新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第04講 空間直線、平面的垂直 練（教師版）

第04講空間直線、平面的垂直(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·山東省萊西市第一中學(xué)高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個不同的平面，下列四個命題中，正確的為（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D對于A：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能平行，也可能異面故，故A錯誤.對于B：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能平行，也可能相交，故B錯誤.對于C：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0可能平行，可能相交，也可能SKIPIF1<0，故C錯誤.對于D：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故D正確.故選：D.2．（2022·四川·模擬預(yù)測（文））已知SKIPIF1<0是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個命題：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；

②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；

④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．其中所有真命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】B①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①錯誤；②因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則由面面垂直的判定可得SKIPIF1<0，②正確；③因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，③正確；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0異面，④錯誤.故選：B3．（2022·湖南張家界·高一期末）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知在陽馬PABCD中，側(cè)棱SKIPIF1<0底面ABCD，且SKIPIF1<0，則直線PD與平面PAC所成角的正弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A如圖，在正方形ABCD中，連接BD交AC于O，則SKIPIF1<0，連接PO.因為SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面PAC，于是SKIPIF1<0是直線PD與平面PAC所成的角.因為PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直線PD與平面PAC所成角的正弦值為SKIPIF1<0.故選：A.4．（2022·貴州黔東南·高二期末（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，平面SKIPIF1<0分三棱柱為上下體積相等的兩部分，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0分三棱柱為兩個體積相等的四棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為所求角，SKIPIF1<0故選：A．5．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如圖，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，點M在線段SKIPIF1<0（不包含端點）上，則下列結(jié)論正確的有（

）個①點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影為SKIPIF1<0的中心②直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0③異面直線SKIPIF1<0與BM所成角為SKIPIF1<0④三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積的最小值為SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C如圖1：在正方體SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即三棱錐SKIPIF1<0為正四面體，則點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影為SKIPIF1<0的中心，①正確；如圖2：連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可證平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，②正確；如圖3：根據(jù)正方體可得SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，可證中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0與BM所成角為SKIPIF1<0，③正確；如圖4：∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則可知點M到平面SKIPIF1<0的距離即為點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即點M到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0設(shè)球心O到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0．④錯誤；故選：C．6．（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（文））如圖，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，點M在線段SKIPIF1<0（不包含端點）上運動，則下列4個命題中所有正確命題的序號為（

）①異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．A．②④ B．①④ C．②③④ D．①③【答案】C因為SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角即SKIPIF1<0（或其補角）．因為SKIPIF1<0為正三角形，所以SKIPIF1<0，故①錯誤；因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故②正確；因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正確；如圖，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0展開在同一平面內(nèi)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，故④正確．7．（2022·河北承德·高一期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0，M是線段BC上一動點，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：因為SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一動點，連接SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0互相垂直，所以SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，則SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0最短，即SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值最大，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．將三棱錐SKIPIF1<0擴充為長方體，則長方體的體對角線長為SKIPIF1<0．故三棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為SKIPIF1<0．故選：B8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點（不包含端點），設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過A作SKIPIF1<0，連A1O，有SKIPIF1<0平面AOA1，如圖，于是得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，又AO是點A到直線EF距離最小值，則有點O與點E重合，即SKIPIF1<0，因點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為正方形ABCD的邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上除端點外的點，從而得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，令正方體棱長為1，則SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即E為BC中點時取“=”，此時有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：C二、多選題9．（2022·廣東廣州·高一期末）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上任意一點（不含端點），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．B到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0C．當(dāng)P為SKIPIF1<0中點時，過P、A、B的截面為直角梯形 D．當(dāng)P為SKIPIF1<0中點時，SKIPIF1<0有最小值【答案】ABC∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，A正確；設(shè)B到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，B正確；當(dāng)P為SKIPIF1<0中點時，如圖1，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∴過P、A、B的截面為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為直角梯形，C正確；借助于側(cè)面展開圖，如圖2，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為最小值若P為SKIPIF1<0中點時，∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，這與題意相矛盾，D錯誤；故選：ABC．10．（2022·云南紅河·高二期末）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為SKIPIF1<0的中點，則（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直 B．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0 D．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0【答案】BD對A，由正方體SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，所以A不正確.對B，取SKIPIF1<0的中點M，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B正確；對C，由正方體SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接DF，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，由已知得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以C不正確.對D，由B選項得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為異面直線SKIPIF1<0所與SKIPIF1<0所成角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，所以D正確.故選：BD.三、填空題11．（2022·山東濟南·高一期末）如圖，水平桌面上放置一個裝有水的圓柱形玻璃水杯，AB為杯底直徑，現(xiàn)以點B為支點將水杯傾斜，使AB所在直線與桌面所成的角為SKIPIF1<0，則此時圓柱母線與水面所在平面所成的角大小為______．【答案】SKIPIF1<0如圖所示，由題意可知：SKIPIF1<0，母線與水平面所成角為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<012．（2022·四川宜賓·高一期末）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為1，點P是線段SKIPIF1<0上的動點，給出以下四個結(jié)論：①SKIPIF1<0；②三棱錐SKIPIF1<0體積為定值；③當(dāng)SKIPIF1<0時，過P，D，C三點的平面與正方體表面形成的交線長度之和為3；④若Q是對角線SKIPIF1<0上一點，則PQ＋QC長度的最小值為SKIPIF1<0．其中正確的序號是______．【答案】①②④由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①正確；正方體中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離不變，SKIPIF1<0的面積不變，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積不變，即三棱錐SKIPIF1<0體積為定值，②正確；由于正方體的對面平行，因此截面SKIPIF1<0與正方體的表面的交線相互平行，連結(jié)SKIPIF1<0延長交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0在SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是過P，D，C三點的平面與正方體表面形成的交線，正方體棱長為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此四邊形SKIPIF1<0周長為SKIPIF1<0，③錯誤；正方體中，易知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是兩個全等的直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把這兩個三角形沿SKIPIF1<0攤平形成一個平面四邊形SKIPIF1<0，如下圖，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點時，SKIPIF1<0最?。甋KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，④正確．故答案為：①②④．四、解答題13．（2022·河南許昌·高一期末（文））如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0為等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.(1)如圖，取棱SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0.又因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)如圖，連接SKIPIF1<0.由（1）中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角.因為SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0.14．（2022·福建·三明市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖．正方體SKIPIF1<0中，棱長為1，(1)求證：AC⊥平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：∵在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，又SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BD，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴AC⊥平面SKIPIF1<0；(2)∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面BAC，∴SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．B能力提升1．（多選）（2022·湖南衡陽·高一期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，AB=2，PB=SKIPIF1<0，側(cè)面PAD為正三角形，則下列說法正確的是（

）A．平面PAD⊥平面ABCD B．異面直線AD與PB所成的角為60°C．二面角P－BC－A的大小為45° D．三棱錐P－ABD外接球的表面積為SKIPIF1<0【答案】ACD取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0是直二面角，所以平面PAD⊥平面ABCD，A正確；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是異面直線AD與PB所成的角或其補角，由此可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B錯；由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，C正確；以上證明有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心，如圖，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0外接球的外心，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為外接球半徑，三棱錐P－ABD外接球的表面積為SKIPIF1<0．D正確．故選：ACD．2．（多選）（2022·江蘇·高二）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0C．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0D．點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離的2倍【答案】BCD在正方體SKIPIF1<0中，顯然有SKIPIF1<0，且在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，選項A錯誤；過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由二面角的定義可知，SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，選項B正確；

取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角即為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，選項C正確；連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，選項D正確.故選：BCD.3．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點SKIPIF1<0是棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中的側(cè)面SKIPIF1<0上的一個動點（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．有無數(shù)個點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0B．當(dāng)點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上運動時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡長度為SKIPIF1<0D．在線段SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角是SKIPIF1<0【答案】AC對于選項A，若M在SKIPIF1<0上，此時必有SKIPIF1<0，證明如下：由正方體的性質(zhì)得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，CM在平面SKIPIF1<0內(nèi)，所以SKIPIF1<0，故A正確；對于選項B，旋轉(zhuǎn)平面SKIPIF1<0使之與平面SKIPIF1<0共面，如圖中SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點M，此時SKIPIF1<0最短為SKIPIF1<0，大小為SKIPIF1<0，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)時，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0圓弧，從而動點SKIPIF1<0軌跡長度為SKIPIF1<0，所以C正確.對于選項D，因為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角即直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角,即SKIPIF1<0或其補角，由在線段SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，,由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最小值大于SKIPIF1<0，故D錯誤；故選：AC4．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，空間一動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______，點SKIPIF1<0的軌跡圍成的封閉圖形的面積為______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由正方體SKIPIF1<0知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)運動，如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由對稱性，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以點SKIPIF1<0的軌跡圍成的封閉圖形是以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，所以面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.C綜合素養(yǎng)1．（2022·湖南·長郡中學(xué)高一期末）已知菱形SKIPIF1<0的邊長為2，SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點SKIPIF1<0至點SKIPIF1<0的位置，得到四面體SKIPIF1<0.當(dāng)二面角SKIPIF1<0的大小為120°時，四面體SKIPIF1<0的體積為___________；當(dāng)四面體SKIPIF1<0的體積為1時，以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0的長為半徑的球面被平面SKIPIF1<0所截得的曲線在SKIPIF1<0內(nèi)部的長為_______________.【答案】

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0

SKIPIF1<0如圖1，過點P作PF⊥CO交CO的延長線于點F，則∠POF=60°，因為菱形SKIPIF1<0的邊長為2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0；當(dāng)四面體SKIPIF1<0的體積為1時，此時SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即O，F(xiàn)兩點重合，即PO⊥底面BCD，如圖2，以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0的長為半徑的球面被平面SKIPIF1<0所截得的曲線為以O(shè)為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓，落在SKIPIF1<0內(nèi)部的長為圓周長的一半，所以長度為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<02．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為1，動點P在對角線SKIPIF1<0上，過點P作垂直于SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0，記平面SKIPIF1<0截正方體表面所得截面多邊形的面積為y，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0______，函數(shù)SKIPIF1<0的值域為______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0連接BD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.同理可證SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，由等體積法SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三等分點，此時截面多邊形為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0先增后減，根據(jù)對稱性，當(dāng)截面的位置在平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0中間，且為過SKIPIF1<0的中點的正六邊形時，邊長為SKIPIF1<0，此時截面多邊形面積最大，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<03．（2022·湖北·高一期末）如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的平面角的正切值；(3)若點P是平面ADE內(nèi)一點，且SKIPIF1<0，設(shè)點P到平面ABE的距離為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)證明見詳解；(2)SKIPIF1