新高考數(shù)學一輪復習分層提升練習第31練 基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（含解析）

第31講基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（精練）刷真題明導向刷真題明導向一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0，則該棱錐的體積為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】A【分析】證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，

SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為SKIPIF1<0，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以圓錐的體積SKIPIF1<0.故選：B3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐SKIPIF1<0中，線段SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0和三棱錐SKIPIF1<0的體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分別過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足分別為SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0,過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0.先證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則可得到SKIPIF1<0，再證SKIPIF1<0.由三角形相似得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足分別為SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0,過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0.

因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為SKIPIF1<0，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱SKIPIF1<0及直三棱柱SKIPIF1<0組成，作SKIPIF1<0于M，如圖，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為重疊后的底面為正方形，所以SKIPIF1<0,在直棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BHC，則SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設重疊后的EG與SKIPIF1<0交點為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則該幾何體的體積為SKIPIF1<0.故選：D.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為SKIPIF1<0，側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設母線長為SKIPIF1<0，甲圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，乙圓錐底面圓半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得SKIPIF1<0，再結(jié)合圓心角之和可將SKIPIF1<0分別用SKIPIF1<0表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為SKIPIF1<0，甲圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，乙圓錐底面圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以甲圓錐的高SKIPIF1<0，乙圓錐的高SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.6．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐SKIPIF1<0的六條棱長均為6，S是SKIPIF1<0及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設集合SKIPIF1<0，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出以SKIPIF1<0為球心，5為半徑的球與底面SKIPIF1<0的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳解】設頂點SKIPIF1<0在底面上的投影為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為三角形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，而三角形SKIPIF1<0內(nèi)切圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡圓在三角形SKIPIF1<0內(nèi)部，故其面積為SKIPIF1<0故選：B7．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點SKIPIF1<0，設圓錐SKIPIF1<0和圓錐SKIPIF1<0的高之比為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，這兩個圓錐的體積之和為SKIPIF1<0.故選：B.8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高SKIPIF1<0，下底面面積SKIPIF1<0，上底面面積SKIPIF1<0，所以該棱臺的體積SKIPIF1<0.故選：D.9．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點A的緯度是指SKIPIF1<0與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：SKIPIF1<0.故選：C.10．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：SKIPIF1<0）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為SKIPIF1<0的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓錐，所以積水厚度SKIPIF1<0，屬于中雨.故選：B.11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設圓錐的母線長為SKIPIF1<0，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得SKIPIF1<0的值，即為所求.【詳解】設圓錐的母線長為SKIPIF1<0，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.二、多選題12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】直接由體積公式計算SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0計算出SKIPIF1<0，依次判斷選項即可.【詳解】設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得四邊形SKIPIF1<0為矩形，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.三、填空題13．（2021·全國·高考真題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為SKIPIF1<0則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則該棱臺的體積為．【答案】SKIPIF1<0【分析】結(jié)合圖像，依次求得SKIPIF1<0，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為四棱臺SKIPIF1<0的高，

因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以所求體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.15．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．【答案】SKIPIF1<0【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.【詳解】方法一：由于SKIPIF1<0，而截去的正四棱錐的高為SKIPIF1<0，所以原正四棱錐的高為SKIPIF1<0，所以正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，截去的正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，所以棱臺的體積為SKIPIF1<0.方法二：棱臺的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【A組

在基礎(chǔ)中考查功底】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知某圓錐的高為SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由圓錐的體積和高，得到底面半徑，勾股定理得母線長，由圓錐的側(cè)面積公式計算結(jié)果.【詳解】設該圓錐的底面半徑與母線長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而該圓錐的側(cè)面積SKIPIF1<0．故選：B2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃粽值母?lián)Q代比較快，而且燈具大部分都是設計師精心設計，對于燈來說，不用將燈整個都換掉，只需要把燈具的外部燈罩進行替換就可以改變燈的風格.杰斯決定更換臥室內(nèi)的兩個燈罩來換換氛圍，已知該燈罩呈圓臺結(jié)構(gòu)，上下底皆挖空，上底半徑為10SKIPIF1<0，下底半徑為18SKIPIF1<0，母線長為17SKIPIF1<0，側(cè)面計劃選用絲綢材質(zhì)布料制作，若不計做工布料的浪費，則更換兩個燈罩需要的絲綢材質(zhì)布料面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】運用圓臺的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】由題意可得更換兩個燈罩需要的絲綢材質(zhì)布料面積SKIPIF1<0.故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，將一個圓柱SKIPIF1<0等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，SKIPIF1<0越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，列出方程求解即可.【詳解】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，設圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0．故選：A.4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考開學考試）石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】繞碾盤轉(zhuǎn)動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.【詳解】由題意知，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0故選：B.5．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學校考模擬預測）轉(zhuǎn)子發(fā)動機采用三角轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運動來控制壓縮和排放．如圖，三角轉(zhuǎn)子的外形是有三條側(cè)棱的曲面棱柱，且側(cè)棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓構(gòu)成的曲面三角形，正三角形的頂點稱為曲面三角形的頂點，側(cè)棱長為曲面棱柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S，高為h，已知曲面棱柱的體積SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則曲面棱柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意和圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成的，其面積等于三塊扇形的面積相加，再減去兩個等邊三角形的面積，進而求解.【詳解】扇形ACB的面積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則底面積SKIPIF1<0，所以曲面棱柱的體積SKIPIF1<0，故選：A．6．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個鱉臑的體積是1，則原長方體的體積是（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)柱體和錐體體積公式求得正確答案.【詳解】如圖所示，原長方體SKIPIF1<0，設矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，鱉臑SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即原長方體的體積是SKIPIF1<0.故選：B7．（2023春·寧夏銀川·高三寧夏育才中學校考開學考試）已知側(cè)棱長為SKIPIF1<0的正四棱錐各頂點都在同一球面上．若該球的表面積為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作圖，分外接球的球心在錐內(nèi)和錐外2種情況，運用勾股定理分別計算.【詳解】設四棱錐為SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0的中心為O，設外接球的半徑為R，底面正方形的邊長為2a，四棱錐的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當外接球的球心在錐內(nèi)時為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…②，聯(lián)立①②，解得SKIPIF1<0（舍）；當外接球的球心在錐外時為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…④，聯(lián)立③④解得SKIPIF1<0，四棱錐的體積SKIPIF1<0；故選：D.8．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為SKIPIF1<0，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設出相關(guān)棱長，利用面積公式求出正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積，然后可得答案.【詳解】設正六邊形的邊長為SKIPIF1<0，由題意正六棱柱的高為SKIPIF1<0，因為正六棱錐的高與底面邊長的比為SKIPIF1<0，所以正六棱錐的高為SKIPIF1<0，正六棱錐的母線長為SKIPIF1<0，正六棱錐的側(cè)面積SKIPIF1<0；正六棱柱的側(cè)面積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.9．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習）擬柱體（所有頂點均在兩個平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森（Simpson）公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0求體積，其中h是高，SKIPIF1<0是上底面面積，SKIPIF1<0是下底面面積，SKIPIF1<0是中截面（到上、下底面距離相等的截面）面積，如圖所示，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為4的正方形，SKIPIF1<0，且直線EF到底面ABCD的距離為3，則該五面體的體積為（

）A．18 B．20 C．24 D．25【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用辛普森（Simpson）公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0求解.【詳解】解：如圖所示：分別取邊AE，BF，CF，DE的中點G，H，J，K，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：B10．（2023·全國·校聯(lián)考三模）如圖為一個火箭的整流罩的簡單模型的軸截面，整流罩是空心的，無下底面，由兩個部分組成，上部分近似為圓錐，下部分為圓柱，則該整流罩的外表面的面積約為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意分上部分為圓錐，利用其側(cè)面積公式求出其側(cè)面積；下部分為圓柱，利用其側(cè)面積公式求出其側(cè)面積，最后得到正面外表面面積.【詳解】根據(jù)題意，上部分圓錐的母線長為SKIPIF1<0，所以圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，下部分圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，所以該整流罩的外表面的面積約為SKIPIF1<0．故選：B.11．（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，某幾何體的上半部分是長方體，下半部分是正四棱錐，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該幾何體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐SKIPIF1<0的高，再根據(jù)棱柱與棱錐的體積公式即可得解.【詳解】在正四棱錐SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為正四棱錐SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以該幾何體的體積為SKIPIF1<0.故選：B.12．（2023·全國·高三專題練習）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（

）（附：圓臺的側(cè)面積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩底面半徑，SKIPIF1<0為母線長，其中SKIPIF1<0的值取3，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設該圓臺的母線長為SKIPIF1<0，兩底面圓半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故圓臺部分的側(cè)面積為SKIPIF1<0，圓柱部分的側(cè)面積為SKIPIF1<0，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為SKIPIF1<0.故選：B.13．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為SKIPIF1<0，則該圓臺的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體積.【詳解】因為圓臺外接球的表面積SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0，設圓臺的上?下底面圓心分別為SKIPIF1<0，在上?下底面圓周上分別取點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，因為圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以圓臺體積SKIPIF1<0.故選：D.14．（2023·全國·高三專題練習）正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】設正方體的棱長為SKIPIF1<0，由條件結(jié)合錐體體積公式列方程求解即可.【詳解】設正方體棱長為SKIPIF1<0，可得正八面體是由兩個四棱錐構(gòu)成，四棱錐的底面為邊長為SKIPIF1<0的正方形，高為SKIPIF1<0，則正八面體體積為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：B.15．（2023·全國·高三專題練習）如圖①，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是球的半徑，SKIPIF1<0是球缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機械插件中間部分的體積約為（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)球的截面的性質(zhì)由條件求出球的半徑，切除掉的“球缺”的高，結(jié)合球的體積公式和“球缺”的體積公式可得結(jié)論.【詳解】過球心和“球缺”的底面圓的圓心作該幾何體的截面，可得截面圖如下：由已知可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由求得截面性質(zhì)可得SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，所以SKIPIF1<0，即球的半徑SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球的體積SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為球的半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以“球缺”的高為SKIPIF1<0，所以一個“球缺”的體積SKIPIF1<0，所以該機械插件中間部分的體積約為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.二、多選題16．（2023·全國·高三專題練習）用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為SKIPIF1<0，則關(guān)于上、下兩空間圖形的說法正確的是（

）A．側(cè)面積之比為SKIPIF1<0 B．側(cè)面積之比為SKIPIF1<0C．體積之比為SKIPIF1<0 D．體積之比為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】計算出小棱錐與原棱錐的相似比，結(jié)合兩個棱錐側(cè)面積之積為相似比的平方、體積之比為相似比的立方可求得結(jié)果.【詳解】依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為SKIPIF1<0，高之比為SKIPIF1<0，所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為SKIPIF1<0，體積之比為SKIPIF1<0，即小棱錐與棱臺的側(cè)面積之比為SKIPIF1<0，體積之比為SKIPIF1<0.故選：BD.17．（2023·全國·高三專題練習）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體，已知SKIPIF1<0，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（

）A．該半正多面體的體積為SKIPIF1<0B．該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為SKIPIF1<0C．該半正多面體外接球的表面積為SKIPIF1<0D．該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E滿足關(guān)系式SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據(jù)幾何體的構(gòu)成可判斷A，由截面為正六邊形可求面積判斷B，根據(jù)外接球為正四棱柱的外接球即可判斷C，根據(jù)頂點，面數(shù)，棱數(shù)判斷D.【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.對于A，因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：SKIPIF1<0，故正確；對于B，過A，B，C三點的截面為正六邊形ABCFED，所以SKIPIF1<0，故正確.對于C，根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為SKIPIF1<0，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積SKIPIF1<0，故錯誤；對于D，幾何體頂點數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿足SKIPIF1<0，故正確.故選：ABD18．（2023·重慶·二模）“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便是端午節(jié)食俗之一．全國各地的粽子包法各有不同．如圖，粽子可包成棱長為SKIPIF1<0的正四面體狀的三角粽，也可做成底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽．現(xiàn)有兩碗餡料，若一個碗的容積等于半徑為SKIPIF1<0的半球的體積，則（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．這兩碗餡料最多可包三角粽35個B．這兩碗餡料最多可包三角粽36個C．這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個D．這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個【答案】AC【分析】分別求出一個正四面體狀的三角粽的體積，一個圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得出答案.【詳解】解：兩碗餡料得體積為：SKIPIF1<0，如圖，在正四面體SKIPIF1<0中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即為正四面體的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以正四面體的體積為SKIPIF1<0，即一個正四面體狀的三角粽的體積為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個，故A正確，B錯誤；一個圓柱狀竹筒粽得體積為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個，故C正確，D錯誤.故選：AC.19．（2023·全國·高三專題練習）已知某圓錐的母線長為SKIPIF1<0，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中正確的有（

）A．圓錐的體積為SKIPIF1<0B．圓錐的表面積為SKIPIF1<0C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為SKIPIF1<0的扇形D．圓錐的內(nèi)切球表面積為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B、C；根據(jù)球的表面積公式可判斷D.【詳解】

由題意圓錐的底面半徑SKIPIF1<0，圓錐的高SKIPIF1<0，所以圓錐的體積SKIPIF1<0，故A正確；圓錐的表面積SKIPIF1<0，故B錯誤；圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角SKIPIF1<0，故C正確；

，作出圓錐內(nèi)切球的軸截面，設圓錐的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，圓錐的內(nèi)切球表面積SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD20．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則（

）A．“羨除”有且僅有兩個面為三角形； B．“羨除”一定不是臺體；C．不存在有兩個面為平行四邊形的“羨除”； D．“羨除”至多有兩個面為梯形.【答案】ABC【分析】畫出圖形，利用新定義判斷A；通過SKIPIF1<0，判斷“羨除”一定不是臺體，判斷B；利用反證法判斷C；通過SKIPIF1<0兩兩不相等，則“羨除”有三個面為梯形，判斷D．【詳解】由題意知：SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為梯形，如圖所示：對于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個面為三角形，故A正確；對于B：由于SKIPIF1<0，所以：“羨除”一定不是臺體，故B正確；對于C：假設四邊形SKIPIF1<0和四邊形BCDF為平行四邊形，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，與已知的四邊形SKIPIF1<0為梯形矛盾，故不存在，故C正確；對于D：若SKIPIF1<0，則“羨除”三個面為梯形，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題21．（2023·全國·高三專題練習）若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，則圓錐的側(cè)面積是.（結(jié)果用含SKIPIF1<0的式子表示）【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長，進而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式SKIPIF1<0求得結(jié)果．【詳解】解：SKIPIF1<0圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，SKIPIF1<0圓錐的底面半徑SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，故圓錐的側(cè)面積SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．22．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為SKIPIF1<0，則球的表面積為．【答案】SKIPIF1<0【分析】設球的半徑為SKIPIF1<0,根據(jù)圓柱的體積可求得SKIPIF1<0，利用球的表面積公式即可求得答案.【詳解】設球的半徑為SKIPIF1<0,則圓柱的底面直徑和高皆為SKIPIF1<0，故圓柱的體積為SKIPIF1<0，故球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<023．（2023·全國·高三專題練習）若長方體的對角線的長為SKIPIF1<0，其長、寬、高的和是SKIPIF1<0，則長方體的全面積是．【答案】SKIPIF1<0【分析】設長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可構(gòu)造方程求得SKIPIF1<0，即為所求的全面積.【詳解】設長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即長方體的全面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.24．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，則堆放的米約有斛（結(jié)果精確到個位）．【答案】SKIPIF1<0【詳解】依題意有體積為SKIPIF1<0，故一共有SKIPIF1<0（斛）米.25．（2023·全國·高三專題練習）如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出長方體體積與三棱錐的體積后即可得到棱錐的體積與剩下的幾何體體積之比.【詳解】設長方體長寬高分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以長方體體積SKIPIF1<0，三棱錐體積SKIPIF1<0，所以棱錐的體積與剩下的幾何體體積的之比為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】本題主要考查了長方體體積公式，三棱錐體積公式，屬于基礎(chǔ)題.26．（2023·上海·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形.若SKIPIF1<0，則該直三棱柱的體積為.【答案】24【分析】根據(jù)直三棱柱的體積公式直接求解即可.【詳解】因為在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直角，故可得：SKIPIF1<0，故答案為：2427．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）若甲、乙兩個圓柱形容器的容積相等，且甲、乙兩個圓柱形的容器內(nèi)部底面半徑的比值為2，則甲、乙兩個圓柱形容器內(nèi)部的高度的比值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)體積相等列方程，由此求得高度比.【詳解】設甲的底面半徑為SKIPIF1<0，則乙的底面半徑為SKIPIF1<0，設甲的高為SKIPIF1<0，乙的高為SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<028．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學校考階段練習）若一個正四棱臺的上下底面的邊長分別為2和4，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，則這個棱臺的體積為．【答案】28【分析】先根據(jù)側(cè)棱長和上下底面的對角線長算出棱臺的高，再根據(jù)棱臺的體積公式計算即可.【詳解】因為上下底面的對角線長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求得正四棱臺的高為SKIPIF1<0，所以棱臺的體積為SKIPIF1<0．故答案為：28.29．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為.【答案】10【分析】由題意可得SKIPIF1<0，然后分別求出SKIPIF1<0的值，從而可求得答案.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：10.30．（2023·全國·高三專題練習）周總理紀念館是由正方體和正四棱錐組合體建筑設計，如圖所示，若該組合體接于半徑R的球O（即所有頂點都在球上），記正四棱錐側(cè)面SKIPIF1<0與正方體底面SKIPIF1<0所成二面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用正方體的性質(zhì)及球的性質(zhì)可得組合體的外接球的球心為正方體的中心，設正方體底面SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，即得.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知該組合體的外接球的球心為正方體的中心，設正方體底面SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設正方體的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【B組

在綜合中考查能力】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）陀螺又稱陀羅，是中國民間最早的娛樂健身玩具之一，在山西夏縣新石器時代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半徑為1，圓錐與圓柱的高均為1，若該陀螺由一個球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依題意當該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小，設此時球形材料的半徑為SKIPIF1<0，由勾股定理求出外接球的半徑，即可求出其體積.【詳解】依題意當該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小，設此時球形材料的半徑為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球形材料的體積最小值為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）將一個體積為SKIPIF1<0的鐵球切割成正三棱錐的機床零件，則該零件體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設正三棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為S