考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷4（共265題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷4（共9套）（共265題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)x→a時(shí)，f（x）與g（x）分別是x—a的n階與m階無窮小，則下列命題中，正確的個數(shù)是（）①f（x）g（x）是x—a的n+m階無窮小。②若n＞m，則是x—a的n—m階無窮小。③若n≤m，則f（x）+g（x）是x—a的n階無窮小。A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：此類問題要逐一進(jìn)行分析，按無窮小階的定義：關(guān)于①：故x→a時(shí)，f（x）g（x）是x—a的n+m階無窮小；關(guān)于②：若n＞m，故x→a時(shí)，f（x）/g（x）是x—a的n—m階無窮??；關(guān)于③：例如，x→0時(shí)，sinx與—x均是x的一階無窮小，但即sinx+（—x）是x的三階無窮小。因此①，②正確，③錯誤。故選B。2、函數(shù)f（x）=（x2+x一2）|sin2πx|在區(qū)間上不可導(dǎo)點(diǎn)的個數(shù)是（）A、3B、2C、1D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：設(shè)g（x）=x2+x—2，φ（x）=|sin2πx|，顯然g（x）處處可導(dǎo)，φ（x）處處連續(xù)，有不可導(dǎo)點(diǎn)。形如f（x）=g（x）|φ（x）|，其中g(shù)（x）在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，φ（x）在x=x0處可導(dǎo)，則f（x）在x0處可導(dǎo)g（x0）=0。根據(jù)上述結(jié)論，只須驗(yàn)證φ（x）在不可導(dǎo)點(diǎn)處g（x）是否為零。φ（x）=|sin2πx|的圖形如圖1—2—3所示，在內(nèi)只有不可導(dǎo)點(diǎn)x=0，，1，其余均可導(dǎo)。因?yàn)間（0）=—2≠0，≠0，g（1）=0，所以f（x）=g（x）p（x）在x=0，處不可導(dǎo)，在x=1可導(dǎo)，其余點(diǎn)均可導(dǎo)。故選B。3、A、ln（1+lnx）—21n（1+2x）B、ln（1+lnx）—ln（1+2x）C、ln（1+lnx）—ln（1+2x）D、ln（1+lnx）—21n（1+2x）標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：故選A。4、設(shè)函數(shù)f（x），g（x）具有二階導(dǎo)數(shù)，且g"（x）＜0。若g（x0）=a是g（x）的極值，則f[g（x）]在x0取極大值的一個充分條件是（）A、f’（a）＜0B、f’（a）＞0C、f"（a）＜0D、f"（a）＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：{f[g（x）]}’=f’[g（x）]．g’（x），{f[g（x）]}"={f’[g（x）]．g’（x）}’=f"[g（x）]．[g’（x）]2+f’[g（x）]．g"（x），由于g（x0）=a是g（x）的極值，所以g’（x0）=0。所以{f[g（x0）]}"=f’[g（x0）]．g"（x0）=f’（a）．g"（x0），由于g"（x0）＜0，要使{f[g（x）]}"＜0，必須有f’（a）＞0。5、設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，則在下列變上限積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（）A、∫0xt[f（t）一f（一t）]dtB、∫0xt[f（t）+f（一t）]dtC、∫0xf（t2）dtD、∫0x[f（t）]2dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：取f（x）=x，則相應(yīng)的∫0xt[f（t）一f（一t）]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf（t2）dt=t2dt=x3，∫0x[f（t）]2dt=∫0xt2dt=x3，均為奇函數(shù)，故不選A、C、D。應(yīng)選B。6、二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）處可微的一個充分條件是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：按可微性定義，f（x，y）在（0，0）處可微題中的C項(xiàng)即A=B=0的情形。故選C。7、設(shè)函數(shù)f（u）連續(xù)，區(qū)域D={（x，y）|x2+y2≤2y}，則f（xy）dxdy等于（）A、B、C、∫0πdθ∫02sinθf（r2sinθcosθ）drD、∫0πdθ∫02sinθf（r2sinθcosθ）rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：積分區(qū)域D={（x，y）|x2+y2≤2y}（如圖1—4—3）。在直角坐標(biāo)系下，故排除A、B兩個選項(xiàng)。在極坐標(biāo)系下f（xy）dxdy=∫0πdθ∫02sinθf（r2sinθcosθ）rdr，因此正確答案為D。8、已知（一1）n—1an=2，a2n—1=5，則an等于（）A、3B、7C、8D、9標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：（一1）n—1an=2×5—2=8，故選C。9、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex為方程y"+p（x）y’+q（x）y=f（x）的三個特解，則該方程的通解為（）A、y=C1x+C2x2+exB、y=C1x2+C2ex+xC、Y=C1（x一x2）+C2（x一ex）+xD、y=C1（x一x2）+C2（x2一ex）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：方程f"+p(x)y’+q(x)y=f(x)是一個二階線性非齊次方程，則(x-x2)和(x一ex)為其對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解，則原方程通解為y=C1(x一x2)+C2(x-ex)+x，故選C。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：將分子化簡后，應(yīng)用等價(jià)無窮小因子代換。易知11、g（x）為奇函數(shù)且在x=0處可導(dǎo)，則f’（0）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2g’（0）知識點(diǎn)解析：由g（x）在x=0處可導(dǎo)可知，g（x）在x=0處連續(xù)。又因?yàn)間（x）是奇函數(shù)，所以g（0）=0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得12、曲線tan（x+y+）=ey在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=—2x知識點(diǎn)解析：方程兩邊對x求導(dǎo)，可得sec2（x+y+）．（1+y’）=ey．y’，因此，點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y—0=（—2）．（x—0），即y=—2x。13、若曲線y=x3+ax2+bx+1有拐點(diǎn)（—1，0），則b=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：本題考查已知拐點(diǎn)坐標(biāo)來確定曲線方程中的一個參數(shù)。已知y=x3+ax2+bx+1，則y’=3x2+2ax+b，y"=6x+2a。令y"=0，得x==—1，所以a=3。又因?yàn)榍€過點(diǎn)（一1，0），代入曲線方程，得b=3。14、標(biāo)準(zhǔn)答案：—4π知識點(diǎn)解析：15、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識點(diǎn)解析：16、設(shè)f（x，y）=在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因?yàn)槔脢A逼定理知，=0。又知f（0，0）=a，則a=0。17、設(shè)z=+yφ（x+y），f，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：yf"（xy）+φ’（x+y）+yφ"（x+y）知識點(diǎn)解析：由題干可得：18、設(shè)函數(shù)z=f（x，y）（xy≠0）滿足=y2（x2—1），則dz=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（2x—y）dx—xdy知識點(diǎn)解析：利用變量替換，設(shè)xy=u，=υ，則有即f（x，y）=x2一xy，因此dz=（2x—y）dx—xdy。19、已知冪級數(shù)anxn在x=1處條件收斂，則冪級數(shù)an（x一1）n的收斂半徑為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：由題干已知冪級數(shù)anxn在x=1處條件收斂，那么x=1為該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，其收斂半徑為1，因此冪級數(shù)an（x一1）n收斂半徑也為1。20、微分方程y’+y=e—xcosx滿足條件y（0）=0的特解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e—xsinx知識點(diǎn)解析：原方程的通解為y=e—∫1dx（∫e—xcosx．e∫1dxdx+C）=e—x（∫cosxdx+C）=e—x（sinx+C）。由y（0）=0得C=0，故所求解為y=e—xsinx。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)y=y（x）由方程ylny—x+y=0確定，試判斷曲線y=y（x）在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性。標(biāo)準(zhǔn)答案：要判斷曲線y=y（x）在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性，只需判斷y"（x）在點(diǎn)（1，1）附近的正負(fù)。在方程ylny—x+y=0兩邊對x求導(dǎo)得y’lny+y’—1+y’=0，上式兩邊對x求導(dǎo)得y"lny+（y’）2+2y"=0，解得y"=顯然（y’）2≥0，在點(diǎn)（1，1）附近，可選擇一個合適的范圍，如y＞e—2，使得y（2+lny）＞0，則在點(diǎn)（1，1）附近有y"≤0，所以曲線y=y（x）在點(diǎn)（1，1）附近是凸的。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、己知函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=1。證明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）=1一ξ；（Ⅱ）存在兩個不同的點(diǎn)η，ζ∈（0，1），使得f’（η）f’（ζ）=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）令F（x）=f（x）—1+x，則F（x）在[0，1]上連續(xù)，且F（0）=—1＜0，F(xiàn)（1）=1＞0，于是由零點(diǎn)定理知，存在ξ∈（0，1），使得F（ξ）=0，即f（ξ）=1—ξ。（Ⅱ）在[0，ξ]和[ξ，1]上對f（ξ）分別應(yīng)用拉格朗日中值定理知，存在兩個不同的點(diǎn)η∈（0，ξ），ζ∈（ξ，1），使得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f（x）在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf（x）dx=∫0πf（x）cosxdx=0。試證明：在（0，π）內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使f（ξ1）=f（ξ2）=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F（x）=∫0xf（t）dt，0≤x≤π，則有F（0）=0，F(xiàn)（π）=0。又因?yàn)?=∫0πf（x）cosxdx=∫0πcosxdF（x）=F（x）cosx|0π+∫0πF（x）sinxdx=∫0πF（x）sinxdx，所以存在ξ∈（0，π），使F（ξ）sinξ=0，不然，則在（0，π）內(nèi)F（x）sinx恒為正或恒為負(fù)，與∫0πF（x）sinxdx=0矛盾，但當(dāng)ξ∈（0，π）時(shí)sinξ≠0，故F（ξ）=0。由以上證得，存在滿足0＜ξ＜π的ξ，使得F（0）=F（ξ）=F（π）=0。再對F（x）在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別應(yīng)用羅爾定理知，至少存在ξ1∈（0，ξ），ξ2∈（ξ，π），使得F’（ξ1）=F’（ξ2）=0，即f（ξ1）=f（ξ2）=0。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f（u）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f（exsiny）滿足方程=e2xz，求f（u）。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f’（u）exsiny，=f’（u）excosy，=f’（u）exsiny+f"（u）e2xsin2y，=—f’（u）exsiny+f"（u）e2xcos2y，代入方程=e2xz中，得到f"（u）—f（u）=0，解得f（u）=C1eu+C2e—u，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算二重積分其中D={（r，θ）|0≤r≤secθ，0≤θ≤}。標(biāo)準(zhǔn)答案：將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得積分區(qū)域如圖1—4—17所示。D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，利用換元法，記x=sint，則上式知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f（x）dx=A，求∫01dx∫x1f（x）f（y）dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)用分部積分法。∫01dx∫01f（y）dy=∫01（∫x1f（y）dy）．f（x）dx=∫01（∫x1f（y）dy）d（∫1xf（t）dt）=A2一∫01（∫x1f（t）dt）d（∫x1f（y）dy）知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)S（x）。標(biāo)準(zhǔn)答案：記un（x）=，則所以當(dāng)|x|2＜1時(shí)，即|x|＜1時(shí)，所給冪級數(shù)收斂；當(dāng)|x|＞1時(shí)，所給冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=±1時(shí)，所給冪級數(shù)為均收斂。故所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]。在（一1，1）內(nèi)，又S1’（0）=0，于是S1’（x）=arctanx。同理S1（x）一S1（0）=∫0xS1’（t）dt=S0xarctantdt又S1（0）=0，所以S1（x）=xarctanx—ln（1+x2）。故S（x）=2x2arctanx—xln（1+x2），x∈（一1，1）。由于所給冪級數(shù)在x=±1處都收斂，且S（x）在x=±1處都連續(xù)，所以S（x）在x=±1成立，即S（x）=2x2arctanx—xln（1+x2），x∈[一1，1]。知識點(diǎn)解析：暫無解析29、已知函數(shù)f（x）滿足方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；（Ⅱ）求曲線y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）齊次微分方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0的特征方程為r2+r一2=0，特征根為r1=1，r2=一2，因此該齊次微分方程的通解為f（x）=C1ex+C2e—2x。再由f"（x）+f（x）=2ex得2C1ex一3C2e—2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f（x）的表達(dá)式為f（x）=ex。（Ⅱ）曲線方程為y=ex2∫0xe—t2dt，則令y"=0得x=0。下面證明x=0是y"=0唯一的解，當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞0，2（1+2x2）ex2∫0xe—t2dt＞0，可得y"＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，可得y"＜0?？芍獄=0是y"=0唯一的解。同時(shí)，由上述討論可知曲線y=f（x2）∫0xf（—t2）dt在x=0左、右兩邊的凹凸性相反，因此（0，0）點(diǎn)是曲線y=f（x2）∫0xf（一t2）dt唯一的拐點(diǎn)。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)an＞0，n=1，2，…，若收斂，則下列結(jié)論正確的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：注意，級數(shù)是把收斂級數(shù)各項(xiàng)不改變順序且相鄰兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)構(gòu)成的新級數(shù)，由收斂級數(shù)的性質(zhì)知該級數(shù)必收斂，故應(yīng)選D．2、下述各選項(xiàng)中正確的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于0≤(un+vn)2≤(｜un｜+｜vn｜)2=un2+2｜unvn｜+vn2≤2un2+2vn2，又級數(shù)收斂，故級數(shù)亦收斂．從而級數(shù)收斂．故選A．3、設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)A、絕對收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、收斂性與a的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于而級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂．但級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散．應(yīng)選(C)．4、若級數(shù)在x=一1處收斂，則此級數(shù)在x=2處A、條件收斂．B、絕對收斂．C、發(fā)散．D、斂散性不能確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由已知條件收斂，可知冪級數(shù)的收斂半徑R≥2，從而當(dāng)t∈(一2，2)時(shí)絕對收斂，注意x=2時(shí)對應(yīng)的t=x一1=1，故冪級數(shù)在x=2處絕對收斂．故選(B)．5、設(shè)A、發(fā)散的正項(xiàng)級數(shù)．B、收斂的正項(xiàng)級數(shù)．C、發(fā)散的交錯級數(shù)．D、收斂的交錯級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：令x=nπ+t，則所以交錯級數(shù)收斂，故選D．6、已知級數(shù)條件收斂，則常數(shù)p的取值范圍是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：7、下列命題中正確的是A、若冪級數(shù)的收斂半徑為R≠0，則B、若極限不存在，則冪級數(shù)沒有收斂半徑．C、若冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]，則冪級數(shù)的收斂域也為[一1，1]．D、若冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]，則冪級數(shù)的收斂域也為[一1，1]．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：極限只是收斂半徑為的一個充分條件，因此(A)不對．冪級數(shù)的收斂半徑存在而且唯一，所以(B)不對．取級數(shù)可以排除(C)．(D)可以由冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)得到，故選(D)．8、設(shè)冪級數(shù)在點(diǎn)x1=一2處條件收斂，則冪級數(shù)在點(diǎn)x2=處A、絕對收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、其斂散性與a的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：首先，冪級數(shù)收斂半徑為R=1．其次，級數(shù)在x1=一2處條件收斂，則x1=一2必為收斂區(qū)間的端點(diǎn)．由必在收斂域之外．與a的取值無關(guān)．因此選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)級數(shù)的部分和=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)槭諗?，那么由級?shù)的基本性質(zhì)有10、冪級數(shù)的收斂半徑為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)級數(shù)顯然收斂．當(dāng)x≠0時(shí)設(shè)于是用比值判別法知，當(dāng)時(shí)冪級數(shù)絕對收斂，而當(dāng)時(shí)冪級數(shù)發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂半徑為2．11、冪級數(shù)的收斂域是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一2，2)．知識點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)級數(shù)必收斂．當(dāng)x≠0時(shí)設(shè)于是故當(dāng)即｜x｜＜2時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂，而當(dāng)｜x｜＞2時(shí)冪級數(shù)發(fā)散．當(dāng)x=2時(shí)，冪級數(shù)變?yōu)轱@然發(fā)散；當(dāng)x=一2時(shí)，冪級數(shù)變?yōu)榻诲e級數(shù)由萊布尼茨判別法易判斷其收斂．故收斂域?yàn)閇一2，2)．12、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1)知識點(diǎn)解析：根據(jù)收斂半徑的計(jì)算公式，冪級數(shù)的收斂半徑為1，收斂域?yàn)閇一1，1)；冪級數(shù)的收斂域?yàn)?一2，2)．因此原級數(shù)在[一1，1)收斂，在(一2，一1)∪[1，2)一定發(fā)散．又根據(jù)阿貝爾定理，原級數(shù)在(一∞，一2]∪[2，+∞)也一定發(fā)散．故原級數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1)．13、冪級數(shù)[*的收斂域?yàn)開_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1．45，1．55)知識點(diǎn)解析：這是缺項(xiàng)冪級數(shù)，把一般項(xiàng)化成an(x一x0)2n-1的標(biāo)準(zhǔn)形再計(jì)算．所以，當(dāng)時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散．故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(1．45，1．55)．又當(dāng)時(shí)，原級數(shù)的一般項(xiàng)分別是un=一10和un=10，所以發(fā)散．因此冪級數(shù)的收斂域?yàn)?1．45，1．55)．14、冪級數(shù)的和函數(shù)是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)級數(shù)收斂，當(dāng)x≠0時(shí)設(shè)un(x)=(n2一1)xn，由于可見冪級數(shù)的收斂半徑R=1．當(dāng)x=±1時(shí)原級數(shù)一般項(xiàng)不趨于零，故冪級數(shù)的收斂域?yàn)?一1，1)．求和函數(shù)得三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、判別下列級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：本題中四個級數(shù)均為正項(xiàng)級數(shù)，故用正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法．(I)用比值判別法．故該級數(shù)發(fā)散．(Ⅱ)所以故級數(shù)發(fā)散．(Ⅲ)此題可以用比值判別法或極限形式的比較判別法．比值判別法：比較判別法：取收斂，所以原級數(shù)收斂．(Ⅳ)用比較判別法的極限形式，將題設(shè)的級數(shù)與級數(shù)作比較．因?yàn)橹R點(diǎn)解析：暫無解析16、判別下列級數(shù)的斂散性．若收斂，需說明是絕對收斂還是條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)．利用正項(xiàng)級數(shù)比較判別法極限形式，我們?nèi)n=因?yàn)?Ⅱ)由ln(1+x)≤x(x≥0)，可知ln(en+e-n)=lnen(1+e-2n)=n+ln(1+e-2n)＜n+e-2n知識點(diǎn)解析：暫無解析17、討論級數(shù)的斂散性，其中{xn}是方程x=tanx的正根按遞增順序編號而得的序列．標(biāo)準(zhǔn)答案：等號僅在X=nπ時(shí)成立，故f(x)單調(diào)減少．又知識點(diǎn)解析：暫無解析18、討論級數(shù)的斂散性與參數(shù)P，x的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、已知函數(shù)y=y(x)滿足等式y(tǒng)’=x+y，且y(0)=1，試討論級數(shù)的收斂性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥’=x+y，所以y’’=1+y’．由y(0)=1，得y’(0)=1，y’’(0)=2．根據(jù)麥克勞林公式，就有所以絕對收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[一2，2]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=∫-xxf(x+t)dt，證明級數(shù)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)在[一2，2]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則｜f’(x)｜在[一2，2]上連續(xù)，設(shè)M為｜f’(x)｜在[一2，2]上的最大值，則x∈[一1，1]時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-xx(x+t)dt=∫02xf(u)du=∫02xf(u)d(u一2x)=f(u)(u一2x)｜02x—∫02xf’(u)(u一2x)du=一∫02xf’(u)(u一2x)du，由此可得｜F(x)｜≤M∫02x(2x一u)du=2Mx2，x∈[一1，1]．因此收斂，由比較判別法可得收斂，即絕對收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開成冪級數(shù)：(I)f(x)=lnx，分別在x=1與x=2處；(Ⅱ)在x=1處．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)利用換元法與已知的冪級數(shù)展開式求解本題．首先設(shè)x一1=t→x=1+t，代入可得展開式的成立范圍是一1＜t≤1即一1＜x一1≤1→0＜x≤2．其次設(shè)x一2=t→x=2+t，代入可得展開式的成立范圍是(Ⅱ)知識點(diǎn)解析：暫無解析22、將函數(shù)在點(diǎn)x0=1處展開成冪級數(shù)，并求f(n)(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)視為即可．因?yàn)槔霉?5．14)，并以代替其中的x，則有于是由于f(x)的冪級數(shù)所以知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：用比值判別法判別其斂散性．當(dāng)x=0時(shí)冪級數(shù)收斂；當(dāng)x≠0時(shí)有所以，當(dāng)0＜｜x｜＜1時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂；｜x｜＞1時(shí)冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)｜x｜=1時(shí)，由于，冪級數(shù)發(fā)散，故冪級數(shù)收斂域?yàn)?一1，1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)易知冪級數(shù)收斂域?yàn)?一1，1)．記則對上式兩邊求導(dǎo)，得和函數(shù)(Ⅱ)由于，而故只要消去系數(shù)中的因子n便可以使用ex的展開式求和．冪級數(shù)的收斂域?yàn)?一∞，+∞)．和函數(shù)把g(x)的冪級數(shù)表達(dá)式作逐項(xiàng)積分，可得所以g(x)=(xex)’=(1+x)ex，S(x)=xg(x)=(x+x2)ex(一∞＜x＜+∞)．(Ⅲ)利用逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次去掉冪級數(shù)的通項(xiàng)的分母n(2n+1)，化為幾何級數(shù)求和函數(shù)．計(jì)算可得冪級數(shù)的收斂半徑R=1，收斂域是[一1，1]，設(shè)其和函數(shù)為S(x)，則為便于利用逐項(xiàng)求導(dǎo)去掉冪級數(shù)通項(xiàng)的分母n(2n+1)化為幾何級數(shù)求和，可引入冪級數(shù)這個冪級數(shù)的收斂半徑也是R=1，收斂域也是[一1，1]，設(shè)其和函數(shù)為S1(x)，則且S1(0)=S1’(0)=0．在開區(qū)間(一1，1)內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次可得逐項(xiàng)積分就有由于冪級數(shù)在x=±1都收斂，且函數(shù)2x一2arctanx一xln(1+x2)在x=±1都連續(xù)，故和函數(shù)S1(x)=2x一2arctanx一x2ln(1+x)分別在x=一1與x=1處也成立．由此即得(Ⅳ)設(shè)S(x)表示的和函數(shù)．由于因此冪級數(shù)的收斂半徑R=1，且x∈(一1，1)時(shí)設(shè)它們的收斂半徑都是1，因此兩冪級數(shù)在(一1，1)內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)，得知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)有兩條拋物線記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為an．(1)求兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn；(2)求級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)證明級數(shù)收斂，并求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)分別滿足如下兩個條件中的任何一個：(Ⅰ)f(x)在x=0處三階可導(dǎo)，且=1；(Ⅱ)f(x)在x=0鄰域二階可導(dǎo)，f’(0)=0，且(一1)f"(x)一xf’(x)=ex一1，則下列說法正確的是A、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、f(0)是f(x)的極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：(Ⅰ)由條件=f’(0)=0．用洛必達(dá)法則得．因f"(x)=f"(0)，若f"(0)≠0，則J=∞，與J=1矛盾，故必有f"(0)=0．再由f"’(0)的定義知J=f"’(0)=1，即f"’(0)=2．因此，(0，f(0))是拐點(diǎn)．選(C)．(Ⅱ)已知f’(0)=0，現(xiàn)考察f"(0)．由方程得利用當(dāng)x→0時(shí)的等價(jià)無窮小關(guān)系／，并求極限即得又f"(x)在x=0連續(xù)，故f"(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的極小值．應(yīng)選(B)．2、設(shè)函數(shù)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且=一1，則A、f(x)在x=0處取極大值．B、f(x)在x=0處取極小值．C、點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：利用f(x)在x=0處的二階泰勒公式可得從而必有f(0)=a，f’(0)=0，f"(0)=一2，所以f(x)在x=0處取得極大值．故應(yīng)選(A)．3、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且=一1，則x=1是f(x)的A、不可導(dǎo)點(diǎn)．B、可導(dǎo)點(diǎn)，但非駐點(diǎn)．C、駐點(diǎn)，但非極值點(diǎn)．D、駐點(diǎn)，且為極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：即f(x+1)＞0=f(1)．從而可知x=1為極小值點(diǎn)，故選(D)．4、設(shè)函數(shù)y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值，其圖形在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，則y(x)的極大值與極小值之差為A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：先確定三次函數(shù)y(x)表達(dá)式中的常數(shù)a，b，c．由y’(x)=3x2+6ax+3b及已知x=2是極值點(diǎn)，可得y’(2)=3(4+4a+b)=0．①又由在x=1處的斜率為y’(1)=一3，得3(1+2a+b)=一3．②由①、②可得a=一1，b=0．故三次函數(shù)y(x)=x3一3x2+c．由y’(x)=3x(x一2)得函數(shù)y(x)有駐點(diǎn)x=0與x=2．又由y"(x)=6x一6知y"(0)＜0與y"(2)＞0．故y(x)的極大值為y(0)=c，極小值為y(2)=一4+c．于是y(0)～y(2)=4．故應(yīng)選(D)．二、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)5、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅲ)這是求連乘積的導(dǎo)數(shù)，用對數(shù)求導(dǎo)法方便．因函數(shù)可取負(fù)值，先取絕對值后再取對數(shù)得若只求y’(1)，用定義最簡單．利用y(1)=0可得知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)y=及φ"(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由變限積分求導(dǎo)法先求得，最后由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得知識點(diǎn)解析：暫無解析7、求下列隱函數(shù)的微分或?qū)?shù)：(Ⅰ)設(shè)ysinx—cos(x一y)=0，求dy；(Ⅱ)設(shè)由方程確定y=y(x)，求y’與y"．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用一階微分形式不變性求得d(ysinx)一dcos(x一y)=0，即sinxdy+ycosxdx+sin(x一y)(dx—dy)=0，整理得[sin(x一y)一sinx]dy=[ycosx+sin(x一y)]dx，故dy=．(Ⅱ)將原方程兩邊取對數(shù)，得等價(jià)方程，(*)于是方程兩邊對x求導(dǎo)并注意y是x的函數(shù)，即得知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)f(x)=(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在點(diǎn)x=0處是否可導(dǎo)?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是分段函數(shù)，分界點(diǎn)x=0，其中左邊一段的表達(dá)式包括分界點(diǎn)，即x≤0，于是可得當(dāng)x≤0時(shí)，f’(x)=+2cos2x，x=0處是左導(dǎo)數(shù)：f’—(0)=2；又=0=f(0)，即f(x)在x=0右連續(xù)→f’+(0)=2．于是f’(0)=2．因此(Ⅱ)f’(x)也是分段函數(shù)，x=0是分界點(diǎn)．為討論f’(x)在x=0處的可導(dǎo)性，要分別求f"+(0)與f"—(0)．同前可得因f"+(0)≠f"—(0)，所以f"(0)不存在，即f’(x)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)g(x)=且f(x)處處可導(dǎo)，求f[g(x)]的導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：若已求得g’(x)，則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得f[g(x)]=f’[g(x)]g’(x)．故只需求g’(x)．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0并存在f"(0)．若求F’(x)，并證明F’(x)在(一∞，+00)上連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求F’(x)．當(dāng)x≠0時(shí)，由求導(dǎo)法則易求F’(x)，而F’(0)需按定義計(jì)算．然后討論F’(x)的連續(xù)性，當(dāng)x≠0時(shí)由連續(xù)性的運(yùn)算法則得到F’(x)連續(xù)，當(dāng)x=0時(shí)可按定義證明型極限問題，可用洛必達(dá)法則．即F’(x)在x=0也連續(xù)．因此，F(xiàn)’(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)y=xcosx，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：逐一求導(dǎo)，得y’=cosx+x(cosx)’，y"=2(cosx)’+x(cosx)"，y"’=y(3)=3(cosx)"+x(cosx)(3)，…觀察其規(guī)律得y(n)=n(cosx)(n—1)+x(cosx)(n)．(*)用歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)(*)顯然成立，設(shè)n=k時(shí)(*)式成立，得y(k+1)=k(cosx)(k)+(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)=(k+1)(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)，即n=k+1時(shí)成立，因此(*)式對任意自然數(shù)n成立．再用(cosx)(n)的公式得y(n)=ncos(x+)．知識點(diǎn)解析：逐一求導(dǎo)，求出y’，y"，…，總結(jié)出規(guī)律，寫出y(n)表達(dá)式，然后用歸納法證明．12、設(shè)y=ln(3+7x一6x2)，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先分解y=ln(3—2x)(1+3x)=ln(3—2x)+ln(1+3x)→y(n)=[ln(3—2x)](n)+[ln(1+3x)](n)．然后利用[ln(ax+b)](n)的公式得知識點(diǎn)解析：利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)將函數(shù)y分解為形如ln((ax+b)的對數(shù)函數(shù)之和，再用[ln(ax+b)](n)的公式即可得結(jié)果．13、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，證明：對于x1，x2∈[0，1]，有｜f(x1)一f(x2)｜＜．標(biāo)準(zhǔn)答案：聯(lián)系f(x1)—f(x2)與f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨設(shè)0≤x1≤x2≤1．分兩種情形：1)若x2一x1＜，直接用拉格朗日中值定理得｜f(x1)一f(x2)｜=｜f’(ξ)(x2一x1)｜=｜f’(ξ)｜｜x2一x1｜＜．2)若x2一x1≥，當(dāng)0＜x1＜x2＜1時(shí)，利用條件f(0)=f(1)分別在[0，x1]與[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得｜f(x1)一f(x2)｜=｜[f(x1)一f(0)]一[f(x2)一f(1)]｜≤｜f(x1)一f(0)｜+｜f(1)一f(x2)｜=｜f’(ξ)x1｜+｜f’(η)(1一x2)｜＜x1+(1一x2)=1一(x2一x1)≤，①當(dāng)x1=0且x2≥時(shí)，有｜f(x1)一f(x2)｜=｜f(0)一f(x2)｜=｜f(1)一f(x2)｜=｜f’(η)(1一x2)｜＜．②當(dāng)x1≤且x2=1時(shí)，同樣有｜x(x1)一f(x2)｜=｜f(x1)一f(1)｜=｜f(x1)一f(0)｜=｜f’(ξ)(x1一0)｜＜．因此對于任何x1，x2∈[0，1]總有｜f(x1)一f(x2)｜＜．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)a＞e，0＜x＜y＜，求證ay—ax＞(cosx—cosy)axlna．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(t)=at，g(t)=cost，在區(qū)間[x，y]上應(yīng)用柯西中值定理，即知存在滿足0＜x＜ξ＜y＜的ξ，使得由于ax＜aξ，0＜sinξ＜1，故由上式可得ay—ax＞(cosx一cosy)axlna．知識點(diǎn)解析：把不等式改寫成注意到(ax)’=axlna，(cosx)’=一sinx，而｜sinx｜≤1．對f(t)=at，g(t)=cost，應(yīng)用柯西中值定理即可．15、證明：當(dāng)x＞1時(shí)，0＜lnx+(x一1)3．標(biāo)準(zhǔn)答案：對x≥1引入函數(shù)f(x)=lnx+一2，則f(x)在[1，+∞)可導(dǎo)，且當(dāng)x＞1時(shí)從而f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加，又f(1)=0，所以當(dāng)x＞1時(shí)f(x)＞f(1)=0，即lnx+一2＞0．令g(x)=lnx+(x一1)3，則g(x)在[1，+∞)可導(dǎo)，且當(dāng)x＞1時(shí)故g(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)減少，又g(1)=0，所以當(dāng)x＞1時(shí)g(x)＜g(1)=0，即lnx+(x一1)3當(dāng)x＞1時(shí)成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求證：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，則有f(x)在[0，+∞)三階可導(dǎo)且f(0)=0，f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0，于是f"(x)當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)增加，又f"(0)=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)f"(x)＞f"(0)=0．從而f’(x)當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)增加，又f’(0)=0，故當(dāng)x＞0時(shí)f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)增加，又f(0)=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＞f(0)=0．原不等式得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求證：當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)答案：故g(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)下降．又g(x)在(0，1]連續(xù)，且g(1)=—1，g(x)在x=0無定義，但若補(bǔ)充定義g(0)=，則g(x)在[0，1]上連續(xù)．又g’(x)＜0，0＜x＜1，因此g(x)在[0，1]單調(diào)下降．所以，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)g(1)＜g(x)＜g(0)，即成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求證：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：即證[∫01f(x)dx]2一∫01f3(x)dx＞0．考察F(x)=[∫0xf(t)dt]2—∫0xf3(t)dt，若能證明F(x)＞0(x∈(0，1])即可．這可用單調(diào)性方法．令F(x)=[∫0xf(t)dt]2一∫0xf3(t)dt，易知F(x)在[0，1]可導(dǎo)，且F(0)=0，F(xiàn)’(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt一f2(x)]．由題設(shè)知f(x)在[0，1]單調(diào)上升，故f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，從而F’(x)與g(x)=2∫0xf(t)dt一f2(x)同號．計(jì)算可得g’(x)=2f(x)[1一f’(x)]＞0(x∈(0，1))，結(jié)合g(x)在[0，1]連續(xù)，于是g(x)在[0，1]單調(diào)上升，故g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F’(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0，1]單調(diào)上升，F(xiàn)(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此F(1)=[∫01f(x)dx]2一∫01f3(x)dx＞0．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)p，g是大于1的常數(shù)，且≥x．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=一x，則f’(x)=xp—1—1．令f’(x)=0，得唯一駐點(diǎn)x=1．因?yàn)閒"(x)=(p—1)xp—2，f"(1)=p一1＞0，所以當(dāng)x=1時(shí)f(x)取極小值，即最小值．從而當(dāng)x＞0時(shí)，有f(x)≥f(1)=0，即≥x．知識點(diǎn)解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=一x，并證明f(x)的駐點(diǎn)x=1為f(x)當(dāng)x＞0時(shí)的最小值點(diǎn)．20、設(shè)0＜x＜1，求證：xn(1一x)＜，其中n為自然數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=nxn(1一x)(x∈[0，1])，則f’(x)=n[nxn—1(1一x)一xn]=nxn—1[n(1一x)一x]=nxn—1[n一(n+1)x]．f(x)在(0，1)有唯一駐點(diǎn)x=x0=，又f(0)=f(1)=0，f(xn)＞0，所以f(x)在x=xn取到(0，1)上的最大值：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且a＜x1＜x2＜b．(Ⅰ)若x∈(a，b)時(shí)f"(x)＞0，則f(x)＜(x2)(2．17)對任何x∈(x1，x2)成立；(Ⅱ)若x∈(a，b)時(shí)f"(x)＜0，則f(x)＞(x2)(2．18)對任何x∈(x1，x2)成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：因(Ⅰ)與(Ⅱ)的證法類似，下面只證(Ⅰ)．把(2．17)式改寫成下面的等價(jià)不等式，有(x2一x)[f(x)一f(x1)]＜(x一x1)[f(x2)一f(x)]，由拉格朗日中值定理知(x2一x)[f(x)一f(x1)]=(x2一x)(x一x1)f’(ξ1)，x1＜ξ1＜x，(x一x1)[f(x2)一f(x)]=(x一x1)(x2一x)f’(ξ2)，x＜ξ2＜x2．由f"(x)＞0知f’(x)單調(diào)增加，故f’(ξ1)＜f’(ξ2)，由此即知等價(jià)不等式成立，從而(Ⅰ)成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明：當(dāng)0＜x＜．標(biāo)準(zhǔn)答案：在區(qū)間=0，F(xiàn)"(x)=一sinx＜0當(dāng)x∈(0，]上F(x)的圖形上凸．由此即得當(dāng)時(shí)成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上單調(diào)增加并有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，f(a)=b，求證：∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，其中g(shù)(x)是f(x)的反函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx一af(a)，對a求導(dǎo)得F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)一af’(a)一f(a)，由題設(shè)g(x)是f(x)的反函數(shù)知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，從而F(a)為常數(shù)．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．知識點(diǎn)解析：即證對a有函數(shù)恒等式∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx=af(a)成立．24、設(shè)g(x)在[a，b]連續(xù)，f(x)在[a，b]二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且對x(a≤x≤b)滿足f"(x)+g(x)f’(x)一f(x)=0．求證：當(dāng)x∈[a，b]時(shí)f(x)≡0．標(biāo)準(zhǔn)答案：若f(x)在[a，b]不恒為零，則f(x)在[a，b]取正的最大值或負(fù)的最小值．無妨設(shè)f(x0)=f(x)＞0，則x0∈(a，b)且f’(x0)=0，f"(x0)≤0，從而f"(x0)+g(x0)f’(x0)一f(x0)＜0，與已知條件矛盾．類似可得若f(x1)=f(x)＜0，同樣與已知條件矛盾．因此當(dāng)x∈[a，b]時(shí)f(x)≡0．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，f"(x)在(a，+∞)內(nèi)存在且大于零．記F(x)=(x＞a)．證明：F(x)在(a，+∞)內(nèi)單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明F’(x)＞0(x＞0)．由題設(shè)條件，有由拉格朗日中值定理知，存在ξ(0＜ξ＜x)使得由f"(x)＞0，可知f’(x)在(a，+∞)內(nèi)單調(diào)增加．因此，對于任何滿足a＜ξ＜x的x和ξ，有f’(x)＞f’(ξ)．又x一a＞0，從而由②可知F’(x)＞0，于是F(x)是單調(diào)增加的．知識點(diǎn)解析：要證F(x)在(a，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，只需證F’(x)＞0，為此需先求出F’(x)．條件“f"(x)在(a，+∞)內(nèi)存在且大于零”隱含著f’(x)在(a，+∞)上單調(diào)上升，因此要充分利用這一信息來證明F’(x)＞0．26、設(shè)f(x)在(a，b)四次可導(dǎo)，且存在x0∈(a，b)使得f"(x0)=f"’(x0)=0，又設(shè)當(dāng)a＜x＜b時(shí)f(4)(x)＞0，求證f(x)的圖形在(a，b)是凹的．標(biāo)準(zhǔn)答案：由當(dāng)x∈(a，b)時(shí)f(4)(x)＞0，知f"’(x)在(a，b)單調(diào)增加．又因f"’(x0)=0，故從而f"(x)在[x0，b)單調(diào)增加，在(a，x0]單調(diào)減少．又f"(x0)=0，故當(dāng)x∈(a，b)且x≠x0時(shí)f"(x)＞0，因此f(x)的圖形在(a，b)是凹的．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、當(dāng)x→0時(shí)，下列四個無窮小中，哪一個是比其他三個高階的無窮小（）A、x2B、1—cosxC、D、x—tanx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：利用等價(jià)無窮小代換。由于x→0時(shí)，1—cosx～，所以當(dāng)x→0時(shí)，B、C與A是同階的無窮小，由排除法知選D。2、設(shè)f（x）=|x|sin2x，則使導(dǎo)數(shù)存在的最高階數(shù)n=（）A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：故f（3）（0）不存在。因此n=2，選C。3、設(shè)f（x）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為（）A、2B、—1C、D、—2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：將題中極限條件兩端同乘2，得由導(dǎo)數(shù)定義可知，f’（1）=一2，故選D。4、曲線y=（x—1）2（x—3）2的拐點(diǎn)個數(shù)為（）A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：對于曲線y，有y’=2（x—1）（x—3）2+2（x—1）2（x—3）=4（x—1）（x—2）（x—3），y"=4[（x—2）（x—3）+（x—1）（x—3）+（x—1）（x—2）]=4（3x2—12x+11），令y"=0，得x1=2—，x2=2+。又由y"’=24（x—2），可得y"’（x1）≠0，y"’（x2）≠0，因此曲線有兩個拐點(diǎn)，故選C。5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：這是無界函數(shù)的反常積分，x=+1為瑕點(diǎn)，與求定積分一樣，作變量替換x=sint，其中故選B。6、設(shè)函數(shù)z（x，y）由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且F+’≠0，則A、xB、zC、—xD、—z標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對已知的等式兩邊求全微分可得即正確選項(xiàng)為B。7、設(shè)函數(shù)f（x，y）連續(xù)，則二次積分dx∫sinx1f（x，y）dy等于（）A、∫01dy∫π+arcsiny1f（x，y）dxB、∫01dy∫π—arcsiny1f（x，y）dxC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由題設(shè)可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可轉(zhuǎn)化為0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故應(yīng)選B。8、設(shè)級數(shù)un收斂，則下列選項(xiàng)必為收斂級數(shù)的為（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)榧墧?shù)un收斂，而un+1與un只差一項(xiàng)，故un+1收斂，再由收斂級數(shù)的和仍收斂可知，級數(shù)（un+un+1）收斂，故選D。9、正項(xiàng)級數(shù)an收斂是級數(shù)an2收斂的（）A、充要條件B、充分條件C、必要條件D、既非充分條件，又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于正項(xiàng)級數(shù)=0。當(dāng)n充分大時(shí)0≤an2≤an，從而an2收斂。但an2收斂時(shí)，an不一定收斂，如an=因此，正項(xiàng)級數(shù)an收斂是級數(shù)an2收斂的充分條件，故選B。10、若y=xex+x是微分方程y"一2y’+ay=bx+c的解，則（）A、a=1，b=1，c=1B、a=1，b=1，C=一2C、a=一3，b=一3，c=0D、a=一3，b=1，c=1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于y=xex+x是方程y"-2y’+ay’=bx+c的解，則xex是對應(yīng)的齊次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，則a=1。x為非齊次方程的解，將y=x代入方程y"-2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故選B。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，12、已知則f’（x）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)x＜0時(shí)，f’（x）=cosx;當(dāng)x＞0時(shí)，f’（x）=1；13、已知xy=ex+y，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：在方程兩端分別對x求導(dǎo)，得y+xy’=ex+y（1+y’）’即y’=其中y=y（x）是由方程xy=ex+y所確定的隱函數(shù)。故14、曲線y=（x—5）的拐點(diǎn)坐標(biāo)為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（—1，—6）知識點(diǎn)解析：已知x=—1時(shí)，y"=0，在x=—1左、右兩側(cè)的微小鄰域內(nèi)，y"異號；x=0時(shí)，y"不存在，在x=0左、右微小鄰域內(nèi)，y"＞0。其中），（—1）=—6，故曲線的拐點(diǎn)為（—1，—6）。15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：16、由曲線y=和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面圖形的面積為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4ln2知識點(diǎn)解析：17、設(shè)函數(shù)z=z（x，y）由方程（z+y）x=xy確定，則|（1，2）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2—2ln2知識點(diǎn)解析：把點(diǎn)（1，2）代入（z+y）5=xy，得到z（1，2）=0。在（z+y）x=xy兩邊同時(shí)對x求偏導(dǎo)數(shù)，有將x=1，y=2，z（1，2）=0代入得18、設(shè)z=xg（x+y）+yφ（xy），其中g(shù)，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：g’（x+y）+xg"（x+y）+2yφ’（xy）+xy2φ"（xy）知識點(diǎn)解析：由題干可知，19、二元函數(shù)f（x，y）=x2（2+y2）+ylny的極小值為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由題干可知，fx’=2x（2+y2），fy’=2x2y+lny+120、級數(shù)的和為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由麥克勞林公式易知21、微分方程ydx+（x一3y2）dy=0滿足條件y|x=1的特解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2知識點(diǎn)解析：對原微分方程變形可得此方程為一階線性微分方程，所以又y=1時(shí)x=1，解得C=0，因此x=y2。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)22、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、證明函數(shù)恒等式arctanx=x∈（—1，1）。標(biāo)準(zhǔn)答案：要證明當(dāng)x∈（—1，1）時(shí)，arctanx=恒成立，只需證明函數(shù)f（x）=arctanx=0在x∈（—1，1）上恒成立。分兩步進(jìn)行證明：（1）證明f（x）為常值函數(shù)，即f’（x）=0，x∈（—1，1）；（2）在定義域內(nèi)選取某一特殊點(diǎn)得到其常函數(shù)值。因?yàn)楣蔲（x）為常值函數(shù)。當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，即當(dāng)x∈（—1，1）時(shí)，arctanx=恒成立。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，且f（a）=f（b）=1，證明：必存在ξ，η∈（a，b）使得eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F（x）=exf（x），由已知f（x）及ex在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，均滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此，存在ξ，η∈（a，b），使得F（b）—F（a）=ebf（b）—ea[（a）=F’（η）（b—a）及eb—ea=eξ（b—a）。將以上兩式相比，且由f（a）=（b）=1，則有eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f（x）在[0，a]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得∫0af（x）dx=af（0）+標(biāo)準(zhǔn)答案：等式右端∫0af（x）dx=∫0af（x）d（x一a）=[（x—a）f（x）]|0a一∫0a（x—a）f’（x）dx=af（0）一∫0a（x—a）f’（x）dx因?yàn)閒’（x）連續(xù)，x—a≤0（x∈[0，a]），故由積分中值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得∫0a（x一a）f’（x）dx=f’（ξ）∫0a（x一a）dx=于是∫0af（x）dx=af（0）+知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f（u）在（0，+∞）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式（Ⅰ）驗(yàn)證f"（u）+=0；（Ⅱ）若f（1）=0，f’（1）=1，求函數(shù)f（u）的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’（1）=1可得C1=1。對等式f’（u）=兩邊積分得f（u）=lnu+C2，由f（1）=0可得C2=0，故f（u）=lnu。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)D={（x，y）|（x—1）2+（y—1）2=2}，計(jì)算二重積分（x+y）dσ。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f（x）。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an所以當(dāng)x2＜1時(shí)，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)x2＞1時(shí)，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（一1，1）。知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f（t）連續(xù)并滿足f（t）=cos2t+∫0xf（t）sinsds，求f（t）。標(biāo)準(zhǔn)答案：因f（t）連續(xù)，因此∫0xf（s）sinsds可導(dǎo)，從而f（t）可導(dǎo)，于是f（t）=cos2t+∫0xf（s）insds，利用公式f（t）=e∫sintdt[∫—2sin2t.e∫sintdtdt+C]，由f（0）=1得C=e。因此，f（t）=e1—cost+4（cost一1）。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)＝在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，且f(x)＝0，則()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)＝在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，所以a≥0，又因?yàn)閒(x)＝0，所以b＜0，選(C)．2、設(shè)f(x)在x＝a的鄰域內(nèi)有定義，且f’＋(a)與f’－(a)都存在，則()．A、f(x)在x＝a處不連續(xù)B、f(x)在x＝a處連續(xù)C、f(x)在x＝a處可導(dǎo)D、f(x)在x＝a處連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’＋(a)存在，所以存在，于是f(x)＝f(a)，即f(x)在x＝a處右連續(xù)，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x＝a處左連續(xù)，故f(x)在x＝a處連續(xù)，選(B)．3、設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如下頁圖，則f(x)有()．A、兩個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)，一個拐點(diǎn)B、兩個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)，兩個拐點(diǎn)C、三個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)，兩個拐點(diǎn)D、兩個極大值點(diǎn)，三個極小值點(diǎn)，兩個拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)與x軸的兩個交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)與x軸的兩個交點(diǎn)為(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．當(dāng)x＜x1時(shí)，f’(x)＞0，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f’(x)＜0，則x＝x1為f(x)的極大值點(diǎn)；當(dāng)x∈(x2，0)時(shí)，f’(x)＞0，則x＝x2為f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)x∈(0，x3)時(shí)，f’(x)＜0，則x＝0為f(x)的極大值點(diǎn)；當(dāng)x∈(x3，x4)時(shí)，f’(x)＞0，則x＝x3x為f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)x＞x4時(shí)，f’(x)＜0，則x＝x4為f(x)的極大值點(diǎn)，即f(x)有三個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)，又f’’(x)有兩個零點(diǎn)，根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個零點(diǎn)兩側(cè)的增減性可得，y＝f(x)有兩個拐點(diǎn)，選(C)．4、設(shè)un＝(－1)nln，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)在x＝0處連續(xù)，且＝－1，則曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x－2)知識點(diǎn)解析：f’(2)＝，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－(x－2)．7、設(shè)∫0yetdt＋∫0x＝xy確定函數(shù)y＝y(tǒng)(x)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∫0yetdt＋∫0xcostdt＝xy兩邊對x求導(dǎo)得8、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(－x)＝1，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：10、已知f(x)＝，則f(n)(3)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)＝0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)＝∫0xtf(t2－x2)dt，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)～xn，求n及f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)＝∫0xtf(t2－x2)dt＝∫0xf(t2－x2)d(t2－x2)＝∫－x20f(u)du＝∫0－x2f(u)du，則n－2＝2，n＝4，且f’(0)＝1，于是f’(0)＝－4．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)＝a1ln(1＋x)＋a2ln(1＋2x)＋…＋anln(1＋nx)，其中a1，a2，…，an為常數(shù)，且對一切x有｜f(x)｜≤｜ex－1｜．證明：｜a1＋2a2＋…＋nan｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時(shí)，由｜f(x)｜≤｜ex－1｜得而＝a1＋2a2＋…＋nan，且＝1，根據(jù)極限保號性得｜a1＋2a2＋…＋nan｜≤1．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)＝求f(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’－(0)≠f’＋(0)，所以f(x)在x＝0處不可導(dǎo)．于是f’(x)＝令f’(x)＝0得x＝－1或x＝．當(dāng)x＜－1時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)0＜x＜時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x＞時(shí)，f’(x)＞0．故x＝－1為極小點(diǎn)，極小值f(－1)＝1－；x＝0為極大點(diǎn)，極大值f(0)＝1；x＝為極小點(diǎn)，極小值知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有兩式相加得f(a)＋f(b)－2f[f’’(ξ1)＋f’’(ξ2)]．因?yàn)閒’’(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，所以f’’(x)在[ξ1，ξ1]上連續(xù)，從而f’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得＝f’’(ξ)，故f(a)＋f(b)－2f．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)＝f’(0)＝f(1)＝f’(1)＝0．證明：方程f’’(x)－f(x)＝0在(0，1)內(nèi)有根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝e－x[f(x)＋f’(x)]．因?yàn)棣?0)＝φ(1)φ0，所以由羅爾定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)＝0，而φ’(x)＝e－x[f’’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以方程f’’(c)－f(c)＝0在(0，1)內(nèi)有根．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)＝f(1)＝0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)＝．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝(x－1)2f’(x)，顯然φ(x)在[0，1]上可導(dǎo)．由f(0)＝f(1)＝0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)＝0，再由φ(c)＝φ(1)＝0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝2(x－1)f’(x)＋(x－1)2f’’(x)，所以2(ξ－1)f’(ξ)＋(ξ－1)2f’’(ξ)＝0，整理得f’’(ξ)＝．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，∫0xtf(x－t)dt＝1－cosx，求f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫0xtf(x－t)dt∫x0(x－u)f(u)(－du)＝∫0x(x－u)f(u)du＝x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du＝1－cosx，兩邊求導(dǎo)得∫0xf(u)du＝sinx，令x＝f(x)dx＝1．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)＝0．證明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(a)＝0，得f(x)－f(a)＝f(x)＝∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)＝(∫axf’(t)dt)2≤∫ax1∫2dt∫axf’2(t)dt≤(x－a)∫abf’2(x)dx積分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x－a)dx．∫abf’2(x)dx＝∫abf’2(x)dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)u＝f(x，y，xyz)，函數(shù)z＝z(x，y)由exyz＝∫xyz(xy＋z－t)dt確定，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，h連續(xù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫xyzh(xy＋z－t)dt∫zxyh(u)d(－u)＝∫xyzh(u)du，知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知二元函數(shù)f(x，y)滿足且f(x,y)＝g(u,v)，若＝u2＋v2，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy＝[∫abf(x)dx]2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)＝∫axf(t)dt，則∫abf(x)dx∫xbf(y)dy＝∫abf(x)[F(b)－F(x)]dx＝F(b)∫abf(x)dx－∫abf(x)F(x)dx＝F2(b)－∫abF(x)dF(x)＝F2(b)－[∫abf(x)dx]2．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明：(1)設(shè)an＞0，且{nan}有界，則級數(shù)an2收斂；(2)n2an＝k＞0，則級數(shù)an收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)閧nan}有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即0＜，而級數(shù)(2)取ε0＝an＝k＞0，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、將函數(shù)f(x)＝arctan展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐項(xiàng)可積性得f(x)－f(0)＝∫0xf’(x)dx＝，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)y＝y(tǒng)(x)二階可導(dǎo)，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(tǒng)(x)的反函數(shù)．(1)將x＝x(y)所滿足的微分方程＝0變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)＝0，y’(0)＝的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得y’’－y－sinx，特征方程為r2－1＝0，特征根為r1，2＝±1，因?yàn)閕不是特征值，所以設(shè)特解為y*＝acosx＋bsinx，代入方程得a＝0，b＝sinx，于是方程的通解為y＝C1ex＋C2e－x－sinx，由初始條件得C1＝1，C2＝－1，滿足初始條件的特解為y＝ex－e－x－sinx．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、一條均勻鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，鏈條長18m，運(yùn)動開始時(shí)鏈條一邊下垂8m，另一邊下垂10m，問整個鏈條滑過釘子需要多長時(shí)間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)鏈條的線密度為ρ，取x軸正向?yàn)榇怪毕蛳拢O(shè)t時(shí)刻鏈條下垂x(t)m，則下垂那段的長度為(10＋x)m，另一段長度為(8－x)m，此時(shí)鏈條受到的重力為(10＋x)ρg－(8－x)ρg＝2(x＋1)ρg．鏈條的總重量為18ρ，由牛頓第二定理F＝ma得，且x(0)＝0，x’(0)＝0，解得x(t)＝，當(dāng)鏈條滑過整個釘子時(shí)，x＝8，知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、下列函數(shù)：①．在(0，1)內(nèi)有界的有()個．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：2、設(shè)=6，則a=()．A、1B、一2C、一1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題設(shè)知因此a=一1，故選C．3、當(dāng)x→0時(shí)，下列無窮小量中階數(shù)最高的是()．A、B、3x3一4x4+5x5C、一cosxD、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x)和g(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)＜g(x)，則必有()．A、f(一x)＞g(一x)B、f(x)C、D、∫0xf(t)dt＜∫0xg(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f(x)、g(x)可導(dǎo)知，f(x)、g(x)連續(xù)．于是有：=g(x0)．又f(x0)＜g(x0)，所以有．故選C．5、設(shè)f(x)=，則f(x)有()．A、兩個第一類間斷點(diǎn)B、三個第一類間斷點(diǎn)C、兩個第一類間斷點(diǎn)和一個第二類間斷點(diǎn)D、一個第一類間斷點(diǎn)和一個第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：可見，x=一1和x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，而x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，故選C．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設(shè)f(x)=且g(x)=f(x2)+f(x—1)，則g(x)的定義域?yàn)開________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，]．知識點(diǎn)解析：f(x)的定義域?yàn)閇一1，1]∪[一2，一1)∪(1，2]，即[一2，2]，由f(x2)知0≤x2≤2，即一，由f(x一1)知一2≤x一1≤2，即一1≤x≤3，求其交集，得g(x)的定義域?yàn)閇一1，]．7、設(shè)f(x)==_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1．知識點(diǎn)解析：8、設(shè)f(x)=的反函數(shù)是g(x)，則g(4)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2．知識點(diǎn)解析：9、若=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x)連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫0x(x2+1—cosx)f(t)dt是與x3等價(jià)的無窮小量，則f(0)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由等價(jià)無窮小量的定義及洛必塔法則，可得三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)11、討論函數(shù)f(x)=在(一∞，+∞)上的有界性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(一x)=(一x)可知：f(一x)=f(x)．所以，f(x)是偶函數(shù)．只需證明f(x)在[0，+∞)上有界．即當(dāng)x＞A時(shí)，有0＜f(x)＜1．因?yàn)閒(x)在[0，A]上連續(xù)，因此，f(x)在[0，A]上有界，注意到在[0，+∞)上f(x)≥0．故x∈[0，A]，有0≤f(x)≤M，取M=max{1，M1}，則對x∈[0，+∞)，有0≤f(x)≤M．從而可知，對x∈(一∞，+∞)，有0≤f(x)≤M．知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以只需證明f(x)在[0，+∞)上有界．要證f(x)在[0，+∞)上有界，只要證明存在．12、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，以T為周期，令F(x)=∫0xf(t)dt．求證：(1)F(x)=kx+φ(x)，其中k為某常數(shù)，φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)．(2)∫0Tf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由φ(x+T)=F(x+T)一k(x+T)=∫0xf(t)dt—kx+∫xx+Tf(t)dt一kT=φ(x)+∫0Tf(t)dt—kT(∫xx+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt)令k=∫0Tf(t)dt，則φ(x)=F(x)一kx是以T為周期的周期函數(shù)．從而有F(x)=kx+φ(x)．(2)因?yàn)椴灰欢ù嬖冢圆荒苡寐灞厮▌t求該極限．但∫0xf(t)dt可寫成：∫0xf(t)dt=∫0Tf(t)dt+φ(x)，φ(x)在(一∞，+∞)連續(xù)且以T為周期．于是φ(x)在[0，T]上有界，在(一∞，+∞)上有界，所以，(無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量)知識點(diǎn)解析：只要確定常數(shù)k，使得φ(x)=F(x)一kx以T為周期．13、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt．求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt可化為f(x)=x+x∫0xf’(u)du一∫0xuf’(u)du．兩邊對x求導(dǎo)得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+xf’(x)一xf’(x)=1+f(x)一f(0)=1+f(x)(f(0)=0)．得f(x)=ex一1．所以(ex一1)=一1．知識點(diǎn)解析：f(x)的表達(dá)式中含有參變量的積分，應(yīng)經(jīng)變量替換將參變量移至積分號外或積分限上再求極限．∫0xf(x—t)dt∫0x(x一u)f’(u)du=x∫0xf’(u)一∫0xuf(u)du．將參變量x提到積分號外后，已知條件可化為：f(x)=x+x∫0xf’(u)du一∫0xu’f(u)du．14、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：是x4，ln(1+x)～x，sin2x～x2．15、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0+時(shí)，ex=exlnx一1，arctanx～x，1一cosx～一1→0．16、已知曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=x一1，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：17、設(shè)f(x)=nx(1一x)n(n=1，2，…)，Mn是f(x)在[0，1]上的最大值，求Mn．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=n(1一x)n一n2x(1一x)n—1．令f’(x)=0，得n2x(1—x)n—1=n(1一x)n，即nx=1一x．得x=．又為f(x)在(0，1)內(nèi)的極大值．比較f(0)=0，f(1)=0和Mn可知，f(x)在[0，1]上的最大值為知識點(diǎn)解析：先求f(x)在[0，1]上的最大值Mn，再求極限．18、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：不存在，求極限時(shí)要考慮單側(cè)極限．19、設(shè)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)≠0，a≠0，求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：“∞一∞”型是分式，一般先通分．20、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：該極限為“1∞”型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限，再用洛必塔法則等方法．21、設(shè)1≤x＜+∞時(shí)，0＜f’(x)＜存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)1≤x＜+∞時(shí)，由f’(x)＞0知，f(x)單調(diào)增加，由題設(shè)和定積分的性質(zhì)，可得：即f(1)＜f(x)＜f(1)+1．所以，數(shù)列{f(n))單調(diào)有界．由單調(diào)有界定理知，f(n)存在．知識點(diǎn)解析：要證明f(n)存在，只要證f(n)單調(diào)有界，即證f(x)單調(diào)有界．由已知條件、定積分的性質(zhì)和牛頓一萊布尼茲公式便可知f(x)單調(diào)有界．22、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，g(x)非負(fù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)＞0在[a，b]上連續(xù)，可知存在m，M，使得0＜m≤f(x)≤M．于是有知識點(diǎn)解析：應(yīng)用函數(shù)f(x)的性質(zhì)，將∫abg(x)進(jìn)行放縮，然后再由夾逼定理可得要求的極限．23、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且x∈(a，b)，證明：∫ax[f(t+s)一f(t)]dt=f(x)一f(a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)在[a，b]上連續(xù)，可知F(x)=∫axf(t)dt可導(dǎo)，且F’(x)=f(x)．∫axf(t+s)dt[∫a+sx+sf(u)du=∫ax+sf(u)du一∫aa+sf(u)du=F(x+s)一F(a+s)．所以=F’(x)一F’(a)=f(x)一f(a