四川省川大附中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題理

PAGE2第=!異樣的公式結(jié)尾頁，共=sectionpages99頁四川省川大附中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題理(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.，則的虛部為（）A.B.C.D.3.函數(shù)的一個(gè)對稱中心是（）A.B.C.D.4.綻開式中的系數(shù)為（）A.15 B.16 C.24 D.325.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的值為（）A.5 B.3 C.6 D.86.已知曲線在點(diǎn)處切線的斜率為1，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.7.有下列四個(gè)條件：①，，；②，；③，，；④是異面直線，，，.其中能保證直線平面的條件是（）A.①② B.①③ C.①④ D.②④8.函數(shù)的圖象為（）A.B.C.D.9.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”可用來求兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不行半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也”.下列程序框圖的算法思路就源于此．執(zhí)行該框圖，若輸入a，b的值分別為98，63，則輸出的a和i的值分別為（）A.7；6B.7；7C.0；6D.0；710.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.11.定義在上的函數(shù)滿意：①的圖象關(guān)于對稱；②對隨意的，當(dāng)時(shí)，不等式成立．令，，，則下列不等式成立的是（）A. B.

C. D.12.設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.其次部分（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卷相應(yīng)的橫線上.13.已知單位向量滿意，則向量夾角的大小為______．14.在中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，已知，，，那么等于______．15.如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．若的內(nèi)切圓的面積為，則_____．

16.設(shè)正四面體的棱長為．是棱上的隨意一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，且到平面，平面的距離分別是，．求的最小值______．三、解答題（本大題共7小題，其中17-21題為必做題，每題12分，在22、23題選做一題，10分，共70分）17.（12分）已知向量，．（1）求函數(shù)的對稱中心；（2）若，求函數(shù)的值域．18.（12分）蘋果可按果徑（最大橫切面直徑，單位：mm）分為五個(gè)等級：時(shí)為1級，時(shí)為2級，時(shí)為3級，時(shí)為4級，時(shí)為5級．相同果徑的蘋果，根據(jù)不同外觀指標(biāo)又分為特級果、一級果、二級果．某果園采摘蘋果10000個(gè)，果徑均在內(nèi)，從中隨機(jī)抽取2000個(gè)蘋果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，圖2為抽取的樣本中果徑在80以上的蘋果的等級分布統(tǒng)計(jì)圖．

（1）假設(shè)聽從正態(tài)分布，其中的近似值為果徑的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替），，試估計(jì)采摘的10000個(gè)蘋果中，果徑位于區(qū)間的蘋果個(gè)數(shù)；

（2）已知該果園今年共收獲果徑在80以上的蘋果800kg，且售價(jià)為特級果12元/kg，一級果10元/kg，二級果9元/kg.設(shè)該果園售出這800kg蘋果的收入為，以頻率估計(jì)概率，求的數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，，．19.（12分）在五邊形中，，，，，（如圖1）．將沿折起，使平面平面，線段的中點(diǎn)為（如圖2）．

（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的大?。?/p>

20.（12分）拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為正的直線過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)．

（1）若，求直線的斜率；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求四邊形的面積的取值范圍．

21.（12分）設(shè)函數(shù)，，．（1）若在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）①設(shè)，求的最小值；②定義：對于函數(shù)與定義域上的隨意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“隔離直線”．設(shè)，摸索究與是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”的方程；若不存在，請說明理由．

選做題：（請?jiān)谙旅骖}目中選擇一題完成，留意在答題卡對應(yīng)位置將你選擇的題號用2B鉛筆填涂，并將選做題目答案寫在規(guī)定區(qū)域）22.選修4-4（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的圓心的極坐標(biāo)為，半徑．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）若過點(diǎn)且傾斜角的直線交圓于兩點(diǎn)，求的值．

23.選修4-5（不等式選講）（10分）設(shè)，，求證．

（2）已知，求的最小值．川大附中2025屆高三上10月月考數(shù)學(xué)試題（理科）（參考答案）一、選擇題：1-5：ADAAC6-10：DCABD11-12：AD【答案】A

解：由①可得f(x)關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，

由②可得f(x)在x∈?∞,0上單調(diào)遞增，

則f(x)在x∈0,+∞上單調(diào)遞減．∵a=213>1，0<b=log43<1，0<c=log85<1，

b=log43=log23，c=log85=log235，∴只需比較3與35的大小，

由于36=27,356=25，所以0<c<b<1，∴0<c<b<a，

∴fc>fb>fa，故選A．

12.【答案】D

解：設(shè)g(x)=ex(2x?1)，y=ax?a，

由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g(x0)在直線y=ax?a填空題：

13.【答案】π314.【答案】2715.【答案】10316.【答案】

3+224

15.【答案】103

解：∵橢圓x225+y216=1中，∴a=5，c=a2?b2=3，可得橢圓的焦點(diǎn)分別為F1(?3,0)、F2(3,0)，設(shè)△ABF2的內(nèi)切圓半徑為r，∵△ABF2的內(nèi)切圓面積為S=πr16.【答案】

3+224

解：過點(diǎn)A作AO⊥平面ABCD于點(diǎn)O，則O為△BCD的重心，

所以O(shè)B=23×32×26=22，所以AO=26三、解答題：17.【答案】解：，

由得，∴函數(shù)f(x)的對稱中心為，

(2)∵x∈?π4,π4，，，∴函數(shù)的值域?yàn)閇??18.【【答案】解：(1)x=62.5×5×0.03+67.5×5×0.05+72.5×5×0.06+77.5×5×0.04+82.5×5×0.02=71.75，所以M聽從正態(tài)分布N(71.75,35.4)．

由于35.4≈5.95，從而有P(59.85<M<77.7)=P(μ?2σ<Z<μ+σ)

=12[P(μ?2σ<Z<μ+2σ)+P(μ?σ<Z<μ+σ)]=0.8186，

故采摘的10000個(gè)蘋果中，果徑位于區(qū)間(59.85,77.7)的蘋果個(gè)數(shù)約為10000×0.8186=8186(個(gè)).

(2)由圖2可知，果徑在80以上的蘋果中，特級果、一級果、二級果的概率分別為15，12，310，

設(shè)出售Y12109P113故E(Y)=12×15+10×12+9×19.【答案】證明：(1)∵AB=2CD，O是線段AB的中點(diǎn)，∴OB=CD，

又∵OB//CD，∴四邊形OBCD為平行四邊形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，

又∵O是等腰直角△EAB斜邊上的中點(diǎn)，∴EO⊥AB，

∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD，∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面EOD．

解：(2)∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，

∴OB，OD，OE兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OD，OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵△EAB為等腰直角三角形，且設(shè)AB=2，CD=BC=1，

∴OA=OB=OD=OE=1，

∴O(0,0，0)，A(?1,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，E(0,0，1)，

∴CD=(?1,0，0)，DE=(0,?1,1)，

設(shè)平面ECD的一個(gè)法向量n=(x,y，z)，則n?CD=?x=0n?DE=?y+z=0，取y=1，得n=(0,1，1)，

∵OD⊥平面ABE，∴OD=(0,1,0)是平面ABE的一個(gè)法向量，

設(shè)平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為θ，則cosθ=|cos<OD,n>|=|OD?n||OD|?|n|=22，

∴平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小為45°．

20.【答案】解：(1)依題意得F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，由已知m≠0，

將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2?4my?4=0，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=?4，①21.【答案】解：(1)F'x=x?bx=x2?bx，

①當(dāng)b≤0時(shí)，F(xiàn)'x>0，F(xiàn)x在區(qū)間0,1上遞增，不存在極值；

②當(dāng)b≥1時(shí)，F(xiàn)'x≤0，F(xiàn)x在區(qū)間0,1上遞減，不存在極值；

③當(dāng)0<b<1時(shí)，得Fx在區(qū)間0,b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b,1上單調(diào)遞增，在x=b處取微小值．綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(0,1)．

(2)①Fx=fx?gx=12x2?elnx，則F'x=x?ex=x2?ex=x?ex+ex，

所以當(dāng)0<x<e時(shí)，F(xiàn)'x>0；當(dāng)x>e時(shí)，F(xiàn)'x>0，因此x=e時(shí)，F(xiàn)x取得最小值0；

②由①知fx與gx22.【答案】解：(1)∵圓C的圓心為極坐