高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.4冪函數(shù)和二次函數(shù)(精講)(原卷版+解析)

2.4冪函數(shù)和二次函數(shù)【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為偶函數(shù)．2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減【題型精講】【題型一冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)】例1(2023·江西高三月考）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例2(2023·全國·高三測試）圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、例3(2023·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則a的取值范圍是______．例4(2023·北京人大附中高三月考）設(shè)則“的圖象經(jīng)過”是“為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型精練】1.(2023·河北·邢臺(tái)市第二中學(xué)高三開學(xué)考試）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則______．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且3.(2023·遼寧遼陽·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則______，的解集為______.4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由.【題型二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】例5(2023·河南安陽·高三月考）已知二次函數(shù)，滿足，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在區(qū)間上的值域.例6(2023·浙江高三專題練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．例7(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，對于任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.(2023·浙江臺(tái)州市·高三期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值域是__________.3.(2023·全國高三模擬）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為1，則（）A．3 B． C．1 D．2【題型三含參二次函數(shù)最值討論】例8(2023·全國高三專題練習(xí)）設(shè)求函數(shù)的最小值的解析式.例9(2023·山東·廣饒一中高三開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)求在上的最小值.【題型精練】1．(2023·貴州畢節(jié)·高三月考）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．2.4冪函數(shù)和二次函數(shù)【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為偶函數(shù)．2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減【題型精講】【題型一冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)】例1(2023·江西高三月考）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D【解析】由是冪函數(shù)，知：，又在上，∴，即，則且，∴.故選：D.例2(2023·全國·高三測試）圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、答案：D【解析】由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對應(yīng)的，C2對應(yīng)的，C3對應(yīng)的，結(jié)合選項(xiàng)知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.例3(2023·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則a的取值范圍是______．答案：【解析】設(shè)，則，所以，在上遞增，且為奇函數(shù)，所以.故答案為：例4(2023·北京人大附中高三月考）設(shè)則“的圖象經(jīng)過”是“為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：C【解析】（1）由，由的圖像經(jīng)過，則的值為，此時(shí)為奇函數(shù).又當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，則的值為，此時(shí)的圖象經(jīng)過.所以“的圖象經(jīng)過”是“為奇函數(shù)”的充要條件故選：C（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，故.故選：C【題型精練】1.(2023·河北·邢臺(tái)市第二中學(xué)高三開學(xué)考試）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則______．答案：【解析】由題意得，解得．故答案為：.2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且答案：D【解析】因函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，于是得函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，則有0，又因p、q互質(zhì)，則q為奇數(shù)，所以只有選項(xiàng)D正確.故選：D3.(2023·遼寧遼陽·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則______，的解集為______.答案：

【解析】依題意，設(shè)，則，解得，于是得，顯然是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，而，即有，解得或，所以的解集為.故答案為：；4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由.答案：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為非奇非偶函數(shù).理由見解析.【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，即，解得：，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不符合題意；所以，（2），令當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，，，，，此時(shí)是非奇非偶函數(shù)函數(shù).【題型二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】例5(2023·河南安陽·高三月考）已知二次函數(shù)，滿足，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在區(qū)間上的值域.答案：(1)(2)【解析】(1)解：由可得，，由得，所以，解得，所以.(2)解：由（1）可得：，則的圖象的對稱軸方程為，，又因?yàn)?，，所以，在區(qū)間上的值域?yàn)?例6(2023·浙江高三專題練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．答案：【解析】由題意得的對稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)不單調(diào)，所以，得．故答案為：．例7(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，對于任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)椋?，即的值域?yàn)閇1,2]，因?yàn)閷τ谌我?，總存在，使得成立，所以的值域?yàn)閇1,2]是在上值域的子集，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以，所以，所以，解得，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以，所以所以，解得，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：C【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在R上為減函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B.2.(2023·浙江臺(tái)州市·高三期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值域是__________.答案：【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以有，代入得：，解得：.所以，故答案為：.3.(2023·全國高三模擬）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為1，則（）A．3 B． C．1 D．2答案：D【解析】由題意知，得，整理得，所以，所以，，令，則．易知在上是增函數(shù)，所以．因?yàn)樵谏系淖钚≈凳?，所以在上的最小值是1，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去．綜上，，故選：D．【題型三含參二次函數(shù)最值討論】例8(2023·全國高三專題練習(xí)）設(shè)求函數(shù)的最小值的解析式.答案：【解析】，，函數(shù)圖像的對稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，即1≤t<2.當(dāng)，即時(shí)，在上是減函數(shù)，∴.當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，∴.綜上：.例9(2023·山東·廣饒一中高三開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)求在上的最小值.答案：(1)(2)(3)【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不等式，即，解得或，即不等式的解集為.(2)解：由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對稱軸為，要使得在上單調(diào)遞增，則滿足，所以的取值范圍為.(3)解：由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減，在上遞增，所以最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以最小值為，綜上可得，在上的最小值為.【題型精練】1．(2023·貴