經濟類專業(yè)學位聯(lián)考綜合能力數(shù)學基礎（概率論）模擬試卷1（共206題）

經濟類專業(yè)學位聯(lián)考綜合能力數(shù)學基礎（概率論）模擬試卷1（共8套）（共206題）經濟類專業(yè)學位聯(lián)考綜合能力數(shù)學基礎（概率論）模擬試卷第1套一、單項選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、對于任意兩個事件A和B，與A∪BB不等價的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A∪BB即A+B=B，知A．將A=Ω－B不等價，故選D．2、設A，B為隨機事件，且P(B)＞0，P(A|B)=1，則必有()．A、P(A∪B)＞P(A)B、P(A∪B)＞P(B)C、P(A∪B)=P(A)D、P(A∪B)=P(B)標準答案：C知識點解析：由乘法公式和加法公式，有P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)，P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)，故選C．3、袋內有n個球(n－1個白球，1個紅球)，n個人依次從袋中隨機地無放回地抽取1個球，則第k個人取到紅球的概率為()．A、k／nB、(k－1)／nC、2／nD、1／n標準答案：D知識點解析：設事件Ai={第i個人取到紅球)，則Ak=Ak，有P(Ak)故選D．4、設工fA和工fB的產品次品率分別為1％和2％，現(xiàn)從由工fA和工fB的產品分別占60％和40％的一批產品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬工fA的產品的概率是()．A、2／7B、3／7C、1／2D、2／3標準答案：B知識點解析：設事件A={該產品為工fA的產品}，B={該產品為工fB的產品}，C={抽取的產品為次品}．則P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C|A)=0．01，P(C|B)=0．02，由貝葉斯公式有故選B．5、設F(x)為隨機變量X的分布函數(shù)，則F(x)為()．A、偶函數(shù)B、奇函數(shù)C、單調不減函數(shù)D、連續(xù)函數(shù)標準答案：C知識點解析：選項C，由定義式F(x)=P{X≤x}，知隨著x的增大，事件{X≤x}所占有的樣本區(qū)間(－∞，x]也越大，因此F(x)的取值也會增大，因此F(x)是單調增加的函數(shù)，但并非嚴格意義上的單調增加，它的函數(shù)曲線y=F(x)也可能會有水平的線段，故稱為單調不減函數(shù)．選項A，B，由函數(shù)F(x)的單調性及F(x)=0，F(xiàn)(x)=1，知F(x)不可能為偶函數(shù)和奇函數(shù)．選項D，F(xiàn)(x)的連續(xù)性與隨機變量的類型相關，僅當X為連續(xù)型隨機變量時，F(xiàn)(x)在(－∞，+∞)內連續(xù)．故選C．6、設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(x)與F(x)，若X與－X有相同的分布函數(shù)，則()．A、F(x)=F(－x)B、F(x)=－F(－x)C、f(x)=f(－x)D、f(x)=－f(－x)標準答案：C知識點解析：選項C，由題設，X與－X有相同的分布函數(shù)，即P{X≤x}=P{－X≤x}=P{X≥－x}=1－P{X＜－x}，從而有F(x)=1－F(－x)，因此兩邊求導，有f(x)=F’(x)=[1－F(－x)]’=－f(－x)(－x)’=f(－x)．故選C．7、已知離散型隨機變量X的分布律為P{X=k)=1／3pk(k=0，1，…)，則p=()．A、2／3B、1／2C、1／3D、1／4標準答案：A知識點解析：一般地，若隨機變量的取值點(即正概率點)為xi(i=1，2，…)，則P{X=xi}=pi(i=1，2，…)為X的分布律的充分必要條件是：pi＞0(i=1，2，…)且pi=1．因此有解得p=2／3，故選A．8、設口袋中有5個球，其中有3個黑球，從中有放回地取出1個，連取3次，隨機變量X表示3次取球中出現(xiàn)黑球的次數(shù)，令p=0．6，則X的概率分布為()．A、P{X=k}=C2k－1(1－p)3－kpk，k=0，1，2，3B、P{X=k}=C3kC23－k／C53，k=1，2，3C、P{X=k}=C3kpk(1－p)3－k，k=0，1，2，3D、P{X=k)=pk(1－p)3－k，k=0，1，2，3標準答案：C知識點解析：選項C，有放回的取出1個球，連取3次，為伯努利試驗，3次出現(xiàn)X次黑球，服從二項分布，因此概率分布為P{X=k)=C3kpk(1－p)3－k，k=0，1，2，3．選項A，從分布P{X=k}=!C2k－1(1－p)3－kpk，k=1，2，3的結構看，表示第3次取球，恰好出現(xiàn)X次黑球的概率，應該是二項分布和幾何分布復合概型，與題意不符．選項從分布P{X=k}=C3kC23－k／C53，k=1，2，3的結構看，表示一次性從袋中取出3個球，其中恰好有X個黑球的概率，應該是超幾何分布概型，與題意不符．選項D，從分布P{X=k}=pk(1－p)3－k，k=0，1，2，3的結構看，表示有放回的取出1個球，連取3次，出現(xiàn)一個恰好有X個黑球組合的概率，只是整個事件中一個局部，與題意不符．故選C．9、設隨機變量X服從[－1，3]上的均勻分布，若P{x≤a}=1／2，則a=()．A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：由于X服從[－1，3]上的均勻分布，因此，X的密度函數(shù)為于是，若a≤－1，則P{X≤a}=0，若a≥3，則P{X≤a}=1，所以－1＜a＜3，從而P{X≤a}=∫－1a1／4dx==1／2，解得a=1，故選B．10、設X為做一次某項隨機試驗A成功的次數(shù)，若P(A)=p(p＞0)，則EX=()．A、1－pB、pC、(1－p)pD、0標準答案：B知識點解析：由題設，X服從參數(shù)為p的0—1分布，即因此EX=0．(1－p)+1．p=p，故選B．11、已知隨機變量X，Y相互獨立，且都服從泊松分布，又知EX=2，EY=3，則隨機變量X+Y()．A、服從參數(shù)為5的泊松分布B、服從參數(shù)為3的泊松分布C、服從參數(shù)為2的泊松分布D、未必服從泊松分布標準答案：A知識點解析：根據(jù)泊松分布的參數(shù)和其數(shù)字特征的關系，隨機變量X，Y分別服從參數(shù)為2和3的泊松分布，又根據(jù)泊松分布的性質，在相互獨立的條件下，同服從泊松分布的隨機變量X，Y之和也服從泊松分布，其分布參數(shù)為兩隨機變量分布參數(shù)之和，即X+Y服從參數(shù)為5的泊松分布，故選A．12、設隨機變量X的密度函數(shù)為則EX=()．A、0B、1C、πD、不存在標準答案：D知識點解析：由于EX=∫－∞+∞xf(x)dx不存在，故選D．13、隨機變量X服從正態(tài)分布N(1，4)，Y=1－2X，則Y的密度函數(shù)φY(y)=()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(1，4)，則X的線性函數(shù)Y=1－2X仍服從正態(tài)分布，且EY=1－2EX=－1，DY=D(1－2X)=4DX=16，從而有Y～N(－1，42)，因此Y的密度函數(shù)為故選B．14、已知EX=－1，DX=3，則E[3(X2－2)]=()．A、9B、6C、30D、36標準答案：B知識點解析：由關系式E(X2)=DX+(EX)2，可得E[3(X2－2)]=3E(X2)－6=3[DX+(EX)2]－6=3×4－6=6．故選B．二、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、某人只知電話號碼的最后一個數(shù)字是偶數(shù)，但忘記具體的數(shù)字，因而任意按最后一個數(shù)，試求不超過三次能打通電話的概率．標準答案：設B={不超過三次能打通電話}，Bi={第i次能打通電話)，i=1，2，3．則B=B1+B2+B3，知識點解析：暫無解析16、每箱產品有10件，其次品數(shù)從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中任取1件，如檢驗出是次品，則認為該箱產品不合格而拒收．假設由于檢驗有誤，將1件正品誤認為次品的概率為2％，1件次品被漏查而判為正品的概率為5％，試求一箱產品通過驗收的概率．標準答案：設Ai(i=0，1，2)為箱中有i個次品，B為一箱產品通過驗收，B1為抽取正品，于是有P(Ai)=1／3(i=0，1，2)，P(B1|Ai)=P(B|B1)=0．98，P(B|)=0．05，從而有P(B1)=P(B1A0+B1A1+B1A2)P()=1－P(B1)=0．1．因此P(B)=P(BB1+B)=P(B1)P(B|B1)+P()=0．887．知識點解析：暫無解析離散型隨機變量X的分布函數(shù)為求：17、X的分布陣；標準答案：分布函數(shù)的分段點即為離散型隨機變量的正概率點，則由題意易知，正概率點為－0．5，1，4，且P{X=－0．5}=F(－0．5)－F(－0．5－0)=0．3，P{X=1}=F(1)－F(1－0)=0．5，P{X=4}=F(4)－F(4－0)=0．2，故知識點解析：暫無解析18、P{X≤3．2}；標準答案：P{X≤3．2}=F(3．2)=0．8，或P{X≤3．2}=P{X=－0．5}+P{X=1}=0．8．知識點解析：暫無解析19、方程x2+Xx+1=0有實根的概率．標準答案：方程x2+Xx+1=0有實根，即X2－4≥0，從而有P{X2－4≥0}=P{X≤－2}+P{X≥2}=F(－2)+1－F(2－0)=0+1－0．8=0．2．知識點解析：暫無解析20、在“投擲硬幣”的試驗中，若引入變量X表示“每次出現(xiàn)正面的次數(shù)"，試求隨機變量X的分布列和分布函數(shù)，并給出分布函數(shù)F(x)的圖形．標準答案：隨機變量X取值為0，1，由于每次投擲出現(xiàn)正面和反面的機會均等，故P{X－0)=P{X=1}=1／2，其分布列為又當x＜0時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0，當0≤x＜1時，F(xiàn)(x)=P(X≤x}=P{X=0}=1／2，當x≥1時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}==1．綜上，X的分布函數(shù)為分布函數(shù)F(x)的圖形如圖3—8—3所示．知識點解析：暫無解析21、設兩個隨機變量X與Y分布相同，X的密度函數(shù)為已知事件A=X＞a和事件B=“Y＞a”相互獨立，且P(A+B)=3／4．求常數(shù)a的值．標準答案：因X與Y分布相同，即有相同的密度函數(shù)，且P(A)=P(B)，相互獨立．于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=2P(A)－P2(A)=3／4，解得P(A)=1／2(P(A)=3／2＞1舍去)．由X的密度函數(shù)計算P(A)=P{X＞a}，先要確定a的取值范圍．若a≥2，則P{X＞a}=0，與P(A)=1／2矛盾；若a≤0，則P{X＞a}=1，與P(A)=1／2矛盾．故0＜a＜2，因此P(A)=P{X＞a}=∫a2x2dx=1－a3=1／2，解得a=．知識點解析：暫無解析22、在半徑為R，中心在坐標原點的圓周上隨機地投擲一點，求該點橫坐標X的密度函數(shù)fX(x)．標準答案：如圖3—8—5所示，由對稱性，只考慮y≥0的情況．依題設，投擲點應均勻分布在圓周上．若設投擲點A與x軸正向夾角為θ，則θ在[0，π]上服從均勻分布，于是θ的密度函數(shù)為且有X=Rcosθ．由于|X|≤R，因此，當x＜－R時，RX(x)=P{X≤x}=0；當x＞R時，RX(x)=P{X≤x}=1；當－R≤x≤R時，有RX(x)=P{X≤x}=P{Rcosθ≤x}知識點解析：暫無解析23、袋中有若干個白球和黑球，且白球和黑球數(shù)都不小于4．若從中取出1個球，取出白球數(shù)的期望為a，若取出4個球，求取到白球數(shù)的期望．標準答案：不妨設袋中有m個白球n個黑球(m≥4，n≥4)，并設所取4個球分4次取出，每次取1個，其中共取出白球數(shù)為X．記根據(jù)“抽簽原理”，每次取到白球的概率與抽取次序無關，因此，Xi的概率分布為顯然有EX1=EX2=EX3=EX4=于是，從袋中取出1個球，取出白球數(shù)的期望即為EXi==a，i=1，2，3，4，則取出4個球，取到白球數(shù)的期望為EX=E(X1+X2+X3+X4)=EX1+EX2+EX3+EX4=即EX=4a．知識點解析：暫無解析24、已知隨機變量X的概率分布P{X=k)=1／2k(k=1，2，…)，設Y=sinπ／2X，求EY，DY．標準答案：先求Y可能取的正概率點，有DY=E(Y2)－(EY)2知識點解析：暫無解析25、某系統(tǒng)以串聯(lián)方式裝有兩個電子元件，每個元件無故障工作時間分別為X1，X2，且同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，求該系統(tǒng)無故障工作時間的數(shù)學期望．標準答案：依題設，隨機變量X1，X2相互獨立，且分布函數(shù)同為串聯(lián)結構下，系統(tǒng)無故障工作時間為T=min{X1，X2}，于是，T的分布函數(shù)為Ф(t)=P{min{X1，X2}≤t}=1－P{min(X1，X2}＞t}=1－P{X1＞t，X2＞t}=1－P{X1＞t}P{X2＞t}=1－[－1－F(t)]2=1－e－2λt，可知，T服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布．由此得ET=1／2λ．知識點解析：暫無解析26、設隨機變量X的密度函數(shù)為求隨機變量的數(shù)學期望和方差．標準答案：本題是隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算題．其中X為連續(xù)型隨機變量，Y為離散型隨機變量，因此，計算可以從兩個不同角度入手，一種是將Y=f(X)看作連續(xù)型隨機變量函數(shù)，運用公式計算；另一種是將本題看作求離散型隨機變量的數(shù)字特征，由定義計算．具體求解如下：解法1運用連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式，得EY=∫－∞+∞y(x)f(x)dxE(Y2)=∫－∞+∞y2(x)f(x)dxDY=E(Y2)－(EY)2解法2按照離散型隨機變量的數(shù)字特征的計算步驟進行．首先計算Y的分布陣，對于Y的取值點由題設，有P{Y=0}=P{X＜1／2}=∫－∞1／2f(x)dx=∫01／21／2dx=1／4，P{Y=1}=P{1／2≤X＜2}=∫1／22f(x)dxDY=E(Y2)－(EY)2=－1=1／2．知識點解析：暫無解析經濟類專業(yè)學位聯(lián)考綜合能力數(shù)學基礎（概率論）模擬試卷第2套一、單項選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設A和B是任意兩個事件，則下列事件中與事件相等的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：通過事件的恒等運算，將化簡，即由知該事件與事件相等，故選A．2、假設事件A，B滿足P(B|A)=1，則()．A、A是必然事件B、P(B|)=0C、A包含事件BD、P(A－B)=0標準答案：D知識點解析：推斷可采用三種方法：解法1直接法．由P(B|A)=1，有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)，從而有P(A－B)=P(A)－P(AB)=P(A)－P(A)=0．故選D．解法2排除法．反例，若設事件A={?。绕穧，B={取一等品或二等品，統(tǒng)稱合格品}，現(xiàn)任取1件產品，若已知為一等品，則該產品必為合格品，即有P(B|A)=1，但A并非必然事件，A也不包含事件B，且P(B|)≠0，因此，應選D．解法3圖解法．如圖3一7一2所示，A發(fā)生，則B必發(fā)生．顯然，選項A，B，C不正確，故選D．3、n張獎券中含有m張有獎的，k個人購買，每人一張，其中至少有一個人中獎的概率為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：n張獎券，k個人購買，每人一張，是一個組合問題，共有Cnk種組合方式，即總樣本點數(shù)為Cnk．其中至少有一個人中獎即為所有人都不中獎的對立事件，后者事件意味著抽取的k張獎券均取自n－m張不含獎部分，因此，所含的樣本點數(shù)為Cn－mk，所以，其中至少有一個人中獎的概率為故選A．4、設f(x)為連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)，則()．A、f(x)可以是奇函數(shù)B、f(x)可以是偶函數(shù)C、f(x)是連續(xù)函數(shù)D、f(x)可以是單調增加函數(shù)標準答案：B知識點解析：構成連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f(x)，只需滿足兩個條件：一是非負性，f(x)≥0；二是∫－∞+∞f(x)dx=1．在這兩個條件下，對f(x)的函數(shù)類型沒有特別限定．選項A，依題設，f(x)是連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)，則在(－∞，+∞)上總有f(x)≥0．若是奇函數(shù)，則有f(－x)=－f(x)≤0，與它的非負性矛盾．選項C，連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)未必連續(xù)，但一般只允許有若干間斷點，如當X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布，其密度函數(shù)即為分段函數(shù)，有兩個間斷點．選項D，若f(x)是單調增加函數(shù)，又f(x)≥0，則至少有一個點x0，使得f(x0)＞0，于是，當x＞x0時，總有f(x)＞f(x0)＞0，因此有∫－∞+∞f(x)dx=f(x0)(x－x0)，知∫－∞+∞f(x)dx發(fā)散．顯然，選項D不正確．由排除法知，應選B．5、設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為則k=()．A、2／3B、1／2C、1／3D、1／4標準答案：B知識點解析：由∫－∞+∞f(x)dx=1，有∫0+∞ke－x／2dx=－2ke－x／2|0+∞=2k=1，解得k=1／2．故選B．6、離散型隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，則λ=()．A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：由于X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則有P{X=k}=λ／k!e－λ=(λ＞0，k=0，1，2，…)，于是由題設，P{X=1}=P{X=2}，得λ／1!e－λ=λ2／2!e－λ，從而有λ2－2λ=0，解得λ=2(λ=0舍去)，所以λ=2．故選B．7、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+2X=0無實根的概率為1／2，則μ=()．A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：二次方程y2+4y+2X=0無實根的事件為{16－8X＜0}，即{X＞2}，于是依題設，有P{x＞2}=1－P{X≤2}=1／2，即P{X≤2}=1／2，也即Ф()=1／2，從而得2－μ=0，μ=2．故選B．8、已知各車站到站客流批次服從參數(shù)為λ的泊松分布，現(xiàn)對上海某公共汽車站客流量進行一次調查，統(tǒng)計了上午10：30到11：47每隔20秒乘客來到車站的批數(shù)(非人數(shù))，得到230個數(shù)據(jù)，如下表所示：則乘客來到車站的批次的分布參數(shù)λ=()．A、0．71B、0．79C、0．89D、1標準答案：C知識點解析：泊松分布的參數(shù)λ即為其客流批次的期望，也即到站乘客批次的加權平均值．因此，由調查數(shù)據(jù)容易計算出每隔20秒出現(xiàn)的到站乘客批次的加權平均值為EX=0×0．43+1×0．35+2×0．15+3×0．04+4×0．03=0．89，9、設隨機變量X的概率分布為P{X=k}=C／k!，k=0，1，2，…，則E(X2)=()．A、2B、3C、4D、5標準答案：A知識點解析：注意到X的概率分布為P{X=k}=C／k!，k=0，1，2，…，與服從參數(shù)λ=1的泊松分布的概率分布P{X=k)=1k／k!e－1，k=0，1，2，…，結構完全一致，并可以推出C=e－1．于是知EX=DX=1，則E(X2)=DX+(EX)2=λ+λ2=1+1=2．故選A．10、設隨機變量X的密度函數(shù)為又知EX=3／4，則k，α分別為()．A、2，3B、3，2C、3，4D、4，3標準答案：B知識點解析：由∫－∞+∞f(x)dx=∫01kxαdx=1，即k－α=1．又EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01kxα+1dx即4k－3α=6．聯(lián)立兩式，解得k=3，α=2．故選B．11、已知隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=(－∞＜x＜+∞)，則EX，DX分別為()．A、1，1／2B、1，1／4C、2，1D、2，2標準答案：A知識點解析：將其化為正態(tài)分布的密度函數(shù)的標準形式，即由正態(tài)分布的密度函數(shù)一般形式中參數(shù)與其數(shù)字特征的關系，可得EX=μ=1，DX=σ2=1／2．故選A．12、設隨機變量X服從區(qū)間[a，b]上的標準均勻分布，則[a，b]=()．A、[－1，1]B、[－]C、[1－]D、[－3，3]標準答案：B知識點解析：由X服從區(qū)間[a，b]上的標準均勻分布知，EX=0，DX=1．解法1由題設，直接計算EX=1／2(a+b)=0，DX=1／10(b－a)2=1．聯(lián)立得方程組，解得a=－，故選B．解法2對各選項一一驗證．知C不正確．選項D，由EX=1／2(－3+3)=0，DX=1／12(3+3)2=3，知D不正確．故選B．二、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)13、一批產品有12件，其中有4件次品，8件正品．現(xiàn)從中任取3件產品，試求取出的3件產品中有次品的概率．標準答案：設事件A={取出3件中有次品}，Ai={取出3件中恰好有i件次品}，i=1，2，3．顯然，A1，A2，A3兩兩互斥，且它們依次包含的樣本點數(shù)分別為=C41C82，=C42C81，=C43，由事件的關系和運算，有A=A1+A2+A3，又從12件產品中取3件產品，樣本點總數(shù)為C123．因此P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)本題也可考慮從事件A的反面去計算，即知識點解析：暫無解析14、10件產品中有5件一級品，3件二級品，2件次品，無放回地抽取，求取到二級品之前取到一級品的概率．標準答案：設Ak為第k次取到一級品，Bk為第k次取到次品，A為取到二級品之前取到一級品，于是A1=A1，A2=B1A2，A3=B1B2A3，A=A1+B1A2+B1B2A3，顯然，事件A1，A2，A3互斥，從而有P(A)=P(A1)+P(B1A2)+P(B1B2A3)知識點解析：暫無解析15、一電路裝有三個同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨立，在某個時間段每個元件無故障工作的概率為0．8．求該電路分別在三個元件串聯(lián)和并聯(lián)情況下無故障工作的概率．標準答案：三個同種電氣元件中有ξ個無故障工作的概率服從二項分布概型，即P{ξ=k}=C3k0．8k(1－0．8)3－k(k=0，1，2，3)．于是在三個元件串聯(lián)情況下，電路無故障工作，即在三個元件都處在正常工作狀態(tài)，因此所求概率為P{ξ=3}=C330．83(1－0．8)3－3=0．83=0．512．在三個元件并聯(lián)情況下，只要其中一個元件無故障工作，電路即正常工作，因此所求概率為1－P{ξ=0)=1－C300．80(1－0．8)3=1－0．23=0．992．知識點解析：暫無解析16、已知離散型隨機變量X的分布函數(shù)為求X的分布陣，并計算P{x=1}，P{－1＜X＜3}，P{X＜0|－2≤X＜1}．標準答案：X的正概率點即為F(x)的分段點：X=－1，0，2，且有P{X=－1}=F(－1)－F(－1－0)=1／2，P{X=0}=F(0)=F(0－0)==3／14，P{X=2}=F(2)－F(2－0)=1－=2／7．于是X的分布陣為從而有P{X=1)=0或P{X=1}=F(1)－F(1－0)==0；P{－1＜x＜3}=P{X=0}+P{X=2}=1／2，或P{－1＜X＜3}=F(3－0)－F(－1)=1－=1／2；P{X＜0|－2≤X＜1}知識點解析：暫無解析17、設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為求Y的分布列．標準答案：顯然，Y的正概率點為0，1，2．于是P{Y=0}=P{X＜1}=∫－∞1f(x)dx=∫011／6dx=1／6；P{Y=1}=P{1≤X＜4}=∫14f(x)dxP{Y=2}=P{X≥4}=∫4+∞f(x)dx=∫451／4dx=1／4，或P{Y=2}=1－P{Y=0}－P{Y=1}=1－=1／4．因此，Y的分布列為知識點解析：暫無解析18、已知連續(xù)型隨機變量X有密度函數(shù)為求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x)，并計算P{1＜X＜5／2|X≤3}．標準答案：由連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的性質，有∫－∞+∞f(x)dx=∫02(k+1)dx=(kx2+x)|02=2k+2=1，解得k=－1／2．又當x＜0時，P{X≤x}=0；當x≥2時，P{X≤x}=1；當0≤x＜2時，P{X≤x}=∫0x(－t+1)dt=－x2+x，從而得F(x)=P{X≤x}知識點解析：暫無解析19、某地抽樣調查考生的英語成績(按百分制計算)近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的考生占整個考生人數(shù)的2．3％，試求英語成績在60分至84分之間的概率．(Ф(1)=0．8431，Ф(2)=0．977)標準答案：設X為考生的英語成績，則X～N(μ，σ2)，其中μ=72，下面確定σ依題設，P{X≥96}=0．023，即有Ф(24／σ)=0．977，得24／σ=2，所以σ=12，因此X～N(72，122)．所以P{60≤X≤84}=p{||≤1}=2Ф(1)－1=0．6862．知識點解析：暫無解析20、設一條自動生產線上生產的每臺儀器以概率0．8可以出f，以概率0．2需要進一步調試，經調試后，以概率0．75可以出f，以概率0．25定為不合格品不能出f．現(xiàn)該生產線新生產出十臺儀器，試求這十臺儀器能夠出f的期望．標準答案：對于該生產線生產的每臺儀器，設事件A表示“儀器能出廠”，B表示“儀器需要進一步調試”，表示“儀器可以直接出廠”，AB表示“儀器經調試后可以出廠”．于是A=∪AB，P(A)=P()+P(AB)=P()+P(B)P(A|B)=0．8+0．2×0．75=0．95．設隨機變量X表示十臺儀器中能夠出廠的臺數(shù)，則X服從二項分布B(10，0．95)，因此EX=10×0．95=9．5(臺)．知識點解析：暫無解析21、設隨機變量X的分布函數(shù)為求EX，E(2X+5)，E(X2)，D(X2)．標準答案：求X的期望與方差先求X的分布陣，依題設，有因此EX=－1×0．2+0×0．6+1×0．2=0，E(2X+5)=2EX+5=5，E(X2)=(－1)2×0．2+02×0．6+12×0．2=0．4，D(X2)=E(X4)－[E(X2)]2=(－1)4×0．2+04)×0．6+14×0．2－0．42=0．24．知識點解析：暫無解析22、設隨機變量X的分布函數(shù)為求EX；DX；E(X2)；D(2－3X)．標準答案：求X的期望與方差必須先求X的密度函數(shù)，即有因此EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫13(x)dx=20／9；E(X2)=∫－∞+∞x2f(x)dx=∫13(x2)dx=47／9；DX=E(X2)－(EX)2D(2－3X)=9DX=23／9．知識點解析：暫無解析23、某類型電話呼喚時間T為連續(xù)型隨機變量，滿足P(T＞t)=ae－λt+(1－a)e－μ，t≥0，0≤α≤1，λ，μ＞0，求ET．標準答案：依題設，先求T的密度函數(shù)，利用分布函數(shù)法．當t≥0時，F(xiàn)(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t}=1－αe－λt－(1－α)e－λt，由F(0)=0，F(xiàn)(t)單調非減非負知，當t＜0時，F(xiàn)(t)=0，所以T的分布函數(shù)為從而得T的密度函數(shù)為因此ET=∫－∞+∞tf(t)dt=∫0+∞[αλte－λt+μ(1－α)te－μt]dt其中∫0+∞te－ktdt知識點解析：暫無解析24、設隨機變量X在[－1，2]上服從均勻分布，且Y=X2．求DX，DY．標準答案：由題設，X的密度函數(shù)為因此EX=∫－∞+∞xp(x)dx=∫－12x／3dx=1／6x2|－12=1／2，E(X2)=∫－∞+∞x2p(x)dx=∫－12x2／3dx=1／9x3|－12=1，所以DX=E(X2)－(EX)2=3／4又EY=∫－∞+∞x2p(x)dx=∫－121／3x2dx=1／9x3|－12=1，E(Y2)=∫－∞+∞x4p(x)dx=∫－121／3x4dx=1／15x5|－12=33／15=11／5，所以DY=E(Y2)－(EY)2=－1=6／5．知識點解析：暫無解析經濟類專業(yè)學位聯(lián)考綜合能力數(shù)學基礎（概率論）模擬試卷第3套一、單項選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、甲、乙兩人投籃，以A表示事件“甲投中，乙未投中”，則其對立事件為()．A、“甲未投中，乙投中”B、“甲、乙二人均投中”C、“甲未投中或乙投中”D、“甲未投中”標準答案：C知識點解析：若以A1表示事件“甲投中”，A2表示事件“乙未投中”，則事件A=A1A2，對立事件為表示“乙投中”，因此，A的對立事件為“甲未投中或乙投中”，故選C．2、5封信投入4個信箱，則某一個信箱有3封信的概率為()．A、45／128B、15／64C、15／128D、5／128標準答案：A知識點解析：5封信投入4個信箱，每封信都有4種投遞選擇，總樣點數(shù)為45，某一個信箱有3封信，意味著從4個信箱中先取出一個，從5封信中取出3封信投入其中，剩下的2封信可隨機投入余下的3個信箱，共含樣本點數(shù)為C41C5332，因此，所求事件的概率為C41C5332／45=45／128，故選A．3、某公交起點站每隔5分鐘就發(fā)一部車，在乘客不知情的情況下，每一名乘客到站候車時間不超過2分鐘的概率為()．A、1／5B、3／7C、3／5D、4／5標準答案：B知識點解析：設事件A={每一名乘客到站候車時間不超過2分鐘}，由于乘客可以在兩輛公交車發(fā)車的時間間隔內任何一個時間點到達車站，因此，乘客到達車站的時刻t可以是均勻地出現(xiàn)在長為5分鐘時間，即區(qū)間(0，5]的一個隨機點，設Ω=(0，5]．又設前、后兩輛車出站時間分別為T1，T2，則線段T1T2長度為5(如圖3—7—3)，即L(Ω)=5．T0是線段T1T2上的一點，且T0T2長為2．顯然，乘客只有在T0之后到達(即只有t落在線段T0T2上)，候車時間才不會超過2分鐘，即L(A)=2，因此P(A)=L(A)／L(Ω)=2／5．故選B．4、設f(x)是連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)，F(xiàn)(x)為其分布函數(shù)，則()．A、0≤f(x)≤1B、P{X=x}=f(x)C、P{X=x)≤F(x)D、P{X=x}=F’(x)標準答案：C知識點解析：首先，密度函數(shù)f(x)不是概率，只是描繪連續(xù)型隨機變量概率分布密集程度的度量，因此只要求函數(shù)值非負，但不要求f(x)≤1．其次，P{X=x}是連續(xù)型隨機變量在一單點x的概率，由連續(xù)型隨機變量在任何單點X=x的概率均為零，有P{X=x}=0．另外，分布函數(shù)F(x)是概率，即F(x)=P{X≤x}，所以總有0≤F(x)≤1，綜上可得，P{X=x}=0≤F(x)恒成立，故選C．5、設f1(x)，f2(x)分別為區(qū)間[－1，2]和[2，4]上均勻分布的概率密度，若f(x)=(a＞0，b＞0)為概率密度，則a，b應滿足()．A、a+3b=3B、a+b=1C、3a+b=3D、3a+2b=1標準答案：A知識點解析：依題設又f(x)為概率密度，則應同時滿足f(x)≥0和∫－∞+∞f(x)dx=1，于是有∫－∞+∞f(x)dx=∫－∞0af1(x)dx+∫0+∞bf2(x)dx=a∫－101／3dx+b∫241／2dx=+b=1，解得a+3b=3，故選A．6、離散型隨機變量X的分布函數(shù)為則()．A、P{X=1．5}=0．4B、P{0≤X＜1}=．4C、P{X＜3}=0．4D、P{1≤X＜3}=0．4標準答案：D知識點解析：選項D，隨機變量X在區(qū)間[1，3)內含正概率點為1，于是P{1≤X＜3}=P{X=1}=F(1)－F(1－0)=0．8－0．4=0．4．選項A，P{X=1．5}=P{X≤1．5}－P{X＜1．5}=0．8－0．8=0．選項B，隨機變量X在區(qū)間[0，1)內不含正概率點，于是P{0≤X＜1}=0．選項C，隨機變量X在區(qū)間(－∞，3)內含正概率點為－1，1，于是P{X＜3}=P{X=－1}+P{X=1}=0．4+0．4=0．8．故選D．7、設隨機變量X服從正態(tài)分布X～N(2，22)，且aX+b～N(0，1)，則a，b取值為()．A、a=－1／2，b=1B、a=1／2，b=－1C、a=1／2，b=－1或a=－1／2，b=1D、a=1／2，b=1／4標準答案：C知識點解析：正態(tài)分布的標準化，有兩種解法．解法1利用正態(tài)分布標準化公式，即由X～N(2，22)，有～N(0，1)，得a=1／2，b=－1．同時有－～N(0，1)，得a=－1／2，b=1．故選C．解法2利用正態(tài)分布參數(shù)與其數(shù)字特征關系，有E(aX+b)=aEX+b=2a+b=0，D(aX+b)=a2DX=4a2=1，解得a=－1／2，b=－1或a=－1／2，b=1．故選C．8、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，若對于任意實數(shù)α，總有F(－α)+F(α)=1，則必有()．A、μ=0，σ2=0B、μ=0，σ2=1C、μ=0，σ為任意正常數(shù)D、μ=1，σ為任意正常數(shù)標準答案：C知識點解析：對于連續(xù)型隨機變量X，當且僅當其密度函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時，分布函數(shù)F(x)滿足等式F(－α)+F(α)=1．因此正態(tài)分布N(μ，σ2)當且僅當在μ=0時，才能滿足等式F(－α)+F(α)=1，而且結論與σ2的取值無關，故選C．9、某項試驗成功的概率為p，設隨機變量X為重復進行該項試驗直到成功所需要的次數(shù)，則EX=()．A、pB、1－pC、D、1／p標準答案：D知識點解析：依題設可知，X服從參數(shù)為p的幾何分布，概率分布為P{X=k}=(1－p)k－1p，k=1，2，…，因此EX=k(1－p)k－1p=－p[(1－p)k]’故選D．10、設隨機變量X的密度函數(shù)為且EX=1，則a，b分別為()．A、3，1B、4，2C、6，－2D、6，－4標準答案：C知識點解析：由題設，知∫－∞+∞f(x)dx=∫01(ax+b)dx=a+b=1，EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01(ax2+bx)dx以上兩式聯(lián)立，得方程組故選C．11、設隨機變量X～N(－1，2)，Y=2X+3，則P{Y≥1}()．A、＞1／2B、=1／2C、＜1／2D、的大小不能確定標準答案：B知識點解析：根據(jù)線性隨機變量函數(shù)的性質，Y=2X+3仍服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，又根據(jù)正態(tài)分布的參數(shù)與其數(shù)字特征的關系，即有μ=EY=2EX+3=1，σ2=DY=22DX=8，從而有Y=2X+3～N(1，8)，所以P{Y≥1}=Ф()=Ф(0)=1／2．故選B．12、設隨機變量X1，X2相互獨立，且分別服從參數(shù)為λ1，λ2的指數(shù)分布，則下列結論正確的是()．A、E(X1+X2)=λ1+λ2B、D(X1+X2)=λ1+λ2C、D(X1+X2)=D、X1+X2服從參數(shù)為λ1+λ2的指數(shù)分布標準答案：C知識點解析：若X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則DX=1／λ2，于是，由X1，X2相互獨立，有D(X1+X2)=DX1+DX2=，故B錯誤，C正確，應選C．選項A，若X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則EX=1／λ，因此，E(X1+X2)=選項D，指數(shù)分布不具備如泊松分布及正態(tài)分布類似的性質，即在相互獨立的條件下，兩個同服從于指數(shù)分布的隨機變量之和不一定也服從于指數(shù)分布．二、計算題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)13、k個口袋中均裝有n個球，編號為1，2，…，n，現(xiàn)從每個口袋中各取一個球，求所取k個球中編號最大為m(1≤m≤n)的概率．標準答案：每個α袋取一個球有n種可能，從k個α袋同時取球，共有nk種可能，即總樣本點為nk．又所取k個球中最大編號不超過m，即每個α袋只能從編號為1到m的球中取到，共有mk種可能，但其中包含取不到最大編號為m的球的情況，共有(m－1)k種可能，應減去．即所取k個球中最大編號為m的事件含樣本點數(shù)為mk－(m－1)k．因此所求概率為知識點解析：暫無解析14、甲、乙兩人射箭比賽，約定比賽輪流進行，甲先射，甲每輪只射一次，而乙每輪射2次，先射中者為勝．已知甲、乙每次射中的概率分別為p，0．5，且每人射中與否相互獨立，問p為何值時，甲、乙兩人勝率相同．標準答案：設Ak，Bk分別表示甲、乙第k次射中，且k表示甲、乙兩人射箭的總次數(shù)，A表示甲勝，于是A=A1+A7+…，從而有P(A)=P(A1)+P(A7)+…=p+(1－p)(0．5)2p+(1－p)2(0．5)4p+…=p{1+0．25(1－p)+[0．25(1－p)]2+…}若要甲、乙勝率相同，應有=1／2，即p=3／7．知識點解析：暫無解析15、設隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立且同分布，Xi～，i=1，2，3，4，求行列式X=的概率分布．標準答案：解法1引入中間變量，分層處理．記Y1=X1X4，Y2=X2X3，易見，Y1，Y2獨立同分布．由Y1=0，1，則P{Y1=1}=P{X1=1，X4=1}=P{X1=1}P{X4=1}=0．16，P{Y1=0}=1－P{Y1=1}=0．84，即有又X=Y1－Y2=－1，0，1，則P{X=－1}=P{Y1=0，Y2=1}=P{Y1=0}P{Y2=1}=0．84×0．16=0．1344，P{X=1}=P{Y1=1，Y2=0}=P{Y1=1}P{Y2=0}=0．84×0．16=0．1344，P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X－1}=1－2×0．1344=0．7312．所以行列式的概率分布為解法2直接利用計算離散型隨機變量概率分布的三步法．由于X1，X2，X3，X4相互獨立且同服從0—1分布，易知X=－1，0，1，且P{X=－1}=P{X=1}，P{X=－1}=P{{{X1=0}∪{X4=0}}∩{{X2=1}∩{X3=1}}}=P{{X1=0}∪{X4=0}}P{X2=1}P{X3=1}=(1－0．4×0．4)×0．4×0．4=0．1344，P{X=1}=P{X=－1}=0．1344，P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X=1}=0．7312．所以行列式X的概率分布為知識點解析：本題中，X是由4個隨機變量X1，X2，X3，X4的運算式組成，如果直接套用一般的計算模式，即解法2，就顯得較為繁瑣．解法1所采用的是根據(jù)X1，X2，X3，X4運算的層次結構，引進中間變量Y1=X1X4，Y2=X2X3，將運算分為先求出Y1，Y2的分布，再求X=Y1－Y2的分布兩個步驟，看似復雜，但實際更為簡便．其中用到了X1，X2，X3，X4獨立同分布，則Y1，Y2也獨立同分布的性質．一本書有500頁，共有500個錯，每個錯誤都等可能出現(xiàn)在每一頁上(設該書每頁有500個印刷符號)．16、求在第100頁出現(xiàn)錯誤個數(shù)的概率分布；標準答案：設X為第100頁出現(xiàn)錯誤的個數(shù)，X=0，1，2，…，500．由于每個錯誤都等可能出現(xiàn)在每一頁上，故每個錯誤出現(xiàn)在第100頁上概率為1／500，且每個錯誤出現(xiàn)在第100頁的可能性相互獨立，因此X服從二項分布B(500，1／500)，其概率分布為P{X=k}=C500k(1／500)k(499／500)500－k，，k=0，1，2，…，500．知識點解析：暫無解析17、第100頁上至少有3個錯的概率．標準答案：第100頁上至少有3個錯的概率為P{X≥3}=1－P{X=0}－P{X=1}－P{X=2}=1－C500k(1／500)k(499／500)500－k≈0．08．知識點解析：暫無解析18、設隨機變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)a，b及概率P{|X|＜2}．標準答案：根據(jù)分布函數(shù)的性質，有F(+∞)=(a+be－x)=1，得a=1．又F(x)在x=0處右連續(xù)，有(a+be－x)=a+b=0，得b=－1．所以從而有P{|X|＜2}=P{－2＜x＜2}=F(2－0)－F(－2)=1－e－2－0=1－e－2．知識點解析：暫無解析19、某種型號電池的壽命X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92．36％，為使其壽命在μ－x和μ+x之間的概率不小于0．9，x至少為多大?(Ф(1．43)=0．9236，Ф(1．645)=0．95)標準答案：由P{X＞250}=P{X＜350}根據(jù)正態(tài)分布的密度函數(shù)關于x=μ對稱，有μ==300，又由P{X＜350}=P{}=Ф(50／σ)=0．9236，得50／σ=1．43，于是σ≈34．97．故X～N(300，34．972)，又P{μ－x＜X＜μ+x}=P{||＜x／σ}=2Ф(x／σ)－1≥0．9，即Ф(x／σ)≥1．9／2=0．95，得x／σ≥1．645，于是x≥1．645×34．97≈57．53．知識點解析：暫無解析已知某批建筑材料的強度X服從N(200，182)，現(xiàn)從中任取一件時，求20、取得的材料的強度不低于180的概率；標準答案：P{X≥180}=1－P{X＜180}=1－Ф()=Ф(1．11)=0．8665．知識點解析：暫無解析21、如果所用材料以99％的概率保證強度不低于150，問這批材料是否符合這個要求．(Ф(1．11)=0．8665，(Ф2．78)=0．9973)標準答案：P{X≥150}=1－P{X＜150}=1－Ф()=Ф(2．78)=0．9973．結果表明，從這批材料中任取一件，以99．73％(大于99％)的概率保證強度不低于150，故這批材料符合要求．知識點解析：暫無解析22、設隨機變量X與Y相互獨立，其中X的概率分布為X～，而Y的概率密度為f(x)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(x)．標準答案：根據(jù)分布函數(shù)法，由全概率公式有G(u)=P{U≤u}=P{X+Y≤u}=P{X=1}P{X+Y≤u|X=1}+P{X=2}P{X+Y≤u|X=2}=0．3P{Y≤u－1}+0．7P{Y≤u－2}=0．3F(u－1)+0．7F(u－2)．所以隨機變量U的概率密度為g(x)=G’(u)=0．3f(u－1)+0．7f(u－2)．知識點解析：暫無解析23、甲、乙兩個射手，他們的射擊技術如下表所示：試用隨機變量的數(shù)字特征分析兩位射手的射擊水平．標準答案：設甲、乙兩個射手各自擊中的環(huán)數(shù)分別為X，Y，依題設，其分布陣分別為得EX=8×0．3+9×0．1+10×0．6=9．3，EY=8×0．2+9×0．3+10×0．5=9．3，E(X2)82×0．3+92×0．1+102×0．6=87．3，E(Y2)=82×0．2+92×0．3+102×0．5=87．1，從而得DX=87．3－9．32=0．81，DY=87．1－9．32=0．61．由此可知，兩位射手射擊的平均環(huán)數(shù)相同，旗鼓相當，但從方差的角度觀察，乙射手射擊的著彈點分布偏離均值的程度較低，密集程度較高，總體水平略高于甲射手．知識點解析：暫無解析24、箱中裝有十只電子元器件，其中有兩只廢品．裝配儀器時，從中任取一只，如果是廢品，則扔掉再重新任取一只，如果還是廢品，則扔掉再重新任取一只．試求在取到正品之前已取得的廢品數(shù)的概率分布、數(shù)學期望和方差．標準答案：記X表示在取到正品之前已取得的廢品數(shù)，X可能出現(xiàn)的正概率點數(shù)為0，1，2，于是P{X=2}=1－=1／45，DX=E(X2)－(EX)2==88／405．知識點解析：暫無解析25、設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為求E(|X－EX|)．標準答案：由EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01x2dx+∫12x(2－x)dx有E(|X－EX|)=E(|X－1|)=∫－∞+∞|x－1|f(x)dx=∫01|x－1|xdx+∫12|x－1|(2－x)dx=∫01(1－x)xdx+∫12(x－1)(2－x)dx=∫02(1－x)xdx+2∫12(x－1)dx=1／3．知識點解析：暫無解析26、點P隨機地落在圓心在原點半徑為R的圓周上，并對弧長服從均勻分布，求落點P的縱坐標的數(shù)學期望與方差．標準答案：設落點P距點(R，0)的弧長為S，依題設，S的密度函數(shù)為如圖3—9—2所示，S=Rθ，其中θ為OP與x軸的夾角(逆時針方向)，點P的縱坐標Y=Rsinθ=RsinS／R．因此DY=E(Y2)－(EY)2=R2／2，其中∫02πsin2xdx=4∫0π／2sin2xdx知識點解析：暫無解析27、設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為已知EX=0．5，DX=0．15，求常數(shù)a，b，c．標準答案：由題設，有∫－∞+∞φ(x)dx=∫01(ax2+bx+c)dxEX=∫－∞+∞xφ(x)dx=∫01(ax3+bx2+cx)dxE(X2)=∫－∞+∞x2φ(x)dx=∫01(ax4+bx3+cx2)dxDX=E(X2)－(EX)2聯(lián)立上式，得方程組求解方程組，解得a=12，b=－12，c=3．知識點解析：暫無解析經濟類專業(yè)學位聯(lián)考綜合能力數(shù)學基礎（概率論）模擬試卷第4套一、單項選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設A，B為兩個事件，且P(AB)=0，則()．A、A與B互斥B、AB是不可能事件C、AB未必是不可能事件D、P(A)=0，P(B)0標準答案：C知識點解析：一般地，由P(AB)=0，推不出AB=，從而可以排除選項A和選項B．由P(AB)=0，也未必有P(A)=0，P(B)=0．例如事件A，B分別表示投擲硬幣出現(xiàn)正面、反面，則有P(A)=1／2，P(B)=1／2，但P(AB)=0．因此由排除法，應選C．2、設A，B為兩個隨機事件，若P(AB)=P()，且P(A)=p，則P(B)=()．A、1－pB、pC、(1－p)pD、0標準答案：A知識點解析：由P(AB)=P()=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)+P(AB)，得P(B)=1－P(A)=1－p．故選A．3、口袋中有3個白球2個黑球，某人連續(xù)地從中有放回地取出1球，則此人第5次取球時．恰好是第二次取出黑球的概率為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由題可知，第5次取球，恰好是第二次取出黑球，則第5次取出一個黑球，符合幾何分布特點，同時意味著前4次取球，有一次取到黑球，符合伯努利概型的特點，則所求概率為P=C412／5(1－，故選C．4、設F(x)為隨機變量X的分布函數(shù)，則P{a≤X≤b}=()．A、F(b)－F(a)B、F(b－0)－F(a)C、F(b)－F(a－0)D、F(b－0)－F(a－0)標準答案：C知識點解析：選項C，由定義式F(x)=P{X≤x}，知F(a－0)=P{X＜a}，其中F(a－0)=F(x)，有P{a≤X≤b}=P{X≤b}－P{X＜a}=F(b)－F(a－0)．選項A，F(xiàn)(b)－F(a)=P{a＜X≤b}．選項B，F(xiàn)(b－0)－F(a)=P{a＜X＜b}．選項D，F(xiàn)(b－0)－F(a－0)=P{a≤X＜b}．故選C．5、設F1(x)，F(xiàn)2(x)為兩個分布函數(shù)，其相應的密度函數(shù)f1(x)，f2(x)是連續(xù)函數(shù)，則下列函數(shù)必為密度函數(shù)的是()．A、f1(x)f2(x)B、f1(x)+f2(x)C、f1(x)F2(x)D、f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)標準答案：D知識點解析：選項D，由∫－∞+∞[f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)]dx=∫－∞+∞d[F1(x)F2(x)]=F1(x)F2(x)|－∞+∞=1，及f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0，知D正確．選項A，由∫－∞+∞f1(x)dx=1，∫－∞+∞f2(x)dx=1推不出∫－∞+∞f1(x)f2(x)dx=1，A錯誤．選項B，∫－∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫－∞+∞f1(x)dx+∫－∞+∞f2(x)dx=2≠1，B錯誤．選項C，∫－∞+∞f1(x)F2(x)dx=F1(x)F2(x)|－∞+∞－∫－∞+∞f2(x)F1(x)dx≠1，C錯誤．故選D．6、已知離散型隨機變量X的正概率點為0，1，3，每個取值點的概率呈現(xiàn)為等差數(shù)列，即為X～，則常數(shù)a，d應滿足的條件是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由離散型隨機變量X的分布列的性質，常數(shù)a，d應滿足的條件是a=d+a+a+d=3a=1，得a=1／3．同時有a－d≥0，a+d≥0，即|d|≤a=1／3．故選C．另，當a=1／3，d≤1／3時，可能導致a+d＜0；當a=1／3，d≥－1／3或a=1／3，d≥0時，可能導致a－d＜0，因此選項A，B，D均不正確．7、隨機變量X的概率密度為以Y表示對X的獨立重復觀察4次事件{X≤1／2}出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y=2)=()．A、27／64B、27／128C、9／64D、9／128標準答案：B知識點解析：依題設，p=P{X≤1／2}=∫01／22xdx=x2|01／2=1／4．于是，Y～B(4，1／4)，因此P{Y=2)=C42p2(1－p)2=27／128．故選B．8、設隨機變量X，Y相互獨立，其分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，記Z=max{X，Y}，則Z的分布函數(shù)為()．A、[1－FX(x)][1－FY(y)]B、1－FX(x)FY(y)C、[1－FX(x)]．FY(y)D、FX(x)．FY(y)標準答案：D知識點解析：利用分布函數(shù)法，有F(z)=P{Z≤≤z}=P{max{X，Y}≤z}=P{X≤z，Y≤z}=p{X≤z}P{Y≤z}=FX(x)．FY(y)，故選D．9、設隨機變量X的分布陣為則EX=()．A、不存在B、2C、3D、4標準答案：D知識點解析：由離散型隨機變量X的期望的計算公式，有故選D．10、若一個圓的直徑X服從區(qū)間[2，3]上的均勻分布，則該圓面積的數(shù)學期望為()．A、19／3πB、19／6πC、19／12πD、19／48π標準答案：C知識點解析：設圓面積Y=1／4πX2，因為X服從區(qū)間[2，3]上的均勻分布，因此故選C．11、設EX，DX，EY，DY分別為隨機變量X，Y的數(shù)學期望和方差，下列結論正確的是()．A、若連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)關于Y軸對稱，則EX=0B、若X，Y同分布，則D(X+Y)=DX+DYC、E(XD)=EX．EYD、E(X．EY)=EX．EY標準答案：D知識點解析：選項D，因為EY是常數(shù)，所以由期望性質有E(X．EY)=EX．EY，故選D．選項A，結論當且僅當在期望EX存在的條件下成立．盡管密度函數(shù)關于y軸對稱，但由于EX=∫－∞+∞xf(x)dx，發(fā)散，則EX≠0．選項B，在X，Y相互獨立的條件下，有．D(X±Y)=DX+DY．選項C，一般情況下，E(XY)≠EX．EY．12、設隨機變量X，Y相互獨立，且X～N(1，2)，Y～N(－1，3)，則X+Y服從的分布為()．A、N(1，5)B、N(0，5)C、N(0，13)D、不確定標準答案：B知識點解析：在X，Y相互獨立的條件下，同屬于正態(tài)分布的隨機變量之和Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布，且EZ=E(X+Y)=EX+EY=0，DZ=D(X+Y)=DX+DY=5，從而有Z=X+Y～N(0，5)，故選B．13、設隨機變量Xij(i，j=1，2)獨立同分布，EXij=2，Y=，則數(shù)學期望EY=()．A、0B、1C、2D、4標準答案：A知識點解析：依題設，Xij(i，j=1，2)獨立同分布，故有EY=E(X11X22－X12X21)=E(X11X22)－E(X12X21)=EX11．EX22－EX12．EX21=0，故選A．二、計算題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、設A，B，C是三個隨機事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1／4，P(AB)=P(BC)=0，P(AA)=1／8，求A，B，C中至少有一個發(fā)生的概率．標準答案：設事件D表示A，B，C中至少有一個發(fā)生，即D=A+B+C，依題設，P(AB)=0，則有P(AB|C)=0，P(ABC)=P(C)P(AB|C)=0．于是P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)知識點解析：暫無解析15、在十件產品中有四件是不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件中至少有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．標準答案：解法1用超幾何分布概型模式．設事件A={所取的兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}，A，B同時發(fā)生，即指事件“所取的兩件都是不合格品”，從選取產品的方式考慮，事件與AB發(fā)生概率都屬于超幾何概型，于是有P(A)=1－P()=1－=2／3，P(AB)=C42／C102=2／15，于是有解法2用連續(xù)抽取的概型模式．設兩次抽取，Ai={第i次抽到不合格品)，i=1，2．則A=A1A2+A1A2，且A1A2，A1A2互斥，AB=A1A2，于是有知識點解析：暫無解析16、設隨機變量X的分布律為P{X=－1}=1／4，P{X=0}=1／2，P{X=1}=1／4，求Y=X2的分布陣．標準答案：依題設，Y的可能取值為0，1，有P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=1／2，P{Y=1}=P{X2－1}=P{{X=1}∪{X=－1}}=P{X=1}+P{X=－1}知識點解析：暫無解析設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求：17、常數(shù)A，B；標準答案：根據(jù)連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的連續(xù)性，有F(－a)=F(－a－0)，F(xiàn)(a)=F(a－0)，知識點解析：暫無解析18、X的密度函數(shù)f(x)；標準答案：知識點解析：暫無解析19、P{－a／2＜X＜a／2}．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設隨機變量X在區(qū)間[0，10)內均勻取值，求X的分布函數(shù)及其圖形．標準答案：解法1分區(qū)間計算概率P{X≤x}．隨機變量X在區(qū)間[0，10)內均勻取值，于是：當x＜0時，{X≤x}是不可能事件，有F(x)=P{X≤x}=0；當0≤x＜10時，[0，x][0，10)，由幾何概型，有F(x)=P{X≤x}=P{0≤X≤x}=x／10；當x≥10時，{X≤x}是必然事件，有F(x)=P{X≤x}=P{0≤X≤10}=1．綜上，可得X的分布函數(shù)為其圖形如圖3—8—4所示．解法2由密度函數(shù)f(x)，計算積分∫－∞xf(t)dt．已知X在區(qū)間[0，10)內均勻取值，即服從區(qū)間[0，10)上的均勻分布，密度函數(shù)為于是f(x)=∫－∞xf(t)dt其圖形如圖3—8—4所示．知識點解析：暫無解析21、設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為求Y=的密度函數(shù)．標準答案：由0＜x＜e－1，有0＜y2＜e－1，即有0＜y＜于是，當y＜0時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=0，當0≤y＜時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤Y}=P{≤y}=P{X≤y2}=ln(1+y2)，當y≥時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=1，所以Y的分布函數(shù)為知識點解析：暫無解析22、設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為求E(min{|X|，1})．標準答案：由對稱性，有E(min{|X|，1})=∫－∞+∞min{|x|，1}φ(x)dx=2∫0+∞min{x，1}φ(x)dx=2[∫01xφ(x)dx+f+∫1+∞φ(x)dx]知識點解析：暫無解析23、已知X的密度函數(shù)為對X重復觀察4次，用Y表示觀察值大于π／3出現(xiàn)的次數(shù)，求E(Y2)．標準答案：由P{X≥π／3}知Y服從二項分布B(4，1／2)，因此從而得E(Y2)=DY+(EY)2=1+22=5．知識點解析：暫無解析24、已知隨機變量X，Y相互獨立，且都服從泊松分布，又知EX=2，EY=3，求E[(X－Y)2]．標準答案：根據(jù)泊松分布的參數(shù)和其數(shù)字特征的關系，由EX=2，EY=3知，X，Y的分布參數(shù)分別為λ1=2，λ2=3，從而知方差DX=2，DY=3．又根據(jù)隨機變量的數(shù)學期望和方差的性質，由于X，Y相互獨立，于是有E(X－Y)=EX－EY=－1，D(X－Y)=DX+DY=5，從而得E[(X－Y)2]=D(X－Y)+[E(X－Y)]2=5+1=6．知識點解析：暫無解析經濟類專業(yè)學位聯(lián)考綜合能力數(shù)學基礎（概率論）模擬試卷第5套一、單項選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設事件A與B互不相容，則()．A、P()=0B、P(AB)=P(A)P(B)C、P(A)=1－P(B)D、P()=1標準答案：D知識點解析：選項D，事件A與B互不相容，則有AB=，P(AB)=0，進而有P()=1－P(AB)=1，知選項D正確，選項A不正確．選項B，事件A與B互不相容與事件A與B相互獨立沒有必然聯(lián)系．選項B未必成立．選項C，事件A與B互不相容是事件A與B對立的必要但非充分條件，因此，A與B未必對立，選項C未必成立．故選D．2、對于任意兩個事件A和B，有結論()．A、若AB≠，則A，B一定獨立B、若AB≠，則A，B有可能獨立C、若AB=，則A，B一定獨立D、若AB=，則A，B一定不獨立標準答案：B知識點解析：選項B，事件的獨立性只能由概率公式P(A)P(B)=P(AB)判斷，僅由事件的關系是不能推斷事件獨立性的．因此，當AB≠時，A，B可能獨立，也可能不獨立，故選B．選項A，反例：若P(A)=1／5，P(B)=1／2，P(A|B)=2／3，則有P(AB)=1／3≠0，顯然AB≠，但P(A)P(B)≠P(AB)，A，B不獨立，因此，A不成立．當AB=時，則A，B相互獨立，否則不相互獨立．故選項C，D也不成立．3、從100件產品(其中有5件次品)中，無放回地連續(xù)抽取兩件，則第一次取到正品而第二次取到次品的概率是()．A、19／400B、1／22C、19／396D、5／99標準答案：C知識點解析：設事件A={第一次取到正品}，B={第二次取到次品}，用古典概型的方法可得P(A)=95／100≠0，由于第一次抽取正品后不放回，因此，第二次抽取是在99件產品(不合格品仍然是5件)中任取一件，所以P(B|A)=5／99，由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B|A)=故選C．4、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=則P{X=1}=()．A、0B、1／2C、－e－1D、1－e－1標準答案：C知識點解析：由P{X=1}=F(1)－F(1－0)=1－e－1－－e－1．故選C．5、已知f(x)為連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)，且f(x)的不為零的定義區(qū)間為[0，π]，則f(x)在該區(qū)間上可能為()．A、sinxB、1／πC、x／πD、π標準答案：B知識點解析：選項B，由∫0π1／πdx=1，知f(x)在該區(qū)間上可能為1／π．選項A，由∫0πsinxdx=2，知f(x)在該區(qū)間上不可能為sinx．選項C，由∫0πx／πdx=1／2πx2|∫0π=π／2，知f(x)在該區(qū)間上不可能為x／π．選項D，由∫0ππdx=π2，知f(x)在該區(qū)間上不可能為π．故選B．6、設隨機變量X的分布律為P{X=－1)=1／2，P{X=0)=1ξ3P{X=1)=1／6，則Y=X2－1的分布陣為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：解法1按計算離散型隨機變量X概率分布的一般步驟．隨機變量X的正概率點為－1，0，1，則隨機變量Y=X2－1的正概率點為－1，0，且P{Y=－1}=P{X=0}=1／3，P{Y=0}=P(X=－1或X=1}=P{X=－1}+P{X=1}=2／3，因此故選B．解法2利用離散型隨機變量X和隨機變量函數(shù)Y=f(X)概率分布對照表解題．離散型隨機變量X和隨機變量函數(shù)Y=f(X)概率分布對照表如下：7、若X～N(μ，σ2)，且密度函數(shù)為則μ，σ2分另0為()．A、4，2B、3，2C、2，2D、1，2標準答案：B知識點解析：由可知μ=3，σ2=2，故選B．8、設隨機變量X，Y分別服從正態(tài)分布N(μ，42)，N(μ，52)，記p1=P{X≤μ－4)，p2=P{Y≥μ+5}，則()．A、對于任何實數(shù)μ，都有p1=p2B、對于任何實數(shù)μ，都有p1＜p2C、對于任何實數(shù)μ，都有p1＞p2D、對于μ的個別值，有p1=p2標準答案：A知識點解析：比較概率大小，先標準化再討論．由p1=P{x≤μ－4}=P{≤－1}=Ф(－1)=1－Ф(1)，p2=P{Y≥μ+5}=P{≥1}=1－P{＜1}=1－Ф(1)，所以對于任何實數(shù)μ，都有p1=p2，故選A．9、設一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復試驗，則當成功次數(shù)的標準差最大時，p=()．A、1B、1／2C、1／3D、1／4標準答案：B知識點解析：設X為獨立重復試驗成功的次數(shù)，由題意知，X～B(100，p)，則EX=100p，DX=100p(1－p)，從而有因此，當p=1／2時，成功次數(shù)的標準差最大．故選B．10、設隨機變量X的分布函數(shù)為則EX=()．A、1B、2C、3D、4標準答案：A知識點解析：求隨機變量X的期望必須先給出X的密度函數(shù)．由題設，可得于是EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01x2dx+∫12x(2－x)dx故選A．11、設隨機變量X～N(0，1)，Y=2X+1，則Y服從的分布是()．A、N(1，4)B、N(0，1)C、N(1，1)D、N(0，2)標準答案：A知識點解析：本題首先是求線性隨機變量函數(shù)的分布問題．相關的結論是，線性隨機變量函數(shù)與隨機變量服從同一分布類型，因此，Y=2X+1仍服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，又根據(jù)正態(tài)分布的參數(shù)與其數(shù)字特征的關系，即有EX=0，DX=1，從而有μ=EY=2EX+11，σ2=DY=4DX=4，所以Y=2X+1～N(1，4)，故選A．12、設隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則P{X＞}=()．A、1／2eB、－1／eC、2／eD、1標準答案：B知識點解析：由題設，X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，可知DX=1／λ2，于是P{X＞}=P{X＞1／λ}=∫1／λ+∞λe－λxdx=－e－λx|1／λ+∞=1／e．故選B．二、計算題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)13、在10到99的所有兩位數(shù)中，任取一個數(shù)，試求這個數(shù)能被2或5整除的概率．標準答案：從10到99的所有兩位數(shù)中，任取一個數(shù)，總樣本點數(shù)為90．設事件A={取出的兩位數(shù)能被2整除}，B={取出的兩位數(shù)能被5整除}．則所求事件{取出的兩位數(shù)能被2或5整除}=A+B，而AB={取出的兩位數(shù)能同時被2和5整除)．顯然，A包含樣本點數(shù)為45個，B包含樣本點數(shù)為[99÷5]－1=18(個)，AB包含樣本點數(shù)為[99÷10]=9(個)，其中符號[x]表示數(shù)字的整數(shù)部分．于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)知識點解析：暫無解析14、設有兩批數(shù)量相同的零件，已知有一批產品全部合格，另一批產品有25％不合格．從兩批產品中任取1個，經檢驗是合格品，放回原處，并在其所在批次再取1個，試求這個產品是不合格品的概率．標準答案：設Hi(i=1，2)為第一次從第i批產品中抽取，A為取到合格品，則有P(H1)=P(H2)=1／2，P(A|H1)=1，P(A|H2)=3／4，即有P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)=7／8，從而有P(H1|A)==4／7，P(H2|A)=1－P(H1|A)=3／7，又設Ci(i=1，2)為第二次從第i批產品中抽取，則有P()=P(C1)P(|C1)+P(C2)P(|C2)知識點解析：暫無解析15、甲、乙兩人進行投籃比賽，約定甲先投，若投不中，乙投，若投不中再由甲投，以此類推，誰先投中誰獲勝，比賽終止．已知甲、乙投中的概率分別為3／5和7／10．若記{Y=1}為甲獲勝，記{Y=0}為乙獲勝，求Y的概率分布．標準答案：甲、乙兩人進行投籃比賽，從理論上來說這是一個無限延續(xù)的過程，即甲、乙兩人的總投籃次數(shù)X是一個無窮數(shù)列1，2，…．依題設，甲獲勝對應的事件及其概率依次為因此，甲獲勝的概率為P{Y=1}乙獲勝的概率為P{Y=0}=1－P{Y=1}=7／22，所以Y的概率分布為知識點解析：暫無解析某公交車每隔10分鐘發(fā)一趟車，某乘客每天到該車始發(fā)站乘車，且到達車站的時間是等可能的．16、求此人在一周內出現(xiàn)等車超過5分鐘的次數(shù)的概率分布；標準答案：設此人每天等車超過5分鐘的事件為A，則由幾何概型，得P(A)=5／10=1／2，于是7天中事件A發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為n=7，p=1／2的二項分布，其分布律為P{X=k}=C7k(1／2)k(1／2)7－k(k=0，1，2，…，7)．知識點解析：暫無解析17、求此人在一周內等車超過5分鐘的次數(shù)不多于3次的概率．標準答案：依題設，得P{X≤3}=C7k(1／2)k(1／2)7－k=1／2．知識點解析：暫無解析18、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為試確定其中的常數(shù)a，b，c，d．標準答案：由連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質，有F(－∞)=a=0，F(xiàn)(+∞)=d=1，解得a=0，d=1．又F(x)在x=1，x=e處連續(xù)，有F(1)=F(x)=c+d=0，F(xiàn)(e)=F(x)=be+ce+d=1，即c+1=0，be+ce+1=1，解得c=－1，b=－c=1．知識點解析：暫無解析市場上有n個f家生產大量同種電子產品，價格相同，其市場占有的份額比為1：2：…：n，第i個工f生產的元件壽命(單位：小時)服從參數(shù)為λi(λi＞0，i=1，2，…，n)的指數(shù)分布，規(guī)定元件壽命在1000小時以上者為優(yōu)質品．求：19、市場上