高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練二十二三角恒等變換課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練二十二三角恒等變換〖基礎(chǔ)落實(shí)練〗（30分鐘60分）一、選擇題(每小題5分，共25分)1.計(jì)算cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1〖解析〗選B.由兩角和與差的余弦公式得cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE.2．(2021·綏德模擬)若cos2α＝－eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，則tan(α＋eq\f(π,4))＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)〖解析〗選B.cos2α＝－eq\f(4,5)，可得cos2α－sin2α＝－eq\f(4,5)，因?yàn)閏os2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,10)，sin2α＝eq\f(9,10)，因?yàn)棣痢?eq\f(π,2)，π)，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－3，所以tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2).3.(2021·貴陽模擬)已知sinQUOTE=QUOTE,60°<α<150°,則cosα為 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選D.因?yàn)?0°<α<150°,所以90°<30°+α<180°,所以cosQUOTE=-QUOTE,因?yàn)閏osα=cos〖(30°+α)-30°〗,所以cosα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.4．已知α，β都是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，則sinβ＝()A．－eq\f(56,65)B．－eq\f(16,65)C．eq\f(33,65)D．eq\f(63,65)〖解析〗選D.α，β都是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，故cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13).sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(63,65).5．若α，β∈(0，π)，cos(α－eq\f(β,2))＝－eq\f(12,13)，sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(4,5)，則sineq\f(α＋β,2)＝()A．eq\f(33,65)B．－eq\f(33,65)C．eq\f(63,65)D．－eq\f(63,65)〖解析〗選C.由題意α，β∈(0，π)，故eq\f(α,2)，eq\f(β,2)∈(0，eq\f(π,2))，故α－eq\f(β,2)∈(－eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(－π，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(β,2))＜0，sin(eq\f(α,2)－β)＞0，故α－eq\f(β,2)∈(eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(0，eq\f(π,2))，所以sin(α－eq\f(β,2))＝eq\r(1－cos2（α－\f(β,2)）)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(α,2)－β)＝eq\r(1－sin2（\f(α,2)－β）)＝eq\f(3,5)，則sineq\f(α＋β,2)＝sin〖(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)〗＝sin(α－eq\f(β,2))cos(eq\f(α,2)－β)－cos(α－eq\f(β,2))sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(63,65).二、填空題(每小題5分，共15分)6．若銳角α，β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，則α＋β＝________．〖解析〗由(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4可得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，即tan(α＋β)＝eq\r(3).又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,3).〖答案〗eq\f(π,3)7.eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝________________.〖解析〗eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝eq\f(\r(3),2)cos30°＋eq\f(1,2)sin30°＝sin90°＝1.〖答案〗18.已知tan(α-β)=3,tanβ=2,則tanα的值為.

〖解析〗因?yàn)閠anα=tanQUOTE=QUOTE,又tan(α-β)=3,tanβ=2,故tanα=QUOTE=-1.〖答案〗:-1三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2)).求f(x)的最小正周期．〖解析〗f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).所以T＝π.10.(2021·六盤水模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以x軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).已知A,B的橫坐標(biāo)分別為QUOTE,QUOTE.(1)求tanQUOTE的值;(2)求2α+β的值.〖解析〗(1)由已知得:cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE.因?yàn)棣?β為銳角,所以sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE.所以tanα=2,tanβ=QUOTE.所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=3.(2)因?yàn)閠an2α=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.因?yàn)棣?β為銳角,所以0<2α+β<QUOTE,所以2α+β=QUOTE.〖素養(yǎng)提升練〗（20分鐘35分）1．已知cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，則tan(eq\f(π,4)＋α)＝()A．－3B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．3〖解析〗選C.由cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，得sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.所以tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－2,1－1×（－2）)＝－eq\f(1,3).2．若sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，則sin(2α＋eq\f(5π,6))＝()A．eq\f(7,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9)D．eq\f(2,3)〖解析〗選A.sin(2α＋eq\f(5π,6))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2（α＋\f(π,6)）)).＝cos2(α＋eq\f(π,6))＝1－2sin2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(7,9).3．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根，若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則α＋β等于()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,3)或－eq\f(2,3)πC．－eq\f(π,3)或eq\f(2,3)πD．－eq\f(2,3)π〖解析〗選D.由已知得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanαtanβ＝4，所以tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以－π＜α＋β＜0.又tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).4．已知eq\f(3π,4)＜α＜π，tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)的值．〖解析〗(1)因?yàn)閠anα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3)，所以tanα＝－3或－eq\f(1,3)，因?yàn)閑q\f(3π,4)＜α＜π，所以tanα＞－1，所以tanα＝－eq\f(1,3).(2)eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)＝eq\f(5×\f(1－cosα,2)＋8×\f(sinα,2)＋11×\f(1＋cosα,2)－8,sinα－cosα)＝eq\f(3cosα＋4sinα,sinα－cosα)＝eq\f(3＋4tanα,tanα－1)＝eq\f(3＋4×（－\f(1,3)）,（－\f(1,3)）－1)＝－eq\f(5,4).5．(2021·蘭溪模擬)已知f(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2).(1)求f(eq\f(5π,12))的值；(2)若f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，求sinα的值．〖解析〗(1)因?yàn)閒(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝2sinx(sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋1，所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1，所以f(eq\f(5π,12))＝sin(eq\f(5π,6)－eq\f(π,6))＋1＝1＋eq\f(\r(3),2).(2)由f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，得sin(α－eq\f(π,6))＋1＝eq\f(1,5)，即sin(α－eq\f(π,6))＝－eq\f(4,5)，故cos(α－eq\f(π,6))＝±eq\f(3,5).當(dāng)cos(α－eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)時(shí)，sinα＝sin(α－eq\f(π,6)＋eq\f(π,6))＝sin(α－eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋cos(α－eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(3－4\r(3),10)；同理，當(dāng)cos(α－eq\f(π,6))＝－eq\f(3,5)時(shí)，sinα＝eq\f(－3－4\r(3),10).1．在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，則∠C＝()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4)D．eq\f(2π,3)〖解析〗選C.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，則tanA＋tanB＝1－tanAtanB，tanC＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(1－tanAtanB,1－tanAtanB)＝－1，因?yàn)?＜C＜π，所以∠C＝eq\f(3π,4).2.(2021·桂林模擬)已知f(x)=2sinQUOTEsinQUOTE-1.(1)若f(x)是偶函數(shù),則cosQUOTE=;

(2)若f(x)的最大值是QUOTE,則cos2θ=.

〖解析〗(1)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),則f(-x)=f(x),即2sinQUOTEsinQUOTE-1=2sinQUOTEsinQUOTE-1,即sinQUOTEsinQUOTE+sinQUOTEsinQUOTE=0?sinQUOTEsinθcosQUOTE-cosθsinQUOTE+sinθcosQUOTE+cosθsinQUOTE=0,即2sinQUOTEsinθcosQUOTE=0,即sinxsinθ=0對任意x∈R成立,則sinθ=0,θ=kπ(k∈Z),所以QUOTE=QUOTE,則cosQUOTE=1或0或-1.(2)f(x)=2sinQUOTE-1=sinθsinx-cosθQUOTE-1=cosQUOTE-cosθ-1,所以當(dāng)x=2kπ+θ(k∈Z)時(shí),f(x)取最大值f(x)max=1-cosθ-1=-cosθ,從而-cosθ=QUOTE?cosθ=-QUOTE,則cos2θ=2cos2θ-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.〖答案〗:(1)0或1或-1(2)-QUOTE課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練二十二三角恒等變換〖基礎(chǔ)落實(shí)練〗（30分鐘60分）一、選擇題(每小題5分，共25分)1.計(jì)算cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1〖解析〗選B.由兩角和與差的余弦公式得cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE.2．(2021·綏德模擬)若cos2α＝－eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，則tan(α＋eq\f(π,4))＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)〖解析〗選B.cos2α＝－eq\f(4,5)，可得cos2α－sin2α＝－eq\f(4,5)，因?yàn)閏os2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,10)，sin2α＝eq\f(9,10)，因?yàn)棣痢?eq\f(π,2)，π)，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－3，所以tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2).3.(2021·貴陽模擬)已知sinQUOTE=QUOTE,60°<α<150°,則cosα為 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選D.因?yàn)?0°<α<150°,所以90°<30°+α<180°,所以cosQUOTE=-QUOTE,因?yàn)閏osα=cos〖(30°+α)-30°〗,所以cosα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.4．已知α，β都是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，則sinβ＝()A．－eq\f(56,65)B．－eq\f(16,65)C．eq\f(33,65)D．eq\f(63,65)〖解析〗選D.α，β都是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，故cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13).sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(63,65).5．若α，β∈(0，π)，cos(α－eq\f(β,2))＝－eq\f(12,13)，sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(4,5)，則sineq\f(α＋β,2)＝()A．eq\f(33,65)B．－eq\f(33,65)C．eq\f(63,65)D．－eq\f(63,65)〖解析〗選C.由題意α，β∈(0，π)，故eq\f(α,2)，eq\f(β,2)∈(0，eq\f(π,2))，故α－eq\f(β,2)∈(－eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(－π，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(β,2))＜0，sin(eq\f(α,2)－β)＞0，故α－eq\f(β,2)∈(eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(0，eq\f(π,2))，所以sin(α－eq\f(β,2))＝eq\r(1－cos2（α－\f(β,2)）)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(α,2)－β)＝eq\r(1－sin2（\f(α,2)－β）)＝eq\f(3,5)，則sineq\f(α＋β,2)＝sin〖(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)〗＝sin(α－eq\f(β,2))cos(eq\f(α,2)－β)－cos(α－eq\f(β,2))sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(63,65).二、填空題(每小題5分，共15分)6．若銳角α，β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，則α＋β＝________．〖解析〗由(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4可得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，即tan(α＋β)＝eq\r(3).又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,3).〖答案〗eq\f(π,3)7.eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝________________.〖解析〗eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝eq\f(\r(3),2)cos30°＋eq\f(1,2)sin30°＝sin90°＝1.〖答案〗18.已知tan(α-β)=3,tanβ=2,則tanα的值為.

〖解析〗因?yàn)閠anα=tanQUOTE=QUOTE,又tan(α-β)=3,tanβ=2,故tanα=QUOTE=-1.〖答案〗:-1三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2)).求f(x)的最小正周期．〖解析〗f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).所以T＝π.10.(2021·六盤水模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以x軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).已知A,B的橫坐標(biāo)分別為QUOTE,QUOTE.(1)求tanQUOTE的值;(2)求2α+β的值.〖解析〗(1)由已知得:cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE.因?yàn)棣?β為銳角,所以sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE.所以tanα=2,tanβ=QUOTE.所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=3.(2)因?yàn)閠an2α=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.因?yàn)棣?β為銳角,所以0<2α+β<QUOTE,所以2α+β=QUOTE.〖素養(yǎng)提升練〗（20分鐘35分）1．已知cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，則tan(eq\f(π,4)＋α)＝()A．－3B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．3〖解析〗選C.由cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，得sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.所以tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－2,1－1×（－2）)＝－eq\f(1,3).2．若sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，則sin(2α＋eq\f(5π,6))＝()A．eq\f(7,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9)D．eq\f(2,3)〖解析〗選A.sin(2α＋eq\f(5π,6))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2（α＋\f(π,6)）)).＝cos2(α＋eq\f(π,6))＝1－2sin2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(7,9).3．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根，若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則α＋β等于()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,3)或－eq\f(2,3)πC．－eq\f(π,3)或eq\f(2,3)πD．－eq\f(2,3)π〖解析〗選D.由已知得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanαtanβ＝4，所以tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以－π＜α＋β＜0.又tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).4．已知eq\f(3π,4)＜α＜π，tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)的值．〖解析〗(1)因?yàn)閠anα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3)，所以tanα＝－3或－eq\f(1,3)，因?yàn)閑q\f(3π,4)＜α＜π，所以tanα＞－1，所以tanα＝－eq\f(1,3).(2)eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)＝eq\f(5×\f(1－cosα,2)＋8×\f(sinα,2)＋11×\f(1＋cosα,2)－8,sinα－cosα)＝eq\f(3cosα＋4sinα,sinα－cosα)＝eq\f(3＋4tanα,tanα－1)＝eq\f(3＋4×（－\f(1,3)）,（－\f(1,3)）－1)＝－eq\f(5,4).5．(2021·蘭溪模擬)已知f(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2).(1)求f(eq\f(5π,12))的值；(2)若f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，求sinα的值．〖解析〗(1)因?yàn)閒(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝2sinx(sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋1，所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1，所以f(eq\f(5π,12))＝sin(eq\f(5π,6)－eq\f(π,6))＋1＝1＋eq\f(\r(3),2).(2)由f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，得sin(α－eq\f(π,6)