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文檔簡介
2025屆福建省漳州市八校高三(下)月考數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進價元,乙每件進價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件2.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別,數(shù)據(jù)分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究,且每個方向均有研究生學習,其中劉澤同學學習人臉識別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種3.若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.44.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.5.設,,,則()A. B. C. D.6.甲、乙兩名學生的六次數(shù)學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù);②甲同學的平均分比乙同學的平均分高;③甲同學的平均分比乙同學的平均分低;④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④7.馬林●梅森是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士,也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物,梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作,人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻,將形如2P﹣1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.68.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.9.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標保持不變;再把所得圖象向上平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若,則的值可能為()A. B. C. D.11.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的下頂點為,若直線與橢圓交于不同的兩點、,則當_____時,外心的橫坐標最大.14.如圖,己知半圓的直徑,點是弦(包含端點,)上的動點,點在弧上.若是等邊三角形,且滿足,則的最小值為___________.15.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.16.某校共有師生1600人,其中教師有1000人,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從所有師生中抽取一個容量為80的樣本,則抽取學生的人數(shù)為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列,其前項和為,若對于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.19.(12分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.20.(12分)已知動點到定點的距離比到軸的距離多.(1)求動點的軌跡的方程;(2)設,是軌跡在上異于原點的兩個不同點,直線和的傾斜角分別為和,當,變化且時,證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標.21.(12分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設,求函數(shù)在上的零點個數(shù);(2)試探討是否存在實數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.22.(10分)已知矩形紙片中,,將矩形紙片的右下角沿線段折疊,使矩形的頂點B落在矩形的邊上,記該點為E,且折痕的兩端點M,N分別在邊上.設,的面積為S.(1)將l表示成θ的函數(shù),并確定θ的取值范圍;(2)求l的最小值及此時的值;(3)問當θ為何值時,的面積S取得最小值?并求出這個最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
由題意列出約束條件和目標函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當經(jīng)過時,最大.故選:D.本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負數(shù),并準確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.2.B【解析】
將人臉識別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進行分類討論,結(jié)合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當人臉識別方向有2人時,有種,當人臉識別方向有1人時,有種,∴共有360種.故選:B本小題主要考查簡單排列組合問題,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】
由二項式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算.【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為,.故選:C.本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.B【解析】
求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.本題主要考查了排列組合的應用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】
由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數(shù)為,乙同學成績的中位數(shù)為,故①錯誤;,,則,故②錯誤,③正確;顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).7.C【解析】
模擬程序的運行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時,不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,故選:C.本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為,所以.因為,所以,因為,為增函數(shù),所以所以,故選:A.本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.9.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號,即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,排除選項A,B;當時,,,排除選項D,故選:C.本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性,屬于中檔題.10.C【解析】
利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡,然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為,可得函數(shù)的值域為,結(jié)合條件,可得出、均為函數(shù)的最大值,于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍,由此可得出正確選項.【詳解】函數(shù),將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍,得的圖象;再把所得圖象向上平移個單位,得函數(shù)的圖象,易知函數(shù)的值域為.若,則且,均為函數(shù)的最大值,由,解得;其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標,的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍,且.故選C.本題考查三角函數(shù)圖象變換,同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題,解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.11.A【解析】
根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,因為對任意,,都有,所以函數(shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實數(shù)的取值范圍是.故選:A.本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.12.C【解析】試題分析:集合考點:集合間的關(guān)系二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由已知可得、的坐標,求得的垂直平分線方程,聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程,求得的垂直平分線方程,兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標,再由導數(shù)求最值.【詳解】如圖,由已知條件可知,不妨設,則外心在的垂直平分線上,即在直線,也就是在直線上,聯(lián)立,得或,的中點坐標為,則的垂直平分線方程為,把代入上式,得,令,則,由,得(舍)或.當時,,當時,.當時,函數(shù)取極大值,亦為最大值.故答案為:.本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用,訓練了利用導數(shù)求最值,是中等題.14.1【解析】
建系,設,表示出點坐標,則,根據(jù)的范圍得出答案.【詳解】解:以為原點建立平面坐標系如圖所示:則,,,,設,則,,,,,,,顯然當取得最大值4時,取得最小值1.故答案為:1.本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,坐標運算,屬于中檔題.15.0.08【解析】
先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計算公式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16.1【解析】
直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為,∴抽取學生的人數(shù)為6001.故答案為:1.本題考查了分層抽樣的計算,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)用數(shù)學歸納法證明即可;(2)根據(jù)條件可得,然后將用,,表示出來,根據(jù)是一個整數(shù),可得結(jié)果.【詳解】解:(1)令,,則即∴,∴成等差數(shù)列,下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,假設成等差數(shù)列,其中,公差為,令,,∴,∴,即,∴成等差數(shù)列,∴數(shù)列是等差數(shù)列;(2),,若存在正整數(shù),使得是整數(shù),則,設,,∴是一個整數(shù),∴,從而又當時,有,綜上,的最小值為.本題主要考查由遞推關(guān)系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì),關(guān)鍵是利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,屬于難題.18.(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
證明:(1)在矩形中,,又平面,平面,所以平面.(2)連結(jié),交于點,連結(jié),在矩形中,點為的中點,又,故,,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.19.(1)(2)【解析】
(1)判斷公比不為1,運用等比數(shù)列的求和公式,解方程可得公比,進而得到所求通項公式;(2)求得,運用數(shù)列的錯位相減法求和,以及等比數(shù)列的求和公式,計算可得所求和.【詳解】解:(1)設公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,且,,可得時,,不成立;當時,,即,解得(舍去),則;(2),前項和,,兩式相減可得,化簡可得.本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用,考查數(shù)列的錯位相減法求和,考查方程思想和運算能力,屬于中檔題.20.(1)或;(2)證明見解析,定點【解析】
(1)設,由題意可知,對的正負分情況討論,從而求得動點的軌跡的方程;(2)設其方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理得到,所以,所以直線的方程可表示為,即,所以直線恒過定點.【詳解】(1)設,動點到定點的距離比到軸的距離多,,時,解得,時,解得.動點的軌跡的方程為或(2)證明:如圖,設,,由題意得(否則)且,所以直線的斜率存在,設其方程為,將與聯(lián)立消去,得,由韋達定理知,,①顯然,,,,將①式代入上式整理化簡可得:,所以,此時,直線的方程可表示為,即,所以直線恒過定點.本題主要考查了動點軌跡,考查了直線與拋物線的綜合,是中檔題.21.(1)個;(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設,對其求導,及最小值,從而得到的解析式,進一步求值域即可;(1)分別對和兩種情況進行討論,得到的解析式,進一步構(gòu)造,通過求導得到最值,得到滿足條件的的范圍.試題解析:(1)設,.............1分令,得遞增;令,得遞減,.................1分∴,∴,即,∴.............3分設,結(jié)合與在上圖象可知,這兩個函數(shù)的圖象在上有兩個交點,即在上零點的個數(shù)為1...........................5分(或由方程在上有兩根可得)(1)假設存在實數(shù),使得對恒成立,則,對恒成立,即,對恒成立,................................6分①設,令,得遞增;令,得遞減,∴,當即時,,∴,∵,∴4.故當時,對恒成立,.......................8分當即時,在上遞減,∴.∵,∴,故當時,對恒成立............................10分②若對恒成立,則,∴...........11分由①及②得,.故存在實數(shù),使得對恒成立,且的取值范圍為...
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