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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)2.函數(shù)且的圖象是()A. B.C. D.3.已知拋物線的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點(設(shè)點位于第一象限),過點,分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為點,,拋物線的準(zhǔn)線交軸于點,若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.4.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后,得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,則的最小值為()A. B. C. D.5.2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎()疫情,并快速席卷我國其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為()且相互獨立,該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當(dāng)時,最大,則()A. B. C. D.6.已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線對稱,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上的所有點()A.先向左平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變B.先向右平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變C.先向右平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變D.先向左平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變7.設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標(biāo)原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.8.已知變量,滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.9.若函數(shù)在時取得最小值,則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時,,則()A. B. C. D.12.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則______.14.已知數(shù)列的前項和公式為,則數(shù)列的通項公式為___.15.若滿足約束條件,則的最大值為__________.16.若,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),在以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點、軸的正半軸為極軸,且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長度的極坐標(biāo)系中,曲線:.(1)求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線上恰好存在三個不同的點到曲線的距離相等,求這三個點的極坐標(biāo).18.(12分)已知數(shù)列滿足:對一切成立.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)已知拋物線的焦點為,直線交于兩點(異于坐標(biāo)原點O).(1)若直線過點,,求的方程;(2)當(dāng)時,判斷直線是否過定點,若過定點,求出定點坐標(biāo);若不過定點,說明理由.20.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)21.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.22.(10分)某市調(diào)硏機構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請直接寫出你的判斷結(jié)果.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選C.【點睛】考查并集的求法,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值,利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況,即可得解.【詳解】由題可知定義域為,,是偶函數(shù),關(guān)于軸對稱,排除C,D.又,,在必有零點,排除A.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,考查了函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.3.C【解析】
根據(jù)拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設(shè),則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.4.B【解析】
由余弦的二倍角公式化簡函數(shù)為,要想在括號內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù),至少需要向左平移個單位長度,即為答案.【詳解】由題可知,對其向左平移個單位長度后,,其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱故的最小值為故選:B【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換,還考查了余弦的二倍角公式逆運用,屬于簡單題.5.A【解析】
根據(jù)題意分別求出事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即.故選:A.【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.6.D【解析】
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,進而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,即,解得,所以,,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點“先向左平移個單位長度,得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查圖像變換,考查運算求解能力,是中檔題7.A【解析】
準(zhǔn)確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標(biāo),代入圓的方程得到c與a關(guān)系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點在圓上,,即.,故選A.【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運算繁瑣,準(zhǔn)確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強化練習(xí),才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來.8.B【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值.【詳解】解:由變量,滿足不等式組,畫出相應(yīng)圖形如下:可知點,,在處有最小值,最小值為.故選:B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,運用了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
利用輔助角公式化簡的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時的值.【詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時,函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
根據(jù)分段函數(shù),分當(dāng),,將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題,用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【詳解】當(dāng)時,,令,在是增函數(shù),時,有一個零點,當(dāng)時,,令當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值,因為在上有3個零點,所以當(dāng)時,有2個零點,如圖所示:所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為,故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力,屬于中檔題.11.A【解析】
因為給出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時,,,,.故選:A.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對數(shù)的運算性質(zhì),屬于中檔題.12.D【解析】
可過點S作SF∥OE,交AB于點F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過點S作SF∥OE,交AB于點F,連接CF,則∠CSF(或補角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關(guān)系,平行線分線段成比例的定理,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列,所以,解得,所以.故答案為:【點睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì),前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,應(yīng)用意識.14.【解析】
由題意,根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系,即可求得數(shù)列的通項公式.【詳解】由題意,可知當(dāng)時,;當(dāng)時,.又因為不滿足,所以.【點睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式,其中解答中熟記數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系,合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.4【解析】
作出可行域如圖所示:由,解得.目標(biāo)函數(shù),即為,平移斜率為-1的直線,經(jīng)過點時,.16.13【解析】
由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),,所以,,又,所以,即,由二項式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【詳解】解:設(shè),,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13【點睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項式定理,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2),,.【解析】
(1)把曲線的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程;(2)利用圖象求出三個點的極徑與極角.【詳解】解:(1)由消去參數(shù)得,即曲線的普通方程為,又由得即為,即曲線的平面直角坐標(biāo)方程為(2)∵圓心到曲線:的距離,如圖所示,所以直線與圓的切點以及直線與圓的兩個交點,即為所求.∵,則,直線的傾斜角為,即點的極角為,所以點的極角為,點的極角為,所以三個點的極坐標(biāo)為,,.【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,只要將和換成和即可.18.(1);(2)【解析】
(1)先通過求得,再由得,和條件中的式子作差可得答案;(2)變形可得,通過裂項求和法可得答案.【詳解】(1)①,當(dāng)時,,,當(dāng)時,②,①②得:,,適合,故;(2),.【點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式,考查裂項求和,是基礎(chǔ)題.19.(1)(2)直線過定點【解析】
設(shè).(1)由題意知,.設(shè)直線的方程為,由得,則,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以.由,得,解得.所以拋物線的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,由得,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以,解得.所以直線的方程為,所以時,直線過定點.20.(1)列聯(lián)表見解析,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見解析,期望為.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值,把觀測值同臨界值進行比較,得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎勵的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進行判斷,另外,離散型隨機變量的分布列,在求解的過程中,注意變量的取值以及對應(yīng)的概率要計算正確,注意離散型隨機變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.21.(1);(2)見解析.【解析】
(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計算A的坐標(biāo),計算切線與橢圓交點坐標(biāo),代入橢圓方程,計算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)
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