河南省洛陽市2021屆高三數(shù)學(xué)第二次統(tǒng)一考試試題文含解析

PAGE河南省洛陽市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次統(tǒng)一考試試題文（含解析）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，則M∪N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．若復(fù)數(shù)z滿意（3+4i）z＝|4﹣3i|，則z的虛部為（）A． B．﹣4 C．﹣ D．43．已知平面α，直線m，n滿意m?α，n?α，則“m∥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)x，y滿意，則（x+1）2+y2的取值范圍是（）A．[0，10] B．[1，10] C．[1，17] D．[0，17]5．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4+a5＝24，S5＝30，則{an}的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．86．已知a，b，c均為正實數(shù)，若c，則（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c7．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓P：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的圓心，則C的離心率為（）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公細(xì)致算相還．”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問其次天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里9．已知函數(shù)f（x）＝2sin2（x+）+sin（2x+）﹣1，則下列推斷正確的是（）A．f（x）的圖象關(guān)于對稱 B．f（x）為奇函數(shù) C．f（x）的值域為[﹣3，1] D．f（x）在上是增函數(shù)10．已知三棱錐O﹣ABC中，A，B，C三點在以O(shè)為球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O的半徑為（）A．2 B．5 C．13 D．11．過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且＝2，拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于C，△ACF的面積為8，則|AB|＝（）A．6 B．9 C．9 D．612．在正四棱柱（側(cè)面為矩形，底面為正方形的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點，則以下結(jié)論中不成立的是（）A．EF⊥BB1 B．EF⊥BD C．EF與CD為異面直線 D．EF與A1C1為異面直線二、填空題（共4小題）.13．某校共有高一、高二、高三學(xué)生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，為了解該校學(xué)生的身體健康狀況，現(xiàn)采納分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生96人，則該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為．14．已知點P在曲線y＝x3﹣x上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是．15．平面對量、滿意，且||＝2，||＝4，則與的夾角等于．16．已知函數(shù)f（x）＝ex+b的一條切線為y＝a（x+1），則ab的最小值為．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝，B＝，cosC＝．（1）求c的值；（2）求△ABC的面積．18．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E為AC的中點，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直，得到如圖2所示的幾何體D﹣ABC．（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）點F在棱CD上，且滿意AD∥平面BEF，求幾何體F﹣BCE的體積．19．改革開放以來，我國經(jīng)濟(jì)持續(xù)高速增長．如圖給出了我國2010年至2024年其次產(chǎn)業(yè)增加值與第一產(chǎn)業(yè)增加值的差值（以下簡稱為：產(chǎn)業(yè)差值）的折線圖，記產(chǎn)業(yè)差值為y（單位：萬億元）．（1）求出y關(guān)于年份代碼t的線性回來方程；（2）利用（1）中的回來方程，分析2010﹣2024年我國產(chǎn)業(yè)差值的改變狀況，并預(yù)料我國產(chǎn)業(yè)差值在哪一年約為34萬億元；（3）結(jié)合折線圖，試求出除去2014年產(chǎn)業(yè)差值后剩余的9年產(chǎn)業(yè)差值的平均值及方差（結(jié)果精確到0.1）．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：＝，＝﹣．樣本方差公式：s2＝（yi）2．參考數(shù)據(jù)：＝y(tǒng)i＝10.8，（ti）（yi）＝132，（yi）2＝211.6．注：年份代碼1﹣10分別對應(yīng)年份2010﹣2024．20．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，點E，F(xiàn)分別為其下頂點和右焦點，坐標(biāo)原點為O，且△EOF的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點，若點F恰為△EAB的重心，求直線l的方程．21．已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于隨意正整數(shù)n（n≥2），（1+）×（1+）×…×（1+）＜m，求m的最小值．[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．經(jīng)過伸縮變換φ：后，曲線C1變?yōu)榍€C2．（1）求曲線C1和曲線C2的一般方程；（2）已知點P是曲線C2上的隨意一點，曲線C1與x軸和y軸正半軸的交點分別為A，B，試求△PAB面積的最大值和此時點P的坐標(biāo)．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣|x+a|．（1）當(dāng)a＝1時，畫出y＝f（x）的圖象；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥3a有解，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，則M∪N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}解：∵M(jìn)＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∪N＝{x|﹣4＜x＜3}，故選：A．2．若復(fù)數(shù)z滿意（3+4i）z＝|4﹣3i|，則z的虛部為（）A． B．﹣4 C．﹣ D．4解：由（3+4i）z＝|4﹣3i|，得z＝，∴z的虛部為﹣．故選：C．3．已知平面α，直線m，n滿意m?α，n?α，則“m∥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解：因為m?α，n?α，當(dāng)m∥α?xí)r，m與n不肯定平行，即充分性不成立；當(dāng)m∥n時，滿意線面平行的判定定理，m∥α成立，即必要性成立；所以“m∥α”是“m∥n”的必要不充分條件．故選：B．4．設(shè)x，y滿意，則（x+1）2+y2的取值范圍是（）A．[0，10] B．[1，10] C．[1，17] D．[0，17]解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（3，﹣1），（x+1）2+y2的幾何意義為可行域內(nèi)動點與定點P（﹣1，0）距離的平方，由圖可知，可行域內(nèi)動點與定點P（﹣1，0）距離的最小值且為1，最大值為|PA|＝，∴（x+1）2+y2的取值范圍是[1，17]．故選：C．5．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4+a5＝24，S5＝30，則{an}的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．8解：因為等差數(shù)列{an}中，a4+a5＝24，S5＝30，所以，解得d＝4，a1＝﹣2，故選：C．6．已知a，b，c均為正實數(shù)，若c，則（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c解：，，，利用函數(shù)y＝2x，y＝log，y＝（）x，y＝log2x，如圖所示：由圖象可得：a＜b＜c，故選：C．7．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓P：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的圓心，則C的離心率為（）A． B． C． D．解：由圓P：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，得P（1，2），由雙曲線，得漸近線方程為y＝±ax，則a＝2．∴c＝，即C的離心率為e＝．故選：A．8．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公細(xì)致算相還．”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問其次天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里解：由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得＝378，解得a1＝192，∴此人其次天走192×＝96里，此人第四天走192×（）3＝24里，∴其次天比第四天多走了96﹣24＝72里，故選：B．9．已知函數(shù)f（x）＝2sin2（x+）+sin（2x+）﹣1，則下列推斷正確的是（）A．f（x）的圖象關(guān)于對稱 B．f（x）為奇函數(shù) C．f（x）的值域為[﹣3，1] D．f（x）在上是增函數(shù)解：∵f（x）＝2sin2（x+）+sin（2x+）﹣1＝＝2sin（2x+），由于x＝時，函數(shù)值為2為函數(shù)的最大值，滿意對稱的性質(zhì)，故A正確，故選：A．10．已知三棱錐O﹣ABC中，A，B，C三點在以O(shè)為球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O的半徑為（）A．2 B．5 C．13 D．解：設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O1，半徑為r，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得r＝2，所以，又三棱錐O﹣ABC的體積為，所以，故三棱錐O﹣ABC的高OO1＝3，所以球O的半徑為．故選：D．11．過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且＝2，拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于C，△ACF的面積為8，則|AB|＝（）A．6 B．9 C．9 D．6解：由拋物線的方程可得焦點F（，0），有題意可得直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為：x＝my+，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線與拋物線聯(lián)立可得：，整理可得y2﹣2mpy﹣p2＝0，y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，因為＝2，即（﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣，y2），所以可得：y1＝﹣2y2，|y1|＝2|y2|＝p，所以S△CFA＝|CF|?|y1|＝＝8，解得：p＝4，所以拋物線的方程為：y2＝8x，所以|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2m2p+2p＝2?4+8＝9，故選：B．12．在正四棱柱（側(cè)面為矩形，底面為正方形的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點，則以下結(jié)論中不成立的是（）A．EF⊥BB1 B．EF⊥BD C．EF與CD為異面直線 D．EF與A1C1為異面直線【解答】解在正四棱柱（側(cè)面為矩形，底面為正方形的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點，連接AC，B1C，則F是B1C的中點，∴EF是△ACB1的中位線，∴EF∥AC∥A1C1，故D錯誤；∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴EF⊥BB1，故A正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵EF∥AC，∴EF⊥BD，故B正確；∵EF∥AC，EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，∵CD∩AC＝C，∴EF與CD為異面直線，故C正確．故選：D．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上）13．某校共有高一、高二、高三學(xué)生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，為了解該校學(xué)生的身體健康狀況，現(xiàn)采納分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生96人，則該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為78．解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴設(shè)高三x人，則x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的樣本中有高一學(xué)生96人，則該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為＝78．故答案為：78．14．已知點P在曲線y＝x3﹣x上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是[0，）∪[，π）．解：∵y＝x3﹣x，∴y′＝3x2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∵0≤α＜π，∴過P點的切線的傾斜角的取值范圍是α∈[0，）∪[，π），故答案為：[0，）∪[，π）．15．平面對量、滿意，且||＝2，||＝4，則與的夾角等于．解：由題設(shè)得8﹣16+＝﹣4，故＝4所以，兩向量夾角的余弦為可求得兩向量夾角大小是故答案為16．已知函數(shù)f（x）＝ex+b的一條切線為y＝a（x+1），則ab的最小值為﹣．解：設(shè)切點為（m，n），可得em+b＝n，由函數(shù)f（x）＝ex+b的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex，可得切線的斜率為em＝a，且em+b＝a（m+1），可得b＝alna，則ab＝a2lna，設(shè)g（a）＝a2lna，a＞0，則g′（a）＝a（2lna+1），當(dāng)0＜a＜時，g′（a）＜0，g（a）遞減；a＞時，g′（a）＞0，g（a）遞增，可得g（a）在a＝處取得最小值﹣，故答案為：﹣．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝，B＝，cosC＝．（1）求c的值；（2）求△ABC的面積．解：（1）因為b＝，B＝，cosC＝，所以sinC＝，由正弦定理得，故c＝＝＝；（2）由余弦定理得cosC＝，故＝，整理得，a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3，當(dāng)a＝1時，S△ABC＝＝＝，當(dāng)a＝3時，S△ABC＝＝．18．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E為AC的中點，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直，得到如圖2所示的幾何體D﹣ABC．（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）點F在棱CD上，且滿意AD∥平面BEF，求幾何體F﹣BCE的體積．【解答】（1）證明：由圖1可知AC＝BC＝，所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC，取AC中點E，連接DE，則DE⊥AC，又平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，DE?平面ACD，所以ED⊥平面ABC，而BC?平面ABC，所以ED⊥BC，又AC⊥BC，AC∩ED＝E，所以BC⊥平面ACD；（2）解：取DC中點F，連接EF，BF，因為E是AC的中點，所以EF∥AD，又EF?平面BEF，AD?平面BEF，所以AD∥平面BEF，由（1）知，BC為三棱錐B﹣ACD的高，因為三棱錐F﹣BCE的高h(yuǎn)＝BC＝，S△BCE＝S△ACD＝＝1，所以三棱錐F﹣BCE的體積VF﹣BCE＝S△BCE?h＝＝．19．改革開放以來，我國經(jīng)濟(jì)持續(xù)高速增長．如圖給出了我國2010年至2024年其次產(chǎn)業(yè)增加值與第一產(chǎn)業(yè)增加值的差值（以下簡稱為：產(chǎn)業(yè)差值）的折線圖，記產(chǎn)業(yè)差值為y（單位：萬億元）．（1）求出y關(guān)于年份代碼t的線性回來方程；（2）利用（1）中的回來方程，分析2010﹣2024年我國產(chǎn)業(yè)差值的改變狀況，并預(yù)料我國產(chǎn)業(yè)差值在哪一年約為34萬億元；（3）結(jié)合折線圖，試求出除去2014年產(chǎn)業(yè)差值后剩余的9年產(chǎn)業(yè)差值的平均值及方差（結(jié)果精確到0.1）．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：＝，＝﹣．樣本方差公式：s2＝（yi）2．參考數(shù)據(jù)：＝y(tǒng)i＝10.8，（ti）（yi）＝132，（yi）2＝211.6．注：年份代碼1﹣10分別對應(yīng)年份2010﹣2024．解：（1）由題意可得，，，，所以＝＝，故＝＝10.8﹣1.6×5.5＝2，所以回來直線為＝1.6t+2；（2）由（1）值，＝1.6＞0，故2010﹣2024年我國產(chǎn)業(yè)差值逐年增加，平均每年增加1.6萬億元，令1.6t+2＝34，解得t＝20，故預(yù)料我國產(chǎn)業(yè)差值在2029約為34萬億元；（3）結(jié)合折線圖，2014年產(chǎn)業(yè)差值為10.8萬億元，除去2014年（t＝5時）產(chǎn)業(yè)差值外的9年的產(chǎn)業(yè)差值的平均值為，又，故除去2014年（t＝5時）產(chǎn)業(yè)差值外的9年的產(chǎn)業(yè)差值的方差為．20．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，點E，F(xiàn)分別為其下頂點和右焦點，坐標(biāo)原點為O，且△EOF的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點，若點F恰為△EAB的重心，求直線l的方程．解：（1）依據(jù)題意得，解得a＝，b＝2，c＝，所以橢圓C的方程為+＝1．（2）延長EF交直線l于點D，因為點F為△EAB的重心，所以點D為線段AB的中點，由點E（0，﹣2），F(xiàn)（，0），得D（，1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，由，得?（x1﹣x2）+?（y1﹣y2）＝0，所以+＝0，所以kAB＝＝﹣，所以直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣），即x+y﹣4＝0．21．已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于隨意正整數(shù)n（n≥2），（1+）×（1+）×…×（1+）＜m，求m的最小值．解：（1）f′（x）＝1﹣＝，當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）≥f（1）＝1，故f（x）的最小值為1；（2）由（1）可得，f（x）＝x﹣lnx≥1即lnx≤x﹣1，所以ln（1+）≤＝＜＝﹣，k∈N*，n