2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第01講 三角恒等變換和解三角形（解析）

第01講三角恒等變換和解三角形考法呈現(xiàn)考法一：三角函數(shù)和三角恒等變換例題分析【例1】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(1)若f(0)=?32，求(2)已知f(x)在區(qū)間?π3,2π3上單調(diào)遞增，f2π3=1，再?gòu)臈l件條件①：fπ條件②：f?條件③：f(x)在區(qū)間?π注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【分析】（1）把x=0代入f(x)的解析式求出sinφ，再由|φ|<π2（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把f(x)的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)f(x)在?π3,2π3上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出T，從而求出ω的值；把ω的值代入f(x)的解析式，由f?π3=?1和|φ|<π2即可求出φ的值；若選條件③：由【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=所以f(0)=sin因?yàn)閨φ|<π2，所以（2）因?yàn)閒(x)=sin所以f(x)=sinωx+φ,ω>0,|φ|<π2，所以f(x)若選條件①：因?yàn)閒(x)=sinωx+φ的最大值為1，最小值為?1，所以fπ3=若選條件②：因?yàn)閒(x)在?π3,2所以T2=2π3所以f(x)=sin又因?yàn)閒?π3所以?π所以φ=?π6+2kπ,k∈所以ω=1，φ=?π若選條件③：因?yàn)閒(x)在?π3,所以f(x)在x=?π3處取得最小值?1，即以下與條件②相同．滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式1-1】（2021·陜西咸陽(yáng)·?？级＃┮阎瘮?shù)f(1)求函數(shù)fx(2)當(dāng)x∈π8,【答案】(1)函數(shù)fx的對(duì)稱軸為x=k(2)?1,【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)fx（2）采用整體替換的方法，先確定出2x?π4的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)確定出最值，由此求解出【詳解】（1）因?yàn)閒x令2x?π4=k令2x?π4=k所以函數(shù)fx的對(duì)稱軸為x=kπ（2）因?yàn)閤∈π8,當(dāng)2x?π4=π2，即x=當(dāng)2x?π4=5π4，即x=所以函數(shù)fx的值域?yàn)?1,【變式1-2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)f(x)=cos(ωx+φ)在區(qū)間?π6,π3(1)求y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P?π12,3【答案】(1)π(2)f【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性，即可得出答案.（2）由點(diǎn)P?π12,32在函數(shù)f(x)的圖象上，可得f?π12=32【詳解】（1）由函數(shù)f(x)且f?π6故y=f（2）由點(diǎn)P?π12有f?π12f?可知函數(shù)f(x)由函數(shù)f(有πω又f?π12將上面兩式相加，有2φ有φ=又由0<φ<π則ω=24又由函數(shù)f(x)有2πω≥2π3故f(【變式1-3】（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）a=3sinωx,sin(1)若ω=1，求fπ(2)若函數(shù)fx的最小正周期為①求ω的值；②當(dāng)x∈5π24,5π12【答案】(1)f(2)①ω=±1；②【分析】（1）首先代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，利用三角恒等變形，化簡(jiǎn)函數(shù)，并代入求值；（2）首先根據(jù)周期公式求ω，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)求fx【詳解】（1）依題意，a==2sin2當(dāng)ω=1時(shí)，fx（2）①由（1）知fx最小正周期T=2π2②當(dāng)ω=1時(shí)，fx=2sin2x?π6∈π4不等式mt2+整理為mt2+當(dāng)m=0時(shí)，1≥0當(dāng)m≠0時(shí)，m>0Δ綜上可得，0≤m當(dāng)ω=?1時(shí)，fx=2sin2x+π6∈7π12不等式mt2+整理為mt2+當(dāng)m=0時(shí)，3≥0當(dāng)m≠0時(shí)，m>0Δ綜上可得，0≤m綜上可知，當(dāng)ω=1時(shí)，0≤m≤4，當(dāng)ω【變式1-4】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)求f0(2)從①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,【答案】(1)2(2)詳見(jiàn)解析【分析】（1）代入公式即可求得f0（2）選①時(shí)，先化簡(jiǎn)題給解析式再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)fx的周期和在?π2,π6上的最小值；選②時(shí)，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得函數(shù)【詳解】（1）fx=2（2）選①ω1f由x∈?π則?22≤cos則當(dāng)2x+π4=?3π4函數(shù)fx的周期為選②ω1f由x∈?π2則當(dāng)x=?π2或x函數(shù)fx的周期為π【變式1-5】（2023·上海松江·校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量m=2sinωx,cos2ωx,(1)求fx(2)在△ABC中，若fB=?2,BC=3【答案】(1)k(2)?【分析】（1）根據(jù)題意，由輔助角公式將函數(shù)fx化簡(jiǎn)，再由函數(shù)周期即可求得ω（2）根據(jù)題意，由（1）中函數(shù)fx的解析式可得B=2【詳解】（1）f∵fx的最小正周期為故fx令2kπ?故函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為（2）設(shè)△ABC中角A,B∵fB=?2,∴2sin2∵BC∵0<A∴BA考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形例題分析【例2】（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┰凇鰽BC中，三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C，已知a=4，cos(1)若c=23，求sin(2)若AB邊上的中線長(zhǎng)為372，求AB【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理整理得sinAsinC=3（2）設(shè)AB邊上的中線為CD，得到2CD=CA【詳解】（1）解：因?yàn)閏osB+cosA由正弦定理得cosB整理得cosB因?yàn)锳+B+可得sinA又因?yàn)锳∈(0,π)，可得sinA>0因?yàn)镃∈(0,π)由正弦定理的asinA=csin（2）解：設(shè)AB邊上的中線為CD，則2CD所以4CD因?yàn)锳B邊上的中線長(zhǎng)為372，可得37=b2解得b=3或b所以AB=

滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式2-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三角形△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且sinA=(1)從下列中選擇一個(gè)證明：①證明：asinA=b(2)求三角形△ABC面積的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)24【分析】（1）根據(jù)向量關(guān)系，利用數(shù)量積運(yùn)算證明正弦余弦定理；（2）根據(jù)面積公式，結(jié)合c變的最小值，求面積的最小值.【詳解】（1）若選擇①，由條件可知，角A,B都是銳角，過(guò)點(diǎn)A作與AB垂直的單位向量j，則j與AC垂直的夾角為π2?A，則j因?yàn)锳B+BC==j=a即asin若選擇②，如圖，設(shè)AC=b，AB=則b?c=則a2=cos（2）S=因?yàn)閏≥b>所以△ABC的面積的最小值為6【變式2-2】（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，A?B?C所對(duì)邊(1)求A的值；(2)若a=3，cosB=4【答案】(1)π(2)9【分析】（1）利用題干條件和余弦定理求出A=π3；（2）先求出sinB=【詳解】（1）a+b?ca?b+c=bc（2）因?yàn)閏osB=45，且B∈0,π，所以sinB=35，因?yàn)閍=3，由正弦定理得：3sinπ3【變式2-3】（2021·廣東佛山·統(tǒng)考二模）在①cos2Aa2?cos2Bb問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c；a=1，C=π3，求【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】若選①：先根據(jù)二倍角公式得到cos2A=1?2sin2A若選②：先根據(jù)向量的數(shù)量積公式和余弦定理得到b,c的一個(gè)關(guān)系式，然后根據(jù)角C的余弦定理得到b,c的另一個(gè)關(guān)系式，由此求解出若選③：根據(jù)A+B=2π3以及兩角差的正弦求解出A的值，由此可求解出【詳解】若選①：因?yàn)閏os2Aa2?cos2又因?yàn)閍sinA=bsin又因?yàn)閍=1，所以b=2若選②：因?yàn)锽A?BC=34，所以ac又因?yàn)閏2=a2+所以b=12若選③：因?yàn)閟inA?sinB=2所以sinA?π3=所以A?π3=π又因?yàn)閍sinA=bsin所以S△【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于正余弦定理、三角形的面積公式、三角恒等變換公式以及向量的數(shù)量積公式的使用，對(duì)于轉(zhuǎn)化能力要求較高；在使用正余弦定理時(shí)，要注意選取合適的邊和角去計(jì)算.【變式2-4】（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，(1)若AC=27，求梯形ABCD(2)若AC⊥BD，求tan∠ABD【答案】(1)73；(2)tan∠【分析】(1)△ABC中，利用含∠ABC的余弦定理表達(dá)式建立BC的方程，求出BC而得△ABC(2)由題設(shè)中角的信息用∠ABD表示出△ABC與△BDC【詳解】(1)設(shè)BC=x，在△ABC28=22+x2所以BC=4，則△ABC的面積梯形ABCD中，AB//CD，△ABC與△所以△ADC的面積S則梯形ABCD的面積S=(2)在梯形ABCD中，設(shè)∠ABD=α則∠BDC=α，∠BAC=在△ABC中，由正弦定理ABsin∠BCA在△BDC中，由正弦定理CDsin∠DBC兩式相除得：2sin(2整理得53即5解得tanα=2因?yàn)棣痢?π6,π【點(diǎn)睛】(1)三角形中已知兩邊及一邊對(duì)角求第三邊，利用余弦定理建立關(guān)于第三邊的一元二次方程求解；(2)涉及平面多邊形問(wèn)題，把圖形拆分成若干個(gè)三角形，再在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.【變式2-5】（2019·河南·校聯(lián)考二模）在ΔABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足sin2（1）求ab（2）若cosC=34【答案】（1）2；（2）14【分析】（1）對(duì)sin2A+sinA（2）由余弦定理及ab=2可得c=【詳解】（1）因?yàn)閟in2A+所以sinAsinB2+由正弦定理得ab（2）由余弦定理得cosC=將ab=2，即a=2b代入①，得由余弦定理得：cosB=a則sinB【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，考查計(jì)算能力及方程思想，屬于中檔題．【變式2-6】（2023·廣東東莞·?？既＃┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsin(1)求角B的大小；(2)設(shè)a=2，c=3，求sin2A?B【答案】(1)B(2)3【分析】（1）運(yùn)用正弦定理求解；（2）運(yùn)用兩角差公式求解.【詳解】（1）在△ABC中，由正弦定理得：sin因?yàn)閟inA>0，所以sinB即sinB=3cosB，tan（2）在△ABC中，由余弦定理得：b由bsinA=acos因?yàn)閍<c，所以A是銳角，所以因此sin2A=2sinA所以，sin2綜上，B=π3考法三：利用正弦定理求外接圓半徑例題分析【例3】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，bcos(1)求角B的大??；(2)若△ABC為鈍角三角形，且a?c=2，求△ABC外接圓半徑的取值范圍．【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合條件，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；（2）利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件得到R=【詳解】（1）因?yàn)閎cosC+得到3sinCsinB=cos故3sinB=cosB+1又B?π6∈(?π（2）由正弦定理asinA=bsin所以a=2R(1又因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，且a?c=2>0，又由（1）知所以A?π3∈(π6滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式3-1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若_________．在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)：①bsinB?(1)求角A；(2)若△ABC的外接圓半徑為3．求△注：如果選擇多個(gè)條件分別解答．則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)π(2)9【分析】（1）若選①利用正弦定理和余弦定理即可求解；若選②利用正弦定理將邊化角即可求解；（2）結(jié)合（1）結(jié)論，利用正弦定理求出a，再由余弦定理和基本不等式得到bc≤9【詳解】（1）若選①：因?yàn)閎sin所以由正弦定理得b2即a2又由余弦定理得a2=b又因?yàn)锳∈0,π選②：由2asinB則由正弦定理得2sin因?yàn)锳，B∈0,π，所以sin所以A=（2）由（1）可知A=π3解得a=3則由余弦定理得a2=b又a=3，所以bc所以S△所以△ABC面積的最大值為9【變式3-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=2，且sinA+(1)求△ABC的外接圓半徑R；(2)求△ABC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)R(2)r【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得b2+c（2）由正弦定理有b=43sinB，c=43sin【詳解】（1）因?yàn)閟inA+sinBsinC由余弦定理，得cosA=b2+由2R=a（2）由正弦定理得bsinB=csin由余弦定理，得4=b2+利用等面積法可得S△則r==2∵a≠b，∴B≠A=所以sinB+π【變式3-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，滿足b+ca=b?ab?c(1)求C；(2)求△ABC外接圓的半徑R.【答案】(1)π(2)3【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知結(jié)合余弦定理先求出c，再利用正弦定理2R【詳解】（1）由b+ca∴cosC∵C∈0,π，（2）∵ab=13∴cosC整理得c2=1，∴由正弦定理可得2R∴R=33，即△【變式3-4】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）在四邊形ABCD中，AB//(1)證明：AD?sin(2)若AD=1，AB=3，BC=3，∠BAD=2∠BCD，求△BCD【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)7【分析】(1)由平行關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系，在兩個(gè)三角形中分別使用正弦定理，在根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行傳遞.(2)根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系對(duì)未知角的大小進(jìn)行求解，再在△BCD使用余弦定理對(duì)未知邊的大小進(jìn)行求解，最后在△【詳解】（1）因?yàn)锳B//CD，所以∠ABD=∠BDC,在△ABD中，由正弦定理可知ADsin∠ABD=BDsin∠（2）由(1)可知，AD?sin∠BAD=BC?sin∠BCD，設(shè)∠BAD=2∠BCD=2α，又因?yàn)锳D=1,BC=3，可得sin2α=【變式3-5】（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．從①②③中選取兩個(gè)作為條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．①cosA=?1725；②△ABC的面積是621問(wèn)題：已知角A為鈍角，b=5，______．(1)求△ABC外接圓的面積；(2)AD為角A的平分線，D在BC上，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，2125(2)AD【分析】(1)選①②：由cosA=?1725求得sinA選①③：利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解；選②③：利用三角形面積公式可求得sinA=42125(2)設(shè)A=2α，則有sin2【詳解】（1）選①②，∵cosA=?17又∵S△ABC=1由余弦定理，得a2由正弦定理，得2R2=所以，△ABC外接圓的面積為2125選①③，因?yàn)閏osA=?17所以由余弦定理，得a2由正弦定理，得2R2=所以，△ABC外接圓的面積為2125選②③，由6215=12由余弦定理，得a2由正弦定理，得2R2=所以，△ABC外接圓的面積為2125（2）由AD為角A的平分線，設(shè)A=2α，則有sin2由△ABC的面積6即6215=故AD的長(zhǎng)為32考法四：正弦和余弦定理邊角互化的應(yīng)用例題分析【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形OACB中，△ABC的三內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三邊為a,b,c．給出以下三個(gè)條件：①cos②a③△ABC的面積為3(1)從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，求角C；(2)設(shè)OA=OB=2,AB=AC，在（1）的條件下，求四邊形OACB的面積的最大值．【分析】（1）對(duì)于①②：利用正、余弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；對(duì)于③：利用余弦定理和面積公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意利用余弦定理建立邊角關(guān)系，結(jié)合面積公式整理可得S=4sin(【詳解】（1）若選①：cos2A則1?2sin整理得：sin2由正弦定理得a2+b因?yàn)?<C<π若選②：因?yàn)閍sinA+可得acos由正弦定理得：sinA因?yàn)锳∈0,π，sin因?yàn)?<C<π，則0<所以sinC2=12若選③：△ABC的面積為34a所以sinC所以tanC因?yàn)?<C<π（2）因?yàn)锳B=AC，由（1）可知C=設(shè)∠AOB=θ可得S△在△AOB中，由余弦定理A可得AB=所以四邊形OACB的面積S=2sin=4sin(θ因?yàn)?<θ<π所以當(dāng)θ?π3=π2，即滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式4-1】（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c(1)求角A的大??；(2)若b=1，sinB=217，求邊c【答案】(1)A(2)c=3【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求sinA2=（2）由已知利用正弦定理可得a的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB的值，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，由余弦定理可得4c2【詳解】（1）因?yàn)閏sinB+所以由正弦定理可得sinC又C為三角形內(nèi)角，sinC所以cosA因?yàn)锳∈(0,π)，A所以sinA2=所以A=（2）因?yàn)锳=π3，b所以由正弦定理asinA=所以B為銳角，cosB=1?sin2由余弦定理a2=b整理可得4c2?4c?3=0所以cos(2B【變式4-2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(2A+B)=2(1)證明：b=2a；(2)點(diǎn)D是線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，且CD=AD=1，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）結(jié)合兩角和關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角差正弦公式化簡(jiǎn)條件，再結(jié)合正弦定理可證結(jié)論；（2）根據(jù)向量線性運(yùn)算可得CD=23【詳解】（1）因?yàn)閟in(2A所以sinC所以sin(即sinB由正弦定理得：b=2（2）因?yàn)辄c(diǎn)D是線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以AD=2DB，所以則CD2由余弦定理得：c2由（1）知b=2a，CD=所以49解得a=32所以△ABC的周長(zhǎng)為3【變式4-3】（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎猘,b,c分別為銳角△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，b?2acos(1)證明：C=2A；(2)求sinA【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1,+∞【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角恒等變換解決即可；（2）由條件求A的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求sinA的范圍，利用三角恒等變換得sin【詳解】（1）∵b?2∴sinB∴sinA因?yàn)锳,C為銳角三角形內(nèi)角，所以0<A所以?π所以A=C?（2）由題意得0<A<π所以12由正弦定理得sinA因?yàn)楹瘮?shù)y=1x所以當(dāng)12<x所以當(dāng)12<sinA所以sinA∴sinAcosC【變式4-4】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2acos(1)求A的大??；(2)若b=3，c=3，求BC【答案】(1)A(2)3【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角變換可得答案；（2）利用余弦定理求出邊a，根據(jù)面積相等可得答案.【詳解】（1）∵acosB+3∴sinA即32又∵A,B∈0,π，sinB（2）設(shè)BC邊上的高為h，∵cosA=b2+∴12?a=12【變式4-5】（2023·四川綿陽(yáng)·三臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┰凇鰽BC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=2b,1，n=(1)求角B的大??；(2)若點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，且AM=AC，求sin∠BAC【答案】(1)B=(2)sin∠BAC【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，再利用正弦定理邊化角及和角的正弦公式求解作答.（2）取CM中點(diǎn)D，連接AD，利用直角三角形邊角關(guān)系及正弦定理求解作答.【詳解】（1）向量m=2b,1，n=在△ABC中，由正弦定理，得2sin即2sinBcosC又sinC≠0，因此cosB所以B=（2）取CM中點(diǎn)D，連接AD，由AM=AC，得AD⊥CM，令由（1）知B=π3，于是AD在△ABC中，由正弦定理知4所以sin∠BAC【變式4-6】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，滿足b=3(1)求角B；(2)若acosC?ccos【答案】(1)B(2)A【分析】（1）根據(jù)sinC（2）利用正弦定理得a=2sinA，c=2sin【詳解】（1）由2sinBcosA得2sinB得2sinAcosB=sinA因?yàn)?<B<π（2）由（1）知，B=所以a=bsin由acosC?ccos因?yàn)?<B<π3，所以所以?2π3【變式4-7】（2023·廣東深圳·校考二模）記△ABC的內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知sinB(1)證明：b+c=3a；(2)若角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=465，AD【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理結(jié)合條件可得b=【詳解】（1）由正弦定理得：sinS所以sinBsinC因?yàn)閏os2，所以bc所以bc1+所以bc+b2所以b+（2）角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=46由角平分線定理可得ADDC=AB∴c=32由余弦定理得：cosA=b在△ABD中，由余弦定理得：B所以a=2,所以S△【變式4-8】（2023·天津南開(kāi)·南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且2bcos(1)求角B的大小；(2)若23sinA【答案】(1)2(2)12+5【分析】（1）利用余弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式、輔助角公式及誘導(dǎo)公式求出cosA，即可求出sin【詳解】（1）∵△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且2∴由余弦定理得2b×a∴cosB∵B∴B（2）因?yàn)?3∴3sin∴232sin所以cosA又A∈0,π∵B∴cosC考法五：求三角形面積及面積最值或范圍例題分析【例5】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinAa=(1)求B；(2)D為AC的中點(diǎn)，BD2=【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再應(yīng)用正弦定理，最后由余弦即可求出B.（2）由D為AC的中點(diǎn)，求出a,c關(guān)系,c=2【詳解】（1）∵∴∴?（2）D為AC的中點(diǎn)，∴2BD∴4BD2=∴3a=c∴a2?5當(dāng)a=4時(shí),Sa=1時(shí),所以△ABC的面積為S△ABC滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，且ccos(1)求角C；(2)若△ABC的中線CD長(zhǎng)為23，求△ABC【答案】(1)C(2)4【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可；（2）利用平面向量知CD=12【詳解】（1）在△ABC中，由正弦定理得：sin而B(niǎo)=所以sinC化簡(jiǎn)得3sin因?yàn)锳∈0,π，所以sin即3sinC?又因?yàn)镃?π6∈?（2）由CD是△ABC的中線，CD所以|CD即12=14a2+當(dāng)且僅當(dāng)a=所以三角形面積S=即△ABC的面積的最大值為4【變式5-2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=135°，BD=5，CD=(1)求cos∠CBD(2)若△ABD為銳角三角形，求△ABD的面積的取值范圍.【答案】(1)2(2)1,5【分析】（1）在△BCD中，由正弦定理可得sin∠CBD（2）解法一：由（1）求得sin∠ADB==1+2tan∠A，從而S△ABD=1+2tan∠A，再利用π2?∠ABD<∠A<π2，即可求得△ABD面積的取值范圍；解法二：作A1D⊥AB于【詳解】（1）在△BCD由正弦定理可得BDsin所以sin∠又∠CBD所以cos∠（2）解法一：由（1）可知，sin∠因?yàn)椤螦BD所以cos∠ABD所以sin==5在△ABD中，由正弦定理得AB所以AB=1+2S=1因?yàn)椤螦DB且△ABD所以0<π所以π2所以tan∠=sin所以0<1所以1<1+2即1<S所以△ABD的面積的取值范圍為1,5

解法二：由（1）可知，sin∠因?yàn)椤螦BD為銳角，所以cos∠ABD如圖，作A1D⊥AB于A1，作A2D

所以A1A1所以S△又A2所以S△由圖可知，僅當(dāng)A在線段A1A2所以S△A1所以△ABD面積的取值范圍為1,5【變式5-3】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量某雕像AB的高度（B，C，D，F(xiàn)在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn)B，且B，C，D三點(diǎn)共線），某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)在C，D，F(xiàn)三點(diǎn)處測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角分別為60°，30°，45°，CD=20米．

(1)求雕像AB的高度；(2)當(dāng)觀景點(diǎn)C與F之間的距離為多少米時(shí)，△CDF的面積最大？并求出最大面積．【答案】(1)AB(2)CF=20時(shí)，△CDF【分析】（1）根據(jù)已知條件，在△ACD中，可求出AC=CD（2）根據(jù)（1）可求出BC=10.由已知可得出BF=AB=103.進(jìn)而根據(jù)面積公式表示出△CDF的面積【詳解】（1）由已知可得，在△ACD中，有∠ADC=30°，∠所以，∠DAC所以，△ACD為等腰三角形，AC在Rt△ABC中，有∠ACB=60°，所以，sin∠ACB所以，AB=10（2）由（1）可得，BC=在Rt△ABF中，∠AFB因?yàn)椤鰿BF的BC邊上的高?且△CDF的CD邊上的高也等于?所以△CDF的面積為S=1當(dāng)sin∠DBF=1，即BF⊥此時(shí)有CF=【變式5-4】（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)校考二模）已知向量a=（sinx，1+cos2x），b=（cos(1)求函數(shù)y=fx的最大值及相應(yīng)x(2)在△ABC中，角A為銳角且A+B=7π12，fA=【答案】(1)x=π8+kπ，(2)3+3【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換可得fx的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求fx的最大值及相應(yīng)（2）由（1）及角A的范圍可求角A，進(jìn)而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的邊長(zhǎng)值，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）依題意，fx即f(所以f(x)=即x=π8+kπ，（2）由（1）及fA=1得：即sin2由0<A<π因此，2A+π而A+B=7π在△ABC中，由正弦定理BCAC=sinC所以△ABC的面積為S【變式5-5】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a2=bcos(1)求證：A≤π(2)求△ABC面積的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）根據(jù)已知余弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得出a=1，根據(jù)基本不等式結(jié)合余弦定理可得出cosA≥（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，由面積公式，即可得出答案.【詳解】（1）由a2=b整理得，a3?a2=0根據(jù)基本不等式bc≤b+c2所以1bc所以，cos=b+c所以，A≤（2）由（1）知，bc≤1，A≤π所以，S△所以面積最大值為34【變式5-6】（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b?b2+(1)求角B的大??；(2)若b2+3c2【答案】(1)π(2)3【分析】（1）方法一：利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式即可得解；方法二：利用余弦定理化角為邊，即可得解；（2）利用余弦定理結(jié)合已知及基本不等式求出ac的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）方法一：由b?根據(jù)正弦定理邊化角得：sinB即sinA+C因?yàn)镃≠π2，所以cosC≠0又0<B<π方法二：由b?根據(jù)余弦定理：得b?即b2因?yàn)镃≠π2所以cosB=12，又（2）由（1）及余弦定理知cosB所以a2因?yàn)閎2所以a2+c因?yàn)閍>0，c>0，所以a2所以ac≤32，當(dāng)且僅當(dāng)a=2c所以△ABC的面積S所以△ABC面積的最大值為33考法六：求三角形邊長(zhǎng)（比）或周長(zhǎng)范圍例題分析【例6】在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，33(1)若a=2,b=1，求△ABC的面積；(2)若c=2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.【分析】（1）利用正弦定理把邊化為角，結(jié)合三角變換與同角基本關(guān)系可求得C，結(jié)合已知與面積公式即可求解；（2）用正弦定理把邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的值域求解，即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?3由正弦定理，可得33又由A+B+所以33所以33即33因?yàn)锽∈(0,π)，可得sinB>0又因?yàn)镃∈(0,π)所以△ABC的面積為1（2）由（1）可知C=由正弦定理得asinA=所以a=4因?yàn)?<A所以π6<A所以4<4sinA故△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為4,6滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練6-1】（四川省巴中市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a2(1)求角A的大小；(2)若a=23，求△ABC【答案】(1)2(2)(4【分析】（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算可得；（2）由正弦定理邊角關(guān)系可得b+【詳解】（1）因?yàn)閍2所以b2+c又0<A<π（2）由正弦定理可知:asinA=所以b+因?yàn)?<B<π3，所以所以23<b所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(4【變式訓(xùn)練6-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2+c(1)求角B的大?。?2)求ac【答案】(1)B(2)1【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角的內(nèi)角和定理，利用正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，結(jié)合銳角三角形求出角的范圍及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由a2+c由銳角△ABC，知0<所以B=（2）由（1）知B=π3，得A由正弦定理asinA=由△ABC為銳角三角形得0<C<∴tanC∴ac故ac的取值范圍為1【變式訓(xùn)練6-3】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，bsin(1)若tanB+tanC=(2)若△ABC為銳角三角形，c=2，求邊長(zhǎng)b的取值范圍．【答案】(1)2(2)1,4【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由立方差公式及余弦定理求出A，由tanB+tanC=3sin（2）由正弦定理得到b=2sinBsinC【詳解】（1）因?yàn)閎sin2B即b2+c2?所以cosA=b2+由tanB+tanC所以sinBcosC即sinπ?A=3sinA因?yàn)锽∈0,2π所以cos=cos=?1（2）因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且A=π所以0<C<π又c=2，由正弦定理b所以b=sin因?yàn)棣?<C<π2，所以即邊長(zhǎng)b的取值范圍為1,4.【變式訓(xùn)練6-4】（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰凇鰽BC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知bsin(1)求角A；(2)若D為邊BC上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足∠ADB=2∠ACB，求BDCD【答案】(1)A(2)0,1【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出角A（2）分析可得AD=CD，B=2π3?C，【詳解】（1）解：由bsinsinB12因?yàn)锳、B∈0,π，則sin可得tanA=3（2）解：由∠ADB=2∠ACB可得∠所以，C<∠BAC，故

在△ABD中，B=2由正弦定理可得BDsin所以，BDCD因?yàn)镃∈0,π3，則所以，BDCD的取值范圍是0,1【變式訓(xùn)練6-5】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┰谕顾倪呅蜛BCD中，AB=BC=7(1)若BD=27,cos(2)若四邊形ABCD有外接圓，求AD+CD的最大值.【答案】(1)CD(2)221【分析】（1）由同角關(guān)系可得正弦值，進(jìn)而由和差角公式，結(jié)合余弦定理即可求解，（2）根據(jù)正弦定理可得CD=27sin【詳解】（1）因?yàn)閏os∠ABD=所以cos∠由余弦定理可知，CD2（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD有外接圓，所以∠ADC因?yàn)锳B=BC，且由正弦定理可知，所以sin∠ADB=設(shè)∠DBC=θ由正弦定理可知，CDsin所以CD=27sin所以CD+因?yàn)棣取?,2π3即θ=π3時(shí)，CB

真題專(zhuān)練1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC(2)若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD=90°，求△ADC的面積.【答案】(1)2114(2)310【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)BC的值為BC=7，然后由余弦定理可得cosB(2)由題意可得S△ABDS△ACD【詳解】（1）由余弦定理可得：B=4+1?2×2×1×cos120則BC=7，sinB（2）由三角形面積公式可得S△則S△2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(1)求sinA(2)設(shè)AB=5，求AB邊上的高．【答案】(1)3(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b【詳解】（1）∵A∴π?C又2sin(A∴2sinA∴sinA∴sinA即tanA=3，所以∴sinA（2）由（1）知，cosA由sinB=sin(A由正弦定理，csinC=∴1∴?3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知b2(1)求bc；(2)若acosB?bcos【答案】(1)1(2)3【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA【詳解】（1）因?yàn)閍2=b2+（2）由正弦定理可得a=sin變形可得：sinA?B而0<sinB≤1，所以cosA=?1故△ABC的面積為S4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知△ABC的面積為3，D為BC中點(diǎn)，且AD=1．(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c【答案】(1)35(2)b=【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出a，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出∠【詳解】（1）方法1：在△ABC中，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，∠ADC=

則S△ADC=在△ABD中，∠ADB=即c2=4+1?2×2×1×(?12)=7sinB所以tanB方法2：在△ABC中，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，∠ADC=則S△ADC=在△ACD中，由余弦定理得b即b2=4+1?2×2×1×12=3，解得bC=π6，過(guò)A作AE⊥BC于E所以tanB（2）方法1：在△ABD與△ACD中，由余弦定理得整理得12a2+2=b又S△ADC=12×3所以b=方法2：在△ABC中，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，則2AD=于是4AD2+CB2又S△ADC=12×3所以b=5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB?C【答案】(1)13(2)5(3)?【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方關(guān)系求出cos【詳解】（1）由正弦定理可得，asinA=bsin（2）由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c（3）由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都為銳角，因此cosC故sinB6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=2x?a(1)求不等式fx(2)若曲線y=fx與x軸所圍成的圖形的面積為2，求a【答案】(1)a(2)2【分析】（1）分x≤a和（2）寫(xiě)出分段函數(shù),畫(huà)出草圖,表達(dá)面積解方程即可.【詳解】（1）若x≤a,則即3x>a,解得x若x>a,則解得x<3a,即綜上,不等式的解集為a3（2）f(畫(huà)出f(x)的草圖,則f(x△ABC的高為a,A所以S△ABC=7．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a=6(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2A?B)【答案】(1)c(2)sin(3)sin(2【分析】（1）根據(jù)余弦定理a2=b（2）由（1）可求出b=2（3）先根據(jù)二倍角公式求出sin2A【詳解】（1）因?yàn)閍2=b2+c2?2bc（2）由（1）可求出b=2，而0<A<π，所以sinA（3）因?yàn)閏osA=?14，所以π2<A<π，故0<B<故sin(2A8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知4a=5(1)求sinA(2)若b=11，求△ABC的面積．【答案】(1)55(2)22．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出sinC（2）根據(jù)余弦定理的推論cosC=a2+b2【詳解】（1）由于cosC=35，0<C由正弦定理知4sinA=5（2）因?yàn)?a=5即a2+6a?55=0，解得a=5所以△ABC的面積S9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC=【答案】(1)2(2)1【分析】（1）先表示出S1,S2,S3（2）由正弦定理得b2【詳解】（1）由題意得S1=1即a2+c2?b2=2，由余弦定理得則cosB=1?13（2）由正弦定理得：bsinB=asinA=10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)證明：2【答案】(1)5π8(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，sinC（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得sinC【詳解】（1）由A=2B，sinCsinA?B=sinBsinC?A可得，sinCsinB=sinBsin（2）由sinCsinCaccos122a11．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinC(1)證明：2a(2)若a=5,cosA=25【答案】(1)見(jiàn)解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出bc，從而可求得b+【詳解】（1）證明：因?yàn)閟inC所以sinC所以ac?即a2所以2a（2）解：因?yàn)閍=5,cos由（1）得b2由余弦定理可得a2則50?50所以bc=故b+所以b+所以△ABC的周長(zhǎng)為a12．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，sin2C=(1)求∠C；(2)若b=6，且△ABC的面積為63，求△ABC【答案】(1)π(2)6+6【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C（2）利用三角形的面積公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得△ABC【詳解】（1）解：因?yàn)镃∈0,π，則sin可得cosC=3（2）解：由三角形的面積公式可得S△ABC=由余弦定理可得c2=a所以，△ABC的周長(zhǎng)為a13．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2【答案】(1)π6(2)42【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將cosA1+sinA=sin2（2）由（1）知，C=π2+B，A【詳解】（1）因?yàn)閏osA1+sinA而0<B<π（2）由（1）知，sinB=?cosC而sinB所以C=π2+所以a=(2當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=2214．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知sinA:sinB:（I）求a的值；（II）求cosC（III）求sin2C?【答案】（I）22；（II）34【分析】（I）由正弦定理可得a:（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出2C【詳解】（I）因?yàn)閟inA:sinB∵b=2（II）由余弦定理可得cosC（III）∵cosC=3∴sin2C=2sinC所以sin2C?15．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，b=a+1，c=a+2.．（1）若2sinC=3sin（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，結(jié)合已知條件求出a的值，進(jìn)一步可求得b、c（2）分析可知，角C為鈍角，由cosC<0結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)【詳解】（1）因?yàn)?sinC=3sinA，則2c=2a+2cosC=a2+因此，S△（2）顯然c>b>a，若由余弦定理可得cosC解得?1<a<3，則由三角形三邊關(guān)系可得a+a+1>a+2，可得a16．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，c=2bcosB，（1）求∠B；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上中線的長(zhǎng)．條件①：c=2條件②：△ABC的周長(zhǎng)為4+23條件③：△ABC的面積為33【答案】（1）π6【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.【詳解】（1）∵c=2b∴sin2B=sin2π3=3∴2B=π（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得cb與c=2b若選擇②：由（1）可得A=設(shè)△ABC的外接圓半徑為R則由正弦定理可得a=c=2則周長(zhǎng)a+解得R=2，則a由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：23若選擇③：由（1）可得A=π6則S△ABC=則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：b217．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)fx（1）求函數(shù)y=f（2）求函數(shù)y=f(x)fx?π4【答案】（1）π；（2）1+2【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得y=1?sin2（2）由三角恒等變換可得y=sin(2【詳解】（1）由輔助角公式得f(則y=所以該函數(shù)的最小正周期T=（2）由題意，y=2sin=2由x∈[0,π2所以當(dāng)2x?π4=18．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）cos∠ABC【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有BD=（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊a與c的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得cos∠ABC【詳解】（1）設(shè)△ABC得sin∠ABC因?yàn)锽Dsin∠ABC=asin又因?yàn)閎2=ac（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)锳D=2DC，如圖，在△ABC中，在△BCD中，cosC由①②得a2+b又因?yàn)閎2=ac，所以6a2當(dāng)a=c3當(dāng)a=3c所以cos∠ABC[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知AD=2DC，則即12而b2=ac故有∠ADB=∠ABC由b2=ac，即ba=故ADAB=AB又b2=ac則cos∠ABC[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知BD=b=AC，再由在△ADB中，由正弦定理得AD又∠ABD=∠C，所以2在△ABC中，由正弦定理知c=23a在△ABC中，由余弦定理，得cos∠故cos∠ABC[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，則由AD=2DC，得在△BED中，cos∠在△ABC中cos∠因?yàn)閏os∠ABC所以a2整理得6a又因?yàn)閎2=ac即a=c3下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)锳D=2DC，所以以向量BA,BC為基底，有所以BD2即b2又因?yàn)閎2=ac，所以由余弦定理得b2所以ac=聯(lián)立③④，得6a所以a=32下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于AC的直線為y軸，DC長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D0,0由（1）知，BD=設(shè)Bx,y?3<由b2=ac即(x+2)聯(lián)立⑤⑥解得x=?74或x代入⑥式得a=|由余弦定理得cos∠ABC【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.19．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃鰽BC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AB?AC(1)若a=22，求△ABC(2)設(shè)D為AC中點(diǎn)，求A到BD距離的最大值.【答案】(1)2(2)2【分析】（1）根據(jù)條件得出bccosA=?1和12bcsinA（2）利用面積公式和基本不等式求最值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)锳B?AC=?1，得又因?yàn)椤鰽BC的面積為2，所以有12顯然cosA≠0，由①②得所以cosA=?13,在△ABC中，因?yàn)閎所以b2+c所以△ABC的周長(zhǎng)為2

（2）因?yàn)镈為AC邊上的中點(diǎn)，所以S△因?yàn)锽D=所以BD2因?yàn)閏2+1所以BD設(shè)點(diǎn)A到直線BD距離為d，因?yàn)镾△ABD=即點(diǎn)A到直線BD距離最大值為22120．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=6，bsin(1)若b=1，證明：C=A+π(2)若BC邊上的高為853，求【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)12+4【分析】（1）根據(jù)已知變形結(jié)合正弦定理可得出25sinAcosA=6（2）根據(jù)已知得出S=85以及bc=245.根據(jù)余弦定理變形整理可得【詳解】（1）由已知可得bsin由正弦定理asinA=所以有25又sinA>0，所以cosA又b=1，所以sin∵a>∴cos∴cos又C∈0,π，A+π則C=（2）由題意得△ABC的面積S又S=12由余弦定理a2得b+所以，b+所以，△ABC的周長(zhǎng)為12+421．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinA=(1)求角C的大小；(2)若C的角平分線交AB于點(diǎn)D，且CD=2，求a+2b的最小值，【答案】(1)C(2)6+4【分析】（1）利用正弦函數(shù)的和差公式化簡(jiǎn)題設(shè)條件，從而得到tanC（2）利用三角面積公式推得1a【詳解】（1）因?yàn)閟inA所以sinC所以?3由于0<B<π，則sinB>0又C∈(0,π)（2）因?yàn)镃的角平分線交AB于點(diǎn)D，且CD=2，S

根據(jù)三角形面積公式可得12等式兩邊同除以12ab?CD可得則a+2當(dāng)且僅當(dāng)2ba=故a+2b的最小值為22．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，acos(1)求A；(2)若a=13，且△ABC的面積為33，求【答案】(1)π(2)7+【分析】（1）由已知和正弦定理