超級(jí)畫板支持下的“角平分線”教-對(duì)汪曉勤教授一則HPM案例的進(jìn)一步研究

超級(jí)畫板支持下的“角平分線”教——對(duì)汪曉勤教授一則HPM案例的進(jìn)一步研究汪文，陳清華，徐章韜

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，430079)

“角平分線”是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它的尺規(guī)作圖及性質(zhì)是學(xué)生必須掌握的。汪曉勤教授在《HPM視角下的“角平分線”教學(xué)》一文中，研究了“角平分線”的歷史，并設(shè)計(jì)了將其融入教學(xué)的一個(gè)簡要過程。筆者以汪教授的設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，借助超級(jí)畫板軟件強(qiáng)大的作圖、動(dòng)畫功能，給出了細(xì)化、完善的“角平分線”教學(xué)設(shè)計(jì)，并得到了一些關(guān)于技術(shù)、歷史和課程內(nèi)容有機(jī)融合的教學(xué)感悟。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）情境引入

教師出示情境問題：如圖1，在公園深處，有兩條人行道形成的岔路，工人們要在岔路之間、距路口一定距離處安裝一盞路燈，使其照得兩條人行道一樣亮，問燈柱應(yīng)該立在什么地方？

教師可在一旁提示：要使路燈照得兩條1人行道“一樣亮”，燈柱就必須立在兩條人行l(wèi)道所成角的平分線上。同時(shí)，運(yùn)用超級(jí)畫板將岔路抽象成一個(gè)角。

[設(shè)計(jì)意圖：利用取材于生活的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的思考。通過把一個(gè)實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題——如何求角的平分線，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)學(xué)化”的過程。]

（二）尺規(guī)作圖

教師可先介紹教材上的作圖方法，再提問學(xué)生：古代數(shù)學(xué)家是如何作圖的？由此，教師可先簡單介紹一下古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得和他的《幾何原本》，并利用超級(jí)畫板展示其作圖過程：如圖2，在角AOB的一條邊OA上任取一點(diǎn)D，以為0圓心、OD長為半徑作圓弧，交角AOB的另一條邊OB于點(diǎn)E；再以DE為邊作等邊△DEF，連接OF。

接著，教師可利用超級(jí)畫板的測量功能測量角DOF和角EOF的大小，同時(shí)移動(dòng)點(diǎn)D，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在移動(dòng)的過程中兩個(gè)角的大小始終相等，從而確定射線OF即為角AOB的平分線，歐幾里得的作圖方法是正確的。

此后，教師可追問學(xué)生：古代數(shù)學(xué)家作圖背后的幾何原理是什么呢？也即，如何從邏輯上證明，而非從事實(shí)上驗(yàn)證射線OF平分角AOB?由此，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過三角形全等來證明：如圖2，由作圖可知線段OD一OE，F(xiàn)D=FE，又OF邊公用，因此△ODF∽△OEF，從而角DOF=角OF，即射線OF為角AOB的平分線．

[設(shè)計(jì)意圖：引入數(shù)學(xué)史可以恢復(fù)數(shù)學(xué)背后的“人的元素”，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是自古以來人類的重要文化活動(dòng)。證明作圖方法之前用超級(jí)畫板演示動(dòng)態(tài)效果可以使學(xué)生獲得生動(dòng)的體驗(yàn)和感性的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生深入理解和牢固掌握概念。同時(shí)，通過作圖方法的嚴(yán)格證明，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到技術(shù)和應(yīng)用背后是科學(xué)理論的支撐，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要重視邏輯思維的訓(xùn)練。]

（三）性質(zhì)探究

學(xué)會(huì)了如何作一個(gè)角的平分線后，教師可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：那么角平分線與角的兩邊之間有何關(guān)系？角平分線有什么特征或性質(zhì)？此時(shí)，教師可反問：為什么前面的例子中燈柱要立在角平分線上？

當(dāng)學(xué)生指出距離相等才能“一樣亮”后，教師可先利用超級(jí)畫板進(jìn)行驗(yàn)證：如圖3，給定一個(gè)角AOB，作出它的平分線OD．在OD上任取一點(diǎn)C，利用超級(jí)畫板的測量功能測量點(diǎn)C到角兩邊OA、OB的距離，可以發(fā)現(xiàn)在移動(dòng)的過程中點(diǎn)C到OA、OB的距離始終相等。那么這個(gè)性質(zhì)如何證明呢？可再引導(dǎo)學(xué)生通過直角三角形全等來證明。最后，教師總結(jié)結(jié)論：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。同時(shí)，強(qiáng)調(diào)這是角平分線的非常重要的性質(zhì)。

[設(shè)計(jì)意圖：回到課堂開頭的問題，可以起到前后呼應(yīng)的效果，而且可以使得學(xué)生在應(yīng)用中加深對(duì)角平分線及其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。]

（四）拓展引申

掌握了角平分線的作圖和性質(zhì)后，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)作圖將一個(gè)角四等分、八等分、十六等分……然后提出問題：能否用尺規(guī)作圖完成三等分角？學(xué)生嘗試失敗后，教師可指出：三等分角問題是古希臘三大幾何難題之一，古代數(shù)學(xué)家很早就嘗試?yán)贸咭?guī)作圖完成三等分角，但是都以失敗告終，直到19世紀(jì)才有數(shù)學(xué)家證明利用尺規(guī)作圖是不可能完成三等分角的。

此時(shí)，學(xué)生可能會(huì)提出用量角器或者超級(jí)畫板通過測量來作圖。對(duì)此，教師可指出：尺規(guī)作圖因其良好的準(zhǔn)確性而被廣大數(shù)學(xué)愛好者推崇，我們學(xué)習(xí)幾何學(xué)不只是為了解決一些實(shí)際問題，更重要的是可以鍛煉我們的邏輯思維。然后，教師可以講解美國總統(tǒng)林肯學(xué)《幾何原本》的真實(shí)故事。

[設(shè)計(jì)意圖：再次引入數(shù)學(xué)史和名人故事，拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)的心理距離，增強(qiáng)了課堂的趣味性；同時(shí)，自然引入幾何學(xué)的價(jià)值，將本節(jié)課升華到一個(gè)更高的層次——可達(dá)到一箭三雕的效果。]

二、教學(xué)感悟

弗賴登塔爾所說過：“沒有一種數(shù)學(xué)思想像當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)那樣得以公布。技巧得到了發(fā)展和使用，一旦問題獲得解決，就會(huì)把解答的程序顛倒過來，使火熱的創(chuàng)造變?yōu)楸涞拿利??！彼堰@種呈現(xiàn)方式在數(shù)學(xué)專著或數(shù)學(xué)教科書里的表現(xiàn)稱為“教學(xué)法的顛倒”。如何避免這種顛倒？在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，我們可以將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)地結(jié)合，引領(lǐng)學(xué)生重溫?cái)?shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過程，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和欲望更加強(qiáng)烈，幫助學(xué)生認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的精髓。如何更好地將數(shù)學(xué)史融人數(shù)學(xué)教學(xué)？需要我們從教育取向出發(fā)，深入研究數(shù)學(xué)史，并作出合理的取舍和選擇，進(jìn)行創(chuàng)造性構(gòu)建；同時(shí)，遵循趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和新穎性的原則。

目前，信息技術(shù)的作用和價(jià)值已經(jīng)得到社會(huì)各界的普遍承認(rèn)。但是，我們也不難發(fā)現(xiàn)，大部分信息技術(shù)的產(chǎn)生并非出于教學(xué)的目的，而把普適的信息技術(shù)應(yīng)用到教學(xué)中就會(huì)費(fèi)力不討好。因此，我們需要從教學(xué)需求出發(fā)，整合信息技術(shù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，畫圖是為了講道理、講清道理，數(shù)學(xué)的道理常常表現(xiàn)為形與數(shù)的統(tǒng)一、變化中的不變。例如，函數(shù)圖像（曲線）與函數(shù)解析式（方程）是聯(lián)動(dòng)的，是一回事；三角形不論如何變化，內(nèi)角和總是180。，三條中線總是交于一點(diǎn)。為此，我們需要?jiǎng)討B(tài)幾何作圖軟件輔助教學(xué)，以生動(dòng)、深入地講清一些道理。這樣的軟件所作的圖形應(yīng)該有兩個(gè)基本特點(diǎn)：(1)圖中的對(duì)象可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)或用參數(shù)的變化來驅(qū)動(dòng)；(2)其他對(duì)象會(huì)自動(dòng)調(diào)整其位置，以保持圖形原來設(shè)定的幾何性質(zhì)。從實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)我國的超級(jí)畫板和美國的幾何畫板都能很好地實(shí)現(xiàn)這些功能，而超級(jí)畫板的功能更加全面——甚至可以概括為“動(dòng)態(tài)幾何作圖十函數(shù)曲線作圖十幾何圖形變換十圖形和表達(dá)式動(dòng)態(tài)測量十邏輯動(dòng)畫十圖形跟蹤和軌跡十符號(hào)計(jì)算十?dāng)?shù)值計(jì)算十編程環(huán)境十統(tǒng)計(jì)圖表工具十公式編輯器十課件平臺(tái)”。

綜合來看，將數(shù)學(xué)史引入數(shù)學(xué)課堂往往會(huì)增大課堂的信息容量，而利用超級(jí)畫板強(qiáng)大的作圖、動(dòng)畫等功能，可以清晰、準(zhǔn)確地展示圖形的變化過程，增加數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生動(dòng)性和體驗(yàn)性，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)史教學(xué)的趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和新穎性，讓數(shù)學(xué)史更容易走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂。此外，數(shù)學(xué)史上很多漫長、繁復(fù)的探究，在超