中考數(shù)學一輪大單元復習1.1題型突破訓練：與實數(shù)有關的計算(原卷版+解析)

1.1題型突破訓練：與實數(shù)有關的計算題型分類結構圖（本專題共69題48頁）題型1：實數(shù)的混合計算典例：(2023·廣西·南寧十四中九年級期中）計算：12?鞏固練習1．(2023·重慶巴蜀中學九年級期中）14（2）(2023·重慶八中九年級期中）計算：cos30°?2．(2023·江蘇·鹽城市初級中學一模）計算：(π?1)03．(2023·四川樂山·九年級期中）計算：25+4．(2023·上?！で嗥謪^(qū)實驗中學九年級期中）計算：405．(2023·江蘇·連云港市新海初級中學三模）計算：|?3|+36．(2023·江蘇·射陽縣第四中學二模）計算：87．(2023·廣西·平果市教研室九年級期末）計算：128．(2023·江蘇·陽山中學九年級期中）計算：(1)2(2)12?49．(2023·山東·淄博市張店區(qū)第九中學九年級期中）計算：(1)cos60°+(2)6tan題型2：程序計算中的實數(shù)運算典例：(2023·河北邢臺·七年級期末）按下面程序計算：（1）當輸入x=5時，輸出的結果為______（2）若輸入x的值為大于1的實數(shù)，最后輸出的結果為17，則符合條件的x的值是______鞏固練習1．(2023·浙江·杭州綠城育華學校一模）有一個數(shù)值轉換器，原理如下：當輸人的x=144時，輸出的y等于(

)A．3 B．8 C．33 D．2．(2023·河北·一模）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為3，則最后輸出的結果是（）A．3+3 B．15+3 C．3+33 D．15+733．(2023·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法正確的是（

）A．輸入值x為16時，輸出y值為4B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個無理數(shù)C．輸出值y為3時，輸入值x為9D．存在正整數(shù)x，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值4．(2023·山東濟寧·八年級期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x值為5，則最后輸出的結果是（

）A．55 B．5+5 C．24 5．(2023·浙江·七年級專題練習）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當輸出值y為3時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為2；③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③6．(2023·全國·九年級專題練習）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．7．(2023·北京海淀·九年級期末）給定二元數(shù)對（p，q），其中p=0或1，q=0或1．三種轉換器A，B，C對（p，q）的轉換規(guī)則如下：（1）在圖1所示的“A—B—C”組合轉換器中，若輸入1,0，則輸出結果為________；（2）在圖2所示的“①—C—②”組合轉換器中，若當輸入1,1和0,0時，輸出結果均為0，則該組合轉換器為“____—C—____”（寫出一種組合即可）．8．(2023·河北·廊坊市第十六中學七年級期末）一個數(shù)值轉換器，如圖所示：（1）當輸入的x為2時，輸出的y值是______．（2）當輸出的y值為3時，請寫出兩個滿足條件的x的值為______和______．9．(2023·福建廈門·七年級期中）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當輸出值y為2時，輸入值x為2或4；②當輸入值x為9時，輸出值y為3；③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中正確的是________．10．(2023·河北·邯鄲市第二十三中學七年級期中）任意給出一個非零實數(shù)m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數(shù)m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．11．(2023·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖．(1)當x為9時，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當輸出的y值是5時，請寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個即可）題型3：定義新運算典例：(2023·江蘇宿遷·七年級期中）設a、b都表示有理數(shù)，規(guī)定一種新運算“※”：當a≥b時，a※b=b2，當a<b時，a※b=2×a．例如：1※2=2×1=2，(1)?1※(2)求(2※3)※?1(3)若有理數(shù)x在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，設：m=(1※x)※x；n=x※3，比較m、n的大小關系．鞏固練習1．(2023·陜西咸陽·八年級期中）現(xiàn)定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數(shù)x，y，都有x※y=x+y+32．(2023·山東德州·九年級期中）給出一種運算：對于函數(shù)y=xn，規(guī)定y'=nxn?1．例如：若函數(shù)y13．(2023·山東濰坊·八年級期中）定義一種運算☆，規(guī)則為a☆b=1a+4．(2023·山東煙臺·期中）在有理數(shù)的原有運算法則中，補充新的運算法則“?”如下：當a≥b時，a?b=b2；當a<b時，a?b=a．則當x=3時，5．(2023·山東·商河縣第三實驗學校八年級期中）規(guī)定以下兩種變換：①f(m,n)=(?m,n)，如f(2,1)=(?2,1)；②g(m,n)=(?n,?m)，如g(2,1)=(?1,?2)，按照以上變換有：f[g(3,4)]=f(?4,?3)=(4,?3)，那么g[f(?2,3)]等于_____．6．(2023·江蘇無錫·七年級期中）定義一種新運算：x★y=x+y?xy，則計算?3★2=7．(2023·安徽·宣城十二中七年級期中）對于實數(shù)a、b，定義運算：a△b=ab(a>b,a≠0)a?b(a<b,a≠0)；如：8．(2023·貴州六盤水·七年級期末）規(guī)定一種新運算法則：a?b=a2?2ab?b(1)求?2?1(2)若5?x=?5?x，求x的值．9．(2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）定義：如果兩個無理數(shù)的乘積等于一個有理數(shù)，即a?b=c，則稱a和b是關于c的共軛數(shù)例：2?8=4，則稱2(1)已知3和b是關于6的共軛數(shù)，則b=______．(2)若2?3和6+m3是關于3的共軛數(shù)，求10．(2023·河北石家莊·九年級期中）定義新運算“¤”：對于任意實數(shù)a，b，都有a¤b=a+2b如，2¤3=2+2×3據(jù)此，解答下列問題：（1）1¤1=___________；（2）方程x¤1=0的解為____________；（3）若關于x的方程1¤x=2?k有一個解為x=1，則k的值為___________．11．(2023·江蘇徐州·七年級期中）[概念學習]規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2．?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作把a÷a÷a÷an個a（a≠0）記作a?，讀作“[初步探究]（1）直接寫出計算結果：2③＝（2）關于除方，下列說法錯誤的是A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1；C．3④D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)．[深入思考]我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照圖中的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．?3⑤＝；15⑥＝；?（2）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于；（3）算一算：122題型4：與實數(shù)運算相關的規(guī)律探究典例：(2023·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心八年級期中）觀察下列等式：x1x2x3(1)請寫出第n個等式：xn=____________；(2)根據(jù)以上規(guī)律，計算x1鞏固練習1．(2023·浙江·杭州市清河實驗學校七年級期中）觀察下列等式：71=7,7A．0 B．1 C．3 D．72．(2023·福建寧德·八年級期中）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：?22，34，?14，516，A．?1029 B．1029 3．(2023·江蘇·七年級專題練習）各正方形中的四個數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（

）0325476c413631857abA．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，1104．(2023·山東濰坊·七年級期中）觀察下列各式：?1×12=?1+12，試運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：(?1×15．(2023·遼寧鞍山·七年級期中）觀察下列各式：（1）1×2×3×4+1=5；（2）2×3×4×5+1=11；（3）3×4×5×6+1=196．(2023·吉林·長春市實驗中學七年級期末）a是不為1的有理數(shù)，我們把11?a稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是11?2=?1，-1的差倒數(shù)是11?(?1)=12．已知a1=?13，a2是a17．(2023·山東·廣饒縣樂安街道樂安中學期末）2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的個位數(shù)字為_____8．(2023·山東濟南·期中）已知：13131313(1)猜想填空：13(2)計算：①13②239．(2023·福建寧德·八年級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答下列問題：OA22=12+1=2OA32=22+1=3OA42=32+1=4…(1)請你直接寫出OA102(2)請用含有n（n為正整數(shù)）的式子填空：OAn2(3)在線段OA1、OA2、(4)我們已經(jīng)知道13+313?3=4，因此將81310．(2023·福建·寧德市博雅培文學校九年級期中）閱讀下列解題過程：111請你參考上面的化簡方法，解決如下問題：(1)計算：110(2)計算：1211．(2023·吉林白城·七年級期末）觀察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)從表格中探究a與a數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知10≈3.16，則1000②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代數(shù)式表示b，則(3)試比較a與a的大?。擾_______時，a>a；當________時，a=a；當________時，題型5：與數(shù)軸有關的實數(shù)運算典例：(2023·福建·廈門市杏南中學七年級期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數(shù)為m(1)實數(shù)m的值是；(2)求m+1+(3)在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有2c+4與d2?16互為相反數(shù)，求2c﹣3鞏固練習1．(2023·河北石家莊·八年級期中）實數(shù)15在數(shù)軸上的大致位置是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D2．(2023·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）如圖，四個實數(shù)在數(shù)軸上的對應點分別為點M，P，N，Q．若點M，N表示的實數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示正數(shù)的點的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·廣西·賀州市八步區(qū)教學研究室八年級期末）如圖，AB⊥數(shù)軸于A，OA=AB=BC=1，BC⊥OB，以O為圓心，以OC長為半徑作圓弧交數(shù)軸于點P，則點P表示的數(shù)為（

）A．3 B．2 C．5 D．24．(2023·廣東·育才三中七年級期中）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，正確的結論是（）A．a(chǎn)<c B．b+c>0 C．a(chǎn)<5．(2023·北京房山·八年級期中）如圖，直徑為1個單位長度的圓，在數(shù)軸上從表示﹣1的點A滾動一周到點B，則點B6．(2023·福建三明·八年級期中）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A，B兩點，表示1和2的對應點分別為A，B，點C，D在數(shù)軸上，點B到點A的距離與點C到點D的距離相等，設點C所表示的數(shù)為(1)當D所表示的數(shù)為0且C在D的右邊時，求出x的值；(2)當D所表示的數(shù)為?22時，求出x7．(2023·湖北省宜昌市漁峽口中學七年級期中）如圖所示，數(shù)軸上點A表示2，點A關于原點的對稱點為B，設點B所表示的數(shù)為x，求|?x+38．(2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校八年級期中）如圖1，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．(1)拼成的正方形的邊長為______．(2)如圖2，以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數(shù)軸上表示的?1點為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，那么點A表示的數(shù)是______．(3)如圖3，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，若能把陰影部分剪拼成一個新的正方形，求新的正方形的面積和邊長．9．(2023·北京房山·八年級期中）已知數(shù)軸上兩點A，B，其中A表示的數(shù)為?2，B表示的數(shù)為2，AB表示A，B兩點之間的距離．若在數(shù)軸上存在一點C，使得AC+BC=n，則稱點C為點A，B的“n節(jié)點”．例如圖1所示，若點C表示的數(shù)為0，有AC+BC=2+2=4，則稱點C為點A，B的“4節(jié)點”(1)若點C為點A，B的“n節(jié)點”，且點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為?3，則n=___________；(2)若點D為點A，B的“43節(jié)點，請直接寫出點D(3)若點E在數(shù)軸上（不與A，B重合），滿足A，E兩點之間的距離是B，E兩點之間的距離的2倍，且點E為點A，B的“n節(jié)點”，求n的值．10．(2023·浙江杭州·七年級期中）如圖兩個4×4網(wǎng)格都是由16個邊長為1的小正方形組成．(1)圖①中的陰影正方形的頂點在網(wǎng)格的格點上，這個陰影正方形的面積為，若這個正方形的邊長為a，則a=；(2)請在圖②中畫出面積是5的正方形，使它的頂點在網(wǎng)格的格點上，若這個正方形的邊長為b，則b=；(3)請你利用以上結論，在圖③的數(shù)軸上表示實數(shù)a，b和-a，-b，并將它們用“＜”號連接．11．(2023·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學七年級期中）如圖（1），在4×4的方格中，每個小正方形的邊長均為1．(1)求圖（1）中正方形ABCD的面積為；邊長為(2)如圖（2），若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是?1，以A為圓心，AD長為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點E，求點E表示的數(shù)為題型6：有理數(shù)的運算及應用典例：(2023·江西景德鎮(zhèn)·七年級期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，?2=?2，(1)2?6=______，?ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3n+1鞏固練習1．(2023·山東煙臺·期中）計算：(1)8+?(2)?1÷(3)?1(4)?12．(2023·廣西·南寧市第四十七中學七年級期中）出租車司機小李某段時間在東西走向的大街上進行營運，規(guī)定向東為正，向西為負，他所接送的六位乘客的里程如下：（單位：千米）?7.5，+6，?4.8，+3.5，?9，?12．(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李處在第一次出發(fā)時的什么位置？(2)若小李這段時間共耗油3升，則出租車的耗油量是每千米多少升？（精確到0.01升）(3)小李預計每月行駛里程為0.8萬千米，若每升油的價格為8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？3．(2023·山東濟南·七年級期中）為宣傳健康知識，某社區(qū)居委會派車按照順序為7個小區(qū)（分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G）分發(fā)防疫安全手冊，社區(qū)工作人員乘車從服務點（原點）出發(fā)，沿東西向公路行駛，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位：百米）：+10，?18，+14，?30，+6，+22，?6．(1)請你在數(shù)軸上標記出D，E，F(xiàn)這三個小區(qū)的位置（在相應位置標記字母即可）(2)服務車最后到達的地方距離服務點多遠？若該車輛油耗為0.01升/百米，則這次分發(fā)工作共耗油多少升？(3)為方便附近居民進行核酸檢測，現(xiàn)居委會計劃在這七個小區(qū)中選一個作為臨時核酸檢測點，為使七個小區(qū)所有居民步行到監(jiān)測點的路程總和最小，假設各小區(qū)人數(shù)相等，那么監(jiān)測點的位置應設在______小區(qū)．4．(2023·山東煙臺·期中）一輛警車某日8:00從A地出發(fā)，在一條東西方向的公路上巡邏，警察張叔叔每隔20分鐘記錄警車巡邏的行程情況（向東為正方向，單位：千米）：+14，?15.7，+13.7，?15，?12.5，+13.5，10:00警車完成巡邏任務．(1)10:00時，警車在A地的什么方向？距離A地多遠？(2)張叔叔記錄行程的過程中，警車在何時距離A地最遠？最遠距離為多少？(3)警車巡邏前油箱中有14升油，若巡邏時警車每千米耗油0.2升，請問中途是否需要加油？5．(2023·安徽蕪湖·七年級期中）數(shù)學課上，李老師在黑板上寫了一道題目：當n為正整數(shù)時，計算?1n琪琪說：因為n的值不確定，所以?1n聰聰說：?1n你同意誰的說法？請給出你的答案并說明理由．6．(2023·山東煙臺·期中）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A，B，C，其中AB=2，BC=1，如圖所示，設點A，B，C所對應數(shù)的和是(1)若以B為原點，寫出點A，C所對應的數(shù)，并計算p的值；若以C為原點，p又是多少？(2)若原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且CO=28，求p的值．(3)若原點O到A、C兩點距離相等，A點對應的數(shù)為a，B點對應的數(shù)為b，求a?b的值．7．(2023·廣東·測試·編輯教研五七年級期中）廣州市教育局倡導全民閱讀行動，婷婷同學堅持閱讀，她每天以閱讀30分鐘為標準，超過的時間記作正數(shù)，不足的時間記作負數(shù)．下表是她一周閱讀情況的記錄（單位：分鐘）：星期一二三四五六日與標準的差（分鐘）+9+10?10+15?20+6(1)星期五婷婷讀了______分鐘；(2)她讀得最多的一天比最少的一天多了_____分鐘；(3)求她這周平均每天讀書的時間．8．(2023·山東泰安·期中）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上一動點A向左移動5個單位長度到達點B，再向右移動9個單位長度到達點C．(1)若點A表示的數(shù)為0，求點C表示的數(shù)；(2)若點C表示的數(shù)為6，求點B、點A表示的數(shù)；(3)如果點A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點B表示的數(shù)．9．(2023·江蘇鹽城·七年級期中）在學習完《有理數(shù)》后，小華對運算產(chǎn)生了濃厚的興趣．借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算“※”，規(guī)則如下：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a※b=ab2+ab?b(1)求(?4)※2的值；(2)化簡：(a?1)※3．1.1題型突破訓練：與實數(shù)有關的計算題型分類結構圖（本專題共69題48頁）題型1：實數(shù)的混合計算典例：(2023·廣西·南寧十四中九年級期中）計算：12?解：12=2=23鞏固練習1．(2023·重慶巴蜀中學九年級期中）14解：14?5故答案為：5?1（2）(2023·重慶八中九年級期中）計算：cos30°?解：cos===1?3故答案為：1?32．(2023·江蘇·鹽城市初級中學一模）計算：(π?1)0答案：1+分析：直接利用零指數(shù)冪的性質以及二次根式的性質、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，進而合并得出答案．【詳解】解：(π?1)=1+2=1+2=1+【點睛】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質以及二次根式的性質、特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．3．(2023·四川樂山·九年級期中）計算：25+答案：4+4分析：原式先化簡算術平方根和絕對值，然后再合并即可．【詳解】解：25=5+3=4+4【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．4．(2023·上?！で嗥謪^(qū)實驗中學九年級期中）計算：40答案：1分析：根據(jù)a0=1a≠0，a【詳解】4=1+=1+2?=2+=2+=2+=1．【點睛】本題考查實數(shù)，二次根式的知識，解題的關鍵是a0=1a≠0，a5．(2023·江蘇·連云港市新海初級中學三模）計算：|?3|+3答案：0分析：根據(jù)絕對值的意義，求一個數(shù)的立方根以及零指數(shù)冪進行運算即可．【詳解】解：原式=3?2?1=0．【點睛】本題考查了絕對值的意義，求一個數(shù)的立方根以及零指數(shù)冪等知識點，靈活運用所學知識點是解本題的關鍵．6．(2023·江蘇·射陽縣第四中學二模）計算：8答案：2分析：先化簡二次根式和計算零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可．【詳解】解：原式=2=22【點睛】本題主要考查了二次根式的性質，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，實數(shù)的混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵，注意非零底數(shù)的零指數(shù)冪結果為1．7．(2023·廣西·平果市教研室九年級期末）計算：12答案：1分析：分別計算負指數(shù)冪、三角函數(shù)值、根式化簡、去絕對值，然后計算即可．【詳解】解：原式=2+2×=2+=2?1=1+0=1【點睛】本題考查了與負指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值、二次根式化簡、絕對值化簡相關的實數(shù)混合運算，熟練掌握相關知識并正確運算是解題關鍵．8．(2023·江蘇·陽山中學九年級期中）計算：(1)2(2)12?4答案：(1)?(2)3分析：（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可求解；（2）根據(jù)化簡二次根式，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值進行計算即可求解．【詳解】（1）2=2×1?2?2×=2?2?2×=?3（2）12=2=2=3【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，實數(shù)的混合運算，二次根式的性質化簡，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．9．(2023·山東·淄博市張店區(qū)第九中學九年級期中）計算：(1)cos60°+(2)6tan答案：(1)2(2)1分析：（1）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行化簡，然后再根據(jù)實數(shù)混合運算法則進行計算即可；（2）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行化簡，然后再根據(jù)實數(shù)混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：cos==2（2）解：6=6×=6×=1【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．題型2：程序計算中的實數(shù)運算典例：(2023·河北邢臺·七年級期末）按下面程序計算：（1）當輸入x=5時，輸出的結果為______（2）若輸入x的值為大于1的實數(shù)，最后輸出的結果為17，則符合條件的x的值是______解：（1）當x=5時，∴x2∴輸出的數(shù)是26．（2）當?shù)谝淮屋敵龅慕Y果為17時，∴x2解得：x=4或x=?4,又∵x>1,∴x=4,當?shù)诙屋敵龅慕Y果為17時，則(x∴x2+1=4,（解得：x=3（x=?當?shù)谌屋敵龅臄?shù)為17時，則x2+1=3綜上：x的值為：3或4故答案為：（1）26；（2）3或4鞏固練習1．(2023·浙江·杭州綠城育華學校一模）有一個數(shù)值轉換器，原理如下：當輸人的x=144時，輸出的y等于(

)A．3 B．8 C．33 D．答案：D分析：根據(jù)程序進行計算即可．【詳解】解：輸入x=144時，取算術平方根為12，是有理數(shù)，輸入x=12時，取算術平方根為23∴y=23故選：D．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術平方根，根據(jù)程序設計進行計算是解題的關鍵．2．(2023·河北·一模）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為3，則最后輸出的結果是（）A．3+3 B．15+3 C．3+33 D．15+73答案：D分析：按所示的程序將n=3輸入，結果為3+3，小于15；再把3+3【詳解】解：當n=3時n當n=3+3時，n(n+1)=(3+故選：D．【點睛】本題以一種新的運算程序考查了實數(shù)的運算，解題關鍵判斷結果與15的大小，要注意兩方面：①新的運算程序要準確；②實數(shù)運算要準確．3．(2023·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法正確的是（

）A．輸入值x為16時，輸出y值為4B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個無理數(shù)C．輸出值y為3時，輸入值x為9D．存在正整數(shù)x，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值答案：D分析：根據(jù)運算規(guī)則即可求解．【詳解】解∶A．輸入值x為16時，16=4，4=2，即y=B．當x=0，1時，始終輸不出y值．因為0，1的算術平方根是0，1，一定是有理數(shù)，故B錯誤；C．x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故C錯誤；D．當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術平方根是1，一定是有理數(shù)；故D正確；故選∶D．【點睛】本題考查了算術平方根及無理數(shù)的概念，正確理解給出的運算方法是關鍵．4．(2023·山東濟寧·八年級期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x值為5，則最后輸出的結果是（

）A．55 B．5+5 C．24 答案：B分析：把x=5代入代數(shù)式x（x+1）得到結果，若大于7則輸出，若結果不大于7再次代入，循環(huán)后滿足條件即為所求結果．【詳解】解：當x=5時，x（x+1）=55∵4＜5＜9∴2＜5＜3，∴5+5∴最后輸出的結果為5+5故選：B．【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，弄清題中的程序框圖的意義是解本題的關鍵．5．(2023·浙江·七年級專題練習）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當輸出值y為3時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為2；③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③答案：D分析：根據(jù)運算規(guī)則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；②輸入值x為16時，16=③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯誤；④當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術平方根是1，一定是有理數(shù)，故④原說法正確．其中錯誤的是①③．故選：D．【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．6．(2023·全國·九年級專題練習）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．答案：1分析：根據(jù)程序分析即可求解．【詳解】解：∵輸出y的值是2，∴上一步計算為2=1x解得x=1（經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解），或x=當x=1>0符合程序判斷條件，x=3故答案為：1【點睛】本題考查了解分式方程，理解題意是解題的關鍵．7．(2023·北京海淀·九年級期末）給定二元數(shù)對（p，q），其中p=0或1，q=0或1．三種轉換器A，B，C對（p，q）的轉換規(guī)則如下：（1）在圖1所示的“A—B—C”組合轉換器中，若輸入1,0，則輸出結果為________；（2）在圖2所示的“①—C—②”組合轉換器中，若當輸入1,1和0,0時，輸出結果均為0，則該組合轉換器為“____—C—____”（寫出一種組合即可）．答案：

1

A

A分析：（1）利用轉換器C的規(guī)則即可求出答案．（2）利用轉換器A、B、C的規(guī)則，寫出一組即可．【詳解】（1）解：利用轉換器C的規(guī)則可得：輸出結果為1．（2）解：當輸入1,1時，若①對應A，此時經(jīng)過A、C輸出結果為（1，0），②對應A，輸出結果恰好為0．當輸入0,0時，若①對應A，此時經(jīng)過A、C輸出結果為（0，1），②對應A，輸出結果恰好為0．故答案為：1；A；A．【點睛】本題主要是新定義題目，利用題目所給規(guī)則，進行分析判斷，即可解答出該題目．8．(2023·河北·廊坊市第十六中學七年級期末）一個數(shù)值轉換器，如圖所示：（1）當輸入的x為2時，輸出的y值是______．（2）當輸出的y值為3時，請寫出兩個滿足條件的x的值為______和______．答案：

2

3

9分析：（1）將x=2代入程序進行計算即可；（2）根據(jù)算術平方根的定義進行取值．【詳解】解：（1）當x=2時，輸出y=2．故答案為：2；（2）當x=3時，y=3，當x=9時，9=3，3是有理數(shù)，不能輸出，3是無理數(shù)，y=3；故答案為：3；9．【點睛】此題考查了運用算術平方根解決程序計算問題的能力，關鍵是能準確求解算術平方根，并能辨別無理數(shù)．9．(2023·福建廈門·七年級期中）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當輸出值y為2時，輸入值x為2或4；②當輸入值x為9時，輸出值y為3；③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中正確的是________．答案：②④##④②分析：根據(jù)流程圖逆向分析即可判斷①，把x=9代入流程圖判斷②；通過特殊值法排除③；當x=1時判斷④．【詳解】解：①∵當x=16時，16=4，4=2，2取算術平方根為2，輸出值y為2，則輸入值x為2或4或②9=3，3取算術平方根為3，輸出值y為3③如x=π2時，π2是正無理數(shù)不是正整數(shù)，輸出值y為π④當x=1，1的算術平方根為1，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值，故④符合題意；故答案為：②④．【點睛】本題考查了實數(shù)的性質，求一個數(shù)的算術平方根，無理數(shù)的定義，理解題意是解題的關鍵．10．(2023·河北·邯鄲市第二十三中學七年級期中）任意給出一個非零實數(shù)m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數(shù)m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．答案：(1)0(2)-2分析：（1）將m=1代入流程圖，逐步計算即可；（2）根據(jù)題意求出m的值，代入流程圖計算即可求出值．（1）解：當m=1時，12（2）根據(jù)題意得：m=?3∴32【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，以及平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．11．(2023·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖．(1)當x為9時，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當輸出的y值是5時，請寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個即可）答案：(1)3(2)不能(3)5或25（答案不唯一）分析：（1）根據(jù)運算流程圖，即可求解；（2）根據(jù)0的算術平方根是0，1的算術平方根是1，即可判斷；（3）根據(jù)運算法則，進行逆運算即可得到滿足題意的x值．【詳解】（1）解：當輸入x=9時，9的算術平方根為3，不是無理數(shù)，3的算術平方根為3，即y=3故答案為：3（2）解：當輸入x=0或1時，因為0的算術平方根是0，始終是有理數(shù)，1的算術平方根是1，也始終是有理數(shù)，所以不能輸出y；故答案為：不能（3）解：當y=5時，y2=當y=5時，y2=52故答案為：5或25（答案不唯一）【點睛】本題考查了無理數(shù)以及算術平方根，正確理解工作流程圖是解題的關鍵．題型3：定義新運算典例：(2023·江蘇宿遷·七年級期中）設a、b都表示有理數(shù)，規(guī)定一種新運算“※”：當a≥b時，a※b=b2，當a<b時，a※b=2×a．例如：1※2=2×1=2，(1)?1※(2)求(2※3)※?1(3)若有理數(shù)x在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，設：m=(1※x)※x；n=x※3，比較m、n的大小關系．解：（1）∵?1∴?1（2）2※3===1；（3）由數(shù)軸知1＜∴(1※x)※x=2×1※x=2※x=∵x∴m<n．鞏固練習1．(2023·陜西咸陽·八年級期中）現(xiàn)定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數(shù)x，y，都有x※y=x+y+3答案：8分析：根據(jù)新運算要求可知兩個數(shù)進行新運算等于這兩個數(shù)和的算術平方根，再加上這兩個數(shù)的乘積與1的和的立方根，再代入計算即可．【詳解】7※9=故答案為：8．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根的計算，理解新定義是解題的關鍵．2．(2023·山東德州·九年級期中）給出一種運算：對于函數(shù)y=xn，規(guī)定y'=nxn?1．例如：若函數(shù)y1答案：x1=2分析：根據(jù)新定義的規(guī)定先計算y2【詳解】解：∵y又∵y∴3x∴x∴x1=2故答案為：x1=2，【點睛】本題考查了解一元二次方程的直接開平方法．掌握新定義規(guī)定的運算和一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．3．(2023·山東濰坊·八年級期中）定義一種運算☆，規(guī)則為a☆b=1a+答案：1分析：根據(jù)給定的新定義，可得x☆x+1=【詳解】解：根據(jù)給定的定義，得x☆∴1x去分母，得：2x+1解得x=1，經(jīng)檢驗，x=1是原方程的根，故答案為：1．【點睛】本題考查了解分式方程和新定義的綜合，理解新定義并熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．4．(2023·山東煙臺·期中）在有理數(shù)的原有運算法則中，補充新的運算法則“?”如下：當a≥b時，a?b=b2；當a<b時，a?b=a．則當x=3時，答案：?29分析：根據(jù)題意，當a≥b時，a?b=b2；當a<b時，a?b=a，當x=3時，3?x=x2，【詳解】解：當x=3時，3?x=3?3=32=9，(3?x)·(?x)?(2?x)=9×(?3)?2=?29，故答案為：?29．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的定義新運算，掌握有理數(shù)的加法、減法、乘法運算法則是解題的關鍵．5．(2023·山東·商河縣第三實驗學校八年級期中）規(guī)定以下兩種變換：①f(m,n)=(?m,n)，如f(2,1)=(?2,1)；②g(m,n)=(?n,?m)，如g(2,1)=(?1,?2)，按照以上變換有：f[g(3,4)]=f(?4,?3)=(4,?3)，那么g[f(?2,3)]等于_____．答案：(?3,?2)分析：直接利用新定義分別化簡，進而得出答案．【詳解】解：g[f(?2,3)]=g(2,3)=(?3,?2)故答案為：(?3,?2)【點睛】此題考查新定義的運用，仔細閱讀題干，理解材料的含義是解題的關鍵．6．(2023·江蘇無錫·七年級期中）定義一種新運算：x★y=x+y?xy，則計算?3★2=答案：5分析：根據(jù)新運算的定義代入直接計算即可．【詳解】解：∵x★y=x+y?xy，∴?3★2=?3+2?故答案為：5【點睛】本題考查了新運算和有理數(shù)的混合運算，理解新運算的定義是解題的關鍵．7．(2023·安徽·宣城十二中七年級期中）對于實數(shù)a、b，定義運算：a△b=ab(a>b,a≠0)a?b(a<b,a≠0)；如：答案：1分析：由題中規(guī)定的運算規(guī)則，分別計算出2▲(?4)，【詳解】解：根據(jù)題意得：2▲(?4)=2則2▲(故答案為：1．【點睛】本題是新運算問題，考查了有理數(shù)的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，理解題中定義的新運算規(guī)則是關鍵．8．(2023·貴州六盤水·七年級期末）規(guī)定一種新運算法則：a?b=a2?2ab?b(1)求?2?1(2)若5?x=?5?x，求x的值．答案：(1)5(2)x=3．分析：（1）利用已知的新定義計算即可；（2）利用新定義計算出5?x=25?10x?x，再利用等式的性質得出25?2×5x?x=?5?x，即可求解．【詳解】（1）解：?2?==4+=4+1=5（2）解：5?x=?5?x25?2×5x?x=?5?x25?11x=?5?x?11x+x=?25?5?10x=?30x=3．【點睛】本題主要考查了新定義運算，以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是明確題意，利用已知的新的運算法則進行計算．9．(2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）定義：如果兩個無理數(shù)的乘積等于一個有理數(shù)，即a?b=c，則稱a和b是關于c的共軛數(shù)例：2?8=4，則稱2(1)已知3和b是關于6的共軛數(shù)，則b=______．(2)若2?3和6+m3是關于3的共軛數(shù)，求答案：(1)2(2)3分析：(1)根據(jù)定義，得到3b=6（2）根據(jù)定義，得到6+m3【詳解】（1）因為3和b是關于6的共軛數(shù)，所以3b=6所以b=6故答案為：23（2）因為2?3和6+m所以6+m3所以12?63所以23解得m=3．【點睛】本題考查了新定義計算，正確理解新定義是解題的關鍵．10．(2023·河北石家莊·九年級期中）定義新運算“¤”：對于任意實數(shù)a，b，都有a¤b=a+2b如，2¤3=2+2×3據(jù)此，解答下列問題：（1）1¤1=___________；（2）方程x¤1=0的解為____________；（3）若關于x的方程1¤x=2?k有一個解為x=1，則k的值為___________．答案：

0

x=±1

2分析：（1）根據(jù)題目定義運算法則進行代入計算；（2）由題意構造一元一次方程并求解；（3）根據(jù)定義和方程解的定義代入計算．【詳解】解：（1）1¤1=(1+2×1)(1?2×1)+3=3×(?1)+3=?3+3=0，故答案為：0；（2）由題意得方程(x+2×1)(x?2×1)+3=0，整理得x2解得x=1或x=?1，故答案為：x=1或x=?1；（3）由題意得方程(1+2x)(1?2x)+3=2?k，將x=1代入得(1+2×1)(1?2×1)+3=2?k，解得k=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了實數(shù)運算和解一元二次方程及新定義問題的解決能力，解題的關鍵是能準確理解并運用以上知識進行列式、代入并求解．11．(2023·江蘇徐州·七年級期中）[概念學習]規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2．?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作把a÷a÷a÷an個a（a≠0）記作a?，讀作“[初步探究]（1）直接寫出計算結果：2③＝（2）關于除方，下列說法錯誤的是A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1；C．3④D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)．[深入思考]我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照圖中的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．?3⑤＝；15⑥＝；?（2）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于；（3）算一算：122答案：[初步探究]（1）12（2）C

[深入思考]（1）?133，54，分析：[初步探究]（1）根據(jù)新定義計算；（2）根據(jù)新定義可判斷C符合題意；[深入思考]（1）把有理數(shù)的除方運算轉化為乘方運算進行計算；（2）利用新定義求解；（3）先把除方運算轉化為乘方運算進行計算，然后進行乘除運算．【詳解】[初步探究]（1）2③故答案為：12（2）任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，故A正確，不符合題意；對于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1，故B正確，不符合題意；3④=3÷3÷3÷3=19，負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)，故D正確，不符合題意；故答案為：C；[深入思考]（1）?3⑤=?133故答案為：?133；5（2）a?=（3）122=144÷?3=144×1=1?3【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，涉及新定義，解決本題的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．題型4：與實數(shù)運算相關的規(guī)律探究典例：(2023·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心八年級期中）觀察下列等式：x1x2x3(1)請寫出第n個等式：xn=____________；(2)根據(jù)以上規(guī)律，計算x1(1)解：根據(jù)規(guī)律可知，1+1故答案為：1+1(2)x=1=2020+1?=2020+1?=?1故答案為：?1鞏固練習1．(2023·浙江·杭州市清河實驗學校七年級期中）觀察下列等式：71=7,7A．0 B．1 C．3 D．7答案：A分析：先根據(jù)給出的已知條件得到尾數(shù)以7,9,3,1四次循環(huán)，再得到2020÷4=505，結合每組尾數(shù)的和，從未可得答案．【詳解】解：∵7∴尾數(shù)以7,9,3,1四次循環(huán)，而2020÷4=505，7+9+3+1=20，∴7+7故選A．【點睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，總結出尾數(shù)以7,9,3,1四次循環(huán)是解本題的關鍵．2．(2023·福建寧德·八年級期中）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：?22，34，?14，516，A．?1029 B．1029 答案：D分析：將這列數(shù)據(jù)改寫成：?22，34，?48，5【詳解】解：?22，34，?14，5?22，34，?48，5∴第10個數(shù)為112故選：D．【點睛】本題考查數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關鍵是把已知的一列數(shù)變形，找到變化規(guī)律．3．(2023·江蘇·七年級專題練習）各正方形中的四個數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（

）0325476c413631857abA．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110答案：C分析：分析前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c【詳解】由前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，∴c=6+3=9∴a=6+4=10∴b=ac+1=10×9+1=91故選：C【點睛】本題考查規(guī)律中的數(shù)字變換，分析前面的圖形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出給定的數(shù)之間的關系時解題關鍵．4．(2023·山東濰坊·七年級期中）觀察下列各式：?1×12=?1+12，試運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：(?1×1答案：?分析：通過觀察所給的等式，將所求的式子變形為?1+1【詳解】解：(?1×=?1+=?1+=?2021故答案為：?2021【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是通過觀察所給的等式，探索出運算的一般規(guī)律，并能靈活應用該規(guī)律進行計算．5．(2023·遼寧鞍山·七年級期中）觀察下列各式：（1）1×2×3×4+1=5；（2）2×3×4×5+1=11；（3）3×4×5×6+1=19答案：155分析：根據(jù)前面幾個算式的值，探究總結出規(guī)律，再計算11×12×13×14+1的值．【詳解】解：因為1×2×3×4+1＝5＝1×4+1，2×3×4×5+1＝11＝2×5+1，3×4×5×6+1＝19＝3×6+1，…，∴11×12×13×14+1＝11×14+1＝155．故答案為：155．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，解決問題的關鍵是根據(jù)已知算式探究規(guī)律，運用探究總結的規(guī)律解答．6．(2023·吉林·長春市實驗中學七年級期末）a是不為1的有理數(shù)，我們把11?a稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是11?2=?1，-1的差倒數(shù)是11?(?1)=12．已知a1=?13，a2是a1答案：?分析：根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出這列數(shù)的前幾項，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，然后即可得到a2011的值．【詳解】解：由題意可得，a1a2a3a4=1由上可得，這列數(shù)依次以?1∵20113∴a2011故答案為：?1【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，求出相應項的值．7．(2023·山東·廣饒縣樂安街道樂安中學期末）2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的個位數(shù)字為_____答案：1分析：將2寫成3-1，再采用平方差公式逐級計算，最終原式為364，再根據(jù)3的整數(shù)次冪的個位數(shù)字每4個數(shù)字為一個循環(huán)組依次循環(huán)，即可求解．【詳解】解：原式＝(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(38-1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(316-1)(316+1)(332+1)+1＝(332-1)(332+1)+1＝364-1+1＝364，∵31＝3，32＝9，33＝27，24＝81，25＝243，…∴3的整數(shù)次冪的個位數(shù)字每4個數(shù)字為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵64＝16×4，∴364的個位數(shù)字與34的個位數(shù)字相同，為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了平方差公式以及實數(shù)的運算等知識，將原式變?yōu)?64是解答本題的關鍵．8．(2023·山東濟南·期中）已知：13131313(1)猜想填空：13(2)計算：①13②23答案：(1)1(2)①25502500；②13005000分析：（1）從等式的序號數(shù)與平方冪底數(shù)之間的關系上去探索規(guī)律，計算即可．（2）①根據(jù)13+23+【詳解】（1）因為13131313所以13故答案為：14（2）①根據(jù)規(guī)律，得13②因為2=23根據(jù)規(guī)律計算得：2=8×1【點睛】本題考查了等式型數(shù)字規(guī)律探索，熟練掌握等式序號與平方冪底數(shù)之間的關系探索是解題的關鍵．9．(2023·福建寧德·八年級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答下列問題：OA22=12+1=2OA32=22+1=3OA42=32+1=4…(1)請你直接寫出OA102(2)請用含有n（n為正整數(shù)）的式子填空：OAn2(3)在線段OA1、OA2、(4)我們已經(jīng)知道13+313?3=4，因此將813答案：(1)10，10(2)n，n(3)44(4)18分析：（1）認真閱讀新定義，根據(jù)已知寫出答案即可；（2）認真閱讀新定義，根據(jù)已知內容歸納總結即可；（3）通過分析數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)當邊長正好是根號下一個正整數(shù)的平方時，出現(xiàn)的就是正整數(shù)．分析2022最接近哪個正整數(shù)的平方．（4）化簡整理后求值即可．【詳解】（1）解：由題意可得，OA102故答案為：10，10（2）由題意可得OAn2故答案為：n，n（3）解：線段OA1、OA2、OA3、…、OA2022的長分別是1、長度為正整數(shù)的數(shù)字分別是1、2、3、4、5、....、a，∵442=1936，∴a=44，∴線段OA1、OA2、故答案為：44．（4）1===2×=2×=2×=18；【點睛】本題考查了數(shù)學中的閱讀能力，以及對新定義的理解，還有二次根式的化簡，關鍵是理解新定義和有關二次根式的化簡運算．10．(2023·福建·寧德市博雅培文學校九年級期中）閱讀下列解題過程：111請你參考上面的化簡方法，解決如下問題：(1)計算：110(2)計算：12答案：(1)10(2)2021分析：（1）仿照題意求解即可；（2）先仿照題意證明1n+1+n【詳解】（1）解：110（2）解：1n+1∴1===2022?1=2021．【點睛】本題主要考查了分母有理化與實數(shù)運算有關的規(guī)律，正確理解題意并且熟練掌握分母有理化的方法是解題的關鍵．11．(2023·吉林白城·七年級期末）觀察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)從表格中探究a與a數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知10≈3.16，則1000②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代數(shù)式表示b，則(3)試比較a與a的大?。擾_______時，a>a；當________時，a=a；當________時，答案：(1)0.1；10；(2)①31.6；②10000m；(3)0<a<1，a=1或0，a>1．分析：（1）由表格得出規(guī)律，求出x與y的值即可；（2）根據(jù)得出的規(guī)律確定出所求即可；（3）分類討論a的范圍，比較大小即可．【詳解】（1）解：x=0.01=0.1，故答案為：0.1；10；（2）解：①根據(jù)題意得：1000≈31.6②結果擴大100倍，則被開方數(shù)擴大10000倍，∴b=10000m．故答案為：31.6；10000m；（3）解：當a=0或1時，a=a當0<a<1時，a>a當a=1或0時，a=a當a>1時，a<a故答案為：0<a<1，a=1或0，a>1．【點睛】本題考查了實數(shù)的比較，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．題型5：與數(shù)軸有關的實數(shù)運算典例：(2023·福建·廈門市杏南中學七年級期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數(shù)為m(1)實數(shù)m的值是；(2)求m+1+(3)在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有2c+4與d2?16互為相反數(shù)，求2c﹣3（1）解：∵一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2∴點B所表示的數(shù)為2?2∴實數(shù)m的值為2?2故答案為：2?2（2）∵實數(shù)m的值為2?2∴m＋1＝3?2>0，m?1＝∴m+1+m?1＝（3）∵2c+4與d2∴2c+4+∴2c＋4＝0，d2∴c＝－2，d＝4或－4，①當c＝－2，d＝4時，則2c﹣3d＝－16，無平方根；②當c＝－2，d＝－4時，則2c﹣3d＝8，2c﹣3d的平方根為±22綜上，2c﹣3d的平方根是±22鞏固練習1．(2023·河北石家莊·八年級期中）實數(shù)15在數(shù)軸上的大致位置是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D答案：D分析：估算出15的范圍即可得出答案．【詳解】∵9=3<∴15在數(shù)軸上位于3和4之間，即大致位置是點D．故選D．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，實數(shù)與數(shù)軸．能夠掌握無理數(shù)的估算是解題的關鍵．2．(2023·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）如圖，四個實數(shù)在數(shù)軸上的對應點分別為點M，P，N，Q．若點M，N表示的實數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示正數(shù)的點的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C分析：根據(jù)“點M，N表示的實數(shù)互為相反數(shù)”，可得原點在MN的中點處，從點在數(shù)軸上的位置即可判斷．【詳解】∵點M，N表示的實數(shù)互為相反數(shù)，∴原點在MN的中點處，從數(shù)軸上可以看出點M點在原點的左側，為負數(shù)，P、N、Q點在原點的右側，為正數(shù)，故選：C【點睛】考查數(shù)軸、相反數(shù)的意義，掌握相反數(shù)則是位于原點兩側且到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，并確定原點的位置是關鍵．3．(2023·廣西·賀州市八步區(qū)教學研究室八年級期末）如圖，AB⊥數(shù)軸于A，OA=AB=BC=1，BC⊥OB，以O為圓心，以OC長為半徑作圓弧交數(shù)軸于點P，則點P表示的數(shù)為（

）A．3 B．2 C．5 D．2答案：A分析：根據(jù)勾股定理分別求出OB、OC的長，再由作圖可得答案．【詳解】解：∵OA=AB=BC=1，AB⊥數(shù)軸于A，∴OB∵BC=1且BC⊥OB，∴OC=O由作圖知OP=OC=3所以點P表示的數(shù)為3，故選：A．【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識，熟知實數(shù)與數(shù)軸上各點是一一對應關系是解答此題的關鍵．4．(2023·廣東·育才三中七年級期中）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，正確的結論是（）A．a(chǎn)<c B．b+c>0 C．a(chǎn)<答案：D分析：觀察數(shù)軸，找出a，b，c，d四個數(shù)的大概范圍，再逐一分析四個選項的正誤，即可得出結論．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸，?5<a<?4，?2<b<?1，0<c<1，d=4，A．∵?5<a<?4，0<c<1，∴a>B．∵?2<b<?1，0<c<1，∴b+c<0，故此選項不符合題意；C．∵?5<a<?4，d=4，∴a>D．∵?2<b<?1，∴1<?b<2，又∵d=4，∴?b<d，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，實數(shù)的大小比較，數(shù)軸的特征．一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．觀察數(shù)軸，利用所學知識逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．5．(2023·北京房山·八年級期中）如圖，直徑為1個單位長度的圓，在數(shù)軸上從表示﹣1的點A滾動一周到點B，則點B答案：π?1##?1+分析：先計算圓的周長，根據(jù)題意再計算π+(?1)即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意可得，圓的周長為π，則點B表示的數(shù)是從﹣1向右移動π∴點B表示的無理數(shù)為(?1)+π=π?1．故答案為：π?1．【點睛】本題主要考查了無理數(shù)及實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握無理數(shù)及實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系進行求解是解決本題的關鍵．6．(2023·福建三明·八年級期中）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A，B兩點，表示1和2的對應點分別為A，B，點C，D在數(shù)軸上，點B到點A的距離與點C到點D的距離相等，設點C所表示的數(shù)為(1)當D所表示的數(shù)為0且C在D的右邊時，求出x的值；(2)當D所表示的數(shù)為?22時，求出x答案：(1)x=(2)x=?32+1分析：（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出AB之間的距離即為x的值；（2）根據(jù)題意可得AB=CD=2?1，當D所表示的數(shù)為?22時，分點C【詳解】（1）∵點A、B分別表示1，2，∴AB=2∵D所表示的數(shù)為0且C在D的右邊，設點C所表示的數(shù)為x．∴x=2（2）解：∵AB=2?1，當D所表示的數(shù)為?22①當C在D的左邊，x=?22②當C在D的右邊時，x=?22∴x=?32+1或【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點距離，實數(shù)與數(shù)軸，分類討論是解題的關鍵．7．(2023·湖北省宜昌市漁峽口中學七年級期中）如圖所示，數(shù)軸上點A表示2，點A關于原點的對稱點為B，設點B所表示的數(shù)為x，求|?x+3答案：3分析：先根據(jù)數(shù)軸上表示一對相反數(shù)的點關于原點中心對稱得出x=?2，再代入|?x+【詳解】解：∵數(shù)軸上點A表示2，點A關于原點的對稱點為B，∴點B表示的數(shù)是?2，即x=?則|?x+=|==3【點睛】此題考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應關系，解題的關鍵是熟練掌握中心對稱的定義，絕對值的定義及二次根式的運算方法．8．(2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校八年級期中）如圖1，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．(1)拼成的正方形的邊長為______．(2)如圖2，以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數(shù)軸上表示的?1點為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，那么點A表示的數(shù)是______．(3)如圖3，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，若能把陰影部分剪拼成一個新的正方形，求新的正方形的面積和邊長．答案：(1)5(2)5(3)新的正方形的面積為6，新正方形的邊長為6分析：(1)根據(jù)題意可得，5個小正方形的面積和是拼成的正方形的面積，求得面積的算術平方根即為大正方形的邊長；(2)利用勾股定理得出直角三角形的斜邊長，進而根據(jù)線段的和差關系求出點A表示的數(shù)；(3)圖中陰影部分的面積相當于6個小正方形的面積，然后求面積的算術平方根即為新正方形的邊長．【詳解】（1）設拼成的正方形的邊長為a，則a2a=5即拼成的正方形的邊長為5，故答案為：5；（2）由勾股定理得：12∴點A表示的數(shù)為5?1故答案為：5?1（3）根據(jù)圖形得：S陰影=2×2×2×12+2×2×【點睛】題考查勾股定理與無理數(shù)、實數(shù)與數(shù)軸的綜合應用，靈活運用圖形變換對圖形進行剪拼組合是解題關鍵．9．(2023·北京房山·八年級期中）已知數(shù)軸上兩點A，B，其中A表示的數(shù)為?2，B表示的數(shù)為2，AB表示A，B兩點之間的距離．若在數(shù)軸上存在一點C，使得AC+BC=n，則稱點C為點A，B的“n節(jié)點”．例如圖1所示，若點C表示的數(shù)為0，有AC+BC=2+2=4，則稱點C為點A，B的“4節(jié)點”(1)若點C為點A，B的“n節(jié)點”，且點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為?3，則n=___________；(2)若點D為點A，B的“43節(jié)點，請直接寫出點D(3)若點E在數(shù)軸上（不與A，B重合），滿足A，E兩點之間的距離是B，E兩點之間的距離的2倍，且點E為點A，B的“n節(jié)點”，求n的值．答案：(1)6(2)±2(3)12+82分析：（1）根據(jù)新定義求解；（2）設未知數(shù)，根據(jù)新定義列方程求解；（3）先求點E表示的數(shù)，再計算n的值．【詳解】（1）解：AC+BC=?2?故答案為：6；（2）解：設D表示的數(shù)為x，則||x+2|+|x?2|=43∵AB=4，43∴x<?2或x>2，當x<?2時，?x?2?x+2=43解得：x=?23當x>2時，x+2+x?2=43解得：x=23故答案為：±23（3）解：設E點表示的數(shù)是y，則：|?2?y|=2當?2<y<2時，y+2=2解得y=6?42當y<?2時，?2?y=2解得y=6+42當y>2時，2+y=2解得y=6+42∴y=6±42當y=6+42n=AE+BE=8+42當y=6?42n=AE+BE=8?42∴n的值為12+82【點睛】本題考查了新定義，數(shù)軸和實數(shù)，數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．10．(2023·浙江杭州·七年級期中）如圖兩個4×4網(wǎng)格都是由16個邊長為1的小正方形組成．(1)圖①中的陰影正方形的頂點在網(wǎng)格的格點上，這個陰影正方形的面積為，若這個正方形的邊長為a，則a=；(2)請在圖②中畫出面積是5的正方形，使它的頂點在網(wǎng)格的格點上，若這個正方形的邊長為b，則b=；(3)請你利用以上結論，在圖③的數(shù)軸上表示實數(shù)a，b和-a，-b，并將它們用“＜”號連接．答案：(1)10，10(2)畫圖見解析，5(3)數(shù)軸表示見解析，?a<?b<b<a分析：（1）用大正方形面積減去周圍四個三角形面積即可求出陰影部分的面積；根據(jù)正方形面積公式即可求出a的值；（2）仿照題意作圖，然后根據(jù)正方形面積公式求出b的值即可；（3）根據(jù)（1）（2）所求，在數(shù)軸上表示出四個數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用小于號將四個數(shù)連接起來即可【詳解】（1）解：由題意得，陰影部分面積=16?4×1∴a2∴a=10故答案為：10，10；（2）解：如圖所示，即為所求；∵b2∴b=5（3）解：數(shù)軸表示如下所示：∴?a<?b<b<a；【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，算術平方根，尺規(guī)作圖—作線段，正方形面積的計算等知識；熟練掌握算術平方根的定義，并能進行尺規(guī)作圖是解決問題的關鍵．11．(2023·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學七年級期中）如圖（1），在4×4的方格中，每個小正方形的邊長均為1．(1)求圖（1）中正方形ABCD的面積為；邊長為(2)如圖（2），若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是?1，以A為圓心，AD長為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點E，求點E表示的數(shù)為答案：(1)10，10(2)?1+分析：（1）用割補法求出正方形ABCD的面積，再根據(jù)算術平方根的定義即可求出邊長；（2）E表示的數(shù)比?1大，用?1加上AE長度即為E表示的數(shù)．【詳解】（1）解：∵正方形ABCD的面積是4×4?4×1∴正方形ABCD邊長為：10；（2）解：∵正方形ABCD邊長為10，∴AE=AD=10∴E表示的數(shù)比?1大10，即E表示的數(shù)為?1+10故答案為：?1+10【點睛】本題考查了算術平方根的意義，以及用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，解題的關鍵是求出正方形ABCD的邊長．題型6：有理數(shù)的運算及應用典例：(2023·江西景德鎮(zhèn)·七年級期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，?2=?2，(1)2?6=______，?ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3n+1（1）解：∵a?b=a+b?2023∴2?6=∵?π∴?ππ=故答案為：?20072，（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n+1∴2n∴n=?3∴m=2×?3=?6∴m+n=?6+n∴m?m+n=?9?鞏固練習1．(2023·山東煙臺·期中）計算：(1)8+?(2)?1÷(3)?1(4)?1答案：(1)3(2)1(3)?24(4)?分析：（1）利用加法交換律和結合律進行計算；（2）除法變乘法，再進行計算即可；（3）利用乘法分配律進行計算；（4）先乘方，去括號，再乘除，最后算減法．【詳解】（1）原式=8?==3；（2）原式==1（3）原式=?=8?36+4=?24；（4）原式=?1?=?1?0.5×=?1?=?1+=?7【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算．熟練掌握運算法則和運算律，是解題的關鍵．2．(2023·廣西·南寧市第四十七中學七年級期中）出租車司機小李某段時間在東西走向的大街上進行營運，規(guī)定向東為正，向西為負，他所接送的六位乘客的里程如下：（單位：千米）?7.5，+6，?4.8，+3.5，?9，?12．(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李處在第一次出發(fā)時的什么位置？(2)若小李這段時間共耗油3升，則出租車的耗油量是每千米多少升？（精確到0.01升）(3)小李預計每月行駛里程為0.8萬千米，若每升油的價格為8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？答案：(1)小李處在第一次出發(fā)時的正西方向的23.8千米處(2)每千米的耗油量為0.07升(3)小李每月在耗油方面需要4760元分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；（2）根據(jù)單位耗油量=耗油量÷行駛路程，可得答案．（3）單位耗油量×行駛里程×每升價格可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意有：?7.5+6?4.8+3.5?9?12=?23.8（千米），根據(jù)向東為正，向西為負，可知小李處在第一次出發(fā)時的正西方向的23.8千米處；（2）行駛的總里程為：?7.5+6+則該車的耗油量為：3÷42.8≈0.07（升），答：每千米的耗油量為0.07升．（3）根據(jù)題意有：0.8×10000×0.07×8.5=4760（元），答：小李每月在耗油方面需要4760元．【點睛】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，有理數(shù)的運算等知識，解題的關鍵是利用單位耗油量乘以行駛路程等于耗油量．3．(2023·山東濟南·七年級期中）為宣傳健康知識，某社區(qū)居委會派車按照順序為7個小區(qū)（分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G）分發(fā)防疫安全手冊，社區(qū)工作人員乘車從服務點（原點）出發(fā)，沿東西向公路行駛，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位：百米）：+10，?18，+14，?30，+6，+22，?6．(1)請你在數(shù)軸上標記出D，E，F(xiàn)這三個小區(qū)的位置（在相應位置標記字母即可）(2)服務車最后到達的地方距離服務點多遠？若該車輛油耗為0.01升/百米，則這次分發(fā)工作共耗油多少升？(3)為方便附近居民進行核酸檢測，現(xiàn)居委會計劃在這七個小區(qū)中選一個作為臨時核酸檢測點，為使七個小區(qū)所有居民步行到監(jiān)測點的路程總和最小，假設各小區(qū)人數(shù)相等，那么監(jiān)測點的位置應設在______小區(qū)．答案：(1)見解析(2)服務車最后到達的地方距離服務點200米,共耗油1.06升(3)G分析：（1）由題意計算出D，E，F(xiàn)在數(shù)軸上對應的數(shù)即可；（2）服務車最后到達的地方為G小區(qū)，計處出G點到原點的距離即可；求出所給數(shù)據(jù)的絕對值的和，得到該車輛行駛的總路程，乘以單位距離的油耗即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式，以及絕對值的意義，可得檢測點應設在最中間的小區(qū)．【詳解】（1）解：由題意，D在數(shù)軸上對應的數(shù)為6?30=?24，E在數(shù)軸上對應的數(shù)為?24+6=?18，F(xiàn)在數(shù)軸上對應的數(shù)為?18+22=4，因此在數(shù)軸上表示為：（2）解：由題意知服務車最后到達的地方為G小區(qū)，G在數(shù)軸上對應的數(shù)為2，+10==106×0.01=1.06(升),因此服務車最后到達的地方距離服務點200米,這次分發(fā)工作共耗油1.06升；（3）解：設檢測點所設小區(qū)在數(shù)軸上對應的點為x,則七個小區(qū)到該檢測點的距離之和為：x+24+由絕對值的意義可知，當x=?2時，上面式子取最小值，因此檢測點應設在最中間的小區(qū)，即G小區(qū)．【點睛】本題考查正負數(shù)的實際應用，有理數(shù)混合運算的應用，絕對值的應用等，第3問有一定難度，解題的關鍵是理解絕對值