考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷2（共279題）

考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷2（共9套）（共279題）考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A是m×s階矩陣，B為s×n階矩陣，則方程組BX=0與ABX=0同解的充分條件是()．A、r(A)=sB、r(A)=mC、r(B)=sD、r(B)=n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：設(shè)r(A)=s，顯然方程組BX=0的解一定為方程組ABX=0的解，反之，若ABX=0，因?yàn)閞(A)=s，所以方程組AY=0只有零解，故BX=0，即方程組BX=0與方程組ABX=0同解，選(A)．2、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，且非齊次線性方程組AX=b有兩個(gè)不同解η1，η2，則下列命題正確的是()．A、AX=b的通解為k1η1+k2η2B、η1+η2為Ax=b的解C、方程組AX=0的通解為k(η1-η2)D、AX=b的通解為k1η1+k2η2+(η1+η2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)榉驱R次線性方程組AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因?yàn)锳*≠O，所以r(A)=n-1，η2-η1為齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，選(C)．3、設(shè)有方程組AX=0與BX=0，其中A，B都是m×n階矩陣，下列四個(gè)命題：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，則r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，則AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0與BX=0同解，則r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，則AX=0與BX=0同解以上命題正確的是()．A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(4)D、(3)(4)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若方程組AX=0的解都是方程組BX=0的解，則n-r(A)≤n-r(B)，從而r(A)≥r(B)，(1)為正確的命題；顯然(2)不正確；因?yàn)橥夥匠探M系數(shù)矩陣的秩相等，但反之不對，所以(3)是正確的，(4)是錯(cuò)誤的，選(B)．4、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則()．A、當(dāng)m＞n時(shí)，線性齊次方程組ABX=0有非零解B、當(dāng)m＞n時(shí)．線性齊次方程組ABX=0只有零解C、當(dāng)n＞m時(shí)，線性齊次方程組ABX=0有非零解D、當(dāng)n＞m時(shí)，線性齊次方程組ABX=0只有零解標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：AB為m階方陣，當(dāng)m＞n時(shí)，因?yàn)閞(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程組ABX=0有非零解，選(A)．5、設(shè)A為m×竹階矩陣，則方程組AX=b有唯一解的充分必要條件是()．A、r(A)=mB、r(A)=nC、A為可逆矩陣D、r(A)=n且b可由A的列向量組線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方程組AX=b有解的充分必要條件是b可由矩陣A的列向量組線性表示．在方程組AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要條件是r(A)=n，故選(D)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)6、設(shè)A=，且存在三階非零矩陣B，使得AB=O，則a=______，b=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，1知識點(diǎn)解析：A→，因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠0．于是r(B)≥1，故r(A)≤2，從而a=2，b=1．7、設(shè)η為非零向量，A=，η為方程組AX=0的解，則a=________，方程組的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k(-3，1，2)T知識點(diǎn)解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是方程組AX=0的通解為k(-3，1，2)T．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)8、設(shè)A為b階矩陣，若Ak-1α≠0，而Akα=0．證明：向量組α，Aα，…．A-1α線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0(*)(*)式兩邊同時(shí)左乘Ak-1得l0A-1α=0，因?yàn)锳-1α≠0，所以l0=0；(*)式兩邊同時(shí)左乘Ak-2得l1Ak-1α=0，因?yàn)锳k-1α≠0，所以l1=0，依次類推可得l2=…=lk-1=0，所以α，Aα，…，Ak-1α線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)α1，α2，β1，β2為三維列向量組，且α1，α2與β1，β2都線性無關(guān)．(1)證明：至少存在一個(gè)非零向量可同時(shí)由α1，α2和β1，β2線性表不；(2)設(shè)α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由兩組向量同時(shí)線性表示的向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)棣?，α2，β1，β2線性相關(guān)，所以存在不全為零的常數(shù)k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2．令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，因?yàn)棣?，α2與β1，β2都線性無關(guān)，所以k1，k2及l(fā)1，l2都不全為零，所以γ≠0．(2)令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，A=(α1，α2，β1，β2)=所以γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)向量組α1，α2，…，αn-1為n維線性無關(guān)的列向量組，且與非零向量β1，β2正交．證明：β1，β2線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=，因?yàn)棣?，α2，…，αn-1與β1，β2正交，所以Aβ1=0，Aβ2=0，即β1，β2為方程組AX=0的兩個(gè)非零解，因?yàn)閞(A)=n-1，所以方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)線性無關(guān)的解向量，所以β1，β2線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)齊次線性方程組其中ab≠0，n≥2．討論a，b取何值時(shí)，方程組只有零解、有無窮多個(gè)解?在有無窮多個(gè)解時(shí)求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D==[a+(n-1)b](a-b)n-1．(1)當(dāng)a≠b，a≠(1-n)b時(shí)，方程組只有零解；(2)當(dāng)a=b時(shí)，方程組的同解方程組為x1+x2+…+xn=0，其通解為X=k1(-1，1，0，…，0)T+k2(-1，0，1，…，0)T+…+kn-1(-1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1為任意常數(shù))；(3)令A(yù)=，當(dāng)a=(1-n)b時(shí)，r(A)=n-1，顯然(1，1，…，1)T為方程組的一個(gè)解，故方程組的通解為k(1，1，…，1)T(k為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)A為三階矩陣，A的第一行元素為a，b，c且不全為零，又B=且AB=O，求方程組AX=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=O得r(A)+r(b)≤3且r(A)≥1．(1)當(dāng)k≠9時(shí)，因?yàn)閞(B)=2，所以r(A)=1，方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，顯然基礎(chǔ)解系可取B的第1、3兩列，故通解為k1+k2(k1，k2為任意常數(shù))；(2)當(dāng)k=9時(shí)，r(B)=1，1≤r(A)≤2，當(dāng)r(A)=2時(shí)，方程組AX=0的通解為C(C為任意常數(shù))；當(dāng)r(A)=1時(shí)，A的任意兩行都成比例，不妨設(shè)a≠0，由A→，得通解為k1+k2(k1，k2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、a，b取何值時(shí)，方程組有解?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)a≠1時(shí)，r(A)==4，唯一解為x1=，x2=，x3=x4=0；(2)a=1，b≠=1時(shí)，r(A)≠r(A)，因此方程組無解；(3)a=1，b==1時(shí)，通解為X=k1(1，-2，1，0)T+k22(1，-2，0，1)T+(-1，1，0，0)T(k1，k2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、A，B為n階矩陣且r(A)+r(B)＜n．證明：方程組AX=0與BX=0有公共的非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組X=0的解即為方程組AX=0與BX=0的公共解．因?yàn)椤躵(A)+r(B)＜N，所以方程組=0有非零解，故方程組AX=0與BX=0有公共的非零解．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)(Ⅰ)(1)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系；(2)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A1=(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為ξ1=，ξ2=A2=(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系為η1=，η2=(2)(Ⅰ)的通解為k1ξ1+k2ξ2=，(Ⅱ)的通解為l1η1+l2η2=令k1ξ1+k2ξ2=l1η1+l2η2∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解為(k為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、(Ⅰ)問a，b，c取何值時(shí)，(Ⅰ)，(Ⅱ)為同解方程組?標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它們的增廣矩陣有等價(jià)的行向量組，(Ⅱ)的增廣矩陣為階梯陣，其行向量組線性無關(guān)，α1可由β1，β2，β3唯一線性表出，α=-2β1+β2+aβ3a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一線性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一線性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、證明線性方程組(Ⅰ)有解的充分必要條件是方程組(Ⅲ)是同解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)==(α1，α2，…，αn)，b=方程組(Ⅰ)可寫為AX=b，方程組(Ⅱ)、(Ⅲ)可分別寫為ATY=0及Y=0．若方程組(Ⅰ)有解，則r(A)=r(A┆b)，從而r(AT)=，又因?yàn)?Ⅲ)的解一定為(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)與(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)與(m)同解，則r(AT)=，從而r(A)=r(A┆b)，故方程組(Ⅰ)有解．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，寫出(Ⅱ)的通解并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=，則(Ⅰ)可寫為AX=0，令其中β1=，…，βn=則(Ⅱ)可寫為BY=0，因?yàn)棣?，β2，…，βn為(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，Aβ1，Aβ2，…，Aβn=0A(β1，β2，…，βn)=OABT=OABT=0．α1T，α2T，…，αnT為BY=0的一組解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT線性無關(guān)，因此α1T，α2T，…，αnT為BY=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為k1α1T，k2α2T，…，knαnT(k1，k2…kn為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)A是m×s階矩陣，B是s×n階矩陣，且r(B)=r(AB)．證明：方程組BX=0與ABX=0是同解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先，方程組BX=0的解一定是方程組ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程組BX=0的基礎(chǔ)解系，現(xiàn)設(shè)方程組ABX=0有一個(gè)解η0，不是方程組BX=0的解，即Bη0≠0，顯然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關(guān)，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1，k2ξ2，…，knξn-r+k0η0=0，若k0=0，則k1ξ1，k2ξ2，…，kn-rξn-r=0，因?yàn)棣?，ξ2，…，ξn-r線性無關(guān)，所以k1=k2=…=kn-r=0，從而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關(guān)，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r線性表示，由齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關(guān)，且為方程組ABX=0的解，從而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，這與r(B)=r(AB)矛盾，故方程組BX=0與ABX=0同解．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A，B，C，D都是n階矩陣，r(CA+DB)=n．(1)證明：=n：(2)設(shè)ξ1，ξ2，…，ξr與η1，η2，…，ηs分別為方程組AX=0與BX=0的基礎(chǔ)解系，證明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)閚=r(CA+DB)==n；(2)因?yàn)?n，所以方程組X=0只有零解，從而方程組AX=0與BX=0沒有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr與η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A為n階矩陣．A11≠0．證明：非齊次線性方程組AX=b有無窮多個(gè)解的充分必要條件是A*b=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)非齊次線性方程組AX=b有無窮多個(gè)解，則r(A)＜n，從而｜A｜=0，于是A*b=A*AX=｜A｜X=0．反之，設(shè)A*b=0，因?yàn)閎≠0，所以方程組A*X=0有非零解，從而r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)=1，且r(A)=n-1．因?yàn)閞(A*)=1，所以方程組A*X=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個(gè)線性無關(guān)的解向量，而A*A=0，所以A的列向量組α1，α2，…，αn為方程組A*X=0的一組解向量．由A11≠0，得α2，…，αn線性無關(guān)，所以α2，…，αn是方程組A*X=0的基礎(chǔ)解系．因?yàn)锳*b=0，所以b可由α2，…，αn線性表示，也可由α1，α2，…，αn線性表示，故r(A)==n-1＜n，即方程組AX=b有無窮多個(gè)解．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令r(B)=r，BX=0的基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量，因?yàn)锽X=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基礎(chǔ)解系所含的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)不少于BX=0的基礎(chǔ)解系所含的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因?yàn)閞[(AB)T]=r(AB)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、證明：r(A)=r(ATA)．標(biāo)準(zhǔn)答案：只需證明AX=0與ATAX=0為同解方程組即可．若AX0=0，則ATAX0=0．反之，若ATAX0=0，則X0TATAX0=0(AX0)T(AX0)=0AX0=0，所以AX=0與ATAX=0為同解方程組，從而r(A)=r(ATA)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A是m×n階矩陣，且非齊次線性方程組AX=b滿足r(A)=r(A)=r＜n．證明：方程組AX=b的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)最多是n-r+1個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)=r＜n，所以齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量，設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξn-r，設(shè)η0為方程組AX=b的一個(gè)特解，令β0=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，βn-r=ξn-r+η0，顯然β0，β1，β2，…，βn-r為方程組AX=b的一組解．令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0+k1+…+kn-r)η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，上式兩邊左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因?yàn)閎為非零列向量，所以k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r線性無關(guān)，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，β1，β2，…，βn-r線性無關(guān)，即方程組AX=b存在由n-r+1個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成的向量組．設(shè)β1，β2，…，βn-r+2為方程組AX=b的一組線性無關(guān)解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根據(jù)定義，易證γ1，γ2，…，γn-r+1線性無關(guān)，又γ1，γ2，…，γn-r+1為齊次線性方程組AX=0的一組解，即方程組AX=0含有n-r+1個(gè)線性無關(guān)的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2個(gè)解向量都是線性相關(guān)的，所以AX=b的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)最多為n-r+1個(gè)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)n階方陣A、B、C滿足關(guān)系式ABC=E，則成立A、ACB=EB、CBA=EC、BAC=ED、BCA=E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)同階方陣P、Q滿足PQ=E時(shí)，有QP=E．故E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA．2、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，Im為m階單位矩陣，則A、A的任意m個(gè)列向量必線性無關(guān)．B、A的任意一個(gè)m階子式都不等于零．C、若矩陣B滿足BA=0，則B=0．D、A通過初等行變換，必可以化為(Im，0)的形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由BA=0知A的每一列都是方程組Bx=0的解向量，r(B)=m說明方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系至少含m個(gè)向量，即m—r(B)≥m，r(B)=0，B=0，故選項(xiàng)(C)正確．3、設(shè)n(n≥3)階矩陣若r(A)=n一1，則a必為A、1B、C、一1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由條件有0=|A|=[1+(n一1)a一1(1一a)n一1，a=1或a=．若a=1，則r(A)=1，與r(A)=n一1矛盾，時(shí)，A的左上角的n一1階子式非零，有r(A)=n一1．故(B)正確．4、設(shè)方陣P3×3≠O，而PQ=O，A、t=6時(shí)，必有秩(P)=1．B、t=6時(shí)，必有秩(P)=2．C、t≠6時(shí)，必有秩(P)=1．D、t≠6時(shí)，必有秩(P)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)t≠6時(shí)，秩(Q)=2，且由P=O知Q的每一列都是方程組PX=0的解，故PX=0至少有2個(gè)線性無關(guān)的解，基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)3一秩(P)≥2，秩(P)≤1；又P≠O，有秩(P)≥1，故此時(shí)必有秩(P)=1．5、設(shè)矩陣Am×n的秩為r，對于非齊次線性方程組Ax=b，A、當(dāng)r=m時(shí)，Ax=b必有解．B、當(dāng)r=n時(shí)，Ax=b必有唯一解．C、當(dāng)m=n時(shí)，Ax=b必有唯一解．D、當(dāng)r＜n時(shí)，A=b必有無窮多解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：選項(xiàng)(A)的正確性注意增廣矩陣只有m行，其秩不會大于m，故由m=r(A)≤r[A|b]≤m，r(A)=r(A|b)=m＜n，所以，Ax=b有無窮多解．6、設(shè)n階矩陣A與B相似，則A、λE一A=λE一B．B、A與B有相同的特征值和特征向量．C、A和B都相似于同一個(gè)對角矩陣．D、對任意常數(shù)t，tE一A與tE一B都相似．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)A與B相似時(shí)，有可逆矩陣P，使P一1AP=B，故P一1(tE一A)P一1tEP一P一1AP=tE一B，即tE一A與tE一B相似，故選項(xiàng)(D)正確，實(shí)際上，若A與B相似，則對任何多項(xiàng)式f，f(A)與f(B)必相似．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、標(biāo)準(zhǔn)答案：一360.知識點(diǎn)解析：從第j列提出公因子j(j=2，3，4，5)，再將第j列的(一1)倍加到第1列，得上三角行列式，D=5!×(一3)=一360；8、設(shè)A=的伴隨矩陣為A*，且A*BA=2BA一8E，則矩陣B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4(A+E)一1=知識點(diǎn)解析：兩端右乘A一1，得A*B=2B一8A一1，兩端左乘A并利用AA*=|A|=一2E，得一2B=2AB一8E，9、設(shè)其中ai≠0，bi≠0(i=1，2，…，n)，則秩(A)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1．知識點(diǎn)解析：將A的第1行的倍加到第i行(1=2，3，…，n)所得矩陣僅有第1行非零，秩(A)=1．或由A=αβ，其中α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)，及A≠0，得1≤r(A)=r(αβ)≤r(α)=1，r(A)=1．10、設(shè)矩陣Ai=則B的伴隨矩陣B*=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：|B|B一1=|A1||A2一1|知識點(diǎn)解析：B*=|B|B一1=|A1||A2一1|11、設(shè)向量組α1=(2，1，1，1)，α2=(2，1，a，a)，α3=(3，2，1，a)，α4=(4，3，2，1)線性相關(guān)，且a≠1，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：以α1，α2，α3，α4為行向量組構(gòu)成4階方陣A，則有|A|=(a一1)(2a一1)=0，又a≠1，故a=．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)4階矩陣A與B相似，A的特征值為，則行列式|B一1一E|=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：24．知識點(diǎn)解析：B的特征值為，B一1的特征值為2，3，4，5，B一1一E的特征值為1，2，3，4，由特征值的性質(zhì)得|B一1一E|=1．2．3．4=24．13、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識點(diǎn)解析：f的矩陣A=的秩為2．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)14、計(jì)算下列n階行列式：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(x一1)(x一2)…(x一n+1)．把第1行的(一1)倍加到第i行(i=2，3，…，n)，則得上三角行列式．(2)(一1)n一1(n一1)xn一2．先將第2行的(一1)倍加到第i行(i=3，…，n)，再按第1列展開，并把(2，1)元素的余子式的第2，3，…，n一1列都加到第1列，則得上三角行列式．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)B是元素全為1的n階方陣(n≥2)，證明：(E一B)一1=E一標(biāo)準(zhǔn)答案：由(E一B)(E一B)一1其中B2=nB．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)n階非零實(shí)方陣A的伴隨矩陣為A*，且A*=AT．證明|A|≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：AAT=AAT=|A|E，若|A|=0，則得AAT=0，其(i，i)元素為aik=0(i，k=1，2，…，n)A=0，這與A≠0矛盾．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)3階矩陣A可逆，且A一1=A*為A的伴隨矩陣，求(A*)一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(A*)一1==|A一1|(A一1)一1=或利用(A*)一1=(A)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)矩陣A=，矩陣B滿足(A*)一1BA*=BA*+8A，其中A*為A的伴隨矩陣，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：(A*)一1==A，給題設(shè)方程兩端右乘(A*)一1=A，得AB=B+8A2，(A一E)B=8A*，B=8(A一E)一1A2=知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)A為n階方陣，k為正整數(shù)，線性方程組AkX=0有解向量α，但Ak一1α≠0．證明：向量組α，Aα，…，Ak一1α線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)有一組數(shù)λ1，λ2，…，λk，使λ1α+λ2Aα+…+λkAk一1α=0兩端左乘Ak一1．得λ1Ak一1α=0．因Ak一1α≠0，得λ1=0．類似可得λ2=…=λk=0．故α，Aα，…，Ak一1α線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)有向量組(Ⅰ)：α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T．問a取何值時(shí)，(Ⅰ)線性相關(guān)？當(dāng)(Ⅰ)線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：令矩陣A=[α1，α2，α3，α4]，由|A|=0或由初等行變換，可得：當(dāng)a=0或a=一10時(shí)，(Ⅰ)線性相關(guān)．當(dāng)a=0時(shí)，α1為(Ⅰ)的一個(gè)極大無關(guān)組，且α2=2α1，α3=3α1，α4—4α1；當(dāng)a=一10時(shí)，對A施行初等行變換：A→，可知α2知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)向量α1=(1，0，2，3)，α2=(1，1，3，5)，α3=(1，一1，a+2，1)，α4=(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)，問：a，b為何值時(shí)，β不能用α1，α2，α3，α4線性表示；a，b為何值時(shí)，β能用α1，α2，α3，α4線性表示，并寫出該表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=一1，b≠0時(shí)，β不能用α1，α2，α3，α4線性表示；當(dāng)a≠一1時(shí)，有唯一的線性表示：當(dāng)a=一1，b=0時(shí)，有β=(一2c1+c2)α1+(1+c1一2c2)α2+c1α3+c2α4(c1，c2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)有3維列向量問λ取何值時(shí)(1)β可由α1，α2，α3線性表示，且表達(dá)式唯一？(2)β可由α1，α2，α3線性表示，但表達(dá)式不唯一？(3)β不能由α1，α2，α3線性表示？標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)λ≠0且λ≠一3；(2)λ=1；(3)λ=一3．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、已知齊次線性方程組其中≠0，試討論a1，a2，…，an和b滿足何種關(guān)系時(shí)．(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解，在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組的系數(shù)行列式|A|=bn一1，故當(dāng)|A|≠0，即b≠0且b+≠0時(shí)，方程組只有零解．當(dāng)b=0或b+=0時(shí)，方程組有非零解．當(dāng)b=0時(shí)，設(shè)a1≠0，由系統(tǒng)矩陣A的初等行變換：得方程組的基礎(chǔ)解系可取為：由此得方程組的用自由未知量表示的通解為：x2=x1，x3=x1，…，xn=x1(x1任意)，令自由未知量x1=1，則方程組的基礎(chǔ)解系可取為ξ=(1，1，…，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)矩陣A=，|A|=一1，A的伴隨矩陣A*有一個(gè)特征值為λ0，屬于λ0的一個(gè)特征向量為α=(一1，一1，1)T．求a，b，c和λ0的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知A*α=λ0α，兩端左乘A，并利用AA*=|A|E=一E，得一α=λ0Aα，即由此解得λ0=1，b=一3，a=c．再由|A|=一1和a=c，有=a一3=一1，a=c=2．因此a=2，b=一3，c=2，λ0=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)矩陣相似．(1)求a，b的值；(2)求一個(gè)可逆矩陣P，使P一1AP=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由條件有|λE一A|=|λE一B|，即(λ一2)[λ2一(3+a)λ+3a一3]=(λ一a)2(λ一b)得a=5，b=6．亦可直接利用特征值的性質(zhì)，得，解得a=5，b=6．(2)知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)A為3階矩陣，|A|=6，|A+E|=|A一2E|=|A+3E|=0，試判斷矩陣(2A)*是否相似于對角矩陣，其中(2A)*是(2A)的伴隨矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件有，|一E一A|=(一1)3|E+A|=0，|2E一A|一(一1)3×|一2E+A|=0，|一3E一A|=(一1)3|3E+A|=0，A有特征值一1，2，一3，從而是A的全部特征值，A一1的全部特征值為一1，而(2A)*=|2A|(2A)一1=23|A|A一1=24A一1，(2A)*=24A一1的全部特征值為一24，12，一8，因3階方陣(2A)*有3個(gè)互不相同特征值，故(2A)*可相似對角化．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)α=(α1，α2，…，αn)T是Rn中的非零向量，方陣A=ααT．(1)證明：對正整數(shù)m，存在常數(shù)t，使Am=tm一1A，并求出t；(2)求一個(gè)可逆矩陣P，使P一1AP=Λ為對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m一1一αT=一(αTα)m一1(ααT)==tm一1A，其中t=秩(A)=1，因?qū)崒ΨQ矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)等于它的秩，故A只有一個(gè)非零特征值，而有n一1重特征值λ1=λ2=…=λn一1=0．設(shè)α1≠0，由0E得屬于特征值0的特征值可取為：ξ1=由特征值之和等于A的主對角線元素之和，即0+0+…+0+λn==αTα，由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα及α≠0，得與λn對應(yīng)特征向量為α，令P=[ξ1ξ2…ξn一1α]，則有P一1AP=diag(0，0，…，0，ai2)為對角陣．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，E為n階單位矩陣，矩陣B=λE+ATA，試證：當(dāng)λ＞0時(shí)，矩陣B為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：BT=B，對任意n維非零列向量X，有λXTX＞0，(AX)T(AX)≥0，故對X≠0有XTBX=XT(λE+ATA)X=λXTX+(AX)T(AX)＞0，因此，對稱陣B正定．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)λ1、λn分別為n階實(shí)對稱矩陣A的最小和最大特征值，X1、Xn分別為對應(yīng)于λ1和λn的特征向量，記求三元函數(shù)f(x1，x2，x3)=3x12+2x22+3x32+2x1x3在x12+x22+x32=1條件下的最大及最小值，并求出最大值點(diǎn)及最小值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f的最小值==f(0，1，0)=2，f的最大值=知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)A、B為同階正定矩陣，且AB=BA，證明：AB為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A、B正定，有AT=A，BT=B，故(AB)T=BTAT=BA=AB，即AB也是對稱矩陣，因A正定，由第10題，存在正定陣S，使A=S2，于是S一1(AB)S=S一1SSBS=SBS=STBS，由于B正定，故與B合同的矩陣STBS正定，故STBS的特征值全都大于零，而S一1(AB)S=STBS，說明AB與STBS相似，由于相似矩陣有相同的特征值，故AB的特征值(即STBS的特征值)全都大于零，因而對稱陣AB正定．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、A，B是n階可逆方陣，則下列公式正確的是()A、(A2)-1=(A-1)2B、(A+B)-1=A-1+B-1C、(A+B)(A—B)=A2一B2D、(kA)-1=kA-1(k≠0)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：(A)中，(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=一A，A+B不可逆；(C)中，若AB≠BA，則BA一AB≠O；(D)中，不一定等于kA-1．2、設(shè)A是n階方陣，且A3=O，則．()A、A不可逆，且E一A不可逆B、A可逆，但E+A不可逆C、A2一A+E及A2+A+E均可逆D、A不可逆，且必有A2=O標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因A3=O，有E3+A3=(E+A)(A2一A+E)=E，E3一A3=(E—A)(A2+A+E)=E，故A2-A+E及A2+A+E均可逆，(C)正確．由以上兩式知，E-A，E+A也均可逆，故(A)，(B)不成立．(D)不成立，例有但3、A是n階方陣，A*是A的伴隨矩陣，則|A*|=()A、|A|B、|A-1|C、|A-1|D、|An|標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由AA*=|A|E，兩邊取行列式，得|A||A*|=|A|n若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；若|A|=0，則|A*|=0，故選(C)．4、設(shè)A是n階可逆方陣(n≥2)，A*是A的伴隨矩陣，則(A*)*=()A、|A|n-1AB、|A|n+1AC、|A|n-2AD、|A|n+2A標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由AA*=|A|E，得A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*)-1，其中故5、A是n階矩陣，|A|=3．則|(A*)*|=()A、3(n-1)2B、3n2-1C、3nn2一nD、3n-1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因|A|=3，A可逆，則A*(A*)*=|A*|E，所以|(A*)*|=||A|n-2A|=|A|n-2n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2．6、設(shè)An×n是正交矩陣，則()A、A*(A*)T=|A|EB、A*TA*=|A*|EC、A*(A*)T=ED、(A*)TA*=一E標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳是正交矩陣，則有，A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E．7、設(shè)A為n階可逆矩陣，則下列等式中，不一定成立的是()A、(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C、(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D、(A+E)2=A2+2AE+E2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由矩陣乘法的分配律可知：(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要條件是BA=AB，也即A，B的乘積可交換．由于A與A-1，A與A*以及A與B都是可交換的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的．故選(B)．8、設(shè)A為3階非零矩陣，且滿足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij為aij的代數(shù)余子式，則下列結(jié)論：①A是可逆矩陣；②A是對稱矩陣；③A是不可逆矩陣；④A是正交矩陣．其中正確的個(gè)數(shù)為()A、lB、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴隨矩陣的定義可知：A*=AT，那么|A*|=|AT|，也即|A|2=|A|，即|A|(|A|一1)=0．又由于A為非零矩陣，不妨設(shè)a11≠0，則|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132>0，故|A|=1．因此，A可逆．并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知A是正交矩陣，故①，④正確，③錯(cuò)誤．從題目中的條件無法判斷A是否為對稱矩陣，故正確的只有兩個(gè)，選(B)．9、設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，且m＞n，則必有()A、|AB|=0B、|BA|=0C、|AB|=|BA|D、||BA|BA|=|BA||BA|標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于m>n，則有r(AB)≤r(A)≤nn+1，可知等式||BA|BA|=|BA||BA|也不一定成立，故(D)錯(cuò)誤．綜上，正確的選項(xiàng)是(A)．10、已知P為3階非零矩陣，且滿足PQ=O，則()A、t=6時(shí)，P的秩必為1B、t=6時(shí)，P的秩必為2C、t≠6時(shí)，P的秩必為1D、t≠6時(shí)，P的秩必為2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：“AB=O”是考研出題頻率極高的考點(diǎn)，其基本結(jié)論為：①Am×sBs×n=Or(A)+r(B)≤s；②Am×sBs×n=O組成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．對于本題，PQ=Or(P)+r(Q)≤31≤r(P)≤3一r(Q)．當(dāng)t=6時(shí)，r(Q)=11≤r(P)≤2r(P)=1或2，則(A)和(B)都錯(cuò)；當(dāng)t≠6時(shí)，r(Q)=21≤r(P)≤1r(P)=1．故選(C)．11、設(shè)若r(A*)=1，則a=()A、1B、3C、1或3D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由r(A*)=1，得r(A)=3，則|A|=0，即得a=1或3，且此時(shí)均滿足r(A)=3，故選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)12、已知A，B為3階相似矩陣，λ1=1，λ2=2為A的兩個(gè)特征值，行列式|B|=2，則行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)λ3為A的另一特征值．則由A～B知，|A|=|B|=2，且又λ1λ2λ3=|A|=2，可見λ3=1，從而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(2B)*|=|22B|=43|B|=43|B|2=256，故13、已知AB—B=A，其中則A=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、設(shè)A為奇數(shù)階矩陣，AAT=ATA=E，且|A|＞0，則|A—B|=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：由題知|A—E|=|A—AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E-A)T|=|A||E-A|．又由于AAT=ATA=E，可知|A|2=1．又由|A|>0，可知|A|=1．又A為奇數(shù)階矩陣，故|E一A|=|一(A—E)|=一|A—E|，從而有|A—E|=一|A—E|，可知|A—E|=0．15、設(shè)α=[1，2，3]，A=αTβ，則An=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因故An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βαT)(βαT)…(βαT)β=3n-1A．16、設(shè)則Bn=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．17、設(shè)n≥2為正整數(shù)，則An-2An-1=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：O知識點(diǎn)解析：因故An=2An-1，An一2An-1=O．18、A，B均為n階矩陣，|A|=一2，|B|=3，則||B|A-1|=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因|A|=一2，|B|=3，故三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)19、已知A，B是3階方陣，A≠O，AB=O，證明：B不可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：AB=O，(AB)T=BTAT=O，A≠O，BTX=0有非零解，故|BT|=0，即|B|=0，從而有B不可逆．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A是n階可逆矩陣，將A的第i行和第j行對換得到的矩陣記為B，證明B可逆，并推導(dǎo)A-1和B-1的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：記Eij為初等矩陣則B=EijA，|B|=|EijA|=|Eij||A|=一|A|≠0，故B可逆，且B-1=(EijA)-1=A-1Eij-1=A-1Eij，故B的逆矩陣可由A的逆矩陣交換第i列和第j列之后得到．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知α1=[1，一1，1]T，α2=[1，t，一1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，一4]T，若β可由α1，α2，α3線性表示，且表示法不唯一，求t及β的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，按分量寫出為對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換得由條件知從而t=4，此時(shí)，增廣矩陣可化為其通解為k為任意常數(shù)．所以β=一3kα1+(4一k)α2+kα3，k為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，其中n＜m，E是n階單位矩陣．若AB=E，證明：B的列向量組線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：n≥r(B)≥r(AB)=r(E)=nr(B)=n，則B的列向量組線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)向量組(I)與向量組(Ⅱ)，若(I)可由(Ⅱ)線性表示，且r(I)=r(Ⅱ)=r，證明：(I)與(Ⅱ)等價(jià)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)(I)的一個(gè)極大無關(guān)組為ξ1，ξ2，…，ξr，(Ⅱ)的一個(gè)極大無關(guān)組為η1，η2，…，ηr.因?yàn)?I)可由(Ⅱ)線性表示，即ξ1，ξ2，…，ξr可由η1，η2，…，ηr線性表示，于是r(ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr)=r(η1，η2，…，ηr)=r.又ξ1，ξ2，…，ξr線性無關(guān)，則ξ1，ξ2，…，ξr也可作為ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr的一個(gè)極大無關(guān)組，于是η1，η2，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr線性表示，即(Ⅱ)也可由(I)線性表示，得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：系數(shù)矩陣則方程組的解為令得方程組的基礎(chǔ)解系ξ1=[一1，1，0，0，0]T，ξ2=[一1，0，一1，0，1]T．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、問λ為何值時(shí)，線性方程組有解，并求出解的一般形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：其增廣矩陣為線性方程組有解解得λ=1，其通解為k為任意常數(shù).知識點(diǎn)解析：暫無解析26、λ為何值時(shí)，方程組無解，有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時(shí)寫出方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組改寫為則有當(dāng)時(shí)，方程組無解；當(dāng)λ≠1且時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)λ=1時(shí)，方程組有無窮多解，且解為通解為k為任意常數(shù).知識點(diǎn)解析：暫無解析已知線性方程組27、a，b為何值時(shí)，方程組有解；標(biāo)準(zhǔn)答案：a=1，b=3時(shí)，r(A)=r([A|b])，方程組有解．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、方程組有解時(shí)，求出方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系為：ξ1=[1，一2，1，0，0]T，ξ2=[1，一2，0，1，0]T，ξ3=[5，一6，0，0，1]T．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、方程組有解時(shí)，求出方程組的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組通解：非齊次特解為η=[一2，3，0，0，0]T，故通解為k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+η，k1，k2，k3為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、已知方程組及方程組(Ⅱ)的通解為k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T，k1，k2為任意常數(shù)．求方程組(I)，(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程組(Ⅱ)的通解k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T=[一2一k1+-2k2，一3+k1一k2，k1，k2]T代入方程組(I)，得化簡得k1=2k2+6．將上述關(guān)系式代入(Ⅱ)的通解，得方程組(I)，(Ⅱ)的公共解為：[一2-(2k2+6)4—2k2，一3+2k2+6一k2，2k2+6，k2]T=[一8，k2+3，2k2+6，k2]T．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、求矩陣的實(shí)特征值及對應(yīng)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由|λE一A|=(λ一1)(λ2+4λ+5)=0，得A的實(shí)特征值λ=1．解(E一A)x=0得其對應(yīng)的特征向量其中k為不為零的常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)A為n階矩陣，λ1和λ2是A的兩個(gè)不同的特征值．x1，x2是分別屬于λ1和λ2的特征向量，試證明：x1+x2不是A的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法假設(shè)x1+x2是A的特征向量，則存在數(shù)λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，則(λ-λ1)x1+(λ—λ2)x2=0．因?yàn)棣?≠λ2，所以x1，x2線性無關(guān)，則矛盾．故x1+x2不是A的特征向量．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)A是n×n矩陣，對任何n維列向量x都有AX=0，證明：A=O．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一由于對任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由得a11=a21=…=anq=0．類似地，分別取X為e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可證每個(gè)aij=0，故A=O．方法二因?qū)θ魏蝀均有AX=0，故有Aei=0，i=1，2，…，n，合并成分塊陣，得[Ae1，Ae2，…，Aen]=A[e1，e2，…，en]=AE=A=O．方法三因?qū)θ魏蝀均有AX=0，故方程基礎(chǔ)解系向量個(gè)數(shù)為n．又r(A)+n(基礎(chǔ)解系向量個(gè)數(shù))=n(未知量個(gè)數(shù))，故有r(A)=0，即A=O．知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)線性方程組λ為何值時(shí)，方程組有解，有解時(shí)，求出所有的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組是齊次線性方程組當(dāng)λ≠一2且λ≠2時(shí)，方程組有唯一零解；當(dāng)λ=2時(shí)，方程組有無窮多解，其解為k1[1，一1，0，0]T+k2[1，0，一1，0]T+k3[1，0，0，一1]T，k1，k2，k3為任意常數(shù)；當(dāng)λ=一2時(shí)，方程組為其通解為k[1，1，1，1]T，k為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析35、已知由兩個(gè)四元一次方程組成的齊次線性方程組的通解為X=k1[1，0，2，3]T+k2[0，1，一1，1]T，求原方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：以原方程組的基礎(chǔ)解系作新的方程組系數(shù)矩陣的行向量，求解新的方程組，則新方程組的基礎(chǔ)解系即是原方程組系數(shù)矩陣的行向量的轉(zhuǎn)置．設(shè)即求：得①的基礎(chǔ)解系為η1=[-2，1，1，0]T，η2=[一3，一1，0，1]T．故原方程組為知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)λ1，λ2是n階矩陣A的特征值，α1，α2分別是A的對應(yīng)于λ1，λ2的特征向量，則()A、當(dāng)λ1=λ2時(shí)，α1，α2對應(yīng)分量必成比例B、當(dāng)λ1=λ2時(shí)，α1，α2對應(yīng)分量不成比例C、當(dāng)λ1≠λ2時(shí)，α1，α2對應(yīng)分量必成比例D、當(dāng)λ1≠λ2時(shí)，α1，α2對應(yīng)分量必不成比例標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)λ1=λ2時(shí)，α1與α2可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān)，所以α1，α2可以對應(yīng)分量成比例，也可以對應(yīng)分量不成比例，故排除(A)，(B)．當(dāng)λ1≠λ2時(shí)，α1，α2一定線性無關(guān)，對應(yīng)分量一定不成比例，故選(D)．2、設(shè)A，B為n階矩陣，且A與B相似，E為n階單位矩陣，則()A、λE一A=λE—BB、A與B有相同的特征值和特征向量C、A與B都相似于一個(gè)對角矩陣D、對任意常數(shù)t，tE-A與tE-B相似標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：A與B相似，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則tE一B=tE一P-1AP=P-1(tE)P—P-1AP=P-1(tE一A)P，即tE一A與tE一B相似，選(D)．對于(A)：λE一A=λE一BA=B；對于(B)：A與B相似，則A與B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；對于(C)：A與B不一定能夠相似對角化．3、設(shè)A為n階矩陣，下列命題正確的是()A、若α為AT的特征向量，那么α為A的特征向量B、若α為A*的特征向量，那么α為A的特征向量C、若α為A2的特征向量，那么α為A的特征向量D、若α為2A的特征向量，那么α為A的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：①矩陣AT與A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)錯(cuò)誤．②假設(shè)α為A的特征向量，λ為其特征值，當(dāng)λ≠0時(shí)α也為A*的特征向量．這是由于但反之，α為A*的特征向量，那么α不一定為A的特征向量．例如：當(dāng)r(A)*=O，此時(shí)，任意n維非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知(B)錯(cuò)誤．③假設(shè)α為A的特征向量，λ為其特征值，則α為A2的特征向量．這是由于A2α=A(Aα)=λAα=λ2α．但反之，若α為A2的特征向量，α不一定為A的特征向量．例如：假設(shè)Aβ1=β1，Aβ2=一β2，其中β1，β2≠0．此時(shí)有A2(β1+β2)=A2β1+A2β2=β1+β2，可知β1+β2為A2的特征向量．但β1，β2是矩陣A兩個(gè)不同特征值的特征向量，它們的和β1+β2不是A的特征向量．故(C)錯(cuò)誤．④若α為2A的特征向量，則存在實(shí)數(shù)λ使得2Aα=λα，此時(shí)有因此α為A的特征向量．可知(D)是正確的．故選(D)．4、已知A是3階矩陣，r(A)=1，則λ=0()A、必是A的二重特征值B、至少是A的二重特征值C、至多是A的二重特征值D、一重、二重、三重特征值都可能標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：A是3階矩陣，r(A)=1，r(0E—A)=1．(0E—A)X=0有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：r(A)=1，λ=0是三重特征值．5、A是n×n矩陣，則A相似于對角矩陣的充分必要條件是()A、A有n個(gè)不同的特征值B、A有n個(gè)不同的特征向量C、A的每個(gè)ri重特征值λi，均有r(λiE-A)=n-riD、A是實(shí)對稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：A相似于對角矩陣[*]A有n個(gè)線性無關(guān)特征向量[*]㈢對每個(gè)ri重特征值λi，有r(λiE一A)=n一ri，即對應(yīng)ri重特征值λi有ri個(gè)線性無關(guān)特征向量(共n個(gè)線性無關(guān)特征向量)．(A)，(D)是充分條件，但非必要，(B)是必要條件，但不充分，n個(gè)不同的特征向量，并不一定線性無關(guān)．6、下列矩陣中能相似于對角矩陣的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：四個(gè)選項(xiàng)的矩陣，特征值均為1，1，2，能相似于對角矩陣的矩陣，要求對應(yīng)二重特征值λ1=λ2=1，有二個(gè)線性無關(guān)特征向量．對C而言，因可有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量，故C可相似于對角矩陣，而r(E一A)=r(E一B)=r(E一D)=2，都只有一個(gè)線性無關(guān)特征向量，故均不能相似于對角矩陣．7、已知α1是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A屬于特征值λ=6的線性無關(guān)的特征向量，那么矩陣P不能是()A、[α1，一α2，α3]B、[α1，α2+α3，α2—2α3]C、[α1，α3，α2]D、[α1+α2，α1一α2，α3]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：若P=[α1，α2，α3]，則有AP=PA，即即[Aα1，Aα2，Aα3]=[α11，22，α3α3]．可見αi是矩陣A屬于特征值αi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩陣P可逆，因此，1，2，α3線性無關(guān)．若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故(A)正確．若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則k1α+k2β仍是屬于特征值λ的特征向量．本題中，α2，α3是屬于λ=6的線性無關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3線性無關(guān)，故(B)正確．關(guān)于(C)，因?yàn)棣?，α3均是λ=6的特征向量，所以α2，α3誰在前誰在后均正確．即(C)正確．由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩陣A的特征向量，故(D)錯(cuò)誤．8、下列矩陣中與合同的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2一x22+x32=y12+y22一y32，故選B.9、設(shè)A，B均是n階實(shí)對稱矩陣，則A，B合同的充分必要條件是()A、A，B有相同的特征值B、A，B有相同的秩C、A，B有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)D、A，B均是可逆矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：(A)是充分條件，A，B實(shí)對稱，且λi相同，則A，B合同，但反之不成立．(B)是必要條件但不充分，A，B合同，有可逆矩陣C，CTAC=Br(A)=r(B)，反之不成立．(D)既不充分，又不必要．(C)是兩矩陣合同的充要條件．10、實(shí)二次型f(x1，x2，…，xn)的秩為r，符號差為s，且f的矩陣和一f的矩陣合同，則必有()A、r是偶數(shù)，s=1B、r是奇數(shù)，s=1C、r是偶數(shù)，s=0D、r是奇數(shù)，s=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)f的正慣性指數(shù)為p，負(fù)慣性指數(shù)為q，一f的正慣性指數(shù)為p1，負(fù)慣性指數(shù)為q1，則有p=q1，q=p1，又f的矩陣與一f的矩陣合同，故有p=p1，q=q1，從而有r=p+q=p+p1=2p，s=p—q=p一p1=0，故選(C)．11、49．設(shè)f(x1，x2，x3)=x12+4x22+432一4x1x2+4x1x3—8x2x3，則f(x1，x2，x3)的規(guī)范形是()A、z12+z22+z32B、z12+z22一z32C、z12一z22D、12標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方法一f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3=(x1—2x2+2x3)2，得f的規(guī)范形為f=z12．方法二f對應(yīng)的矩陣為知λ1=9，λ2=λ3=0．f的標(biāo)準(zhǔn)形為f=9y12，規(guī)范形為f=z12，故應(yīng)選(D)．12、設(shè)A=E-2XXT，其中X=[x1，x2，…，xn]T，且XTX=1，則A不是()A、對稱矩陣B、可逆矩陣C、正交矩陣D、正定矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：AT=(E一2XXT)T=E一2XXT=A，A是對稱矩陣；A2=(E一2XXT)2=E一4XXT+4XXTXXT=E，A是可逆矩陣；A可逆，A對稱，且A2=AAT=E，A是正交矩陣；AX=(E一2XXT)X=-X，X≠0，λ=一1是A的特征值，故A不是正定矩陣．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)13、已知α=[a，1，1]T是矩陣的逆矩陣的特征向量，那么a=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點(diǎn)解析：α是矩陣A-1屬于特征值λ的特征向量，由定義A-1α=λ0α，于是α=λ0Aα，即即解得14、已知則r(A—E)+r(2E+A)=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：存在可逆矩陣P，使得則故r(A—E)+r(A+2E)=1+2=3．15、設(shè)A是3階矩陣，ξ1，ξ2，ξ3是三個(gè)線性無關(guān)的3維列向量，滿足Aξi=ξi，i=1，2，3，則A=______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：E知識點(diǎn)解析：因Aξ1=ξ1，Aξ2=ξ2，Aξ3=ξ3，合并成矩陣形式有[Aξ1，Aξ2，Aξ3]=A[ξ1，ξ2，ξ3]=[ξ1，ξ2，ξ3]，ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)，[ξ1，ξ2，ξ3]是可逆矩陣，故A=[ξ1，ξ2，ξ3][ξ1，ξ2，ξ3]-1=E．16、已知α=[1，3，2]T，β=[1，一1，一2]T，A=E一αT，則A的最大特征值為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識點(diǎn)解析：由于矩陣αβT的秩為1，故αβT的特征值為0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6．故A=E-αβT的特征值為1，1，7，故A的最大特征值為7．17、若實(shí)對稱矩陣A與矩陣合同，則二次型xTAx的規(guī)范形為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+y22知識點(diǎn)解析：若A，B合同，則二次型xTAx與xTBx有相同的規(guī)范形．由矩陣B的特征多項(xiàng)式得矩陣B的特征值λ1=0，λ2=3>0，λ3=1>0．故XTAx的規(guī)范形為y12+y22．18、行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：行列式Dn+1與范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性質(zhì)將Dn+1化為范德蒙德行列式計(jì)算．將行列式Dn+1的第n+1行依次與相鄰上1行進(jìn)行交換，經(jīng)過n次交換后，換到了第1行．完全類似，Dn+1的第n行經(jīng)過n一1次相鄰兩行交換，換到第2行．如此繼續(xù)進(jìn)行，共進(jìn)行了次行交換后，Dn+1化為范德蒙德行列式．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)19、(1)設(shè)λ1，λ2，…，λn是n階矩陣A的互異特征值，α1，α2，…，αn是A的分別對應(yīng)于這些特征值的特征向量，證明α1，α2，…，αn線性無關(guān)；(2)設(shè)A，B為n階方陣，B≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互異，αi分別是方程組(A—λiB)x=0的非零解，i=1，2，…，n．證明α1，α2，…，αn線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)用數(shù)學(xué)歸納法．①由于特征向量α1≠0，故α1線性無關(guān)；②假設(shè)前k一1個(gè)向量α1，α2，…，αk-1線性無關(guān)，以下證明α1，α2，…，αk線性無關(guān)．k個(gè)互異特征值λ1，λ2，…，λk對應(yīng)著特征向量α1，α2，…，αk現(xiàn)設(shè)存在一組數(shù)ι1，ι2，…，ιk，使得ι1α1+ι2α2+…+ιkαk=0．(*)在(*)式兩端左邊乘A，有ι1Aα1+ι2Aα2+…+ιkAαk=0，即ι1λ1α1+ι2λ2α2+…+ιkλkαk=0；(**)又在(*)式兩端同時(shí)乘λk，有ι1λkα1+ι2λkα2+…+ιkλkαk=0．(***)用(**)式減去(***)式，得ι1(λ1一λk)α1+ι2(λ2—λk)α2+…+ιk-1(λk-1一λk)αk-1=0．由歸納假設(shè)α1，α2，…，αk-1線性無關(guān)，故ι1(λ1—λk)=ι2(λ2一λk)=…=ιk-1(λk-1一λk)=0，又λi—λk≠0(i=1，2，…，k一1)，故ι1=ι2=…=ιk-1=0．代回(*)式，于是ιkαk=0，由α≠0，有ιk=0，于是α1，α2，…，αk線性無關(guān)，即A的n個(gè)互異特征值對應(yīng)的特征向量α1，α2，…，αn線性無關(guān)．證畢．(2)由|B|≠0，在|A一λB|=0兩邊乘|B-1|，有|B-1A一λE|=0，即|λE一B-1A|=0，于是λ1，λ2，…，λn是矩陣B-1A的n個(gè)互異特征值．又由(A—λiB)x=0，兩端左邊乘B-1，有(B-1A—λiE)x=0，即(λiE—B-1A)x=0，故α1，α2，…，αn為B-1A的對應(yīng)于λ1，λ2，…，λn的特征向量，由(1)知，α1，α2，…，αn線性無關(guān)．undefined知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)若3階矩陣X滿足AX+2B=BA+2X，n是正整數(shù)，求Xn．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AX+2B=BA+2X得AX一2X=BA一2B，即(A一2E)X=B(A一2E)．又A-2E為可逆矩陣.故X=(A一2E)-1B(A一2E)，Xn=[(A一2E)-1B(A一2E)]n=(A一2E)-1Bn(A一2E)知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A為n階正定矩陣，α1，α2，…，αn為n維非零列向量，且滿足αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．試證：向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)存在數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0．上式兩端左邊乘αiTA-1，由αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)，可得kiαiTA-1αi=0(i=1，2，…，n)．因A為正定矩陣，則A-1也為正定矩陣，且αi≠0，故αiTA-1αi>0．于是，ki=0(i=1，2，…，n)．所以向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)α1，α2，…，αn是n個(gè)n維向量，且已知α1x1+α2x2+…+αnxn=0(*)只有零解．問方程組(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0(**)何時(shí)只有零解?說明理由；何時(shí)有非零解?有非零解時(shí)，求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解r(α1，α2，…，αn)=nα1，α2，…，αn線性無關(guān)．記為B=AC，其中r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n．①當(dāng)n=2k+1時(shí)，|C|=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程組(**)只有零解．②當(dāng)n=2k時(shí)，|C|=0，C中有，n=1階子式Cn-1,n-1=1≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n—1．方程組(**)有非零解，其基礎(chǔ)解系由一個(gè)非零解組成．因(α1+α2)一(α2+α3)+(α3+α4)一…+(α2k-1+α2k)一(α2k+α1)=0，方程組(**)有通解t[1，一1，1，一1，…，1，一1]T，其中t是任意常數(shù)．或因A可逆，ACx=Bx=0和Cx=0同解，r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解t[1，一1，1，一1，…，一1]T，t是任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析已知η是Ax=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是對應(yīng)齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系．證明：23、η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r，是Ax=b的n-r+1個(gè)線性無關(guān)解向量；標(biāo)準(zhǔn)答案：A(η+ξi)=Aη=b，i=0，1，2，…，n一r(其中ξ0=0)，故η+ξi，i=0，1，2，…，n一r均是Ax=b的解向量．設(shè)存在數(shù)k0，k1，k2，…，kn-r使得k0η+k1(η+ξ1)+k2(η+ξ2)+…+kn-r(η+ξn-r)=0．(*)(*)式兩端左邊乘A，得k0Aη+k1A(η+ξ1)+k2A(η+ξ2)+…+kn-rA(η+ξn-r)=0，整理得(k0+k1+…+kn-r)b=0，其中b≠0．故k0+k1+…+kn-r=0，(**)代入(*)式，得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0．因ξ1，ξ2，…，ξn-r是對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，故線性無關(guān)，得ki=0，i=1，2，…，n-r．代入(**)式，得k0=0．從而有η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r是Ax=b的n-r+1個(gè)線性無關(guān)解向量．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、方程組Ax=b的任一解均可由η，η+ξ1，…，η+ξn-r線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)η*為Ax=b的任一解，則η*=η+λ1ξ1+λ2ξ2+…+λn-rξn-r，且η*=η+λ1ξ1+λ2ξ2+…+λn-rξn-r，=η+λ1(ξ1+η-η)+λ2(ξ2+η一η)+…+λn-r(ξn-r+η-η)=(1一λ1—λ2一…一λn-r)η+λ1(ξ1+η)+λ2(ξ2+η)+…+λn-r(ξn-r+η)，故Ax=b的任一個(gè)解η*均可由向量組η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r線性表出．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)A=αβT，B=βTα，其中βT是β的轉(zhuǎn)置．求滿足2B2A2C=A4C+B4C+γ的所有矩陣C．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)得又由于A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，A4=8A．代入原方程，得16AC=8AC+16C+γ，8(A一2E)C=γy，其中E是3階單位矩陣，令C=[x1，x2，x3]T，代入上式，得非齊次線性方程組解其對應(yīng)的齊次線性方程組，得通解η=k[1，2，1]T(k為任意常數(shù))．顯然，非齊次線性方程組的一個(gè)特解為因此，所求方程的解為知識點(diǎn)解析：暫無解析已知齊次線性方程組(I)為齊次線性方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系為26、求方程組(I)的基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：對齊次線性方程組(I)的系數(shù)矩陣作初等行變換，得其同解方程組為由此解得方程組(I)的基礎(chǔ)解系為η1=[2，一1，1，0]T，η2=[一1，1，0，1．]T．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求方程組(I)與(Ⅱ)的全部非零公共解，并將非零公共解分別由方程組(I)，(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題解得方程組(I)的基礎(chǔ)解系η1，η2．于是，方程組(I)的通解為k1η1+k2η2=k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T(k1，k2為任意常數(shù))．由題設(shè)知，方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系為ξ1，ξ2，其通解為ι1ξ1+ι2ξ2=ι1[一1，1，2，4]T+ι2[1，0，1，1]T(ι1，ι2為任意常數(shù))．為求方程組(I)與(Ⅱ)的公共解，令它們的通解相等，即k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T=ι1[一1，1，2，4]T+ι2[1，0，1，1]T．從而得到關(guān)于k1，k2，ι1，ι2的方程組對此方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換，得由此可得，k1=k2=ι2，ι1=0．所以，令k1=k2=k，方程組(I)，(Ⅱ)的非零公共解是k[2，一1，1，0]T+k[一1，1，0，1]T=k[1，0，1，1]T(k為任意非零常數(shù))．并且方程組(I)，(Ⅱ)的非零公共解分別由方程組(I)，(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系線性表示為k(ηi+η2)和kξ2．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)28、將上述關(guān)系式表示成矩陣形式；標(biāo)準(zhǔn)答案：表示成矩陣形式為知識點(diǎn)解析：暫無解析29、當(dāng)時(shí)，求x100，y100；標(biāo)準(zhǔn)答案：由遞推關(guān)系得設(shè)求A的特征值，特征向量．得λ1=5，λ2=一1．當(dāng)λ1=5時(shí)，由得當(dāng)λ2=一1時(shí)，由得故當(dāng)時(shí)，記且η0=ξ1，則知x100=5100，y100=2×5100．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、當(dāng)時(shí)，求x100．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)時(shí)，即將η0由ξ1，ξ2線性表出，知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)A是3階矩陣，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，對應(yīng)的特征向量分別是已知β=[3，11，11]T．證明β是A100。的特征向量，并求對應(yīng)的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：將β用ξ1，ξ2，ξ3線性表出，設(shè)β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3,即解方程組將增廣矩陣作初等行變換：解得[x1，x2，x3]T=[1，一2，3]T，即β=ξ1-2ξ2+3ξ3．因Aξi=λiξi，故A100ξi=λ100ξi，i=1，2，3．故A100β=A100(ξ1一2ξ2+3ξ3)=(一2)100ξ1一2(-2)100ξ2+3×2100ξ3=2100(ξ1一2ξ2+3ξ3)=2100β．得知β是A100的特征向量，且對應(yīng)的特征值為2100．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)A是3階矩陣，滿足Aα1=一α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3，其中α1=[0，1，1]T，α2=[1，0，1]T，α3=[1，1，0]T．證明A相似于對角矩陣A，求A，并求可逆矩陣P，使得P-1AP=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件，合并得A[α1，α2，α3]=[一α1，α1+2α2，α1+3α2+α3]其中Q可逆，則有AQ=QB，Q-1AQ=B，即A～B，所以A和B有相同的特征值．故A，B有特征值λ1=一1，λ2=2，λ3=1，λ1，λ2，λ3互不相同．故當(dāng)λ1=一1時(shí)，(λ1E-B)X=0，當(dāng)λ2—2時(shí)，(λ2E-B)X=0，當(dāng)λ3=1時(shí)，(λ3E-B)X=0，故有使得則知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)3階矩陣33、t為何值時(shí)，矩陣A，B等價(jià)，說明理由；標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然，當(dāng)t=0時(shí)，有r(A)=r(B)=2，知識點(diǎn)解析：暫無解析34、t為何值時(shí)，矩陣A，C相似，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：則C有三個(gè)不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩陣P，使得當(dāng)t=2時(shí)，A有與C一樣的三個(gè)不同的特征值．故當(dāng)t=2時(shí)，有可逆矩陣Q，使得Q-1AQ=A=P-1CP．從而有(QP-1)-1A(QP-1)=C，即A～C．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)n維行向量α=(，0，…，0，)，矩陣A=I一αTα，B=I+2αTα，其中I為n階單位矩陣，則AB=A、0B、一IC、ID、I+αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：ααT=AB=(I一αTα)(I+2αTα)=I+2αTα一αTα一2αT(ααT)α=I+αTα一αTα=I，故(C)正確．2、設(shè)矩陣A=(aij)3×3滿足A*=AT，若a11，a12，a13為三個(gè)相等的正數(shù)，則a11等于A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由已知的A*=AT，即得aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij為|A|中元素aij的代數(shù)余子式．于是由行列式按行展開法則得|A|==3a112＞0，再由A*=AT兩端取行列式，得|A|=|A|2，|A|=1，故得3112=l，3、設(shè)有向量組α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，則該向量組的極大線性無關(guān)組是A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4C、α2，α2，α5D、α1，α2，α4，α5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：可以通過矩陣A=[α1Tα2Tα3Tα4Tα5T]的初等行變換得(B)正確，或用排除法：因α3=3α1+α2，α5=2α1+α2，故(A)、(C)、(D)都是線性相關(guān)組，故只有(B)正確．4、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是A、α1+α2，α2+α3，α3一α1．B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D、α1+α2+α3，2α1一3α2+2α3，3α1+5α2一5α3．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：(C)組中3個(gè)向量用線性無關(guān)向量組α1，α2，α3線性表示的系數(shù)矩陣A=的秩為3