2022年江蘇新高二數(shù)學(xué)暑假教材知識點(diǎn)講練（蘇教版2019選擇性必修第一冊）第02講 玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題（解析版）

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題

酸

刁【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所

成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。

2.細(xì)心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想。

3.掌握各種距離和距離的求解方法.

【基礎(chǔ)知識】

知識點(diǎn)1.求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線面距離的方法

(1)若P是平面a外一點(diǎn)，a是平面a內(nèi)的一條直線，過P作平面a的垂線PO,。為垂足，過。作

OALa,連接以，則以以_La.則線段山的長即為P點(diǎn)到直線a的距離(如圖所示).

(2)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫直

線與平面的距離.

(3)求點(diǎn)面距離的常用方法：①直接過點(diǎn)作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個(gè)直角三角形來

求解.

②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點(diǎn)到平面的距離來求解.

③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解.

知識點(diǎn)2.異面直線所成角的常用方法

求異面直線所成角的一般步驟：

(1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線.

(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論——設(shè)⑵所求角大小為。.若0。＜6490。，則。即為所求：若90。＜夕＜180。，則180。“即為所

知識點(diǎn)3.直線與平面所成角的常用方法

求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足)；

(2)通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線

和射影所成的銳角即為所求的角；

(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.

知識點(diǎn)4.作二面角的三種常用方法

(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則NAOB

為二面角a-//的平面角.

圖①圖②圖③(2)垂直法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面

與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.如圖②，NA08為二面角a-1-p

的平面角.

(3)垂線法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)4向另一個(gè)平面作垂線，垂足為8,由點(diǎn)8向二面角

的棱作垂線，垂足為O,連接A0,則NAO8為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③，NAO8為二面角

的平面角.

知識點(diǎn)5.求體積的常用方法

選擇合適的底面，再利用體積公式求解.

拳【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：異面直線所成的角

例1.在空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，若AC=8￡)=2,

且AC與所成的角為60。，則EG的長為()

A.1或夜B.夜或百C.1或6D.；或也

【答案】C

【解析】

【分析】

連接EF,FG,EG,根據(jù)異面直線所成角的意義，在中分情況計(jì)算作答.

【詳解】

A.

連接EF,FG,EG,如圖,

依題意，EF//AC,FG//BD,且EF=1AC=1,FG='3。=1,

22

因AC與8￡）所成的角為60°,則NEFG=60,或NEFG=120，

當(dāng)N￡FG=60。時(shí)，A￡FG是正三角形，EG=\,

當(dāng)ZEFG=120"時(shí)，EG=2EFcosNFEG=2cos30=下＞,

所以EG的氏為1或

故選：C

考點(diǎn)二：線面角

例2.如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，底面A5C,且4J=1,AA=2,

則直線BC與平面ABB'A'所成角的正弦值為

【解析】

【分析】

取A'B'的中點(diǎn)0,連接OC；OB,則CC±平面AB'C',CO，AE,由AV〃C,C,得CO，AA'，從而ZC'BO

是宜線BC'與平面/WB'A所成角，由此能求出直線BC'與平面他區(qū)4'所成角的正弦值.

【詳解】

解：取的中點(diǎn)O,連接。C',08,

因?yàn)樵诙庵鵄BC-AFC'中，底面A8C是等邊三角形，且A4'_L底面A8C,

所以C'C，平面AB'C',COLAB：,

因?yàn)锳A〃C'C，所以COJLA4',

所以ZC'BO是直線BC與平面ABB'A所成角，

因?yàn)锳8=1,4V=2,

所以8。'=爐方=石，C'O=/^=#，

73r-

所以sinZC'BO=￡2=T=VJ5.所以直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為,

一8C一6一1010

故答案為：—.

10

考點(diǎn)三:二面角

住1例3.在四棱錐P—A3c￡＞中，底面A8CD是菱形，z7U3C=60°,PA_L平面A8CD,PA=AB=2.

PC工BD；

(2)求二面角P-CD-A的正弦值.

【答案】(I)證明見解析

⑵氈

7

【解析】

【分析】

(1)作輔助線，證明AC_LBD,PA±BD,即證明8。J?平面B4C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及可證明結(jié)論；

(2)取CZ)中點(diǎn)為點(diǎn)F,連接AF,PF,證明CD_L平面PAF,從而說明HP是二面角P-CD-A的平面角.解

直角三角形APF,即可求得答案.

(1)

證明：連接AC交于點(diǎn)0,

因?yàn)榈酌鍭8C。是菱形，

所以AC_LB"

又因?yàn)镋4_L平面ABC。，B￡>u平面ABC。,

PALBD,

又因?yàn)镻An4C=A,

所以8O_L平面B4C,PCu平面以C,

所以8OJ_PC.

(2)

取CO中點(diǎn)為點(diǎn)F,連接AF,PF,

因?yàn)榈酌鍭8CC是菱形，ZABC=ZA￡>C=60\

所以48是等邊三角形，

所以AELCO.

因?yàn)镽4_L平面ABCD,CDu平面ABC。，

所以P4_LC￡>,

而E4cAF=A，

所以C￡)_L平面B4F,PFu平面抬「，

所以CZ)J_P尸，

所以NAFP是二面角P-CD-A的平面角.

因?yàn)?)=弘=2,則AF="

因?yàn)?4_LAF，

所以PF=,22+3=77,

2_277

所以sinNAFP=

所以二面角P-CD-A的正弦值為氈.

7

考點(diǎn)四：距離問題

例4.如圖，在直三棱柱ABC-4及6中,AB1BC,AA,=AC,AB=2BC=2,E,F分別是年卜入臺

的中點(diǎn).

(1)證明：AE〃平面BC，.

(2)求點(diǎn)C到平面SC尸的距離.

【答案】(1)詳見解析.

⑵叵

6

【解析】

【分析】

(1)取8c的中點(diǎn)G,連接EG,FG,易得四邊形EG"是平行四邊形，從而AE//FG,再利用線面平行

的判定定理證明；

(2)根據(jù)％=匕-sqc,利用等體積法求解.

(1)

證明：如圖所示:

取5c的中點(diǎn)G,連接EG,FG,

則￡G7/AF,且EG=AF,

所以四邊形EGFA是平行四邊形，

所以AE//FG,又AEa平面AGF,FGu平面8。尸，

所以AE〃平面8c/；

(2)

因?yàn)锳8_LBC,四_L8C,又AB?網(wǎng)B,

所以8cL平面A84A，因?yàn)镾G//BC,

所以B￡1平面ABB.A,，則B?IZJ.F,

因?yàn)锳Aj=AC,AB=2BC=2,

所以AC=右，BF=ylBB；+BF?=瓜，

則S=l4Gx21F=漁,Snrr=-B.C,xCC,=—,

AI>IVIr2??2，|C2ii2

因?yàn)閂c-%GF=VF-BJQC?

所以，xSaB|C|F=|fiFxS遇GC，

解得〃=畫，

6

即點(diǎn)c到平面4c尸的距離為：—.

考點(diǎn)五：體積問題

例5.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,四邊形ABCC為正方形，點(diǎn)F為線段PC上

的點(diǎn)，過A,D,尸三點(diǎn)的平面與P8交于點(diǎn)E.

(1)證明：EF〃平面ABCD；

(2)若E為PB中點(diǎn),且A8=A4=2,求四棱錐P-的體積.

【答案】(1)證明見解析；

⑵1.

【解析】

【分析】

(1)利用線面平行的判定證明AD〃平面PBC,再利用線面平行的性質(zhì)、判定推理作答.

(2)利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明平面幺8,進(jìn)而證得依J_平面AD尸E,再借助錐體體積公式計(jì)

算作答.

(1)

正方形ABC￡>中，AD//BC,而3Cu平血產(chǎn)BC,4)二平面PBC,4)//平面PBC,

又4)<=平面ADFE,平面P8CPI平面4)在'=在；，則有E/3/4),而">u平面ABC。，平面ABCQ,

所以所〃平面A8CD

(2)

因上AJ■平面ABC。，AZ>u平面A6CD,則4)JLR4,又A￡>_LAB,ABcX4=A，A8,PAu平面

則A￡>J_平面248,

P8,AEu平面243,于是得A￡J_AD,PBA.AD,因AB=R4=2,E為PB中點(diǎn)，則PB_LA￡,

PE=AE=壺,

而A￡n">=A,AE,AOu平面因此，P8_L平面4)匹￡,

由(1)知所〃3C,則有律=工8。=1,梯形ADFE面積S=L(E尸+4￡>>AE=逑，

222

所以四棱錐P-AEED的體積=述x&=l.

332

【真題演練】

1.在正方體ABCO-ASGR中，P為8Q的中點(diǎn)，則直線必與A2所成的角為()

71e兀一%r兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

平移直線4■至BG，將宜線/歸與4。所成的角轉(zhuǎn)化為依與所成的角，解三角形即可.

【詳解】

如圖，連接BG，P6，PB,因?yàn)锳2〃BG，

所以NPBG或其補(bǔ)角為直線必與4。所成的角，因?yàn)?耳，平面ABCQ,所以BgLPG，乂PCJBR,

BBqBR=Bi,

所以PC—平面PBB、，所以PC—P8,

設(shè)正方體棱長為2,則BG=2夜,PC\=；D黑坨,

prI

sinZPBC=—^=-,所以NPBG=g.

]25dZ6

故選：D

2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SDL底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.AC±SB

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

【答案】D

【解析】

【詳解】

試題分析：A中由三垂線定理可知是正確的；B中AB,CD平行，所以可得到線面平行；C中設(shè)AC,BD相

交與0,所以SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角分別為ZASO,NCSO?.?8!=SC所以兩

角相等，D中由異面直線所成角的求法可知兩角不等

考點(diǎn)：1.線面平行垂直的判定；2.線面角，異面直線所成角

3.已知四棱錐S-AfiCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與

所成的角為4，SE與平面ABCD所成的角為%,二面角S-AB-C的平面角為％,則

A.“<斗工仇B(yǎng).仇工%&仇C.02D.02<9,<【答案】D

【解析】

【分析】

分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.

【詳解】

設(shè)。為1E方形ABCZ）的中心，〃為A8中點(diǎn)，過E作8C的平行線EF,交8于尸，過。作ON垂直EF于N,

連接SO、SN、OM,則SO垂直于底面ABCD,OM垂直于AB，

因此NSEN=q,NSEO=02,ZSMO=%,

、、一cSNSNSOSO

從而tan0,==-----,tann&=,tann1----,

1ENOM2EO3OM

因?yàn)镾NNSO,EO>OM,所以tanqNtanq2tan&即42”之名，選D.

a

線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.

4.在正方體ABS-AAGR中，E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線AE與C。所成角的正切值為

A.立B.BC.正D.立

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方體ABC。-ABCQ中，CD!/AB,將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線A8與AE所成角的正切值，在A48E中

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】在正方體ABC￡）-AB|GR中，CD//AB,所以異面直線AE與CO所成角為,

設(shè)正方體邊長為2a,則由E為棱CG的中點(diǎn)，可得CE="，所以BE=，

則?考=器邛.故選c

求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中：②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所

在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對?應(yīng)的余

弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.

5.已知正方體A8CD-ABCR中，E、F分別為CQ的中點(diǎn)，那么異面直線AE與。尸所成角的余

如圖連接QF,EF,則DF4E，所以。尸與。pF所成的角即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的邊長為2,

5+5-4

則。尸=。1尸=不，在三角形。2尸中cos，尸。

2*x而

6.如下圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SA￡)_L平面ABCD,SA=SD=2,AB=3.

(1)求SA與8c所成角的余弦值;

(2)求證：AB1SD.

3

【答案】(1)=;(2)證明見解析.

4

【解析】

【分析】

(1)由題意可得/S4O即為SA4BC所成的角，根據(jù)余弦定理計(jì)算即可；

(2)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，宜線與平面垂直的判定和性質(zhì)

【解】(1)因?yàn)锳D//BC,因此/S4。即為SA與8c所成的角，在ASAD中，SA=SD=2,

又在正方形ABCD中AO==3,因此cosZSAD=+"-―S-=2~+3一-2-=3,

2SAAD2x2x34

3

因此M與5c所成角的余弦值是

4

(2)因?yàn)槠矫鍿AO_L平面ABC￡>,平面1s4￡>c平面ABCD=A。，在正方形ASCD中，AB1AD,

因此A3_L平面SAO,又因?yàn)镾L>u平面SAQ,因此A3_LS￡>.

7.如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,

p

BC=3.C

(1)證明：BC//平面PDA；

(2)證明：BCXPD；

(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)前.

2

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)由四邊形ABCD是長方形可證BC〃AD,進(jìn)而可證BC//平面PDA；(2)先證BCJ_CD,

再證BCJ?平面PDC,進(jìn)而可證BCLPD：(3)取CD的中點(diǎn)E,連接AE和PE,先證PE,平面ABCD,

再設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為〃，利用V三棱吟PDA=V三校*ACD可得〃的值，進(jìn)而可得點(diǎn)C到平面PDA的距

離.

試題解析：(I)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長方形，所以BC〃AD,因?yàn)锽C<Z平面PDA,ADu平面PDA，所

以BC//平面PDA

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長方形，所以BC_LCD,因?yàn)槠矫鍼DCJ■平面ABCD,平面PDCQ平面

ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以8(2，平面PDC,因?yàn)镻Du平面PDC,所以BC_LPD

C(3)取CD的中點(diǎn)E,連接AE和PE,因?yàn)镻D=PC,所以PELCD,在

RtAPED中，PE=VPD2-DE2

=疹等=近，因?yàn)槠矫鍼DCJ■平面ABCD,平面PDCCI平面ABCD=CD,PEu平面PDC,所以PE,

平面ABCD,由(2)知：BCJ?平面PDC,由(1)知：BC〃AD,所以ADJ_平面PDC,因?yàn)镻Du平面PDC,

所以AD_LPD,設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為/i,因?yàn)閂三棱鏈C-PDA=V三棱錐P-ACD，所以§S"DA帝=§5板口，PE,

…SAArnPE；X3X6X4343"

即h=戈B-=J-----------=+，所以點(diǎn)C到平面PDA的距離是經(jīng)

%>DA-x3x422

2

考點(diǎn)：1、線面平行；2、線線垂直；3、點(diǎn)到平面的距離.

8.如圖，在圓錐P。中，已知尸。=夜，圓。的直徑4?=2,點(diǎn)C在A8上，且NCAB=3(r,。為AC的

中點(diǎn).

(I)證明：AC,平面「。￡?；

(II)求直線0C和平面P4C所成角的正弦值.

【解析】

【分析】

(I)由等腰三角形的性質(zhì)可得AC，。。、PD1AC,再由線面垂直的判定即可證結(jié)論.

(II)由(D結(jié)合面面垂直的判定可得平面POD_L平面PAC,過。作S_LPD于H,連結(jié)S,易得CH是

OC在面PAC上的射影，進(jìn)而找到直線和平面PAC所成角的平面角，即可求其正弦值.

【詳解】

(I)因?yàn)镺A=OC,PA=PC,。為AC的中點(diǎn)，則AC_LO￡)且POLAC,

又ODnPD=。，且ODPDu平面PO。，

所以4。_1_平面尸0￡).

(II)由(I),AC_L平面尸又4Cu平面PAC,

所以平面POD_L平面PAC,

在面POD中，過。作。于”，則_面PAC,連結(jié)C“，則C”是OC在面PAC上的射影,

p

所以NOCH是直線0C和平面P4C所成角的平面角.

rr1

“POODV2x2&

在必△POD中，°H=—======—

yjPO-+OD-l2+l3

則在Rt△OHC中sinZOCH=絲=也.

OC3

9.如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCQEF所在平面外一點(diǎn),PA=\,P在平面ABC內(nèi)的射影為8尸的中

點(diǎn)O.

證明

(II)求面APB與面OP8所成二面角的大小的余弦值.

c3>/5457

【答案】(1)證明見解析;

1819

【分析】

(I)由已知得40為外在平面A8F內(nèi)的射影，再由尸可得證；

(II)過。在平面尸08內(nèi)作。“，28于“，連AH、DH,則有乙4/7￡)為所求二面角平面角，解三角形可求

得答案.

【詳解】

解：(I)在正六邊形A8CCEF中，AABF為等腰三角形，

?.?P在平面A8C內(nèi)的射影為O,平面48尸，為以在平面48尸內(nèi)的射影；

?.?。為B尸中點(diǎn)，二4。_18凡.,.小_L8F.(II)：POJ_平面A8F,平面P8凡L平面ABC；

而。為8F中點(diǎn)，ABC0EF是正六邊形，，A、0、。共線，且直線A0LBF,平面PBFc平面ABC=3F,

則AO_L平面PBF；

又?.?正六邊形ABCQEF的邊長為1,

**?A。=—?,DO=—,BO=

222

過0在平面POB內(nèi)作OHLPB于H,連44、DH,則A”_L尸8,DH1PB,

所以NA/7D為所求：面角平面角.

1

在M中,所哼，―嚼人擊

7

3

在A￡)HO中，tanNOH0=^=*r="

On>/212

~1~

7V21

4x28160?

而tanZAHD=tan(ZAHO+ZDHO)=

1；叵一道一二

2V212

所以cosNAHD=--457

1819

所以面AP3與面DPB所成二面角的大小的余弦值為一碼豆.

1819

10.在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為正方形，平面PAD，平面A8CD,

點(diǎn)M在線段PB上，PD〃平面MAC,

(1)判斷加點(diǎn)在PB的位置并說明理由;

Q)記直線3例與平面以C的交點(diǎn)為K求說的值;

(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為，，求二面角M-8-A的平面角的正切值.

【答案】(1)M為P8中點(diǎn)，理由見解析

入DK>

⑵詼=2

⑶;或述

39

【解析】

【分析】

(1)連接8。交AC于0,連0M,山平面平行的性質(zhì)可得答案;

(2)連接0P,則K=0Pc￡>M,可得點(diǎn)K為重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得答案;

(3)取AD5點(diǎn)H,連接取中點(diǎn)G,連接MG,GC,可得MG〃PH,取AB中點(diǎn)N,可知MN〃尸4,

NCMN或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由面面垂直的性質(zhì)可得P”_L平面A8CC,MGJ_平面

ABCD,令PH=t,AD=2,由余弦定理可得CG,在直角△MCG中，求出CM,MN=；PA,由余弦定

理得cos/CVW,從而得到3「-28產(chǎn)+25=0,解方程求出，，過G作G。CQ交8于。，連接M。，可

得CQ_L平面MGQ,CDA.MQ,在宜角AMQG中可得tanNMQG.

⑴

連接8。交AC于0,連接OM,

因?yàn)镻D〃平面MAC,OMu平面PBD,

平面M4CC平面P8D=OM,則P￡>〃QM,

又因?yàn)?。?。中點(diǎn)，所以例為P8中點(diǎn).

⑵

如圖所示，連接。尸，則平面PACCI平面=K=0PcDM,

p

M

因?yàn)?。?0的中點(diǎn)，M為P8的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K

為APB〃重心

由三角形重心的性質(zhì)，可得―=2.

(3)

取4)中點(diǎn)“，連接尸”，HB,取”8中點(diǎn)G,連接MG,GC,可得MG〃PH.

取AB中點(diǎn)N,連接MMNC,可知MN〃PA,

所以NCMN或其補(bǔ)角就是異面直線CM勺AP所成角，如圖所示，

因?yàn)槠矫鍼ADJL平面A8C￡>,平面PAOn平面

ABCD=AD,又PA=PD,所以P”_LA￡),

所以P〃_L平面ABC。，因此MG_L平面ABC。，&PH=t,AD=2,

由P”〃同G,且M為PB的中點(diǎn)，可得MG=lP”=!f,

22

在ABCG中，可得BC=2,BG=—,cosZCSG=—,由余弦定理，可得CG=巫,

13+產(chǎn)

在直角ZkMCG中，CM=y/CG2+MG2=

又由M,N分別是P8,A8的中點(diǎn)，可得MN=-PA=

2

解得3/-28/+25=0,解得尸=1或與，即f=l或也,

33

過G作GQJ_8交C。于Q,連接M。，由MGJ_CD,且

可得CZ)_L平面MGQ,所以COLMQ,

所以NMQG就是所求二面角的平面角，如圖所示，

5G

丁

II.如圖，在長方體ABCD-AgCQi中，AD=],AB=AA,=2,H,尸分別是棱GA，BB1的中點(diǎn).

(1)判斷直線"尸與平面48c2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)求直線HF與平

面ABC。所成角的正弦值;

(3)在線段HF上是否存在一點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到平面48cA的距離是正，若存在，求出坐的值；若不存在,

Hr

說明理由.

【答案】⑴印:7/面ABCq,證明見解析;

⑵烏

3

(3)不存在，理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)。為CR,￡>6的交點(diǎn)，連接“0,8。，易得B/7/O為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)、線面平行判

定即可證m3/面ABCR.

(2)由(I)只需求8。與面A8CO所成角的正弦值，根據(jù)已知條件求值即可.

(3)由(1)知"F上一任意一點(diǎn)到面ABC。的距離都相等，只需求F到面ABC。的距離，利用長方體的結(jié)構(gòu)

特征求距離即可.

(1)

若。為CA，Z)G的交點(diǎn)，連接以0,8。，又”，尸分別是棱G。，BB1的中點(diǎn),

由長方體的結(jié)構(gòu)特征知：尸且"0=3/,故3FHO為平行四邊形,

所以HK//BO,稱'仁面A8CA，8Ou面ABC。，則〃尸//面A8CR.

(2)

由(1)知：HF勺面A8CO所成角，即為80勺面A8c。所成角，

長方體中，。到面ABC。的距離為尊=1,BOf+f+f=百，

所以8。與面ABC。所成角正弦佰為立，即H尸與面4B8所成角的正弦值為且.

33

(3)由(1)知:HF“面ABCR,即“產(chǎn)上任意一點(diǎn)到面ABC"的距離都相等,

所以只需求戶到面A,BCD,的距離d,而用到面ABCD、的距離為2d=近,

所以F到面ABC。的距離故HF上不存在Q,使得。到平面A8cA的距離是0.

關(guān)檢測】

1.在長方體ABCO-ABC2中，AB=AAi=2,AD=3,點(diǎn)E、尸分別是棱A8、A4的中點(diǎn)，E、F

Ge平面。，直線平面。=P,則直線8P與直線C。所成角的余弦值為()

7「6D.叵

B,也Vx.--

399

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平行定理對直線進(jìn)行平移、從而實(shí)現(xiàn)在三角形內(nèi)求解角度.

【詳解】

___Ci

Fl如圖，連接石尸并延長，交線段gA的延長線于點(diǎn)G,連接GC交AA于

?\x

I\X\——z--

AEB

點(diǎn)、P.

則易知4尸=：4。.連接8A，

因?yàn)镃?！˙A,所以異面直線成與cq所成的角為ZPBAt.

在MAPBA中，易得AP=1,A3=2五，BP=3,

貝|JcosZPBA.=純=.

'PB3

故選：B.2.在正方體ABCO-A4GA中，E,F分別為棱AD,A田的中點(diǎn)，則異面直線EF與CR夾角

的余弦值為（）

A.3B.BC.—D.凡

6363

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)棱8片的中點(diǎn)為G,連接FG,EG,BE,A1,根據(jù)4出〃尸6,,CD、//鄧'得到CR〃尸G,進(jìn)而得到

NEPG為異面直線EF與CQ所成的角求解.

【詳解】

解：如圖，

1）

'__________11G

\F\1設(shè)棱B用的中點(diǎn)為G,連接尸G,EG,BE

rc

B

因?yàn)锳B〃尸G,CD,//AtB,

所以CR〃/G,

故NEFG為異面直線EF與C"所成的角.

設(shè)正方體ABCD-ABCQ的棱長為2,

則FG=&，A^E=BE=45,EF=EG=R.

FG

在等腰三角形后和中，C°S/EFG=E=@?

EF6

故異面直線EF與CR夾角的余弦值為正.

6

故選：A

3.如圖所小,二棱錐P-ABC的底面ABC是等腰直角二角形，Z.ACB=90,且PA-PB-AB—2，PC=2&，

則PC與平面所成角的余弦值等于（）

B./C.乎D.￥

12

【答案】A

【解析】

【分析】

取A3的中點(diǎn)F,連尸尸、CF,過C作PF的垂線，垂足為E,可證CEL平面則NCPF是PC與平

面均8所成的角.在APCF中，用余弦定理可求出結(jié)果.

【詳解】

取A8的中點(diǎn)尸，連尸尸、CF,過C作尸尸的垂線，垂足為E,

因?yàn)橐?48=24=2,所以尸尸=6,

因?yàn)锳C=BC,AF=BF，所以A8_LCF,

因?yàn)镽4=P8,AF=BF,所以A8_L尸尸，

因?yàn)镻/nb=F,所以ABJ_平面PC/,

因?yàn)镃Eu平面PC尸，所以他八3,

因?yàn)镃EJ.PF,CEA.AB,PF^AB=F,

所以CE_L平面叢8,所以NCPE是PC與平面用8所成的角.在dCF中,

PC1+PF--CF18+3-15屈

cosDCPF=

2PCPF4萬石一12

故選：A.

4.在空間四邊形A8CD中，E,F,G,”分別是A8,BC,CD,D4的中點(diǎn)，若AC=BD=2,且AC與

BO所成的角為60。，則EG的長為（）

A.1或0B.0或百C.1或/D.、或必

【答案】C

【解析】

【分析】

連接ERFG,EG,根據(jù)異面直線所成角的意義，在AEFG中分情況計(jì)算作答.

【詳解】

連接EF,FG,EG,如圖,

A.

依題意，EF//AC,FG//BD,HEF=-AC=\,FG=-BD=\,

22

因AC與瓦）所成的角為60°，則/EFG=600或NEFG=120,

當(dāng)NEFG=60。時(shí)，AEFG是正三角形，EG=l,

當(dāng)NEFG=120。時(shí)，EG=2EFcosZ.FEG=2cos30=6，

所以EG的長為1或6.

故選：C

5.在棱長為1的正方體A8CO-AEGR中，。為正方形ASG。的中心，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.BOVAC

B.30〃平面AC。

C.點(diǎn)8到平面ACQ的距離為白

D.直線BO與直線A"的夾角為?

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定定理證明ACJL平面，可判斷A;連接B￡>,交AC于￡連接RE,證明8O〃RE,根據(jù)線

面平行的判定定理，可判斷B：利用等體積法，求得點(diǎn)8到平面ACR的距離，判斷C;采用作平行線的方法,

求出宜線BO與宜線ADt的夾角，可判斷D.

【詳解】

對于A,如圖，連接B0RAC,則4A，AC交于點(diǎn)o,

正方體ABCD_A￡CR中，AC//A,CX,BB,±

平面44CQ，AC|U平面ABIGR,

故AC18旦,而耳=綜80,叫u平面BBQ,

故AG±平面明4,故AC_L平面BBR,而BOu平面BBR,

故ACJ_80,即BOLAC,故A正確;

AB

對于B,連接BQ,交AC于E,連接"E,則8片〃。。,86=?！辏﹟,

故四邊形BOD\E是平行四邊形，故,BO〃D\E,D\Eu平面ACDt,B0不在平面ACR,

故30〃平面ACR,故B正確；

對于C,設(shè)點(diǎn)8到平面ACR的距離為a因?yàn)?%一48,

故gxgxlxlxl=gx；xV^x夜xsin6（pxd,解得d=,故C錯誤；

對于D,連接,則AR〃BGN05G即為直線80與直線A"的夾角或其補(bǔ)角,

在△BOG中，BQ=§,30=Jl+（￥）2=4,BC、=y/i，所以

3j_

cosNOBG=B。藍(lán)、。C=5后E=等，則NO8c，故D錯誤

2B°BC,2x@x026

2

故選：CD

6.在正方體ABC。-ABC"中，E,F,G分別為BC,CG，BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

B.二面角F-M-C的正切值為正C.異面直線4G與所所成角的余弦值為巫

210

D.點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由于在正方體中，D、D//A\A,RA與所不垂直，故QQ與AF不垂直，判斷選項(xiàng)A；過點(diǎn)C作CMLAE,

pc

交AE的延長線于"，連接尸設(shè)正方體的棱長為2,，判斷選項(xiàng)B；取與G的中點(diǎn)”，

CM

連接A4,GH,則G/7//EF,AG與防所成角即為直線AQ與G”所成角N4GH,在△AGG中用余弦定

GN

理，判斷選項(xiàng)C；連接CG交所于點(diǎn)N,則點(diǎn)G到平面AE尸的距離與點(diǎn)C到平面AE尸的距離之比為由，

而AGNFs4E,判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

在正方體ABC。-ABO中，顯然有RD//AA,且在正方體ABC。-44G2中，A.A與的不垂直，

故0,0與詼不垂直，選項(xiàng)A錯誤；

DiG

匕f過點(diǎn)C作CMLAE,交AE的延長線于M,連接由二面角的定義

AB

JCF=1,CM=,1X2=^-

可知，ZFMC即為二面角F-AE-C的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為2,貝

FC_1_45

..tanX-TMC=---=—尸"=—......

CM2加2，選項(xiàng)B正w確；

r

取的中點(diǎn)“，連接4",G”，則G////EF,

故異面直線AG與EF所成角即為直線AQ與GH所成角^GH而其〃=亞幣=石，=>/F7T=后,

GH=五+1。=0

故在△AGG中，由余弦定理可得

,…，A,G2+GH2-A.H25+2-5710

cosZAGH=—------------——=---r=_T==----選項(xiàng)C正確;

2A.GGH2x>/5xV210

連接CG交所于點(diǎn)N，則點(diǎn)G到平面AEF的距離與點(diǎn)C到平面AEF的距離之比為G木N，而4GNF-KNE

取￡=a=2,選項(xiàng)D正確.

CNCE

故選：BCD.

7.如圖，A8是半球的直徑,。為球心，48=4,M,N依次是半圓AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，戶是半球面上一

點(diǎn)，且PNJ_M8,

(1)證明：平面平面尸ON；

(2)若點(diǎn)P在底面圓內(nèi)的射影恰在BM上，求二面角A-P8-N的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

嗎

【解析】

【分析】

(I)連接OM,MN,證明ONLMB,再利用線面、面面垂直的判定推理作答.

(2)確定點(diǎn)P在底面圓內(nèi)的射影點(diǎn)位置，再作出二面角A-F5-N的平面角，然后解三角形作答.

⑴

連接OM,MN,如圖，M,N是半圓AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則有NMON=NNOB=6(T,

而OM=ON=OB=2,即有AMON,ANO8都為正三角形，因此，MN=NB=BO=OM,

四邊形。MVB是菱形，ONLMB,而PN1.MB,PNC\ON=N,PN,ONu平面PON,

因此，MB_L平面PON,BWu平面

所以平面PBM±平面PON.

(2)

由(1)知，平面PO/VJ"平面OMNB,平面尸。VC平面OMNB=ON,則點(diǎn)尸在底面圓內(nèi)的射影在QV上,

因點(diǎn)P在底面圓內(nèi)的射影在BM上，因此，點(diǎn)尸在底面圓內(nèi)的射影是ON與MB的交點(diǎn)。，

即尸Q_L平面有PQ1ON,PN=PO=2=BO=BN,

PQ=^PO1-OQ1=>/3.而BQ=JJ,即有尸8=JPQ。+BC=娓,

取總的中點(diǎn)C,連CMC。，于是得CNLPB,COLPB,則有NO&V是:面角A-PB—N的平面角,

22

在AOCN中,