考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷1（共141題）

考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷1（共4套）（共141題）考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)有齊次線性方程組Ax=0及Bx=0，其中A、B均為m×n矩陣，現(xiàn)有以下4個(gè)命題①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則R(A)≥R(B)；②若R(A)≥R(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0與Bx=0同解，則R(A)=R(B)；④若R(A)=R(B)，則Ax=0與Bx=0同解。以上命題中正確的是()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：選(B)。因?yàn)棰僦袟l件保證了n-R(A)≤n-R(B)，所以R(A)≥R(B)。而進(jìn)一步易知③正確，而②、④均不能成立。2、某五元齊次線性方程組經(jīng)初等變換將系數(shù)矩陣化為，自由變量可取為(1)x4，x5(2)x3，x5(3)x1，x5(4)x2，x3那么，正確的共有()A、1個(gè)。B、2個(gè)。C、3個(gè)。D、4個(gè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩R(A)=3，則n-R(A)=5-3=2，故應(yīng)當(dāng)有2個(gè)自由變量。由于去掉x4，x5兩列之后，所剩三階矩陣為，其秩與R(A)不相等，故x4，x5不是自由變量。同理，x3，x5也不能是自由變量。因?yàn)樾辛惺蕉疾粸?，故x1，x5與x2，x3均可以是自由變量。3、設(shè)η1，η2，η3，η4是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的基礎(chǔ)解系還可以是()A、η1-η2，η2+η3，η3-η4，η4+η1。B、η1+η2，η2+η3+η4，η1-η2+η3。C、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1。D、η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由已知條件，Ax=0的基礎(chǔ)解系是由四個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成的，而選項(xiàng)(B)中僅三個(gè)解向量，不符合要求，故選項(xiàng)(B)不是基礎(chǔ)解系。選項(xiàng)(A)和選項(xiàng)(C)中，都有四個(gè)解向量，但因?yàn)?η1-η2)+(η2+η3)-(η3-η4)-(η4+η1)=0，(η1+η2)-(η2+η3)+(η3+η4)-(η4+η1)=0，說明(A)、(C)中的向量組均線性相關(guān)，因而選項(xiàng)(A)、(C)也不是基礎(chǔ)解系。用排除法可知選項(xiàng)(D)正確?；蛘哂?η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1)=(η1，η2，η3，η4)而知η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1線性無關(guān)，又因η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1均是Ax=0的解，且解向量個(gè)數(shù)為4，所以選項(xiàng)(D)是基礎(chǔ)解系。4、已知方程組有兩個(gè)不同的解，則λ=()A、-1。B、10。C、1。D、2。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：線性方程組Ax=b有兩個(gè)不同的解Ax=b有無窮多解R(A)=A(A，b)＜n。由于本題的系數(shù)矩陣含有參數(shù)，故可以由｜A｜=0來進(jìn)行求解。=(λ-1)2(10-λ)，由｜A｜=0，可得λ=1或λ=10，故可排除(A)與(D)。當(dāng)λ=1時(shí)，有因?yàn)镽(A)=＜3，所以λ=1時(shí)方程組有無窮多解，且經(jīng)驗(yàn)證λ=10不滿足條件，故選(C)。5、設(shè)A為m×n矩陣，下列命題中正確的是()A、若A中有n階子式不為零，則Ax=0僅有零解。B、若A中有n階子式不為零，則Ax=b必有唯一解。C、若A中有m階子式不為零，則Ax=0僅有零解。D、若A中有m階子式不為零，則Ax=b必有唯一解。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：A是m×n矩陣，若A中有n階子式不為零，而A中又不存在n+1階子式，故必有R(A)=n。同理，若A中有m階子式不為零，則必有R(A)=m。對于(A)，因?yàn)镽(A)=n，而Ax=0是n個(gè)未知數(shù)的齊次方程組，所以Ax=0必只有零解。故(A)正確。對于(B)，當(dāng)R(A)=n時(shí)，增廣矩陣A的秩有可能是n+1，所以Ax=b可能無解，因此(B)不正確。例如：有R(A)=2，=3，方程組無解。對于(C)和(D)，R(A)=m，即A的行向量組線性無關(guān)，那么其延伸組必線性無關(guān)，所以=m。因此，方程組Ax=b必有解，但未必有唯一解，Ax=0也未必只有零解。例如，有無窮多解。僅當(dāng)m=n時(shí)，選項(xiàng)(C)、選項(xiàng)(D)才正確。6、設(shè)αi=(ai，bi，ci)T，i=1，2，3，α=(d1，d2，d3)T，則三個(gè)平面a1x+b1y+c1z+d1=0，a2x+b2y+c2z+d2=0．a(chǎn)3x+b3y+c3z+d3=0，兩兩相交成三條平行直線的充分必要條件是()A、R(α1，α2，α3)=1，R(α1，α2，α3，α)=2。B、R(α1，α2，α3)=2，R(α1，α2，α3，α)=3。C、α1，α2，α3中任意兩個(gè)均線性無關(guān)，且α不能由α1，α2，α3線性表示。D、α1，α2，α3線性相關(guān)，且α不能由α1，α2，α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：(A)中由R(α1，α2，α3)=1，知三個(gè)平面的法向量平行，從而三個(gè)平面相互平行(或重合)，又由R(α1，α2，α3，α)=2，可知三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn)，因而這三個(gè)平面兩兩平行，至多有兩個(gè)重合。當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交成三條平行直線時(shí)，必有R(α1，α2，α3)=2，R(α1，α2，α3，α)=3，但當(dāng)R(α1，α2，α3)=2，R(α1，α2，α3，α)=3時(shí)，有可能其中兩個(gè)平面平行，第3個(gè)平面和它們相交，所以(B)是必要不充分條件。而(D)(A)或(B)，亦知(D)是必要不充分條件。α1，α2，α3中任意兩個(gè)均線性無關(guān)任何兩個(gè)平面都不平行，且相交成一條直線，而α不能由α1，α2，α3線性表示三個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。故應(yīng)選(C)。7、要使ξ1=(1，0，2)T，ξ2=(0，1，-1)T都是齊次線性方程組Ax=0的解，那么系數(shù)矩陣為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：ξ1，ξ2對應(yīng)的元素不成比例，所以ξ1，ξ2是Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故n-R(A)≥2。由n=3知，R(A)≤1。(A)選項(xiàng)，矩陣的秩為1；(B)和(C)選項(xiàng)，矩陣的秩為2；(D)選項(xiàng)，矩陣的秩為3，故知應(yīng)選(A)。8、齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，存在B≠O，使得AB=O，則()A、λ=-2且｜B｜=0。B、λ=-2且｜B｜≠0。C、λ=1且｜B｜=0。D、λ=1且｜B｜≠0。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：存在B≠O，使AB=O，說明齊次線性方程組Ax=0有非零解，故｜A｜==(1-λ)2=0，解得λ=1，而當(dāng)λ=1時(shí)，R(A)=1，由矩陣的秩的性質(zhì)知，R(A)+R(B)≤3，則R(B)≤2，故｜B｜=0。9、設(shè)α1，α2，α3，α4是4維非零列向量組，A=(α1，α2，α3，α4)，A*是A的伴隨矩陣，已知方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為(1，0，2，0)T，則方程組A*x=0的基礎(chǔ)解系為()A、α1，α2，α3。B、α19α2，α2+α3，3α3。C、α2，α3，α4。D、α1，α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由Ax=0的基礎(chǔ)解系僅含1個(gè)解向量，知｜A｜=0且R(A)=4-1=3，所以R(A*)=1，那么A*x=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)含3個(gè)解向量，故排除(D)。又由題設(shè)有(α1，α2，α3，α4)(1，0，2，0)T=0，即α1+2α3=0，亦即α1，α3線性相關(guān)，所以排除(A)、(B)，故選擇(C)。10、a=-5是齊次方程組有非零解的()A、充分必要條件。B、充分不必要條件。C、必要不充分條件。D、既不充分也不必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)組成的齊次方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是｜A｜=0。于是由｜A｜==(a+5)(a-3)，可知a=-5時(shí)，｜A｜=0，但｜A｜=0并不一定有a=-5。因而a=-5是充分不必要條件。故應(yīng)選(B)。11、設(shè)矩陣A是秩為2的四階矩陣，又α1，α2，α3是線性方程組Ax=b的解，且α1+α2-α3=(2，0，-5，4)T，α2+2α3=(3，12，3，3)T，α3-2α1=(2，4，1，-2)T，則方程組Ax=b的通解x=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于nR(A)=4-2=2，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)可知，方程組Ax=b的通解形式應(yīng)為α+k1η1+k2η2，故可排除(C)、(D)。由已知條件，(α2+2α3)=b，A(α3-2α1)=-b，所以(A)中(1，4，1，1)T和(B)中(-2，-4，-，2)T都是方程組Ax=b的解。(A)和(B)中均有(2，2，-2，1)T，因此可知它必是Ax=0的解。又由于3(α1+α2-α3)-(α2+2α3)=3(α1-α3)+2(α2-α3)，且由非齊次線性方程組的解與對應(yīng)齊次線性方程組的解之間的關(guān)系知，3(α1-α3)+2(α2-α3)是Ax=0的解，所以(3，-12，-18，9)T是Ax=0的解，那么(1，-4，-6，3)T也是Ax=0的解。故應(yīng)選(A)。12、非齊次線性方程組Ax=b中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣A的秩為r，則()A、r=m時(shí)，方程組Ax=b有解。B、r=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。C、m=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。D、r＜n時(shí)，方程組Ax=b有無窮多解。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：(A，b)是m×(n+1)矩陣，當(dāng)r=m時(shí)，R(A，b)≤m=r=R(A)。再由R(A)≤R(A，b)，可得R(A)=R(A，b)，所以方程組Ax=b有解，故選(A)。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)13、已知方程組有無窮多解，那么a=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是R(A)=，而有無窮多解的充分必要條件是R(A)=＜n。對增廣矩陣作初等行變換，有由于R(A)=2，所以6-2a=0，解得a=3。所以，方程組有無窮多解的充分必要條件是a=3。14、設(shè)A=(aij)是三階正交矩陣，其中a33=-1，b=(0，0，5)T，則線性方程組Ax=b必有的一個(gè)解是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，0，-5)T知識點(diǎn)解析：由克拉默法則，對于Ax=b，有x=A-1b，因?yàn)锳是正交矩陣，則A-1=AT，故x=ATx=(5a31，5a32，-5)T，而又a312+a322+a332=1，故知a31=0，a32=0。15、已知非齊次線性方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解，其中則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解，即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解。對(Ⅰ)求出其通解為(3，2，0)T+k(3，-1，1)T，于是把x1=3+3k，x2=2-k，x3=k代入方程組(Ⅱ)，有整理得因?yàn)閗為任意常數(shù)，故a=1。此時(shí)方程組(Ⅰ)的解全是方程組(Ⅱ)的解。且當(dāng)a=1時(shí)，方程組(Ⅱ)為由方程組(Ⅱ)的系數(shù)矩陣A2=得秩R(A2)=2，則根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知(Ⅱ)的通解形式為α+kη。易知α=(3，2，0)T是Ax=b的一個(gè)特解，η=(3，-1，1)T是A2x=0的一個(gè)非零解。所以(Ⅰ)與(Ⅱ)必同解。16、已知方程組無解，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點(diǎn)解析：方程組的增廣矩陣當(dāng)a=-1時(shí)，=3≠R(A)=2，此時(shí)方程組無解。17、設(shè)A為n階方陣，任何n維列向量都是方程組的解向量，則R(A)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：已知任何n維列向量都是此方程組的解，故n維基本單位向量組ε1=，ε2=…，εn=也是它的解，即A(ε1，ε2，…，εn)=AE=O，故有A=O，所以R(A)=0。18、A=，其中ai≠0，i=1，2，…，m，bj≠0，j=1，2，…，n。則線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：n-1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閍i≠0(i=1，2，…，m)，j≠0(j=1，2，…，n)，所以因此R(A)=1，故線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含n-1個(gè)解向量。三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)19、設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=1＜n，方程組有非零解，其同解方程組為x1+x2+…+xn=0，由此得基礎(chǔ)解系為η1=(-1，1，0，…，0)T，η2=(-1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(-1，0，0，…，1)T，于是方程組的通解為x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1為任意常數(shù)。當(dāng)a≠0時(shí)，對矩陣B作初等行變換，有當(dāng)a=時(shí)，r(A)=n-1＜n，方程組也有非零解，其同解方程組為由此得基礎(chǔ)解系為η=(1，2，…，n)T，于是方程組的通解為x=kη，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知齊次方程組為其中ai≠0。討論當(dāng)a1，a2，…，an和6滿足何種關(guān)系時(shí)：(Ⅰ)方程組僅有零解；(Ⅱ)方程組有非零解，在此情形條件下寫出一個(gè)基礎(chǔ)解系。標(biāo)準(zhǔn)答案：對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A作初等變換，即(Ⅰ)當(dāng)b≠0且b≠ai時(shí)，R(A)=n，原方程組只有零解。(Ⅱ)當(dāng)b=0或b=ai時(shí)，R(A)＜n，原方程組有非零解。①當(dāng)b=0時(shí)，R(A)=1，原方程組與a1x1+a2x2+…+anxn=0同解。因?yàn)閍i≠0，所以a1，a2，…，an不全為0。不失一般性，設(shè)an≠0，則原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系(含n-1個(gè)線性無關(guān)的解向量)為(an，0，…，0，-a1)T，(0，an，…，0，-a2)T，…，(0，0，…，an，-an-1)T。②當(dāng)b=ai時(shí)，因?yàn)閍i≠0，所以R(A)=n-1，原方程組的基礎(chǔ)解系(含1個(gè)線性無關(guān)的解向量)為(1，1，…，1，1)T。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、解齊次方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：對系數(shù)矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣由n-R(A)=4-2=2，基礎(chǔ)解系由2個(gè)向量組成，每個(gè)解中有2個(gè)自由變量。令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2。令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=-22。得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(-22，0，15，2)T，因此通解是k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、已知齊次線性方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)同解，求a，b，c的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉匠探M(Ⅱ)中方程個(gè)數(shù)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)，(Ⅱ)必有無窮多解，所以(Ⅰ)必有無窮多解，因此(Ⅰ)的系數(shù)行列式必為0，即有對(Ⅰ)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有，于是求出方程組(Ⅰ)的通解是k(-1，-1，1)T。由題意知，(-1，-1，1)T亦是方程組(Ⅱ)的解，故有解得b=1，c=2或b=0，c=1。當(dāng)b=0，c=1時(shí)，方程組(Ⅱ)為因其系數(shù)矩陣的秩為1，則方程組(Ⅰ)與方程組(Ⅱ)的系數(shù)矩陣的秩不相等，從而(Ⅰ)與(Ⅱ)有不同的解，故b=0，c=1應(yīng)舍去。經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=2，b=1，c=2時(shí)，(Ⅰ)與(Ⅱ)同解。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A=設(shè)Mi(i=1，2，…，n)是A中劃去第i列所得到的n-1階子式。證明：(Ⅰ)(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程組的一個(gè)解向量；(Ⅱ)如果A的秩為n-1，則方程組的所有解向量是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)的倍數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)作n階行列式Di=，i=1，2，…，n-1。因?yàn)镈i的第一行與第i+1行是相同的，所以Di=0。Di的第一行元素的代數(shù)余子式依次為M1，-M2，…，(-1)n-1Mn，將Di按第一行展開，得ai1M1+ai2(-M2)+…+ain[(-1)n-1Mn]=0，(i=l，2，…，n-1)，這說明(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)滿足第i(i=1，2，…，n-1)個(gè)方程，故它是方程組的一個(gè)解。(Ⅱ)因?yàn)镽(A)=n-1，所以方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為n-(n-1)=1，同時(shí)因?yàn)镽(A)=n-1，說明A中至少有一個(gè)(n-1)階子式≠0，即M1，M2，…，Mn不全為0，于是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程組的一個(gè)非零解，它可作為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。故方程組的解都是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)的倍數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A=，3階矩陣B≠O，且有AB=O，求λ。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=O可知，B的列向量均為方程組Ax=0的解，再由B≠O可知方程組Ax=0有非零解，所以有｜A｜=0，即=5λ-5=0。從而可得λ=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中(Ⅰ)當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求x1；(Ⅱ)當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由數(shù)學(xué)歸納法得到方程組系數(shù)矩陣的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。(Ⅰ)當(dāng)a≠0時(shí)，Dn≠0，方程組有唯一解。將A的第一列換成b，得行列式為=Dn-1=nan-1，所以由克拉默法則得x1=Dn-1／Dn=(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí)，方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n-1，所以方程組有無窮多解，其通解為x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、討論a，b為何值時(shí)，方程組無解?有解?有解時(shí)寫出全部解。標(biāo)準(zhǔn)答案：用初等行變換把增廣矩陣化為行階梯形矩陣，即可見，當(dāng)a≠1時(shí)，R(A)≠R(A，b)，方程組無解。當(dāng)a=1且b≠-1時(shí)，R(A)=R(A，b)=3，方程組有唯一解，由得唯一解為x1=3，x2=1，x3=0。當(dāng)a=1且b=-1時(shí)，R(A)=R(A，b)=2＜3，方程組有無窮多解。由得同解方程組為選x3為自由變量，對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為ξ=(-1，1，1)T，方程組的一個(gè)特解為η=(3，1，0)T，所以方程組的通解為x=η+kξ，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)線性方程組(Ⅰ)證明當(dāng)a1，a2，a3，4兩兩不相等時(shí)，方程組無解；(Ⅱ)設(shè)a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且β1=(-1，1，1)T和β2=(1，1，-1)T是兩個(gè)解。求此方程組的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)增廣矩陣的行列式是一個(gè)范德蒙德行列式，其值等于=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a2)，于是，當(dāng)a1，a2，a3，a4兩兩不同時(shí)，增廣矩陣可逆，秩為4，而系數(shù)矩陣的秩為。因此，方程組無解。(Ⅱ)由題設(shè)條件，則此時(shí)方程組為β1和β2都是特解，β1-β2=(-2，0，2)T是導(dǎo)出組的一個(gè)非零解。由β1(或β2)是解看出k≠0，從而系數(shù)矩陣的秩為2，因此可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系由一個(gè)非零向量構(gòu)成，則β1-β2是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系。于是通解為β1+c(β1-β2)，c為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析28、討論方程組的解，并求解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組系數(shù)矩陣的行列式=a2(a-1)。當(dāng)｜A｜=0時(shí)，a=0或1。(1)當(dāng)a=0時(shí)，對增廣矩陣作初等行變換。R(A)=2≠=3，故方程組無解。(2)當(dāng)a=1時(shí)，對增廣矩陣作初等行變換，對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為ξ=(-1，2，1)T，方程組的一個(gè)特解為η=(2，-9，0)T。因此，方程組的通解為η+kξ，其中k為任意常數(shù)。(3)當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，｜A｜≠0，方程組有唯一解。由克拉默法則得知識點(diǎn)解析：暫無解析29、已知4階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其α2，α3，α4線性無關(guān)，α1=2α2-α3，若β=α1+α2+α3+α4，求線性方程組Ax=β的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由α2，α3，α4線性無關(guān)，且α1=2α2-α3，知R(A)=3，從而Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量。由α1-2α2+α3+0α4=0，知(1，-2，1，0)T為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。又β=α1+α2+α3+α4，即(α1，α2，α3，α4)=β，知(1，1，1，1)T為Ax=β的一個(gè)特解。因此，Ax=β的通解為(1，1，1，1)T+k(1，-2，1，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)線性方程組與方程x1+2x2+x3=a-1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程組(1)與(2)聯(lián)立，得方程組則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有因方程組(3)有解，所以(a-1)(a-2)=0。當(dāng)a=1時(shí)，，此時(shí)方程組(3)的通解為k(-1，0，1)T(k為任意常數(shù))，此即為方程組(1)與(2)的公共解。當(dāng)a=2時(shí)，，此時(shí)方程組(3)有唯一解(0，1，-1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)A=，已知線性方程組Ax=b存在兩個(gè)不同的解。(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程組Ax=b的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)榫€性方程組Ax=b有兩個(gè)不同的解，所以r(A)=＜n。于是｜A｜==(λ+1)(λ-1)2=0。解得λ=1或λ=-1。當(dāng)λ=1時(shí)，r(A)=1，=2，此時(shí)線性方程組無解。當(dāng)λ=-1時(shí)，若a=-2，則r(A)==2，方程組Ax=b有無窮多解。故λ=-1，a=-2。(Ⅱ)當(dāng)λ=-1，a=-2時(shí)，所以方程組Ax=b的通解為+k(1，0，1)T，其中k是任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析32、已知平面上三條不同直線的方程分別為l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0，試證：這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性：設(shè)三條直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，則其線性方程組有唯一解，故系數(shù)矩陣A=與增廣矩陣的秩均為2，于是=0。因?yàn)?6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，但根據(jù)題設(shè)可知(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，故a+b+c=0。充分性：由a+b+c=0，則從必要性的證明中可知，=0，故＜3。由于故r(A)=2。于是r(A)==2。因此方程組(*)有唯一解，即三條直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)。知識點(diǎn)解析：暫無解析33、是否存在平面二次曲線y=ax2+bx+c，其圖像經(jīng)過以下各點(diǎn)：(0，1)，(-2，2)，(1，3)，(2，1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次曲線y=ax2+bx+c經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)，則將以上各點(diǎn)坐標(biāo)值代入曲線方程并組成方程組，于是該問題轉(zhuǎn)化為對該方程組的求解。即將其增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為階梯形：由階梯形矩陣可知增廣矩陣的秩為4，而系數(shù)矩陣的秩為3，故方程組無解。所以，不存在經(jīng)過所給四個(gè)點(diǎn)的平面二次曲線。知識點(diǎn)解析：暫無解析34、已知線性方程組(Ⅰ)當(dāng)a，b，c滿足什么關(guān)系時(shí)，方程組只有零解?(Ⅱ)當(dāng)a，b，c滿足什么關(guān)系時(shí)，方程組有非零解?并求通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組系數(shù)矩陣A的行列式｜A｜==(b-a)(c-a)(c-b)。(范德蒙德行列式)(Ⅰ)當(dāng)a≠b，a≠c，b≠c時(shí)，有｜A｜≠0，且R(A)=3，所以方程組只有零解x1=x2=x3=0。(Ⅱ)對方程組有非零解的情形分四種情況討論。1°當(dāng)a=b≠c時(shí)，R(A)=2＜3，方程組有非零解，此時(shí)同解方程組為選x2為自由變量，則方程組的通解為x=k1，k1是任意常數(shù)。2°當(dāng)a=c≠b時(shí)，R(A)=2＜3，方程組有非零解。此時(shí)同解方程組為選x3為自由變量，則方程組的通解為x=k2，k2是任意常數(shù)。3°當(dāng)b=c≠a時(shí)，R(A)=2＜3，方程組有非零解，此時(shí)同解方程組為選x3為自由變量，則方程的通解為x=k3，其中k3是任意常數(shù)。4°當(dāng)a=b=c時(shí)，R(A)=1＜3，方程組有非零解。此時(shí)同解方程組為x1+x2+x3=0，選x2，x3為自由變量，則方程組的通解為x=k4，其中k4，k5是任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)A為n階方陣．證明：R(A*)=R(An+1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：本題可轉(zhuǎn)化為方程組Anx=0與An+1x=0同解的證明。若Anx=0，則An+1x=0，因此Anx=0的解必為An+1x=0的解；反之，當(dāng)An+1x=0時(shí)，如果Anx≠0，設(shè)k0，k1，…，kn使k0x+k1Ax+…+knAnx=0，依次用An，An-1，…，A乘該式，即得k0=k1=…=kn=0，故這n+1個(gè)向量線性無關(guān)，這顯然與n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)矛盾，所以Anx=0，于是可知Anx=0與An+1x=0同解，故R(An)=R(An+1)。知識點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)四元線性方程組(1)為又已知齊次線性方程組(2)的通解為k1(0，1，1，0)T+k2(-1，2，2，1)T。(Ⅰ)求方程組(1)的基礎(chǔ)解系；(Ⅱ)問線性方程組(1)，(2)是否有非零公共解?若有，則求出所有非零公共解；若沒有，說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)方程組(1)的同解方程組為基礎(chǔ)解系為ξ1=，ξ2=，故通解為C1(0，0，1，0)T+C2(-1，1，0，1)T，其中C1、C2為任意常數(shù)。(Ⅱ)方令C1(0，0，1，0)+C2(-1，1，0，1)=k1(0，1，1，0)+k2(-1，2，2，1)。則有(k1，k2，C1，C2為未知數(shù))。系數(shù)矩陣那么同解方程組為令k=C2，則方程組的解為k(-1，1，1，1)T，即方程組(1)、(2)的所有非零公共解是k(-1，1，1，1)T，k≠0。知識點(diǎn)解析：暫無解析37、已知A=(α1，α2，α3，α4)是四階矩陣，α1，α2，α3，α4是四維列向量，若方程組Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，-2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程組Bx=3α1+5α2-α3的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組Ax=β的通解表達(dá)式可知R(A)=R(α1，α2，α3，α4)=4-1=3，且α1+2α2+2α3+α4=β，α1-2α2+4α3=0，則B=(α3，α2，α1，β-α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，且α1，α2，α3線性相關(guān)，故R(B)=2。又因?yàn)?α3，α2，α1，β-α4)=3α1+5α2-α3，故知(-1，5，3，0)T是方程組Bx=3α1+5α2-α3的一個(gè)解。(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=4α3-2α2+α1=0，(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=α1-2α2+4α3=0，所以(4，-2，1，0)T，(2，-4,0，1)T是Bx=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解。故Bx=3α1+5α2-α3的通解為(-1，5，3，0)T+k1(4，-2，1，0)T+k2(2，-4，0，1)T其中k1，k2是任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析38、已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無關(guān)的解。(Ⅰ)證明方程組系數(shù)矩陣A的秩R(A)=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程組的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)α1，α2，α3是方程組Ax=β的3個(gè)線性無關(guān)的解，其中則有A(α1-α2)=0，A(α1-α3)=0，即α1-α2，α1-α3是對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的解，且線性無關(guān)。(否則，易推出α1，α2，α3線性相關(guān)，與假設(shè)矛盾。)所以有n-R(A)≥2，即4-R(A)≥2R(A)≤2。又矩陣A中的一個(gè)2階子式=-1≠0，所以R(A)≥2。因此R(A)=2。(Ⅱ)對矩陣A作初等行度換，即又R(A)=2，則對原方程組的增廣矩陣作初等行變換，故原方程組的同解方程組為選x3，x4為自由變量，則故所求通解為x=k1+k2，k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析39、已知線性方程組有解(1，-1，1，-1)T。(Ⅰ)用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；(Ⅱ)寫出x=x時(shí)的全部解。標(biāo)準(zhǔn)答案：將(1，-1，1，-1)T代入第1個(gè)方程，可得λ=μ。(Ⅰ)已知方程組的一個(gè)特解為(1，-1，1，-1)T，因此只需求出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系即可寫出通解。對系數(shù)矩陣作初等行變換：如果2λ-1=0，則于是得(1，-3，1，0)T和(，-1，0，1)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，因此通解為(1，-1，1，-1)T+c1(1，-3，1，0)T+c2(，-1，0，1)T，c1，c2是任意常數(shù)。如果2λ-1≠0，則即得(-1，，1)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，此時(shí)通解為(1，-1，1，-1)T+c(-1，，1)T，c是任意常數(shù)。(Ⅱ)當(dāng)2λ-1=0時(shí)，由已知條件x2=x3及(Ⅰ)中結(jié)論，則有-1-3c1-c2=1+c1，從而c2=-2-4c1，此時(shí)通解為(2，1，1，-3)T+c1(3，1，1，-4)T。當(dāng)2λ-1≠0時(shí)，由(Ⅰ)中結(jié)果，并結(jié)合已知條件x2=x3，則有得c=2，此時(shí)通解為(-1，0，0，1)T。知識點(diǎn)解析：暫無解析40、已知α1=(1，2，1，1，1)T，α2=(1，-1，1，0，1)T，α3=(2，1，2，1，2)T是齊次線性方程組Ax=0的解，且R(A)=3，試寫出該齊次線性方程組Ax=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于α1，α2，α3是5維列向量，故方程組Ax=0有5個(gè)變量，而R(A)=3，因此Ax=0的基礎(chǔ)解系包含5-R(A)=2個(gè)線性無關(guān)的解向量。又顯然α1，α2線性無關(guān)(對應(yīng)元素不成比例)，故可作為Ax=0的基礎(chǔ)解系。由(α1，α2)=(α1-α2，α2)=可得Ax=0的同解方程組為(x4，x5為自由變量)知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、AX＝0和BX＝0都是n元方程組，下列斷言正確的是()．A、AX＝0和BX＝0同解r(A)＝r(B)．B、AX＝0的解都是BX＝0的解(A)≤r(B)．C、AX＝0的解都是BX＝0的解(A)≥r(B)．D、r(A)≥r(B)AX＝0的解都是BX＝0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：AX＝0和BX＝0同解，推出(A)＝(B)，但r(A)＝r(B)推不出AX＝0和BX＝0同解，排除選項(xiàng)A．AX＝0的解郜是BX＝0的解，則AX＝00的解集合＝0的解集合，于是n－r(A)≤n－r(B)，即r(A)≥r(B)．選項(xiàng)C對，選項(xiàng)B不對．n－r(A)≤n－r(B)推不AX＝0的解集合BX＝0的解集合，選項(xiàng)D不對．2、設(shè)A是m×n矩陣，r(A)＝r．則方程組AX＝βA、在r＝m時(shí)有解．B、在m＝n時(shí)有唯一解．C、r＜n時(shí)有無窮多解．D、在r＝s時(shí)有唯一解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析3、的一個(gè)基礎(chǔ)解系為A、(0，－1，0，2)T．B、(0，－1，0，2)T，(0．1／2，0，1)T．C、(1，0，－1，0)T，(－2，0，2，0)T．D、(0，－1，0，2)T，(1，0，－1，0)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：用基礎(chǔ)解系的條件來衡量4個(gè)選項(xiàng)．先看包含解的個(gè)數(shù)．因?yàn)闉閚α4，系數(shù)矩陣為其秩為2，所以基礎(chǔ)解系應(yīng)該包禽2個(gè)解．排除選項(xiàng)A．再看無關(guān)性選項(xiàng)C中的2個(gè)向量相關(guān)，不是基礎(chǔ)解系，也排除．選項(xiàng)B和D都是兩個(gè)無關(guān)的向量，就看它們是不是解了．(0，－1，0，2)T在這兩個(gè)選項(xiàng)里都出現(xiàn)，一定是解．只要看(0，1／2，0，1)T或(1，0，－1，0)T(其中一個(gè)就可以)．如檢查(1，0，－1，0)T是解．說明選項(xiàng)D正確．或者檢查出(0，1／2，0，1)T不是解，排除B．4、當(dāng)A＝()時(shí)，(0，1，－1)和(1，0，2)構(gòu)成齊次方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系．A、(－2，1，1)．B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析5、A＝，r(A)＝2，則()是A*X＝0的基礎(chǔ)解系．A、(1，－1，0)T，(0，0，1)T．B、(1，－1，0)T．C、(1，－1，0)T，(2，－2，a)T．D、(2，－2，a)T，(3，－3，6)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：A*X＝0的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含n－1＝2個(gè)解，選項(xiàng)A滿足．(1，－1，0)T，(0，0，1)T顯然線性無關(guān)，只要再說明它們都是A*X＝0的解．A*A＝｜A｜E＝0，于是A的3個(gè)列向量(1，－1，0)T，(2，－2，a)T，(3，－3，b)T都是A*X＝0的解．由于r(A)＝2，a和b不會(huì)都是0，不妨設(shè)a≠0，則(0，0，a)T＝(2，－2，a)T－2(1，－1，0)T也是A*X＝0的解．于是(0，0，1)T＝(0，0，a)T／a也是解．6、線性方程組的通解可以表示為A、(1，－1，0，0)T＋c(0，1，－1，0)T，c任意．B、(0，1，1，1)T＋c1(0，－2，2，0)T＋c2(0，1，－1，0)T，c1，c2任意．C、(1，－2，1，0)T＋c1(－1，2，1，1)T＋c2(0，1，－1，0)T，c1，c2任意．D、(1，－1，0，0)T＋c1(1，－2，1，0)T＋c2(0，1，－1，0)T，c1，c2任意．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：用排除法．非齊次方程組AX＝β的通解是它的一個(gè)特解加上導(dǎo)出組AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系的線性組合．因此表達(dá)式中，帶參數(shù)的是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，無參數(shù)的是特解．于是可從這兩個(gè)方面來檢查．先看導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系．方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)n＝4，系數(shù)矩陣的秩為2，所以導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含2個(gè)解．選項(xiàng)A中只一個(gè)，可排除．選項(xiàng)B中用(0，－2，2，0)T，(0，1，－1，0)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，但是它們是相關(guān)的，也可排除．選項(xiàng)C和D都有(1，－2，1，0)T，但是選項(xiàng)C用它作為特解，而選項(xiàng)D用它為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的成員，兩者必有一個(gè)不對．只要檢查(1，－2，1，0)T，確定是原方程組的解，不是導(dǎo)出組的解，排除選項(xiàng)D．7、設(shè)ξ1，ξ2是非齊次方程組AX＝β的兩個(gè)不同的解，η1，η2為它的導(dǎo)出組AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則它的通解為()A、k1η1＋k2η2(ξ1－ξ2)／2．B、k1η1＋k2(η1－η2)＋(ξ1＋ξ2)／2．C、k1η1＋k2(ξ1－ξ2)＋(ξ1－ξ2)／2．D、k1η1＋k2(ξ1－ξ2)＋(ξ1＋ξ2)／2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：先看特解．(ξ1－ξ2)／2是AX＝0的解，不是AX＝β的解，從而選項(xiàng)A，C都不對．(ξ1＋ξ2)／2是AX＝β的解．再看導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系．在選項(xiàng)B中，η1，η1－η2是AX＝0的兩個(gè)解，并且由η1，η2線性無關(guān)容易得出它們也線性無關(guān)，從而可作出AX＝0的基礎(chǔ)解系，選項(xiàng)B正確．在選項(xiàng)D中，雖然η1，ξ1－ξ2都是AX＝0的解，但不知道它們是否線性無關(guān)，因此選項(xiàng)D作為一般性結(jié)論是不對的．8、設(shè)A為4×3矩陣，η1，η2，η3是非齊次線性方程組AX＝β的3個(gè)線性無關(guān)的解，k1，k2為任意常數(shù)，則AX＝β的通解為()A、(η2＋η3)／2＋k1(η2－η1)．B、(η2－η3)／2＋k2(η2－η1)．C、(η2＋η3)／2＋k1(η3－η1)＋k2(η2－η1)．D、(η2－η3)／2＋k1(η3－η1)＋k2(η2－η1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：選項(xiàng)B和D都用(η2－η3)／2為特解，但是(η2－η3)／2不是原方程組解，因此選項(xiàng)B和D都排除．選項(xiàng)A和C的區(qū)別在于導(dǎo)出組AX＝0的基礎(chǔ)解系上，選項(xiàng)A只用一個(gè)向量，而選項(xiàng)C用了兩個(gè)：(η3－η1)，(η2－η1)．由于η1，η2，η3線性無關(guān)，可推出(η3－η1)，(η2－η1)線性無關(guān)，并且它們都是AX＝0的解．則AX＝0的解集合的秩不小于2，從而排除A．9、設(shè)線性方程組AX＝β有3個(gè)不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)＝n－2，n是未知數(shù)個(gè)數(shù)，則()正確．A、對任何數(shù)c1，c2，c3，c1γ1＋c2γ2＋c3γ3都是AX＝β的解；B、2γ1－3γ2＋γ3是導(dǎo)出組AX＝0的解；C、2γ1，γ2，γ3線性相關(guān)；D、γ1－γ2，γ2－γ3是AX＝0的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：Aγi＝β，因此A(2γ1－3γ2＋γ3)＝2β－3β＋β＝0，即2γ1－3γ2＋γ3是AX＝0的解，選項(xiàng)B正確．c1γ1＋c2γ2＋c3γ3都是AX＝β的解c1＋c2＋c3＝1，選項(xiàng)A缺少此條件．當(dāng)r(A)＝n－2時(shí)，AX＝0的基礎(chǔ)解系包含兩個(gè)解，此時(shí)AX＝β存在3個(gè)線性無關(guān)的解，因此不能斷定γ1，γ2，γ3線性相關(guān)．選項(xiàng)C不成立．γ1－γ2，γ2－γ3都是AX＝0的解，但從條件得不出它們線性無關(guān)，因此選項(xiàng)D不成立．二、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)10、已知(1，a，2)T，(－1，4，b)T構(gòu)成齊次線性方程組的一個(gè)耩礎(chǔ)解系，求a，b，s，t．標(biāo)準(zhǔn)答案：此齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系包含2個(gè)解，未知數(shù)有3個(gè)，則系數(shù)矩陣的秩為1，立刻得到s＝2，t＝－1．于是方程組為把(1，a，2)T，(－1，4，b)T代入，得a＝2，b＝1．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、，求此齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①用初等行變換將系數(shù)矩陣化為階梯形矩陣則系數(shù)矩陣的秩為2，小于未知數(shù)個(gè)數(shù)5，此齊次方程組有非零解．進(jìn)一步把階梯形矩陣化為簡單階梯形矩陣：②選定自由未知量χ2，χ4，χ5，用它們表示出待定未知量，得到同解方程組：③對自由未知量賦值，決定基礎(chǔ)解系．一般做法為讓自由未知量輪流地取值1(其他未知量取值0)，這樣得到的一組解為基礎(chǔ)解系，如本題的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：η1＝(－2／3，1，0，0，0)T，η2＝(－1／3，0，0，1，0)T，η3(－2／9，0，－1／3，0，1)T，④寫出通解c1η1＋c2η2＋c3η3，其中c1，c2，c3可取任意數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、討論p，t為何值時(shí)，方程組無解?有解?有解時(shí)寫出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①用初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣于是，當(dāng)t≠－2時(shí)，有r(A｜β)＞r(A)，此時(shí)方程組無解．當(dāng)t＝－2時(shí)(p任意)，r(A｜β)＝r(A)≤3＜4，此時(shí)有無窮多解．②當(dāng)t＝－2，p＝－8時(shí)，得同解方程組令χ3＝χ4＝0，得一特解(－1，1，0，0)T．導(dǎo)出組有同解方程組對χ3，χ4賦值得基礎(chǔ)解系(4，－2，1，0)T，(－1，－2，0，1)T．此時(shí)全部解為(－1，1，0，0)T＋c1(4，－2，1，0)T＋c2(－1，－2，0，1)T，其中c1，c2可取任何數(shù)．③當(dāng)t＝－2，p≠－8時(shí)，得同解方程組令χ4＝0，得一特解(－1，1，0，，0)T．導(dǎo)出組有同解方程組令χ4＝1，得基礎(chǔ)解系(－1，－2，0，1)T．此時(shí)全部解為(－1，1，0，0)T＋c(－1，－2，0，1)T，其中c可取任何數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、，已知線性方程組AX＝β存在兩個(gè)不同的解．①求λ，a．②求AX＝β的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①AX＝β存在兩個(gè)不同的解(即有無窮多個(gè)解)r(A｜β)＝r(A)＜3．用矩陣消元法：則1－λ2＝a－λ＋1＝0，而λ－1≠0(否則第二個(gè)方程為0＝1，無解)．得λ＝－1，a＝－2．得AX＝β的同解方程組求出通解(3／2，－1／2，0)T＋c(1，0，1)T，c可取任意數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)A＝，β＝①計(jì)算行列式｜A｜．②實(shí)數(shù)a為什么值時(shí)方程組AX＝β有無窮多解?在此時(shí)求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把增廣矩陣用第3類初等行變換化為階梯型：①｜A｜＝｜B｜＝1－a4．②AX＝β有無窮多解的條件是1－a4＝－a－a2＝0，即a＝－1．此時(shí)求出通解(0，－1，0，0)T＋c(1，1，1，1)T，c為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)n＞1，n元齊次方程組AX＝0的系數(shù)矩陣為(1)討論a為什么數(shù)時(shí)AX＝0有非零解?(2)在有非零解時(shí)求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)用矩陣消元法，把第n行除以n移到第一行，其他行往下順移．再第i行減第一行的i倍(i＞0)a＝0時(shí)r(A)＝1，有非零解．下面設(shè)a≠0，對右邊的矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行行變換：把第2至n各行都除以a，然后把第1行減下面各行后換到最下面，得于是當(dāng)a＝－n(n＋1)／2時(shí)r(A)＝n－1，有非零解．(2)n＝0時(shí)AX＝0與χ1＋χ2＋…＋χn＝0同解，通解為c1(1，－1，0，…，0)T＋c2(1，0，－1，…，0)T＋…＋cn-1(1，0，0，…，－1)T，ci任意．a(chǎn)＝－n(n＋1)／2時(shí)，通解為c(1，2，3，…，n)T，c任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知線性方程組有解(1，－1，1，－1)T．(1)用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；(2)寫出χ2＝χ3的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，－1，1，－1)T代入方程組，可得到λ＝μ，但是不能求得它們的值．(1)此方程組已有了特解(1，－1，1，－1)T，只用再求出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系就可寫出通解．對系數(shù)矩陣作初等行變換：①如果2λ－1＝0，則(1，－3，1，0)T和(－1／2，－1，0，1)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，通解為(1，－1，1，－1)T＋c1(1，－3，1，0)T＋c2(－1／2，－1，0，1)T，c1，c2任意．②如果2λ－1≠0，則用2λ－1除B的第三行：(－1，1／2，－1／2，1)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，通解為(1，－1，1，－1)T＋c(－1，1／2，－1／2，1)T，c任意．(2)當(dāng)2λ－1＝0時(shí)，通解的χ2＝－1－3c1－c2，χ3＝1＋c1，由于χ2＝χ3，則有－1－3c1－c3＝1＋c1，從而c2＝－2－4c1，因此滿足χ2＝χ3的通解為(2，1，1，－3)T＋c1(3，1，1，－4)T．當(dāng)2λ－1≠0時(shí)，－1＋c／2＝1－c／2，得c＝2，此時(shí)解為(－1，0，0，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無關(guān)的解．(1)證明此方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2．(2)求a，b的值和方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)α1，α2，α3是AX＝β的3個(gè)線性無關(guān)的解，則，α2－α1，α3－α1是AX＝0的2個(gè)線性無關(guān)的解．于是AX＝0的解集合的秩不小于2，即4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因?yàn)锳的行向量是兩兩線性無關(guān)的，所以r(A)≥2．兩個(gè)不等式說明了r(A)＝2．由r(A)＝2，得出a＝2，b＝－3．代入后繼續(xù)作初等行變換化為簡單階梯形矩陣：得同解方程組求出一個(gè)特解(2，－3，0，0)T和AX＝0的基礎(chǔ)解系(－2，1，1，0)T，(4，－5，0，1)T．得到方程組的通解：(2，－3，0，0)T＋c1(－2，1，1，0)T＋c2(4，－5，0，1)T，c1，c2，任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、已知ξ＝(0，1，0)T是方程組的解，求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把ξ＝(0，1，0)T代入方程組可求得b＝1，d＝3，但是口和c不能確定．于是要對它們的取值對解的影響進(jìn)行討論．記系數(shù)矩陣為A．看r(A)，一定有r(A)≥2(因?yàn)?，2兩行無關(guān))．則當(dāng)a＋c≠3時(shí)r(A)＝3，則方程組有唯一解ξ．則當(dāng)a＋c＝3時(shí)r(A)＝2，則方程組有無窮多解，并且它的導(dǎo)出組有同解方程組求得(1，－1，1)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系．方程組的通解為：(0，1，0)T＋c(1，－1，1)T，c任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)線性方程組為(1)討論a1，a2，a3，a4取值對解的情況的影響．(2)設(shè)a1＝a3，a2＝a4＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)增廣矩陣的行列式是一個(gè)范德蒙行列式，其值等于＝(a2－a1)(a3－a1)(a4－a1)(a3－a2)(a4－a2)(a4－a3)．于是，當(dāng)a1，a2，a3，a4兩兩不同時(shí)，增廣矩陣的行列式不為0，秩為4，而系數(shù)矩陣的秩為3．因此，方程組無解．如果a1，a2，a3，a4不是兩兩不同，則相同參數(shù)對應(yīng)一樣的方程．于是只要看有幾個(gè)不同，就只留下幾個(gè)方程．①如果有3個(gè)不同，不妨設(shè)a1，a2，a3兩兩不同，a4等于其中之一，則可去掉第4個(gè)方程，得原方程組的同解方程組它的系數(shù)矩陣是范德蒙行列式，值等于(a2－a1)(a3－a1)(a3－a2)≠0，因此方程組唯一解．②如果不同的少于3個(gè)，則只用留下2個(gè)或1個(gè)方程，此時(shí)方程組無窮多解．(2)此時(shí)第3．4兩個(gè)方程分別就是第1，2方程，可拋棄，得(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，它們的差(－2，0，2)T是導(dǎo)出組的一個(gè)非零解．本題未知數(shù)個(gè)數(shù)為3，而系數(shù)矩陣的秩為2(注意k≠0)．于是(－2，0，2)T構(gòu)成導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，通解為：(－1，1．1)T＋c(－2．0．2)T，c可取任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)非齊次方程組AX＝β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1(1，2，3，4)T，ξ2＋ξ3＝(0，1，2，3)T，r標(biāo)準(zhǔn)答案：ξ1是AX＝β的一個(gè)特解，只用再找AX＝0的基礎(chǔ)解系．從解是4維向量知，AX＝β的未知數(shù)個(gè)數(shù)n＝4．r(A)＝3，于是，它的AX＝0的基礎(chǔ)解系由1個(gè)非零解構(gòu)成．由解的性質(zhì)，2ξ1(ξ2＋ξ3)＝(2，3，4，5)T是AX＝0的解．于是，AX＝β的通解為(1，2，3，4)T＋c(2，3，4，5)T，c可取任何常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知4階矩陣A＝(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4線性無關(guān)，α1＝2α2－α3．又設(shè)β＝α1＋α2＋α3＋α4，求AX＝β的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把α1＝2α2－α3和β＝α1＋α2＋α3＋α4代入χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝β，得χ1(2α2－α3)＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝2α2－α3＋α2＋α3＋α4，整理得(2χ1＋χ2)α2＋(－χ1＋χ3)α3＋χ4α4＝3α2＋α4，由于α2，α3，α4線性無關(guān)，得同解方程組解此方程組得通解(0，3，0，1)T＋c(1，一2，I，0)T，c可取任意數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、已知3階矩陣A的第一行為(a，b，c)，a，b，c不全為0，矩陣B＝，并且AB＝0，求齊次線性方程組AX＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AB＝0，r(A)＋r(B)≤3，并且B的3個(gè)列向量都是AX＝0的解．(1)若k≠9，則r(B)＝2，r(A)＝1，AX＝0的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含兩個(gè)解．(1，2，3)T和(3，6，k)T都是解，并且它們線性無關(guān)，從而構(gòu)成基礎(chǔ)解系，通解為：c1(1，2，3)T＋c2(3，6，k)T，其中c1，c2任意．(2)如果k＝9，則r(B)＝1，r(A)＝1或2．①r(A)＝2，則AX＝0的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含一個(gè)解，(1，2，3)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系，通解為：c(1，2，3)T，其中c任意．②r(A)＝1，則AX＝0的基礎(chǔ)解系包含兩個(gè)解，而此時(shí)B的3個(gè)列向量兩兩相關(guān)，不能用其中的兩個(gè)構(gòu)成基礎(chǔ)解系．由r(A)＝1，A的行向量組的秩為1，第一個(gè)行向量(a，b，c)(≠0!)構(gòu)成最大無關(guān)組，因此第二，三個(gè)行向量都是(a，b，c)的倍數(shù)，從而AX＝0和方程aχ1＋bχ2＋cχ3＝0同解．由于(1，2，3)T是解，有a＋2b＋3c＝0，則a，b不都為0(否則a，b，c都為0)，于是(b，－a，0)T也是aχ1＋bχ2＋cχ3＝0的一個(gè)非零解，它和(1，2，3)T線性無關(guān)，一起構(gòu)成基礎(chǔ)解系，通解為：c1(1，2，3)T＋c2(b，－a，0)T，其中c1，c2任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組，(Ⅰ)為(Ⅱ)有一個(gè)基礎(chǔ)解系(0，1，1，0)T，(－1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知，(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解都必定是(Ⅱ)的解，因此有c1η1＋c2η2的形式．它又滿足(Ⅰ)，由此可決定c1與c2應(yīng)該滿足的條件．具體計(jì)算過程：將c1η1＋c2η2＝(－c2，c1＋2c2，c1＋2c2，c2)T，代入(Ⅰ)，得到解出c1＋c2＝0．即當(dāng)c1＋c2＝0時(shí)c1η1＋c2η2也是(Ⅰ)的解．于是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解為：c(η1－η2)，其中c可取任意常數(shù)．設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元齊次線性方程組，已知ξ1＝(1，0，1，1)T，ξ2＝(－1，0，1，0)T，ξ3＝(0，1，1，0)T。是(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，η1＝(0，1，0，1)T，η2＝(1，1，－1，0)T是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．求(Ⅰ)和(Ⅱ)公共解．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齊次線性方程組，(Ⅰ)有通解ξ1＋c1η1＋c2ξ2，ξ1＝(1，0，1)，η1＝(1，1，0)，η2＝(1，2，1)；(Ⅱ)有通解ξ2＋cη，ξ2＝(0，1，2)，η＝(1，1，2)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：公共解必須是(Ⅱ)的解，有ξ2＋cη的形式，它又是(Ⅰ)的解，從而存在c1，c2使得ξ2＋cη＝ξ1＋c1η1＋c2η2，于是ξ2＋cη－ξ1可用η1，η2線性表示，即r(η1，η2，ξ2＋cη－ξ1)＝r(η1，η2)＝2．得到c＝1／2，從而(Ⅰ)和(Ⅱ)有一個(gè)公共解ξ2＋η／2＝(1／2，3／2，3)．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組，(Ⅰ)的系數(shù)矩陣為(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為η1＝(2，－1，a＋2，1)T，η2(－1，2，4，a＋8)T．(1)求(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(2)a為什么值時(shí)(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此時(shí)求出全部公共非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)把(Ⅰ)的系數(shù)矩陣用初等行變換化為簡單階梯形矩陣得到(Ⅰ)的同解方程組對自由未知量χ3，χ4賦值，得(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系γ1＝(5，－3，1，0)T，γ3＝(－3，2，0，1)T．(2)(Ⅱ)的通解為c1η1＋c2η2＝(2c1－c2，－c1＋2c2，(a＋2)c1＋4c2，c1＋(a＋8)c2)T．將它代入(Ⅰ)，求出為使c1η1＋c2η2也是(Ⅰ)的解(從而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解)，c1，c2應(yīng)滿足的條件為：于是當(dāng)a＋1≠0時(shí)，必須c1＝c2＝0，即此時(shí)公共解只有零解．當(dāng)a＋1＝0時(shí)，對任何c1，c2，c1η1＋c2η2都是公共解．從而(Ⅰ)，(Ⅱ)有公共非零解．此時(shí)它們的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c1η1＋c2η2，c1，c2不全為0．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、已知齊次方程組(Ⅰ)解都滿足方程χ1＋χ2＋χ3＝0，求a和方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：求出(Ⅰ)的解，代入χ1＋χ2＋χ3＝0，決定a．用矩陣消元法，設(shè)系數(shù)矩陣為A，當(dāng)a＝0時(shí)，(Ⅰ)和方程χ1＋χ2＋χ4＝0同解，以χ2，χ3，χ4為自由未知量求出一個(gè)基礎(chǔ)解系η1＝(－1，1，0，0)T，η2＝(0，0，1，0)T，η3＝(－1，0，0，1)T．其中η2，η3都不是χ1＋χ2＋χ3＝0的解，因此a＝0不合要求．當(dāng)a≠0時(shí)．繼續(xù)對B進(jìn)行初等行變換以χ4為自由未知量，得基礎(chǔ)解系η＝(a－1，－a，，1)T．代入χ1＋χ2＋χ3＝0，(a－1)＋(－a)＋＝0，求得a＝1／2．即當(dāng)a＝1／2時(shí)，χ1＋χ2＋χ3＝0，從而(Ⅰ)的解都滿足χ1＋χ2＋χ3＝0．當(dāng)a≠1／2時(shí)，η不滿足χ1＋χ2＋χ3＝0．得a＝1／2為所求．此時(shí)，方程組的通解為c(－1／2，－1／2，1，1)T，c可取任何常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、已知兩個(gè)線性方程組同解，求m，n，t．標(biāo)準(zhǔn)答案：m，n，t分別在方程組(Ⅰ)的各方程中，(Ⅱ)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)中無參數(shù)，可先求出(Ⅱ)的一個(gè)解，代入(Ⅰ)的方程，可分別求出m，n，t．求(Ⅱ)的一個(gè)特解得(－2，－4，－5，0)T是(Ⅱ)的一個(gè)解．將它代入(Ⅰ)的方程：得到m＝2，n＝4，t＝6．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、已知齊次方程組同解，求a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：這兩個(gè)方程組同解，則它們的聯(lián)立方程組也和它們同解，系數(shù)矩陣的秩也為2．由此可直接通過計(jì)算聯(lián)立方程組系數(shù)矩陣的秩來求a，b，c．于是a＝2＝0，c＝b－1＝0，c－b2－1＝0．則a＝2，b，c有兩組解①b＝0，c＝1；②b＝1，c＝2．可是b＝0，c＝1時(shí)右邊方程組系數(shù)矩陣的秩為1，因此兩個(gè)方程組不會(huì)同解，這組解應(yīng)該舍去．得；a＝2，b＝1，c＝2．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)齊次方程組(Ⅰ)有一個(gè)基礎(chǔ)解系β1＝(b11，b12，…，b1×2n)T，β＝(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn＝(bn1，bn2，…，bn×2n)T．證明A的行向量組是齊次方程組(Ⅱ)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：分別記A和B為(Ⅰ)和(Ⅱ)的系數(shù)矩陣．(Ⅰ)的未知量有2n個(gè)，它的基礎(chǔ)解系含有n個(gè)解，則r(A)＝n，即A的行向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)．由于β1，…，βn都是(Ⅰ)的解，有ABT＝(Aβ1，Aβ2，…，Aβn)＝0，轉(zhuǎn)置得BAT＝0，即BαiT＝0，i＝1，…，n．于是，α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的n個(gè)線性無關(guān)的解．又因?yàn)閞(B)＝n，(Ⅱ)也有2n個(gè)未知量，2n－r(B)＝n．所以α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．從而(Ⅱ)的通解為c1α1＋c2α2＋…＋cnαn，c1，c2，…，cn可取任意數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、構(gòu)造齊次方程組，使得η1＝(1，1，0，－1)T，η2＝(0，2，1，1)T構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求AX＝0要滿足：4維向量η是AX＝0的解η可用η1，η2線性表示．設(shè)η＝(c1，c2，c3，c4)T，于是η可用η1，η2線性表示c2－c1－2c3＝0，且c4＋c1－c3＝0η是齊次方程組的解．這個(gè)齊次方程組滿足要求．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt線性無關(guān)，其中α1，α2，…，αs是齊次方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系．證明Aβ1，Aβ2，…，Aβt線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：用定義法證．設(shè)c1Aβ1＋c2Aβ2＋…＋ctAβt＝0．則A(cβ＋cβ＋…＋cβ)＝0即c1β1＋c2β2＋…＋ctβt．是AX＝0的一個(gè)解．于是它可以用α1，α2，…，αs線性表示：c1β1＋c2β2＋…＋ctβt＝t1α1＋t2α2＋…＋tsαs，再由α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt線性無關(guān)，得所有系數(shù)都為0．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)η1，η2，η3為3個(gè)n維向量，已知n元齊次方程組AX＝0的每個(gè)解都可以用η1，η2，η3線性表示，并且r(A)＝n－3，證明η1，η2，η3為AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)＝n－3，所以AX＝0的基礎(chǔ)解系包含3個(gè)解．設(shè)γ1，γ2，γ3是AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則條件說明γ1，γ2，γ3可以用η1，η2，η3線性表示．于是有下面的關(guān)于秩的關(guān)系式：3＝(γ1，γ2，γ3)≤r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3)≤3，從而r(γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3)，這說明η1，η2，η3和γ1，γ2，γ3等價(jià)，從而η1，η2，η3也都是AX＝0的解；又r(η1，η2，η3)＝3，即η1，η2，η3線性無關(guān)，因此是AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、n元非齊次線性方程組AX＝β如果有解，則解集合的秩為＝n－r(A)＋1．標(biāo)準(zhǔn)答案：記s＝n－r(A)，則要說明兩點(diǎn)．(1)存在AX＝β的s＋1個(gè)線性無關(guān)的解．(2)AX＝β的s＋2個(gè)解一定線性相關(guān)．(1)設(shè)ξ為(Ⅰ)的一個(gè)解，η1，η2，…，ηs為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則ξ不能用η1，η2，…，ηs線性表示，因此ξ，η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的s＋1個(gè)解，并且它們等價(jià)于ξ，η1，η2，…，ηs．于是r(ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs)＝r(ξ，η1，η2，…，ηs)＝s＋1，因此ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的s＋1個(gè)線性無關(guān)的解．(2)AX＝β的任何s＋2個(gè)解都可用ξ，η1，η2，…，ηS這s＋1向量線性表示，因此一定線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．試討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，(1)β不能用α1，α2，α3線性表示；(2)β能用α1，α2，α3唯一地線性表示，求表示式；(3)β能用α1，α2，α3線性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：記A＝(α1，α2，α3)，則問題化為線性方程組AX＝β解的情形的討論及求解問題了．(1)a＝0(b任意)時(shí)方程組AX＝β無解，β不能用α1，α2，α3線性表示．(2)當(dāng)a≠0，a≠b時(shí)，r(A｜β)＝r(A)＝3，方程組AX＝β有唯一解，即β可用α1，α2，α3唯一表示．AX＝β的解為(，－1，0)T，于是β＝．(3)當(dāng)a＝b≠0時(shí)r(A｜β)＝r(a)＝2，AX＝β有無窮多解，即β可用α1，α2，α3線性表示，且表示式不唯一．AX＝β有特解(，0)T，而(0，1，1)T構(gòu)成AX＝0的基礎(chǔ)解系，AX＝β的通解為(，0)T＋c(0，1，1)T，c任意．即β＝α2＋cα3，c任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析35、已知平面上三條直線的方程為l1：aχ＋2by＋3c＝0，l2：bχ＋2cy＋3a＝0，l3：cχ＋2ay＋3b＝0．試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a＋b＋c＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：l1，l2，l3交于一點(diǎn)即方程組有唯一解，即系數(shù)矩陣的秩＝增廣矩陣的秩＝2．f記則方程組系數(shù)矩陣的秩＝r(a)，增廣矩陣的秩＝r(B)，于是l1，12，13交于一點(diǎn)r(A)＝r(B)＝2．必要性：由于r(B)＝2，則｜B｜＝0．計(jì)算出｜B｜＝－(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝－(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．a(chǎn)，b，c不會(huì)都相等(否則r(A)＝1)，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0．得a＋b＋c＝0．充分性：當(dāng)a＋b＋c＝0時(shí)，｜B｜＝0，于是r(A)≤r(B)≤2．只用再證r(a)＝2，就可得到r(a)＝r(B)＝2．用反證法．若r(a)＜2，則A的兩個(gè)列向量線性相關(guān)．不妨設(shè)第2列是第1列的A倍，則b＝λa，c＝λb，a＝λc．于是λ3a＝a，λ3b＝b，λ3c＝c，由于a，b，c不能都為0，得λ3＝1，即λ＝1，于是a＝b＝c．再由a＋b＋c＝0，得a＝b＝c＝0，這與直線方程中未知數(shù)的系數(shù)不全為0矛盾．知識點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)求①a，b取什么值時(shí)存在矩陣X，滿足AX－XA＝B?②求滿足AX－XA＝B的矩陣X的一般形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：X一定是2階矩陣．AX－XA＝B即χ1，χ2，χ3，χ4是線性方程組：的解．得a＝－3，b＝－2．②把a(bǔ)＝－3，b＝－2代入右邊的矩陣，并繼續(xù)作行變換化得簡單階梯形矩陣解得通解為(－3，－2，0，0)T＋c1(1，1，1，0)T＋c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．則滿足AX－XA＝B的矩陣X的一般形式為知識點(diǎn)解析：暫無解析37、設(shè)(1)求方程組AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．(2)a，b，c為什么數(shù)時(shí)AX＝B有解?(3)此時(shí)求滿足AX＝B的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對AX＝B的增廣矩陣(A｜B)作初等行變換化為階梯形矩陣：得到AX＝0的同解方程組：求得基礎(chǔ)解系：(－2，1，1，0)T，(1，0，0，1)T．(2)AX＝B有解r(A｜B)＝r(A)＝2，得a＝b，b＝－3，c＝3．(3)用基本矩陣方程．建立基本矩陣方程C0X＝D0，其中知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（線性方程組）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則線性方程組(AB)x=0()A、當(dāng)n＞m時(shí)，僅有零解。B、當(dāng)n＞m時(shí)，必有非零解。C、當(dāng)m＞n時(shí)，僅有零解。D、當(dāng)m＞n時(shí)，必有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳B是m階矩陣，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以當(dāng)m＞n時(shí)，必有r(AB)＜m，根據(jù)齊次方程組存在非零解的充分必要條件可知，D選項(xiàng)正確，故選D。2、非齊次線性方程組Ax=b中未知量的個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣的秩為r，則()A、r=m時(shí)，方程組Ax=b有解。B、r=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。C、m=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。D、r＜n時(shí)，方程組Ax=b有無窮多個(gè)解。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：對于選項(xiàng)A，r(A)=r=m。由于≥m=r，且≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有，此時(shí)方程組有解，故選A。由B、C、D三項(xiàng)的條件均不能推得“兩秩”相等。3、已知α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，那么向量α1—α2，α1+α2—2α3，(α2—α1)，α1—3α2+2α3中，是方程組Ax=0解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1+α2—2α3)=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b—2b=0，A(α1—3α2+2α3)=Aα1—3Aα2+2Aα3=b—3b+2b=0，即α1—α2，α1+α2—2α3，(α2—α1)，α1—3α2+2α3均是齊次方程組Ax=0的解。故選A。4、已知α1=(1，1，—1)T，α2=(1，2，0)T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，—1，3)TB、(2，1，—3)TC、(2，2，—5)TD、(2，—2，6)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如果A選項(xiàng)是Ax=0的解，則D選項(xiàng)必是Ax=0的解。因此A、D兩項(xiàng)均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的任何一個(gè)解η均可由α1，α2線性表示，也即方程組x1α1+x2α2=η必有解，而可見第二個(gè)方程組無解，即(2，2，—5)T不能由α1，α2線性表示，故選B。5、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系()A、不存在。B、僅含一個(gè)非零解向量。C、含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。D、含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由A*≠0可知，A*中至少有一個(gè)非零元素，由伴隨矩陣的定義可得矩陣A中至少有一個(gè)n—1階子式不為零，再由矩陣秩的定義有r(A)≥n—1。又因Ax=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，從而r(A)=n—1。因此對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)非零解向量，故選B。6、設(shè)A是秩為n—1的n階矩陣，α1，α2是方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，則Ax=0的通解必定是()A、α1+α2B、kα1C、k(α1+α2)D、k(α1—α2)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳是秩為n—1的n階矩陣，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)非零向量。又因?yàn)棣?，α2是方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，所以α1—α2必為方程組Ax=0的一個(gè)非零解，即α1—α2是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的通解必定是k(α1—α2)，故選D。此題中其他選項(xiàng)不一定正確。因?yàn)橥ń庵斜赜腥我獬?shù)，所以A選項(xiàng)不正確；若α1=0，則B選項(xiàng)不正確；若α1=—α2≠0，則α1+α2=0，此時(shí)C選項(xiàng)不正確。7、已知四階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為四維列向量，其中α1，α2線性無關(guān)，若α1+2α2—α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Ax=β的通解為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由α1+2α2—α3=β知即γ1=(1，2，—1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，則η1=γ1—γ2=(0，1，—2，—1)T，η2=γ3—γ2=(1，2，0，1)T是導(dǎo)出組Ax=0的解，并且它們線性無關(guān)。于是Ax=0至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，則n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因?yàn)棣?，α2線性無關(guān)，故r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2。所以必有r(A)=2，從而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基礎(chǔ)解系，故選B。8、設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0，其中A，B均為m×n矩陣，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0與Bx=0同解，則r(A)=r(B)；④若r(A)=r(B)，則Ax=0與Bx=0同解。以上命題中正確的有()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于線性方程組Ax=0和Bx=0之間可以無任何關(guān)系，此時(shí)其系數(shù)矩陣的秩之間的任何關(guān)系都不會(huì)影響它們各自解的情況，所以②，④顯然不正確，利用排除