人教高中數(shù)學(xué)A版必修一 《對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 不同函數(shù)增長的差異》

4.4.1

對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

4.4.2

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一二三一、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義1.我們已經(jīng)知道y=2x是指數(shù)函數(shù),那么y=log2x(x>0)是否表示y是x的函數(shù)?為什么?提示:是.由對(duì)數(shù)的定義可知y=log2x(x>0)?x=2y,結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算可知,在定義域{x|x>0}內(nèi)對(duì)于每一個(gè)x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng),故y=log2x(x>0)表示y是x的函數(shù),其定義域?yàn)?0,+∞).2.填空一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是(0,+∞).一二三3.判斷一個(gè)函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)是什么?提示:對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,只有滿足①函數(shù)解析式右邊的系數(shù)為1;②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù);③真數(shù)僅有自變量x這三個(gè)條件,才是對(duì)數(shù)函數(shù).如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都不是對(duì)數(shù)函數(shù).4.做一做:下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是(

)A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)B.y=log2(x>0)C.y=logx3(x>0,且x≠1)D.y=log6x(x>0)答案:D一二三二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.(1)在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=log2x與y=

的圖象如圖所示.你能描述一下這兩個(gè)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性)嗎?提示:一二三提示:關(guān)于x軸對(duì)稱.提示:在直線x=1的右側(cè),a>1時(shí),a越大,圖象越靠近x軸,0<a<1時(shí),a越小,圖象越靠近x軸.一二三2.填表對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一二三3.做一做(1)若函數(shù)y=logax的圖象如圖所示,則a的值可能是

(

)A.0.5 B.2 C.e D.π(2)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)不是增函數(shù)的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=(3)函數(shù)的f(x)=loga(x-2)-2x的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)

.

解析:(1)∵函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴0<a<1,只有選項(xiàng)A符合題意.(3)由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x-2=1,即x=3時(shí),y=-6,即函數(shù)恒過定點(diǎn)(3,-6).答案:(1)A

(2)D

(3)(3,-6)一二三三、反函數(shù)1.函數(shù)y=log2x與y=2x的定義域和值域之間有什么關(guān)系?其圖象之間是什么關(guān)系?提示:函數(shù)y=log2x與y=2x的定義域和值域之間是互換的,兩者的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.2.填空對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)和指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)互為反函數(shù).它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.一二三3.做一做(2)函數(shù)g(x)=log8x的反函數(shù)是

.

(3)判斷正誤:若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,b),則其反函數(shù)的圖象過(b,a).(

)探究一探究二探究三探究四探究五對(duì)數(shù)函數(shù)的概念例1

(1)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)·logmx,則m=

.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.分析:(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的形式定義確定參數(shù)m所滿足的條件求解即可;(2)根據(jù)已知設(shè)出函數(shù)解析式,代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù);然后利用指對(duì)互化解方程.思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四探究五(1)解析:由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因?yàn)閙>0,且m≠1,所以m=2.答案:2(2)解:①由題意設(shè)f(x)=logax(a>0,且a≠1),解得a=16,故f(x)=log16x.②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四探究五反思感悟1.對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義:2.對(duì)數(shù)函數(shù)解析式中只有一個(gè)參數(shù)a,用待定系數(shù)法求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式時(shí)只須一個(gè)條件即可求出.思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四探究五變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是對(duì)數(shù)函數(shù),則a=

.(2)點(diǎn)A(8,-3)和B(n,2)在同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上,則n=

.

(2)設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為f(x)=logax(a>0,且a≠1).則由題意可得f(8)=-3,即loga8=-3,思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題例2(1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?

)A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1](2)已知函數(shù)f(x)=的值域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)f(x)的定義域是

.

探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練解析:(1)由題意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(1,+∞).故選A.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練反思感悟

定義域問題注意事項(xiàng)(1)要遵循以前已學(xué)習(xí)過的求定義域的方法,如分式分母不為零,偶次根式被開方式大于或等于零等.(2)遵循對(duì)數(shù)函數(shù)自身的要求:一是真數(shù)大于零;二是底數(shù)大于零且不等于1;三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對(duì)性地解不等式.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象例3函數(shù)y=log2x,y=log5x,y=lgx的圖象如圖所示.(1)說明哪個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)于哪個(gè)圖象,并說明理由;(2)在如圖的平面直角坐標(biāo)系中分別畫出(3)從(2)的圖中你發(fā)現(xiàn)了什么?探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練解:(1)①對(duì)應(yīng)函數(shù)y=lg

x,②對(duì)應(yīng)函數(shù)y=log5x,③對(duì)應(yīng)函數(shù)y=log2x.這是因?yàn)楫?dāng)?shù)讛?shù)全大于1時(shí),在x=1的右側(cè),底數(shù)越大的函數(shù)圖象越靠近x軸.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練反思感悟

對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律:1.對(duì)于幾個(gè)底數(shù)都大于1的對(duì)數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越接近x軸;對(duì)于幾個(gè)底數(shù)都大于0且小于1的對(duì)數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越遠(yuǎn)離x軸.以上規(guī)律可總結(jié)成x>1時(shí)“底大圖低”.實(shí)際上,作出直線y=1,它與各圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各函數(shù)的底數(shù)的大小,如圖所示.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練2作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)區(qū)間.解:先畫出函數(shù)y=lg

x的圖象(如圖①).再將該函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖②).圖①

圖②

探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對(duì)稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).圖③由圖易知其定義域?yàn)?1,+∞),值域?yàn)閇0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2],單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小例4

比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).分析:(1)構(gòu)造函數(shù)f(x)=log3x,利用其單調(diào)性比較大小;(2)分別比較兩個(gè)對(duì)數(shù)與0的大小;(3)分類討論底數(shù)a的取值范圍,再利用單調(diào)性比較大小.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練解:(1)(單調(diào)性法)因?yàn)閒(x)=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中間量法)因?yàn)閘og23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)(分類討論法)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.141.綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),logaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),logaπ<loga3.141.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練反思感悟

求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟1.求出函數(shù)的定義域;2.將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù);3.分別確定各個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)性;4.根據(jù)復(fù)合函數(shù)原理求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練3比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)ln0.3,ln2;(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);(3)log30.2,log40.2;(4)log3π,logπ3.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=ln

x在定義域內(nèi)是增函數(shù),且0.3<2,所以ln

0.3<ln

2.(2)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.故當(dāng)a>1時(shí),loga3.1<loga5.2;當(dāng)0<a<1時(shí),loga3.1>loga5.2.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練(3)(方法一)因?yàn)?>log0.23>log0.24,(方法二)畫出y=log3x與y=log4x的圖象,如圖所示,由圖可知log40.2>log30.2.(4)因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在定義域內(nèi)是增函數(shù),且π>3,所以log3π>log33=1.同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例5求函數(shù)y=log0.2(x2-2x+2)的單調(diào)區(qū)間.分析:利用復(fù)合函數(shù)法確定其單調(diào)區(qū)間.解:令u=x2-2x+2,則u=(x-1)2+1≥1>0.當(dāng)x≥1時(shí),u=x2-2x+2是增函數(shù),又y=log0.2u是減函數(shù),所以y=log0.2(x2-2x+2)在[1,+∞)上是減函數(shù).同理可得函數(shù)y=log0.2(x2-2x+2)在(-∞,1]上是增函數(shù).故函數(shù)y=log0.2(x2-2x+2)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1],單調(diào)減區(qū)間為[1,+∞).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練

4求函數(shù)y=loga(a-ax)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)當(dāng)a>1時(shí),y=logat是增函數(shù),且t=a-ax是減函數(shù),而a-ax>0,即ax<a,所以x<1.所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是減函數(shù).(2)當(dāng)0<a<1時(shí),y=logat是減函數(shù),且t=a-ax是減函數(shù),而a-ax>0,即ax<a,所以x<1.所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函數(shù).綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是減函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函數(shù).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象變換問題答案:(-∞,-2)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練答案:③

探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練A.[-1,3) B.(-1,3)

C.(-1,3] D.[-1,3]答案:CA.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]答案:A探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練A.y<x<1 B.x<y<1C.1<x<y

D.1<y<x答案:D4.若函數(shù)f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的圖象恒過定點(diǎn)(2,2).答案:(2,2)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,則a,b,c的大小關(guān)系為

.

解析:因?yàn)閒(x)=log0.2x在定義域內(nèi)為減函數(shù),且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,即1>a>0>c.同理log26>log22=1,所以b>a>c.答案:b>a>c探究一探究二探究三探究四探究五思想方法隨堂演練6.已知函數(shù)f(x)=log3x.(1)作出這個(gè)函數(shù)的圖象;(2)若f(a)<f(2),利用圖象求a的取值范圍.解:(1)作出函數(shù)y=log3x的圖象如圖所示.(2)由圖象知,函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)0<a<2時(shí),恒有f(a)<f(2),故所求a的取值范圍為(0,2).4.4.3

不同函數(shù)增長的差異指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一二一、指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)增長的差異比較1.(1)閱讀下面材料并回答問題1859年,有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且沒有兔子的天敵,兔子數(shù)量不斷增加,不到100年,兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞,數(shù)量達(dá)到75億只,可愛的兔子變得可惡起來,75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大大降低,而牛羊是澳大利亞的主要牲口.這使澳大利亞頭痛不已.他們采用各種方法消滅這些兔子,直至二十世紀(jì)五十年代,科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的兔子,澳大利亞人才算松了一口氣.想想看,澳大利亞的兔子為什么在不到100年的時(shí)間內(nèi)發(fā)展到75億只?答案:由于兔子在適宜環(huán)境下,其繁育的數(shù)量呈指數(shù)增長趨勢(shì),指數(shù)增長又稱為“爆炸性增長”,因此發(fā)展十分迅猛.一二(2)你能借助圖象得出在x∈R時(shí),2x=x,2x=x2的根的個(gè)數(shù)嗎?在(0,+∞)上存在滿足2x<x的x嗎?在(0,+∞)上滿足2x>x2的x的范圍是什么?答案:2x=x無根,2x=x2的根有3個(gè)(2正1負(fù));在(0,+∞)上,存在這樣的數(shù)x0滿足

<x0.在(0,+∞)上,當(dāng)0<x<2或x>4時(shí)均有2x>x2成立.2.填空(1)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長差異都與上述情況類似.即使k的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a的值,y=ax(a>1)的增長速度最終都會(huì)大大超過y=kx(k>0)的增長速度,即總存在這樣的x0∈(0,+∞),當(dāng)x>x0時(shí),恒有(2)對(duì)于y=ax(a>1)與二次函數(shù)y=x2也有這樣的結(jié)論,即存在x0∈(0,+∞),使當(dāng)x>x0時(shí)總有一二3.做一做(1)下列函數(shù)中,增長速度最快的是(

)A.y=2xB.y=3xC.y=5xD.y=10x(2)在x∈(0,+∞)時(shí),滿足2x<x2的x的取值范圍為

.

解析:(1)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)都是指數(shù)函數(shù),且底數(shù)均大于1,D項(xiàng)中底數(shù)10最大,則函數(shù)y=10x的增長速度最快.答案:(1)D

(2)2<x<4一二二、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)增長的差異比較1.log2x=x有根嗎?log2x=x2呢?在(0,+∞)內(nèi)存在x使log2x>x嗎?對(duì)于log2x>x2結(jié)論又如何?答案:結(jié)合圖象(略)分析可知,log2x=x只有一個(gè)根,log2x=x2也只有一個(gè)根.存在這樣的x0∈(0,+∞)使log2x0>x0,同樣也存在這樣的x0∈(0,+∞)使log2x0>成立,但最終隨著x取值足夠大,log2x<x2,log2x<x恒成立.一二2.填空(1)一般地,雖然對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞增,但它們的增長速度不同.隨著x的增大,一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a的值比k的值大多少,在一定范圍內(nèi),logax可能會(huì)大于kx,但由于logax的增長慢于kx的增長,因此總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),恒有l(wèi)ogax<kx.(2)對(duì)于y=logax(a>1)與y=x2也存在類似結(jié)論,即總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),恒有l(wèi)ogax<x2.一二3.做一做(1)下列函數(shù)增長速度最快的是(

)A.y=log2xB.y=log6xC.y=log8xD.y=lgx(2)方程x2-log2x=0的解的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.0解析:(1)四個(gè)選項(xiàng)中的對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上均是增函數(shù),選項(xiàng)A中y=log2x的底數(shù)2最小,則函數(shù)y=log2x的增長速度最快.答案:(1)A

(2)D探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練研究函數(shù)y=2x,y=x2,y=log2x的增長差異例1在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=2x,y=x2,y=log2x的圖象并探究它們的增長情況.分析:先比較y=2x和y=x2,再比較y=log2x和y=x2,最后綜合判斷得出整體規(guī)律.解:在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=2x,y=x2,y=log2x的圖象,如圖所示,觀察歸納可知,當(dāng)0<x<2時(shí),2x>x2>log2x.當(dāng)2<x<4時(shí),x2>2x>log2x.當(dāng)x>4時(shí),2x>x2>log2x.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

在(0,+∞)上,盡管函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=x2都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個(gè)“檔次”上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=x2(n>0)的增長速度,而y=logax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<x2<ax.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練變式訓(xùn)練1四人賽跑,假設(shè)他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假設(shè)他們一直跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是

(

)A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x解析:當(dāng)x足夠大時(shí),跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系為指數(shù)型函數(shù).答案:D探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練根據(jù)數(shù)據(jù)信息判斷函數(shù)類型例2在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù):則x,y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近?(其中a,b為待定系數(shù))(

)探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解析:散點(diǎn)圖如圖所示:由散點(diǎn)圖可知,此函數(shù)圖象不是直線,排除A選項(xiàng);此函數(shù)圖象是“上升”的,因此該函數(shù)為增函數(shù),排除C,D選項(xiàng),故選B.答案:B探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

判斷函數(shù)類型的三種方法1.當(dāng)函數(shù)關(guān)系式確定時(shí),一般把數(shù)值代入分析即可.2.當(dāng)函數(shù)關(guān)系不明確時(shí),可先畫出散點(diǎn)圖,再根據(jù)散點(diǎn)圖與各種類型函數(shù)的增長規(guī)律進(jìn)行選擇.3.當(dāng)需要獨(dú)立建立模型時(shí),要設(shè)出函數(shù)模型逐一驗(yàn)證篩選.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練變式訓(xùn)練2在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(見下表).現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是(

)A.y=2x

B.y=log2xC.y=(x2-1) D.y=2.61x解析:將數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證各選項(xiàng),與函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用相結(jié)合.答案:B探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練圖象信息遷移問題例3如圖所示的是一份統(tǒng)計(jì)圖表,根據(jù)此圖表得到的以下說法中,正確的有(

)(1)這幾年人民生活水平逐年得到提高;(2)人民生活費(fèi)收入增長最快的一年是2016年;(3)生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2017年;(4)雖然2018年生活費(fèi)收入增長是緩慢的,但由于生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)也略有降低,因而人民生活有較大的改善.A.1項(xiàng) B.2項(xiàng) C.3項(xiàng) D.4項(xiàng)探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解析:由題意,“生活費(fèi)收入指數(shù)”減“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”所得的差是逐年增大的,故(1)正確;“生活費(fèi)收入指數(shù)”在2016~2017年最陡,故(2)正確;“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”在2017~2018年最平緩,故(3)不正確;由于“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”略呈下降趨勢(shì),而“生活費(fèi)收入指數(shù)”曲線呈上升趨勢(shì),故(4)正確.答案:C反思感悟

用函數(shù)圖象分析函數(shù)模型是一種常見的題型.主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力,利用圖象信息分析問題和解決問題的能力.這類問題應(yīng)結(jié)合圖象的特征,觀察坐標(biāo)軸所代表的含義,緊扣題目的語言描述,并把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)特征(單調(diào)性、最值等),即可得到完美的解決.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練變式訓(xùn)練3某天0時(shí),小鵬同學(xué)生病了,體溫上升,吃過藥后感覺好多了,中午時(shí)他的體溫基本正常(正常體溫為37℃),但是下午他的體溫又開始上升,直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙了.下面能大致反映出小鵬這一天(0時(shí)至24時(shí))體溫變化情況的圖象是(

)探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解析:觀察圖象A,體溫逐漸降低,不符合題意;圖象B不能反映“下午他的體溫又開始上升”;圖象D不能體現(xiàn)“下午他的體溫又開始上升”與“直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙了”.綜上,只有C是正確的.答案:C探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練選擇恰當(dāng)函數(shù)模型解決實(shí)際問題典例

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí),按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合該公司的要求?分析:某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求,就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過利潤的25%,由于公司總的利潤目標(biāo)為1

000萬元,所以部門銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利潤.于是,只需在區(qū)間[10,1

000],分別檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解:借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限內(nèi)的大致圖象(如圖所示):觀察圖象發(fā)現(xiàn),在區(qū)間[10,1

000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖象都有一部分在直線y=5的上方,只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方,這說明只有按模型y=log2x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求,下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1

000]上遞增,當(dāng)x∈(20,1

000)時(shí),y>5,因此該模型不符合要求;探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練對(duì)于模型y=1.002x,由函數(shù)圖象,并利用計(jì)算器,可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x=5,由于它在區(qū)間[10,1

000]上遞增,因此當(dāng)x>x0時(shí),y>5,因此該模型y=1.002x也不符合要求;對(duì)于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1

000]上遞增,而且當(dāng)x=1

000時(shí),y=log71

000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求.再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25%,即當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),是否有令y=log7x+1-0.25x,x∈[10,1

000].利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖所示).由圖象可知它是遞減的,因此f(x)<f(10)≈-0.316

7<0,即y=log7x+1<0.25x,所以當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),<0.25.說明按模型y=log7x+1時(shí),獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤的25%.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

1.通過實(shí)例和計(jì)算機(jī)作圖體會(huì)、認(rèn)識(shí)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系,從而體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值,享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美.2.通過對(duì)實(shí)際問題的解決,熟悉選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本流程,并增強(qiáng)了解決實(shí)際問題的能力.3.此類問題還要注意理論聯(lián)系實(shí)際,函數(shù)性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象綜合分析.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練1.存在x0,當(dāng)x>x0時(shí),下列不等式恒成立的是(

)A.2x<log2x<x2 B.x2<log2x<2xC.log2x<2x<x2 D.log2x<x