng)用

9.在平面直角坐標(biāo)系中，以0(0,0),A(1,1),B(3,0)為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各項(xiàng)中

不能作為平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的是()

A.(-3,l)B.(4,l)

C.(-2,l)D.(2,-l)

10.已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(2,2+2V2),B(0,2-2V2),C(4,2),pliJAABC

是.(填”直角三角形”“銳角三角形”或“鈍角三角形”)

11.已知在平行四邊形ABCD中,A(l,2),B(5,0),C(3,4).

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)試判斷平行四邊形ABCD是不是菱形.

能力提升練

題組兩直線平行與垂直的應(yīng)用

1.(2022湖南雙峰一中月考)已知A(l,2),B(-l,0),C(2,-l),若存在一點(diǎn)D滿足CD，AB,

且CB〃AD,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()

A.(-2,-3)B.(2,-3)

C.(2,3)D.(-2,3)

2.(多選)(2022湖南長郡中學(xué)期中)若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面結(jié)論中正

確的是()

A.AB〃CDB.AB1AD

C.|AC|=|BD|D.AC/7BD

3.(多選)(2021山東新泰中學(xué)月考)已知直線l:(a2+a+l)x-y+l=0,其中a￡R,下列說法

正確的是()

A.當(dāng)a=-l時(shí)，直線1與直線x+y=0垂直

B.若直線1與直線x-y=0平行，則a=0

C.直線I過定點(diǎn)(0,1)

D.當(dāng)a=0時(shí)，直線1在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

4.(2022河南洛陽期末)已知點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)B(0,4)關(guān)于直線ax+y+b=0對稱，則a,b的

值分別為()

13

A.1,3

C.-2,0D.1然5

5.(2022湖南邵東一中月考)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、

垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條

直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知4ABC的頂點(diǎn)A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,則

△ABC的歐拉線方程為()

A.x-2y+3=0B.2x+y-3=0

C.x-2y-3=0D.2x-y-3=0

6.已知四邊形MNPQ的頂點(diǎn)M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2),則四邊形MNPQ的形狀

為.

7.已知直線li：x+3y-5=0,L：3kx-y+l=0.若h上與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接

圓，則k=.

8.(2021重慶八中月考)一條光線從點(diǎn)P(6,4)射出，與x軸相交于點(diǎn)Q(2,0),經(jīng)x軸反

射后與y軸交于點(diǎn)H.

(1)求反射光線QH所在直線的方程；

(2)求點(diǎn)P關(guān)于直線QH的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo).

9.如圖所示，一個(gè)矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路，已知矩形花園長AD為5m,

寬AB為3m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點(diǎn)D,問能否在BC上找到一點(diǎn)

M,使得兩條小路所在直線AC與DM互相垂直？

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C由題意，直線li：x+my+7=0和L:(m-2)x+3y+2m=0互相平行，可得

lx3-m(m-2)=0且2m2-7x3W0,即m2-2m-3=0且nr2#未解得m=-l或m=3.故選C.

2.D當(dāng)直線AB與CD的斜率不存在，即m=0時(shí)，直線AB的方程為x=0,直線CD

的方程為x=l,顯然AB〃CD,滿足題意；

當(dāng)直線AB與CD的斜率存在，即m#0時(shí)，直線AB的斜率直線D

2m-mmC

的斜率因?yàn)橹本€AB與CD平行，所以k尸k2,即竺解得m=l或

l-(m+l)-mmmm

m=0(舍)，當(dāng)m=l時(shí)，直線AB的方程為y=2x+l,直線CD的方程為y=2x-2,顯然

AB〃CD,滿足題意.

綜上所述,m=0或m=l.故選D.

3.答案-4

解析依題意，得直線2x-ay+l=0與直線x+2y-l=0平行，且aWO,所以解得a=-4.

a2

4.答案2x+3y-l=0

解析設(shè)所求直線方程為2x+3y+c=0(c#5).令x=0,得y三;令y=0,得x=-j,

,.所求直線的方程為2x+3y-l=0.

5.C由題意得(a+2)(2a-l)-(a+2)=0,整理得(a+2)(a-l)=0,解得a=-2或a=l.故選C.

6.A當(dāng)k=2時(shí)，直線b:y=4x-2,因?yàn)?1)x4=1,所以h_1_卜,充分性成立;當(dāng)hJ_L時(shí)，

因?yàn)橹本€11的斜率存在,且不為0,所以(1)xk2=-l,解得k=±2,必要性不成立，所以

“k=2”是“1山2”的充分不必要條件.故選A.

7.B易知2x-y-5=0的斜率為2,故直線1的斜率為。根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線1的方程

為y-(-3)=*x-2),整理得y=-；x-2,故直線1在y軸上的截距為-2,故選B.

8.答案垂直

解析①當(dāng)m=l時(shí)，直線h過點(diǎn)A(l,l)和點(diǎn)直線L過點(diǎn)C(l+n,n+l)和點(diǎn)

D(n+l,n-l).此時(shí)直線11的斜率ki=O,直線12的斜率不存在，因此11±12；

②當(dāng)m=-l時(shí)，直線11過點(diǎn)A(-l,l)和點(diǎn)直線L過點(diǎn)C(-l+n,n+l)和點(diǎn)

D(n+l,n+l).

此時(shí)直線11的斜率不存在，直線12的斜率k2=0,因此h_L12；

③當(dāng)mW±l時(shí)，直線h的斜率k尸晅，直線12的斜率卜2=史.此時(shí)ki-k2=-l,.\li±12.

-1-m1-m

綜上可知，直線11與12的位置關(guān)系是垂直.

9.A由題意得,koA=l,kAB=」,koB=0.

2

設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)為C,當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,1)時(shí),koc=T"kAB,所以四邊形OBAC不是

平行四邊形;當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,1)時(shí),kAC=0=k0B,kBc=l=koA,所以四邊形OBCA是平

行四邊形,同理可驗(yàn)證點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2D或(2,-1)時(shí)，滿足題意.故選A.

10.答案直角三角形

解析因?yàn)锳B邊所在直線的斜率kAB=2-2,：：\二2廖CB邊所在直線的斜率

皿上空竺:±AC邊所在直線的斜率kAc=3至=-VX所以kcB-kAC=l,所以

0-424-2

CB_LAC,所以4ABC是直角三角形.

11.解析⑴設(shè)D(a,b),V四邊形ABCD為平行四邊形,，kAB=kcD,kAD=kBC,

/0-2_b-4

???巨〔塞'解得1,6).

9?13-5’

(2)VkAc=—=l,kBD=—=-l,/.kAc-kBD=-l,，ACJ_BD,...平行四邊形ABCD為菱

形.

能力提升練

1.D設(shè)D(x,y),由CD_LAB,且CB〃AD,知kCD?kAB=-1,kCB=kAD,

'y-(-i).0-2二]

則王，解得i二/

、2-(-l)-x-1'

所以D(-2,3).故選D.

2.ABCk=—=--,k=—C不在直線AB上,AB〃CD,故A正確；

AB6+45CD2-125

XVkD=—=-,/.kAB-B正確；

A2+43

?.?前=(16,4),麗=(-4,16),

...|AC|=4g,|BD|=4g,.\|AC|=|BD|,故C正確;

XVkc=—=￡,kD=—=-4,.,.kc?kBD=-l,，AC_LBD,故D錯(cuò)誤.故選ABC.

A12+44B2-6A

3.AC對于A,當(dāng)a=-l時(shí)，直線1的方程為x-y+l=0,顯然與直線x+y=0垂直，所以A

正確；

對于B,若直線1與直線x-y=0平行，則(a?+a+l)?(-l)=lx(-l),解得a=0或a=-l,所以

B不正確；

對于C,當(dāng)x=0時(shí)，,y=l,所以直線過定點(diǎn)(0,1),所以C正確；

對于D,當(dāng)a=0時(shí)直線1的方程為x-y+l=0,在x軸、y軸上的截距分別是-1,1,所以

D不正確.故選AC.

4.B若點(diǎn)A(2,0)與B(0,4)關(guān)于直線ax+y+b=0對稱,則直線AB與直線

0—2

ax+y+b=0垂直，直線ax+y+b=0的斜率是-a,所以(-a)?(-2)=-1,解得a=-；.線段AB的

中點(diǎn)(1,2)在直線ax+y+b=0上，則a+2+b=0,解得b=-：,故選B.

5.D根據(jù)題意,得線段AB的中點(diǎn)為M(2,l),kAB=-；,...線段AB的垂直平分線方程

為y-l=2(x-2),即2x-y-3=0.V|AC|=|BC|,/.AABC的外心、重心、垂心都位于線段

AB的垂直平分線上,.'.△ABC的歐拉線方程為2x-y-3=0,故選D.

6.答案矩形

解析?.?kMN=H3=-l,kpQ=匕b-l,且P不在直線MN上,...MN〃PQ.

1—32—4

又kMQ=—=1,kNP上S=1,

2—14—3

且N不在直線MQ上,...MQ〃NP,

四邊形MNPQ為平行四邊形.

又；kMN?kMQ=-l,，MN_LMQ,

平行四邊形MNPQ為矩形.

7.答案±1

解析如圖所示，直線h：x+3y-5=0分別交x軸、y軸于A,B兩點(diǎn)，直線L：3kx-y+l=0

過定點(diǎn)C(O,1).

由點(diǎn)C在線段OB上知h±li或b與x軸交于D點(diǎn)，且NBCD+NBAD=180。.

①由h_LL知,lx3k+3x(-l)=0,解得k=l.

②由NBCD+NBAD=180。得,NBAD=NOCD.

設(shè)直線h的傾斜角為ai,L的傾斜角為a2,則ai=180°-ZBAD,a2=90°+ZOCD,

ooooo

.,.ai=180-ZBAD=180-ZOCD=180-(a2-90)^ai=270-a2=>tan

(q

ai=tan(270°-a2)=t