橢圓專項訓(xùn)練- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁橢圓專項訓(xùn)練-高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)檢測卷一、單選題1．與橢圓有相同焦點，且滿足短半軸長為的橢圓方程是（

）A． B．C． D．2．已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且，則點到軸的距離為（

）A． B． C．2 D．3．橢圓的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，若，則的面積為（

）A． B． C．8 D．5．已知橢圓的長軸為6，左、右焦點分別為，以為圓心的圓與軸僅有1個交點，且過點.若，則橢圓的短軸長為（

）A． B． C．4 D．6．已知為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，若點分別在直線，上，若四邊形為平行四邊形，且為定值，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓上總存在點，使得過點能作橢圓的兩條相互垂直的切線，財?shù)娜≈捣秶牵?/p>

）A． B． C． D．8．如圖，已知橢圓的左?右焦點分別為，過焦點的直線交橢圓于兩點，若的內(nèi)切圓的面積為，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為Ax1,y1,Bx2,y2，則

A． B．2 C． D．二、多選題9．設(shè)橢圓的左右焦點為，P是C上的動點，則（

）A． B．離心率C．短軸長為2，長軸長為4 D．不可能是鈍角10．下列命題錯誤的是（

）A．若定點，滿足，動點滿足，則動點的軌跡是橢圓B．若定點，滿足，動點滿足，則的軌跡是橢圓C．當(dāng)時，曲線：表示橢圓D．若動點的坐標(biāo)滿足方程，則點的軌跡是橢圓，且焦點坐標(biāo)為11．中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”，是世界首個在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器．如圖，現(xiàn)假設(shè)“四號星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點P第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是（

）

A． B．C． D．三、填空題12．若直線和橢圓交于兩點，則線段的長為．13．過橢圓的右焦點作相互垂直的弦．若四邊形的面積的取值范圍為，則．14．“若點P為橢圓上的一點，為橢圓的兩個焦點，則橢圓在點處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一．已知橢圓，點P是橢圓上的點，在點處的切線為直線，過左焦點作的垂線，垂足為，設(shè)點的軌跡為曲線．若是曲線上一點，已知點，則的最小值為．四、解答題15．已知橢圓的右焦點為F，C在點處的切線l分別交直線和直線于兩點．(1)求證：直線與C相切；(2)探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．16．已知橢圓.(1)若點在橢圓C上，證明：直線與橢圓C相切；(2)設(shè)曲線的切線l與橢圓C交于兩點，且以為切點的橢圓C的切線交于M點，求面積的取值范圍.17．已知橢圓，點為直線上的一點．(1)設(shè)，過的右焦點且斜率不為0的直線交于兩點，記直線的傾斜角分別為，且，求點的坐標(biāo)．(2)過作橢圓的切線，切點為，試探究：以為直徑的圓是否過定點？若是，求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．18．已知橢圓，過原點的兩條直線和分別與橢圓交于點和，記的面積為．(1)設(shè)，用的坐標(biāo)表示點到直線的距離，并證明；(2)設(shè)，，，求的值；(3)設(shè)與的斜率之積為，求的值，并使得無論與如何變動，面積保持不變．19．已知A，B分別為橢圓的上下頂點，P為直線上的動點，且P不在橢圓上，與橢圓E的另一交點為C，與橢圓E的另一交點為D，（C，D均不與橢圓E上下頂點重合）.(1)證明：直線過定點；(2)設(shè)（1）問中定點為Q，過點C，D分別作直線的垂線，垂足分別為M，N，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數(shù)t，使得，，總為等比數(shù)列？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】由焦點和短半軸長，待定系數(shù)法求橢圓方程.【詳解】橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在軸上，設(shè)所求橢圓方程為，依題意有，所以，所求橢圓方程為.故選：B2．D【分析】根據(jù)橢圓的定義列出，求得，則得為等腰三角形，然后利用等面積法從而求解.【詳解】由可得，如圖，作軸，交軸于點，作，交于點，設(shè)點到軸的距離為，則有，可得，故D正確.故選：D.

3．C【分析】根據(jù)題意，化簡橢圓的方程為，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由橢圓，可化為，可得，則，又由橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為.故選：C.4．D【分析】由橢圓的定義求得，取的中點，得到，利用勾股定理可得，進而求得的面積.【詳解】由橢圓中，，，則，可得，又由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以.故選：D.5．D【分析】首先分析出點在橢圓上，則得到圓的方程，再利用韋達定理得到，最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)化運算即可得到相關(guān)方程，解出即可.【詳解】由題意得，則，設(shè)右焦點，因為以為圓心的圓與軸僅有1個交點，則圓與軸相切與點，根據(jù)對稱性則不妨設(shè)，，則圓的方程為，令，則整理得到，則，，，，則，解得，則，橢圓的短軸長為.故選：D.

6．C【分析】由已知四邊形可得，再用，，Px0,y0的坐標(biāo)表示出斜率，得到【詳解】四邊形為平行四邊形，．設(shè)，，Px0,y0，則，，，，，當(dāng)時，為定值，即為定值，橢圓的離心率為．故選：C．7．D【分析】將在圓上總存在點能作橢圓的兩條相互垂直的切線轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的蒙日圓總存在交點，然后列不等式求解即可.【詳解】由題意得橢圓的蒙日圓為，在圓上總存在點，則圓與總存在交點，即兩圓相切或相交，則，解得.故選：D.8．D【分析】根據(jù)等面積法，由此可求出所求的值.【詳解】由題意知的內(nèi)切圓的半徑為，又，所以的面積，因為，所以.故選：D.9．AD【分析】利用橢圓的定義及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】橢圓，，，A正確；離心率，B錯誤；短軸長為，長軸長為，C錯誤；當(dāng)點P在橢圓短軸端點處時，最大，此時，得，故不可能是鈍角，D正確.故選：AD.10．AC【分析】根據(jù)橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，若定點，滿足，動點滿足，可得點的軌跡為以為端點的線段，所以A不正確；對于B中，若定點，滿足，動點滿足，由橢圓的定義，可得點的軌跡是以為焦點的橢圓，所以B正確；對于C中，當(dāng)時，曲線：，若時，即時，此時曲線表示圓，所以C不正確；對于D中，若動點的坐標(biāo)滿足方程，則點的軌跡是橢圓，其中，可得，所以焦點坐標(biāo)為，所以D正確.故選：AC.11．BC【分析】由圖可推出，，即可判斷A選項；再由的值相等，可判斷B選項；由整理后兩邊平方及與、的關(guān)系，以及、的關(guān)系，即可判斷C、D選項.【詳解】由圖知，，所以，，所以，故A錯誤；由軌道Ⅰ知，由軌道Ⅱ知,所以，故B正確；由可得：，兩邊平方可得：，即，即，所以，由圖知，即，所以，所以，所以，所以，故C正確，D錯誤.故選：BC.12．【分析】聯(lián)立直線和橢圓方程后，利用弦長公式求解.【詳解】由消y得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：13．2【分析】先利用余弦定理證明焦點弦長，即可由面積公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及放縮法，可得，即可求解.【詳解】先證明：在橢圓中，點為橢圓上一點．如圖，設(shè)，則，，，．

在中，根據(jù)余弦定理，有，由橢圓定義得，整理得．在中，，整理得．所以，．設(shè)弦所在直線與軸正方向的夾角為，則，，所以四邊形的面積，；，，．故答案為：2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由余弦定理橢圓的焦半徑，，得焦點弦長.14．【分析】先由已知橢圓的性質(zhì)結(jié)合橢圓定義可得軌跡，再利用圓的性質(zhì)在軸上找一定點，滿足，從而將轉(zhuǎn)化為最值問題求解可得.【詳解】由橢圓方程，知.如圖，延長、交于點，由題意可知，又因為，則為的中點，且，所以，，又因為為的中點，則.故點的軌跡為以為原點，為半徑的圓，圓的方程為.設(shè)在軸上存在定點，使得圓上任意一點，滿足，由，則，化簡得，又∵，代入得，要使等式恒成立，則，即.∴存在定點，使圓上任意一點滿足，則，當(dāng)三點共線（位于兩側(cè)）時，等號成立.由，則，所以，當(dāng)三點共線（位于兩側(cè)）時等號成立.如圖，連接，線段與圓的交點即為取最值時的點，此時取到最小值.故答案為：5.【點睛】方法點睛：借助阿氏圓探究最值問題：若為兩定點，動點滿足，則時，動點的軌跡為直線；當(dāng)且時，動點的軌跡為圓，此圓稱之為阿波羅尼斯圓，也稱阿氏圓.借助阿波羅尼斯圓，可以轉(zhuǎn)化動點到定點的距離，化系數(shù)為，從而轉(zhuǎn)化為到另一定點的距離進而由幾何性質(zhì)等求解最值.15．(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】（1）聯(lián)立曲線后消去縱坐標(biāo)可得一元二次方程，借助橢圓方程代入計算可得該一元二次方程有唯一解即可得證；（2）由（1）可得直線的方程，即可得兩點坐標(biāo)，計算出與即可得.【詳解】（1）聯(lián)立，整理得：，又因為x022+y即，此方程有唯一解，即直線與橢圓相切；（2）由（1）知，直線的方程為，即，將直線和直線分別與上式聯(lián)立，由題意可得，因為F1,0，所以，所以，即為定值.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）分類討論，及，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系結(jié)合判別式計算即可證明；（2）法一、先確定圓的切線方程，設(shè)坐標(biāo)，聯(lián)立切線方程與橢圓方程利用韋達定理得A、B坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合（1）得過的橢圓切線方程，聯(lián)立兩切線方程求交點得M坐標(biāo)與坐標(biāo)的關(guān)系，再結(jié)合點在圓上消元化簡得，根據(jù)三角形面積結(jié)合導(dǎo)數(shù)求其值域即可；法二、設(shè)，由直線與圓的位置關(guān)系得參數(shù)間關(guān)系，再由橢圓的切線方程得切點弦方程，由待定系數(shù)法得，利用弦長公式及點到直線的距離公式計算面積求范圍即可.【詳解】（1）若，則，此時橢圓切線方程為，滿足，若，則，此時橢圓切線方程為，滿足，若，聯(lián)立方程，得，，∴與橢圓C只有一個交點，是其切線；綜上，是橢圓C在Px0（2）法一、依題意作圖：設(shè)圓O的切點為Px若，可設(shè)，由直線與圓的位置關(guān)系知：，則，若，顯然切線方程為，滿足，若，顯然切線方程為，滿足，故圓在切點P處的切線方程為；當(dāng)，設(shè)，聯(lián)立方程：，得，，，結(jié)合（1）知：在A點的橢圓C的切線方程為，在B點的橢圓C的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，得，所以，因為Ax1,y1點在切線上，所以使用水平底鉛垂高計算的面積，鉛垂高為，又，從而，即，，∵點P在圓O上，∴，由題意，，設(shè)函數(shù)，，∴；當(dāng)時，切線方程為，代入橢圓C的方程得，，，同理時，.綜上取值范圍是.法二、設(shè)直線，因為AB與曲線O相切，則有，即.設(shè)，將代入橢圓方程得：，，則.由（1）的結(jié)論，過點A的橢圓切線為，過點B的橢圓切線為，而兩條切線交于點M，則，所以A，B的坐標(biāo)滿足直線，即直線AB方程.易知，則，故有，則點P到直線的距離，所以，易知，隨增大而增大，則，所以，當(dāng)時，，故取值范圍是.【點睛】思路點睛：法一、利用圓與橢圓的切線方程及直線的交點坐標(biāo)，得出切點的坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)水平底鉛錘高求面積即可；法二、利用直線與圓的位置關(guān)系得圓的切線方程參數(shù)關(guān)系，再由橢圓的切線方程及其切點弦方程得出切點與圓的切線方程參數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)點到直線的距離公式、弦長公式計算面積即可.17．(1)(2)以為直徑的圓恒過定點，定點坐標(biāo)為．【分析】（1）設(shè)坐標(biāo)及直線方程，利用韋達定理得縱坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)已知得直線的斜率間關(guān)系，再利用兩點斜率公式消元轉(zhuǎn)化計算即可；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程利用直線與橢圓位置關(guān)系、韋達定理得，聯(lián)立得，設(shè)定點坐標(biāo)，利用圓的性質(zhì)及平面向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合待定系數(shù)法計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，橢圓的方程為，F(xiàn)1,0，直線．設(shè)，直線的方程為，Ax1,y聯(lián)立得，消去并整理，得，可得，．記直線的斜率分別為，則，，．由，可得，即．又，，所以，所以，解得，所以點的坐標(biāo)為．（2）易知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，由，消去并整理，得．因為直線與橢圓相切，所以，得，所以，則，所以，則．由，得．假設(shè)存在定點，使得以為直徑的圓恒過點，則．易知，，所以，所以對任意的實數(shù)，恒成立所以，故以為直徑的圓恒過定點，定點坐標(biāo)為．18．(1)距離為，證明見解析；(2)或；(3).【分析】（1）求出直線的方程，再求出點到直線的距離，求出面積即得.（2）把及點的坐標(biāo)代入（1）的結(jié)論即可求出值.（3）由斜率坐標(biāo)公式可得，結(jié)合橢圓方程變形（1）中面積關(guān)系推理計算即得.【詳解】（1）依題意，，的一個法向量，直線，則點到直線的距離，所以．（2）由（1）可得：，即，又，則，整理得，即，解之或，所以的值為或.（3）顯然兩直線的斜率分別為：，，由與的斜率之積為得：，又，，因此，即，而，化簡得，將代入得：，欲使面積為定值，只需即可，此時面積．19．(1)證明見解析(2)存在時，，，總構(gòu)成等比數(shù)列.【分析】（1）先表示出直線和直線的方程，由題意可得③，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓和直線的方程，得到代入③化簡即可得出，即可證明直線過定點；（2）先表示出，，，再由等比中項的性質(zhì)知，再將代入化簡可得.【詳解】（1）由題意，直線的斜率一定存在，設(shè)，，直線的方程為：，則直線為：①直線為：②由①②得：∵P在直線上，∴，∵，∴，∴，∴，∴③聯(lián)立：得方程：，，由韋達定理：，，將韋達定理代入③得：，∴（舍），,∴直