特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（解析版）

專題05特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

國【題型目錄】

題型一矩形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型

題型二菱形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型

題型三正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型

題型四特殊平行四邊形中長度問題

題型五特殊平行四邊形中角度問題

題型六利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積

題型七中點(diǎn)四邊形

題型八特殊平行四邊形的動點(diǎn)問題

題型九四邊形中的線段最值問題

題型十特殊平行四邊形中的折疊問題

題型十一四邊形其他綜合問題

4【經(jīng)典例題一矩形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】

知識點(diǎn)1：矩形的性質(zhì)

1.邊：對邊平行且相等；

2.角：四個角都是直角；

3.對角線：對角線相等且互相平分；

4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.（對稱軸為矩形對邊中點(diǎn)所在的直線）

知識點(diǎn)2：矩形的判定

1.定義法：有一個角是直角的平行四邊形；

2.對角線相等的平行四邊形是矩形；

3.有三個角都是90°的四邊形是矩形.

【例1】（2022秋.湖北.九年級統(tǒng)考期中）已知大小一樣的矩形ABC。和矩形E4GF如圖1擺放，

AB=3,BC=5,現(xiàn)在把矩形E4G/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2,FG交BC于點(diǎn)、M,交C。于點(diǎn)N,若NC=MC,

則的值為（）.

A.5-3&B.572-3C.5&-6D-8-50

【答案】D

【分析】設(shè)AG與8c交于點(diǎn)兒由已知可得MGH、AM都是等腰直角三角形，由勾股定理可得AH、

的長，從而可求得CW的長.

【詳解】設(shè)AG與8c交于點(diǎn)”，如圖，

?.?四邊形ABC。、四邊形AEFG都是矩形，

二ZB=NC=NG=90。，AG=BC=5,

":NC=MC,

二_CMN是等腰直角三角形，

ZCMN=45°,

：.NGMH=NCMN=45°,

*：ZG=90°,

NGHM=ZGMH=45°,

二GH=GM,

:,MG”是等腰直角三角形，

同理，-A8”是等腰直角三角形，

BH=AB=3,

由勾股定理可得Ab=048=3a，

二GH=GM=5-3&，

由勾股定理得：MH=y[lGH=>^(5-3>/2)=572-6,

?.CN=CM=BC-BH-MH=5-3-(5叵-6)=8-5近.

故選：D.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，由題意得到若干個等腰直

角三角形是問題的關(guān)鍵.

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022秋?河北保定?九年級保定市第十七中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABC。中，對角線AC,

3。相交于點(diǎn)。，且OA=OC,OB=OD,下列說法錯誤的是（）

A.若AC180,四邊形ABCQ是菱形

B.若AC=BO,四邊形ABC。是矩形

C.若AC/BD且AC=B￡>,四邊形ABC。是正方形

D.若NABC=90。，四邊形45co是正方形

【答案】D

【分析】由平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：OA=OC,OB=OD,

四邊形ABC。是平行四邊形，

A、若AC則平行四邊形ABC。是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、若AC=BD,則平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；

C、若AC18。目.4C=B。，則平行四邊形MCD是正方形，故選項(xiàng)C不符合題意：

D、若NABC=90。，則平行四邊形A8CQ是矩形，故選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，熟練掌握各

四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022春?山東德州?八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，矩形A8CO的邊AD=3,

A（g,0）,B（2,0）,直線￡:丫=丘+。經(jīng)過B,。兩點(diǎn).將直線L平移得到直線N="+b,若它與矩形有公共

點(diǎn)，則人的取值的范圍.

【答案］!<&<7##7>b>l

【分析】先利用矩形性質(zhì)得點(diǎn)C、。坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線心解析式，再分別把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入），="+b

中，求得人的值即可得到答案.

【詳解】解：A(-,0),B(2,0),AO=3,

?.￡>4,3),C(2,3),

2

.,直線以丫=依+。經(jīng)過8(2,0)、D(g,3)兩點(diǎn),

24+〃=0

>1,今，

—k+a=3

[2

.\￡:y=-2x4-4,

?.■直線y=-2x+。與矩形ABC。有公共點(diǎn)，分別將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

-2乂,+/?=0或-4+〃=3,

2

「2=1或〃=7,

/.1<Z?<7；

故答案為：1助47.

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、?次函數(shù)的圖像的平移、矩形的性質(zhì)等知識，準(zhǔn)確找到直

線與矩形有公共點(diǎn)的兩個臨界點(diǎn)A與C是解此題的關(guān)鍵.

【變式3](2021春?北京豐臺?八年級北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，E是矩形A8CO的邊AO上

一點(diǎn)，BE=ED,P是對角線8。上任意一點(diǎn)，PF1BE,PGA.AD,垂足分別為尸和G,則PE+PG—

定與圖中哪條線段的長度相等：

【答案】A8或

【分析】連接PE，根據(jù)題意的面積等于△BEP與VP￡E>面積和，由BE=ED可得！ED(PF+PG),

再由BED的面積等于gEDAB,即可得出答案.

【詳解】證明：連接PE,如圖,

BE=ED，PFA.BE,PG1AD,

S^DE~SM￡P(guān)+S^Ep

=-BEPF+-EDPG

22

=^ED(PF+PG),

又:四邊形ABC。是矩形，

:.BA1AD,AB=CD,

..SABED=；EDAB，

：.-ED(PF+PG)=-EDAB,

22

:.PF+PG=AB=CD.

故答案為：AB或CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及三角形面積計算，應(yīng)用等面積法列式計算是解決本題的關(guān)鍵.

【變式4](2021春?重慶巴南?九年級校考期中)如圖，在矩形ABC。中，8。是對角線，BE、。廠分別平

分'/ABD、NCDB,交邊AE＞、BC于點(diǎn)E、F.

(1)若跳：=2,ZABE=3O°,求8。的長.

(2)求證：AE=CF.

【答案】(1)26

(2)見解析

【分析】(1)由己知可求得AE的長及NABD=60。，由勾股定理求得A3的長，再由含30度角直角三角形

的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

(2)由矩形的性質(zhì)及角平分線的意義易得A4BE絲從而問題解決.

【詳解】(1)解：四邊形A8CD是矩形，

.-.ZA=90°,

BE=2,ZABE=30°,

AE=-BE=l；

2

BE平分NASD，

:.ZABD=2ZABE=60°,

ZADB=90°-ZABD=30°,

：.BD=2AB；

由勾股定理得AE?=G，

BD=2。

(2)證明：-四邊形ABC。是矩形，

.-.ZA=ZC=90°,AB=CD,AB//CD,

:.ZABD=NCDB,

BE、分別平分NA8￡)、/CDB,

:.ZABE=-ZABD,ZCDF=-ZCDB,

22

ZABE=ZCDF,

..△ABE&△COF(SAS),

-'.AE=CF.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識，

靈活運(yùn)用這些知識是關(guān)犍.

【變式5](2022秋?湖北宜昌?九年級校聯(lián)考期中)已知，點(diǎn)F是矩形A68邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊A3上，AE=BC,

(D如圖1,點(diǎn)尸在邊AZ)上，且AF=BE,連接EF.求證：EF1CE：

(2)如圖2,點(diǎn)尸在邊BC上，且5E=b,連接所交CE于點(diǎn)G.求證：ZAGE=45°.

⑶在(2)的條件下，AB=8,CE=6,則8尸=.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶2&

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△AEF芻△〃（左,得出NA￡F=N8CE,即可得出答案；

（2）過點(diǎn)C作CH〃4F,交AO于H,連接EH,證明四邊形AFCH是平行四邊形，得出AH=C/，即可

得出B￡=A//,根據(jù)SAS證明4A￡Hg.8CE,得出ZA￡H=ZBCE,EH=EC,證明NaEC=90°，即可求

fl!ZECH=45°,根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出乙4GE=NEC”=45°:

（3）設(shè)BE=x,則AH=x,AE=8-x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出BE的值，即

可得出答案.

【詳解】（I）證明：???四邊形ABCD是矩形，

.-.ZA=ZB=90<,AD//BC.

AE=BC

?.?在zXAE尸和8CE中■NA=N8,

AF=BE

...均BCE(SAS),

：.ZAEF=ZBCE,

NBCE+NBEC=90",

;.NAEF+NBEC=90°，

NFEC=9。，

EFA.CE.

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)C作C，〃AF,交4)于，，連接E”，

圖2

VAF//CH,AD//BC,

二四邊形AFCH是平行四邊形,

；.AH=CF,

BE=CF,

.,.BE=AH,

AE=BC

??,在△A￡”和BCE中（NA=N8,

AH=BE

：.dAEHgBCE（SAS）,

:.ZAEH=ZBCE,EH=EC,

ZBCE+ZBEC=90\

ZAEH+NBEC=90°,

??.ZHEC=90\

又EH=EC,

NEC”=45°,

AF〃CH,

ZAGE=ZECH=45°

（3）解：設(shè)=則AH=x,AE=8-x,

根據(jù)解析（2）可知，EH=CE=6,

VEH2=AE2+AH29

即62=（8—x）~4-x2,

解得：2=4+&或w=4-0,

*/BOCF,

:.AE>BE,

:.8-x>x,

x<4,

***x1=4+72不符合題意舍去，

BE=4-6,

：.BC=AE=8-（4->^）=4+&,

/.即=4+血-（4-夜）=20.

故答案為：2拉.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，

作出輔助線，構(gòu)造全等三角形AEH^,BCE,是解題的關(guān)鍵.

4【經(jīng)典例題二菱形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】

知識點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)

1.邊：對邊平行，四條邊都相等B

2.角：對角相等

C“以44［對角線互相垂直平分

■［每一條對角線平分—-僦角P

4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，對角線所在直線就是對稱軸

知識點(diǎn)2：菱形的判定

1.定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

3.四條邊都相等的四邊形是菱形

【例2】（2022秋?安徽滁州?九年級統(tǒng)考期中）菱形ABCD中，AB=4,/B=60。，E,尸分別是A8,AD上

的動點(diǎn)，且BE=AF,連接EF,交AC于G,則下列結(jié)論：①，BEC"AFC；②AECF為等邊三角形;

③CE的最小值為2G.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①②③C.①③D.②③

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及ZB=60。，先證明.ABC是等邊三角形，再根據(jù)“SAS”可得aBEC/ZSA尸C,

進(jìn)而可得NPCE=NACB,可說明是等邊三角形，在△FCE是等邊三角形中，要求CE最小，根據(jù)垂

線段最短即可知當(dāng)CE上4?時，CE最小，再通過勾股定理即可求出CE.

【詳解】：四邊形回。是菱形，48=4,4=60。，

AB=BC=CD=4,ABAC=ACAD=60。，

二..ABC是等邊三角形，

CB=CA,ZACB=60°.

AD//BC,

：.NCW=ZACB=60°.

BE=AF,

：.；BEC^AFC（SAS）,

，結(jié)論①正確；

\\CBE"CAF,

:.CE=CF/BCE=ZACF.

,：ZACB=NBCE+NECA=60°,

ZACF+ZECA=6O°,

即NECr=60。，

△ECF是等邊三角形，

二結(jié)論②正確；

\?當(dāng)CE143時，CE最小，

在RfCBE中，48=60。，可知/BCE=30°,

BC=4,

：.BE=2,

CE=\lBC2-BE2=2石>

???CE的最小值是26，

結(jié)論③正確.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾

股定理等知識，充分利用含60。角的菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

口【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022秋.廣東梅州.九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形ABC。的周長為8cm,高AE長為及m,

則對角線AC長和8。長之比為（）

A.1:2B.1:3C.1:72D.1:73

【答案】D

【分析】設(shè)AC與8D相交于點(diǎn)O,根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出AC1即，DO=OB,再根據(jù)題意，得出

AB=BC=AD=DC=2cm,再根據(jù)勾股定理，得出BE的長，再根據(jù)直角三角形中，30。所對的直角邊等于

斜邊的一半，得出NE4B=30。，再根據(jù)等邊二角形的判定定理，得出，A8C是等邊三角形，再根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)，得出AC=8C=2cm,AE=OB=&m，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出BQ=2j3cm,進(jìn)而計算即

可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，設(shè)4c與8。相交于點(diǎn)。，

二?四邊形ABCD是菱形，

AACJ.BD,DO=OB,

?.?菱形ABC。的周長為8cm,

AB=BC=AD=DC=2cm,

?-,高AE氏為73cm?

?*-BE=YIAB2-AE2=1cm，

，NE46=30。，

ZABE=60°,

又?:BC=AB.

二.AfiC是等邊三角形，

AC-BC=2cm.AE=OB=百cm,

*,■ED=2石cm,

AC:B力=2:26=1:6,

/.4c和BO長度之比為1:百.

I)

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的特征、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱

形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式2】（2022春?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形A8CD中，AELBC,垂足為點(diǎn)E.AE與BD

交于點(diǎn)尸，連接CF.若NC"=32。，則/EC尸的大小為.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出A8=C8,ZABF=NCBF=32°,再根據(jù)SAS,得出ABF^,CBF,再根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出N&F=NBCF,再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出NABC=64。，再根據(jù)垂線的定義，

得出NAEB=90。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出尸=26。，進(jìn)而即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形A8CD是菱形，

:.AB=CB,ZABF=^CBF=32°,

在△ABF和VCB尸中，

AB=CB

"ZABF=NCBF,

BF=BF

二：ABF空.CBF(SAS),

：.NBAF=NBCF,

ZABC=ZABF+NCBF=320+32°=64°,

■:AE±BC,

：.ZAEB=90°,

：.NBAF=18O°-ZAEfi-ZABE=180°—90°-64°=26°,

ABCF=NBAF=26°,

即Z￡C尸=26°.

故答案為：26。

【點(diǎn)睛】本題考查J'菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵在熟練

掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理.

【變式3］（2022秋.湖北宜昌?九年級校聯(lián)考期中）如圖，中，ZACB=90°,^BAC=3Q°■△ABD

和/VICE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接。E交A8于點(diǎn)G,E尸與AC交于點(diǎn)”；以下結(jié)論：①

EF1AC；②四邊形49FE為菱形；③4A4AG；@FH=-BD.其中，正確的結(jié)論有_________.（填寫

4

所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①③④

【分析】根據(jù)等邊三角形三邊相等三個角都是60。的性質(zhì)，以及直角三角形中，30。所對的直角邊是斜邊的

一半的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；

【詳解】解：???△ACE是等邊三角形

/.ZE4C=6O°,AE=AC

NB4c=30。

:.ZFAE=ZACB=90°,AB=2BC

???尸為AB的中點(diǎn),

:.AB=2AF

BC=AF

.?./ABC^EEA（SAS）

：.FE=AB

.\ZAEF=ABAC=30°

:.EF±AC,故①正確；

EFLAC,ZACB=90°

.'.HF//BC

■:尸是AB的中點(diǎn),

.?.HF=-BC

2

BC=-AB=-BD

22

HF=-BD,故④正確；

4

AD=BD,BF=AF

ZDFA=90°=ZEAFfZADF=300=ZAEF

在Z^DAF和△EE4中

ZDFA=NEAF

"NAOF=NAEF

AF=AF

QF以EE4(AAS)

:.AE=DF,AD=EF

???四邊形ADFE為平行四邊形，

.-.AG=-AF=-AB=-BD

244

AD=4AG：故③說法正確；

AD^DF

四邊形ADFE不是菱形；故②不正確；

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、特殊的直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定；綜合運(yùn)用等邊三角形和

直角三角形的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

【變式4](2020秋?四川成都?九年級成都外國語學(xué)校校考期中)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD

相交于點(diǎn)O,且他〃BO,BE//AC,OE=AB.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形.

(2)若NA￡>C=60。，BE=2,求30的長.

【答案】(1)見解析

⑵4石

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定證明即可;

（2）由菱形的性質(zhì)可得BO=DO,NAQO=30。，可求AO=2,DO=gAO,即可得出答案.

【詳解】（1）解：證明：AE//BD,BE//AC,

二四邊形A￡B。是平行四邊形，

V四邊形ABC。是平行四邊形，

:.DC=AB.

OE=AB,

二平行四邊形A￡B。是矩形，

:.ZBOA=90°.

:.AC±BD.

，平行四邊形ABC。是菱形；

（2）由（1）得：四邊形A￡B。是矩形，四邊形ABCO是菱形，

:.OA=BE=2,ACJ.BD,BO=DO,ZADO=30°,

：.0D=y/30A=2y/3，

:.BD=2OD=4y/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性

質(zhì)等知識；靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5】（2021春?江蘇南京?八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在邊AD上，折疊,/WE使

點(diǎn)4落在CD邊上的點(diǎn)尸處，折痕為8E,過點(diǎn)4作AGEF交BE于點(diǎn)、G,連接G尸.

（1）求證：四邊形AEFG是菱形.

（2）若A￡>=6,AB=10,求四邊形但'G的面積.

【答案】（1）見解析

小、20

⑵彳

【分析】（1）連接AF,交EG丁點(diǎn)。，根據(jù)折疊得到破是質(zhì)的垂直平分線，進(jìn)而得到NA￡B=NFEB,

AE=EF,AG=GF,根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出AE=AG,進(jìn)而得到AE=EF=AG=G9，即可得證.

（2）根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，求出CF長，進(jìn)而求出D尸的長，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定

理，求出AE的長，利用菱形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）證明：連接AF，交EG于點(diǎn)0,

???折疊石使點(diǎn)A落在。。邊上的點(diǎn)尸處，折痕為8E,

???8七是AF的垂直平分線，ZAEB=/FEB，

：.AE=EF,AG=GFt

AGEF,

:.ABEF=ZAGE,

???ZAEB=ZAGE,

：.AE=AGf

：.AE=EF=AG=GF,

???四邊形毋G是菱形.

(2)解：,??在矩形ABC。中，AO=6,AB=10,

CQ=45=10,A￡>=3C=6,NO=NC=90。，

;折疊-AB石使點(diǎn)A落在C。邊上的點(diǎn)尸處，折痕為砥,

:.BF=AB=10,

在Rt3C尸中，CF=yjBF2-BC2=8*

:.DF=CD-CF=2,

設(shè)A￡=Eb=x,則：DE=AD-AE=6-x,

在RtEOT7中，EF2=DE2+DF2即：x2=(6-x)2+4,

解得：X=y

AE號

，四邊形AEFG的面積=AEFD=^-x2=^-.

33

【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，是解題的

關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題三正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】

知識點(diǎn)1:正方形的性質(zhì)

1.邊：對邊平行，四條邊都相等

2.角：四個角都是直角

C4以對角線互相垂直平分且相等

'［每一條對角線平分一組對角

4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸

5.正方形面積求法：S^a2=-l2（。表示正方形的邊長，/表示正方形的對角線）

2

注：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形

知識點(diǎn)2：正方形的判定

1.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

2.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

3.對角線互相垂直的矩形是正方形

4.有一個角是直角的菱形是正方形

5.對角線相等的菱形是正方形

知識點(diǎn)3：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形'正方形之間的關(guān)系

一個角為直角或,有一組鄰邊相等或

矩形

對角線相等對角線互相垂直

對角線相等且互相垂直或

平行四邊形正方形

有一組鄰邊相等且有一個角是直角

一組鄰邊相等有一個角為直角

菱形

或?qū)蔷€互相垂直或?qū)蔷€相等

四邊形對角線相等且互相垂直平分

【例3】（2022秋?四川瀘州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P,連接赫、DP、BP,WAADP

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AA￡B,連接DE,點(diǎn)P恰好在線段OE上，若4P=正，BP=,則拉尸的長度為（）

A.2B.76C.2夜D.M

【答案】B

［分析］根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AE=叵,ZPAE=90°,ZAPD=ZAEB,EB=DP,從而可得

EP=42AP=2,ZAEP=ZAPE=45°,進(jìn)而可得NPEB=90。，然后利用勾股定理求出￡B,即可解答.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得:

AP=AE=V2,ZPAE=90°,NAPD=ZAEB,EB=DP,

：.EP=6Ap=2,NAEP=NAPE=45°,

，ZAPD=ZAEB=1800-ZAPE=135°,

ZP￡B=ZA￡B-ZA￡P(guān)=135°-45o=90°.

;PB=屈,

EB=ylPB2-PE2=7(>/10)2-22=展，

，EB=DP=娓,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

W【變式訓(xùn)練】

【變式1】(2022春?山東德州?八年級統(tǒng)考期末)如圖，把正方形ABCZ)放在直角坐標(biāo)系中，直角頂點(diǎn)A落

在第二象限，頂點(diǎn)5、。分別落在軸、x軸上，已知點(diǎn)4-2,2)、8(0,-3),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(-4,0)B.(-7,0)C.(-5,0)D.(-8,0)

【答案】B

【分析】如圖，過點(diǎn)A作AELy軸于E、AF_Lx軸于F,則四邊形AEO尸是矩形可得AE=OF、AF=OE,

再由A、B的坐標(biāo)結(jié)合圖形可得BE=5,然后再證明尸=可得￡>P=3E=5,進(jìn)而確定。力的

長即可解答.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作4E_Ly軸于E,AF_Lx軸于F,

AE_Ly軸，■l.x軸，ZEO尸=90。，

???四邊形AEOF是矩形，

：.AE=OF,AF=OE,

?.?點(diǎn)4(-2⑵、8(0,-3),

:.AF=AE=2=OF=OE,80=3,

/.BE=5,

.?四邊形A5CD是正方形，

:.AD=AB,ZDAB=ZEAF=90°,

:.ZDAF=ZBAE,

在RtM)AF和RtNBAE中，

jAD=AB

[AF=AE'

Z.Rt\DAF三RfABAE(HL),

:.DF=BE=5,

:.OD=1,

???點(diǎn)。(-7,0).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合

思想成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式2](2022春?四川綿陽?八年級?？计谥?如圖，在一A5C中，AC=BC=5,AB=6,以BC為邊向

外作正方形3C0E,連接A￡>,貝.

D

【答案】7近

【分析】作出如圖的輔助線，利用等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得/F=M=3,CF=4,麗明

△CBF四LBEG學(xué)AEDH(AAS),利用全等」.角形的性質(zhì)求得8F=GE=￡>〃=3,CF=GB=EH=4,再

利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)C、D、E分別作直線AB的垂線，垂足分別為F、/、G,過點(diǎn)。作直線EG的垂線，垂

足為H,如圖，

D1=HG,DH=1G,

VAC=BC=5,AB=6,

：.AF=BF=-AB=3,

2

二CF=V52-32=4>

?.?四邊形38E為正方形，

二BC=BE=DE,NCFB=NCBE=NEBG=ZH=90°,

，Z.CBF=NBEG=ZEDH,

(AAS),

:.BF=GE=DH=3,CF=GB=EH=4,

：.DI=HG=1,DH=IG=3,AI=AB+BG-IG=1,

AD=\I12+72=7>/2-

故答案為：70.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)

鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

【變式3]（2022春?江蘇常州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形A8C。的邊長為m點(diǎn)尸是AB邊上的中點(diǎn)，

將沿OP翻折到DE,延長PE交BC于點(diǎn)。，連接OQ、BE,下列結(jié)論中：①NPO0=45。；②△BPQ的

周長為2”；③連接AE,S△樹=；BE-AE.正確的是（填正確的序號）.

【答案】①②③

【分析】先根據(jù)正方形中的翻折得到△APZ運(yùn)△￡■2￡>,由全等三角形的性質(zhì)得

ZA=ZDEP=90°,AD=DE,ZADP=ZEDP,再由題意用證明也為△OCQ,根據(jù)對應(yīng)角相

等進(jìn)行角的等量代換即可證明結(jié)論①正確；由①中已證的兩組全等進(jìn)行線段的等量代換即可證明結(jié)論②正

確；根據(jù)翻折的性質(zhì)可知尸。垂直且平分AE,再利用中點(diǎn)與全等，得出由等邊對等角證明

NPBE="EB,再根據(jù)外角的性質(zhì)，利用同位角相等證出PD/3E,從而可證8E_LAE,繼而可得

BE/E，證出結(jié)論③正確.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，邊長為a,將AZ）沿DP翻折到DE,

:.△APg/\EPD,

；.ZA=ZDEP=90。,AD=DE,ZADP=ZEDP.

\?點(diǎn)。在尸E的延長線上，

Z.ZDE0=90°.

[DE=DC

在RtZVJE。和RtzXOCQ中，八八，

[DQ=DQ

:.RtAD￡0^RtADCe（//L）,

.?.ZEDQ=4CDQ,

，/ADP+ZCDQ=匕EDP+Z.EDQ=1/ADC=45°.

故結(jié)論①正確；

由即狙和ADEOdDCQ可知,AP=PE,EQ=CQ,

...△3PQ的周長=8P+B。+PE+EQ=A3+BC=2a.

故結(jié)論②正確；

，PD垂直且平分AE.

,??點(diǎn)P是AB邊上的中點(diǎn)，

:.AP=BP=PE,

,ZPBE="EB.

又「NAPE是△ME的外角，

/.TAPE=NPBE+NPEB，

且WD=NEPD,

ZAPD=4PBE，

：.PD//BE,

BE-LAE,

S4ABE=5BE-AE.

故結(jié)論③正確.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等

邊對等角、外角、平行線等知識，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握幾何相關(guān)的性質(zhì)與判定定理，并能夠靈活應(yīng)用，

找到相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【變式4］（2022春.江蘇蘇州.八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，連接EO,

過點(diǎn)。作EDJ_￡>E與8c的延長線相交于點(diǎn)F，連接EF與邊CD相交于點(diǎn)G,與對角線BO相交于點(diǎn)”.

(1)若AB=6,S.BD=BF,求BE的長；

(2)若N2=2N1,求證：HF=HE+HD.

【答案】⑴BE=12-6亞

(2)見解析

【分析】（1）在正方形ABCD中，由FDJ.DE,利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，再由一對直角相等，

B.AD=DC,利用A45得到ADAE絲ADC/,利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=CF,進(jìn)而利用

BE=AB—AE計算8E的長；

（2）在HF上取一點(diǎn)P,使FP=EH,連接0P,利用S45得到ADEH紐DFP,利用全等三角形對

應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到/）//=￡>P>Z.EDH=Z.FDP,進(jìn)而確定出ADHP為等邊三角形，利用等邊.三

角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】（1）???四邊形A5CD是正方形，DFLDE

：.AD^CD.ZA=ZDCB=ZADC=90°

,/DEIDF

：.ZEDF=90。

：.Z2=90°-ZEDC=^CDF,ZA=/DCF=90°

在工DAE和DCF中

22=NW

?AD=CD

44=ZDCF

/SDAE^ADCF

：.AE=CF

XVCF=BF-BC=BD-BC=6近-6

AE=CF=6應(yīng)-6

則的=48-4七=6-（6及-6）=12-6及

（2）

在HF上取一點(diǎn)P，使PF=HE,連接。尸

由（1）AZME^ADCF

JDE=DF

則工的是等腰直角三角形

???ZDEF=/DFE=45。

在△￡）￡；〃和一OPE中

DE=DF

<NDEH=Z.DFP

EH=PF

:.K）EH9NDFP

則DH=DP,/EDH=/FDP

?：NDEF=/HBF=45。，ZEHD=ZBHF

:.ZEDH=Zl=1z2=1（45°-NEDH）

:.NEDH=15。,ZFDP=]5°

則N/7。尸=90。-15。-15。=60。

.二ADHP為等邊三角形

:.HD=HP

,:HF=HP+PF

:.HF=HE+HD

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本

題的關(guān)鍵.

【變式5］（2022秋.吉林長春.八年級?？计谀咎岢鰡栴}】在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師給出了一道

題.如圖①，點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接以、PB、PC.當(dāng)抬=3,PB=4,PC=5時，求/APB的

度數(shù).

【解決問題】小明在解決此題時，將點(diǎn)尸繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)。，連接D4、DP、DB,并結(jié)

合已知條件證得△ABD^ACBP.

請利用小明的作法及結(jié)論求/MJ的度數(shù).

【方法應(yīng)用】如圖②，點(diǎn)尸是正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，連接小、PB、PC.若PA=&a，PB=2a,PC=?,

則ZAPB=°.

圖①圖②

【答案】解決問題：ZAPB=150°；方法應(yīng)用：ZAPB=\35°

【分析】解決問題：將點(diǎn)尸繞點(diǎn)8逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)。，連接D4、DP、DB,得到△BPC是等邊

三角形，證明得△ABfZCBP,得到AD=PC,利用勾股定理求得NAPD=90。，即可求得

ZAPR=ZAPD+NBPD=150°

方法應(yīng)用：將點(diǎn)尸繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)E,連接E4、EP、EB.得到三角形3PE是等腰直角

三角形，證明得△ABEgCBP,得到A￡=PC,利用勾股定理求得NAPE=90。，即可求得

ZAPB=ZAPE+ZBPE=135°

【詳解】解決問題：

:將點(diǎn)尸繞點(diǎn)8逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)￡>,連接D4、DP、DB,

△8PD是等邊三角形，

/.DB=PB=DP,NPBD=NBPD=60°

又/1BC是等邊三角形，

/.AB=BC,ZABC=6O°,

?；ZABD=ZPBD-ZABP=60°—ZABP,ZCBP=ZABC-ZABP=60°-ZABP,

ZABD=NCBP,

在△"￡＞和4cBp中:

AB=BC

■DB=PB,

NABD=NCBP

：.AABD^CBP,

D4=PC=5,且*3,DP=PB=4,

.?.在二枚)中，DAT=DP2+PA2^

二.B4￡＞是直角三角形，即NAP￡)=90。，

,ZAPB=ZAPD+ZBPD=150°

方法應(yīng)用：

如圖②，將點(diǎn)尸繞點(diǎn)8逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)E,連接E4、EP、EB,

圖②

三角形8PE是等腰直角三角形，

.：NPBE=90°,PB=EB=2a.ZBPE=45°,EP=y/PB2+EB2=2y/2a

?/ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABC=90°,

"ZABE=NPBE-NPBA=90°-APBA.NCPB=ZABC-ZPBA=90。一NPBA，

：.ZABE=ZCBP,

在;ABE和CBP中：

-AB=BC

■EB=PB,

NABE=2cBp

/./\ABE會CBP.

AEA=PC=^)a,且PA="z，EP=20a，

...在△/松中，￡>V=E尸+處2,

二是直角三角形，即NAPE=90°,

Z.ZAPB=ZAPE+NBPE=135°

【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)和三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性

質(zhì)及勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)娜切?/p>

41經(jīng)典例題四特殊平行四邊形中長度問題】

【例4】（2022秋?陜西漢中?九年級校考期中）如圖，矩形A3C。的對角線AC、8D相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作

AC交于點(diǎn)E,若AB=6,BC=S,則AE的長為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形ABC。，得到AD=BC=8,ZADC=9Q°,OA=OC,從而可得AE=CE,設(shè)AE=x,

則CE=x,DE=8-x,再利用勾股定理計算即可.

【詳解】解：如圖，連接CE，

矩形ABC。，45=6,8c=8,

AAD=BC=8,AB=CD=6,ZADC=90°,OA=OC,

■:OE1AC,

二AE=CE,

設(shè)AE=x,則CE=x,DE=8-x,

在RlDEC中，CE2=DE2+CD2,

：.X2=(8-X)2+62,

25

x=一

4

AE=

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理

是解題的關(guān)鍵.

口【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021春.四川涼山.八年級?？计谥校┤鐖D，菱形A8CD的周長為40cm,對角線4C、BZ）相交

于點(diǎn)O,DEJ.AB,垂足為E,r>￡=8cm,則4。為（）

A.8cmB.85/5cmC.4\/5cmD.4cm

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和周長，求出邊長，利用勾股定理，分別求出利用等積法求出AC即可.

【詳解】解：；菱形ABCD的周長為40cm,

Z.AD=AB=BC=CD=10cm,

VDEJ.AB,垂足為E,OE=8cm,

AE=NAD。-DE?=6cm，

/.BE=AB-AE=4cm,

BD=>JDE2+BE2=4辰m,

VABDE=-BDAC,即：10x8」x4石AC,

22

，AC=8后cm；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì).熟練掌握菱形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2021春?重慶沙坪壩?八年級重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在正方形ABC￡＞中，E是對角

線8。上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作￡b_LC￡,交AB于點(diǎn)尸，BF=2,BC=6,則EO=.

【答案】2夜

【分析】作出如圖的輔助線，證明△EB8AEBA,推出AE=EC,NBAE=NBCE,再證明ZAFE=^FAE,

可推出△€￡尸為等腰直角三角形，求得CRCE長，設(shè)==由勾股定理建立方程即可求ED的長.

【詳解】解：連接CF、AE,過點(diǎn)E作EM_LDC于點(diǎn)M,如圖所示，

：?四邊形ABCZ）為正方形，

AZABC=90°,AB=BC,ZDBC=ZDBA=Z.BDC=45°,EB=BE,

：.AEBgAEBA,MD=EM,

AAE=EC,ZBAE=ZBCE,

■:EFLCE,

：.?FBC?FEC90?,

，Z￡FB+ZBCE=180°,

?/Z￡fB+ZAFE=18O°,

，ZAFE=ZBCE

,ZAFE=NBAE,

二AE=FE,

：.FE=CE,

△CEF為等腰直角三角形，

VBF=2,BC=6,

CF=^BC2+BF2="2+2?=2V10，

VEF2+CE2=CF2,BP2CE2=(2x/io)2,

，CE=26,

]5tDM=EM=x,

在RlAC￡M中，CE2=EM-+CM-,

x2+(6—x)2=(2>/5j,解得x=2,

,DE=2y/2-

故答案為：2夜.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證

明=是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3】(2023秋?山東濟(jì)南?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在正方形AfiCQ中，點(diǎn)M、N為邊BC和8上的

動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，ZMAN=45°,下列四個結(jié)論：①當(dāng)MN=&MC時，則/&皿=22.5。；②

ZAMN+ZMNC=90°；③MNC的周長不變；④若DN=2,BM=3,則一43M的面積為15.其中正確結(jié)

論的序號是.

【答案】①③##③①

【分析】①先用勾股定理求得MC=NC,則易得AABM名AAOV(SAS),再結(jié)合NM4N=45。，可得答案;

②將A8W繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得V4DE,證明瓦W四&AMN(SAS),再利用四邊形內(nèi)角和及鄰補(bǔ)角關(guān)

系，可證得結(jié)論；

③由.E4N"?M4N,可得MN=BM+DN,從而將二MNC的?:邊相加即可得答案；

④設(shè)正方形的邊長為。，則CN=a-2,CM=a-3,利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出。的值，可證

得結(jié)論.

【詳解】解：①???正方形ABC。中，ZC=90°,

二MN2=MC2+NC2

當(dāng)=時，

MN2=2MC2

二MC2=NC2，

:.MC=NC,

：.BM=DN,

'：AD=AB,ZADN=ZABM=9Q°,

二.A&M絲_ADN(SAS),

ABAM=ZDAN

'：ZMAN=45°,

：.ZBAM=22.5°,故①正確；

將,.ABM繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得7ADE,

貝ij4EAN=Z.EAM-AMAN=90°-45°=45°,

在，EAN和/XMAN中，

AE=AM,NEAN=ZMAN,AN=AN.

：..EANMAN(SAS)

：.ZAMN=ZAED,

ZAED+ZEAM+ZENM+ZAMN=360°.

2ZAMN+90°+(180°-ZAflVC)=360°,

/.2ZAMN-ZMNC=90°.

NAMN+NMNC不一定等于90。，故②錯誤；

③：,E4N”M4N,

：.MN=EN=DE+DN=BM+DN,

二.MNC的周長為：

MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN)=DC+BC,

OC和BC均為正方形ABC。的邊長，故sMNC的周長不變，故③正確：

④設(shè)正方形的邊長為“，則CN=a—2,CM=a—3,

根據(jù)解析③可知，MN=BM+DN=3+2=5,

MN2=CM2+CN2,

即5,=("2)2+(.-3)2,

解得：4=6或。=一1(舍去)，

SABM=gxBMxAB=^x3x6=9,故④錯誤；

綜上①③都正確，

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，

構(gòu)造全等三角形，本題具有一定的綜合性.

【變式4】(2020秋?云南楚雄?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平行四邊形A8C。中，AE平分/BAD,交C。于

點(diǎn)E,交BC的延長線于點(diǎn)F,ZF=45°,連接8E.

(1)求證：四邊形ABC。是矩形.

(2)若43=14,DE=8,求線段CF的值.

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】（1）欲證明四邊形A8CQ是矩形，只需推知足直角;

（2）在Rt△/CE中，由N/=NCEF可得CE=C*=6.

【詳解】（1）解：證明：四邊形ABCQ是平行四邊形，

/.AD//BC.

.\ZDAF=ZF.

ZF=45°,

/.ZZME=45°.

A尸是/BAD的平分線，

.?.Z￡4B=ZZME=45°.

ZDAB=90°.

又,四邊形A8C0是平行四邊形,

???四邊形ABC。是矩形.

(2)二四邊形A3CO是矩形，

?.ZDCB=90°.

AB=14,DE=8,

:.CE=6.

在RtZ\CEF中，ZF=45°,

，NCEF=NF=45。.

.\CF=CE=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì).注意：本題中通過勾股定

理求得有關(guān)線段的長度.

【變式5】（2022秋?廣東梅州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,將菱形折

疊，使點(diǎn)A恰好落在對角線BD上的點(diǎn)G處（不與B,D重合），折痕為EF,若2X7=2,BG=6,

則AF的長為.

D

DC

l分析】過點(diǎn)F作FHLBDT-H,根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明△AB。是等邊三角形，進(jìn)而可得到DH=^DF,

FH=BDF,設(shè)。F=X,利用勾股定理求解