2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 三角函數(shù) 7 7.1 正切函數(shù)的定義 7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師用書）教案 北師大版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)77.1正切函數(shù)的定義7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師用書）教案北師大版必修4課題：科目：班級：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)的第7節(jié)，內(nèi)容涵蓋7.1正切函數(shù)的定義和7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。學(xué)生將學(xué)習(xí)正切函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖像，這包括正切函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性以及特殊點(diǎn)的坐標(biāo)等。同時(shí)，學(xué)生將掌握如何利用單位圓和直角三角形來推導(dǎo)正切函數(shù)的定義，以及如何通過圖像理解正切函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了銳角三角函數(shù)的概念、單位圓的知識(shí)以及函數(shù)圖像的基本分析方法。這些知識(shí)將為學(xué)生理解正切函數(shù)的定義和性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。同時(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的三角函數(shù)和其他類型的函數(shù)圖像提供了必要的準(zhǔn)備。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算四個(gè)方面。

首先，通過學(xué)習(xí)正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，學(xué)生將能夠運(yùn)用邏輯推理能力，從特殊到一般，理解并證明正切函數(shù)的周期性和奇偶性。

其次，學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)圖像的過程中，將運(yùn)用數(shù)學(xué)建模能力，通過觀察單位圓和直角三角形的幾何關(guān)系，建立正切函數(shù)圖像與參數(shù)之間的關(guān)系。

同時(shí)，本節(jié)課要求學(xué)生能夠運(yùn)用直觀想象能力，通過觀察和分析正切函數(shù)的圖像，理解其單調(diào)性和特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，從而更好地把握函數(shù)的性質(zhì)。

最后，學(xué)生在解決與正切函數(shù)相關(guān)的問題時(shí)，將運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練掌握三角函數(shù)的基本公式和運(yùn)算方法。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識(shí)：在開始學(xué)習(xí)正切函數(shù)之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了初中階段的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，包括正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。此外，學(xué)生還應(yīng)該具備一定的函數(shù)圖像分析能力和單位圓的使用經(jīng)驗(yàn)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：對于大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)是一個(gè)逐步深入的過程，他們可能對直觀的、具有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)問題更感興趣。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，通常具備一定的邏輯推理能力和直觀想象能力，但部分學(xué)生可能對函數(shù)圖像的分析和幾何關(guān)系的建立感到挑戰(zhàn)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)正切函數(shù)的定義時(shí)，學(xué)生可能對利用單位圓和直角三角形來推導(dǎo)正切函數(shù)的概念感到困惑，特別是在理解正切函數(shù)的周期性和奇偶性時(shí)。在分析正切函數(shù)圖像時(shí)，學(xué)生可能對如何從圖像中提取函數(shù)性質(zhì)、如何利用圖像解決實(shí)際問題等方面遇到挑戰(zhàn)。此外，部分學(xué)生可能在從具體例子到一般結(jié)論的推理過程中，出現(xiàn)邏輯推理不嚴(yán)密、結(jié)論不完整的情況。四、教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

（1）講授法：在講授正切函數(shù)的定義和性質(zhì)時(shí)，教師可以通過邏輯推理的方式，引導(dǎo)學(xué)生理解正切函數(shù)的概念，并通過講解特殊例子，使學(xué)生掌握正切函數(shù)的性質(zhì)。

（2）討論法：在學(xué)習(xí)正切函數(shù)圖像時(shí)，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生分享各自對圖像的理解，從而提高學(xué)生對正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

（3）實(shí)驗(yàn)法：在學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用教學(xué)軟件或數(shù)學(xué)畫圖工具，自己繪制正切函數(shù)的圖像，從中觀察和分析函數(shù)的性質(zhì)。

2.教學(xué)手段

（1）多媒體設(shè)備：教師可以利用多媒體設(shè)備展示正切函數(shù)的圖像，通過動(dòng)態(tài)演示函數(shù)的變化，幫助學(xué)生更好地理解正切函數(shù)的性質(zhì)。

（2）教學(xué)軟件：教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用教學(xué)軟件，如幾何畫板、Matlab等，進(jìn)行正切函數(shù)圖像的繪制和分析，提高學(xué)生對函數(shù)圖像的理解。

（3）在線資源：教師可以推薦一些在線數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源，如KhanAcademy、Zhihu等，讓學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

（4）習(xí)題訓(xùn)練：教師可以設(shè)計(jì)一些具有挑戰(zhàn)性的習(xí)題，讓學(xué)生通過練習(xí)鞏固正切函數(shù)的知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

（5）教學(xué)反饋：教師可以通過課堂提問、作業(yè)批改等方式，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對學(xué)生的困難進(jìn)行有針對性的輔導(dǎo)。五、教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《正切函數(shù)的定義和圖像與性質(zhì)》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們在日常生活中是否遇到過需要用到正切函數(shù)的情況？”（舉例說明）這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索正切函數(shù)的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解正切函數(shù)的基本概念。正切函數(shù)是……（詳細(xì)解釋概念）。它是……（解釋其重要性或應(yīng)用）。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了正切函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)的周期性和奇偶性這兩個(gè)重點(diǎn)。對于難點(diǎn)部分，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與正切函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示正切函數(shù)的基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“正切函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了正切函數(shù)的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對正切函數(shù)的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請隨時(shí)向我提問。六、知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)的第7節(jié)，內(nèi)容涵蓋7.1正切函數(shù)的定義和7.2正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。以下是本節(jié)課需要掌握的知識(shí)點(diǎn)：

1.正切函數(shù)的定義：通過單位圓和直角三角形推導(dǎo)出正切函數(shù)的定義，理解正切函數(shù)的周期性、奇偶性以及特殊點(diǎn)的坐標(biāo)。

2.正切函數(shù)的圖像：分析正切函數(shù)的圖像，掌握其單調(diào)性、奇偶性以及特殊點(diǎn)的坐標(biāo)。

3.正切函數(shù)的性質(zhì)：通過圖像和定義推導(dǎo)出正切函數(shù)的性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性等。

4.正切函數(shù)的應(yīng)用：解決實(shí)際問題，如計(jì)算三角形的邊長、角度等。

5.正切函數(shù)的周期性：理解正切函數(shù)的周期性，掌握周期公式，能夠求解正切函數(shù)的周期。

6.正切函數(shù)的奇偶性：判斷正切函數(shù)的奇偶性，掌握正切函數(shù)的奇偶性質(zhì)。

7.正切函數(shù)的單調(diào)性：分析正切函數(shù)的單調(diào)性，掌握其增減規(guī)律。

8.正切函數(shù)的特殊點(diǎn)：掌握正切函數(shù)的特殊點(diǎn)，如原點(diǎn)、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)等，并了解其坐標(biāo)。

9.正切函數(shù)的圖像分析：通過觀察正切函數(shù)的圖像，能夠分析出函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)區(qū)間、奇偶性等。

10.正切函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用：利用正切函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題，如計(jì)算三角形的邊長、角度等。七、板書設(shè)計(jì)1.正切函數(shù)的定義：

-利用單位圓和直角三角形推導(dǎo)出正切函數(shù)的定義

-強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)的周期性、奇偶性以及特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

2.正切函數(shù)的圖像：

-分析正切函數(shù)的圖像，突出其單調(diào)性、奇偶性以及特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

-通過圖像展示正切函數(shù)的性質(zhì)，如增減規(guī)律、奇偶性等

3.正切函數(shù)的性質(zhì)：

-列出正切函數(shù)的性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性等

-通過舉例和比較來解釋難點(diǎn)部分，如周期性和奇偶性的區(qū)別

4.正切函數(shù)的應(yīng)用：

-給出實(shí)際問題，讓學(xué)生通過計(jì)算解決，如計(jì)算三角形的邊長、角度等

-強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值

5.正切函數(shù)的周期性：

-介紹正切函數(shù)的周期性，強(qiáng)調(diào)周期公式及其應(yīng)用

-通過示例來解釋周期性，如正切函數(shù)的周期性與角度的關(guān)系

6.正切函數(shù)的奇偶性：

-判斷正切函數(shù)的奇偶性，強(qiáng)調(diào)奇偶性質(zhì)的應(yīng)用

-通過示例來解釋奇偶性，如正切函數(shù)的奇偶性與角度的關(guān)系

7.正切函數(shù)的單調(diào)性：

-分析正切函數(shù)的單調(diào)性，突出其增減規(guī)律

-通過示例來解釋單調(diào)性，如正切函數(shù)的單調(diào)性與角度的關(guān)系

8.正切函數(shù)的特殊點(diǎn)：

-列出正切函數(shù)的特殊點(diǎn)，如原點(diǎn)、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)等

-強(qiáng)調(diào)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及其重要性

9.正切函數(shù)的圖像分析：

-通過觀察正切函數(shù)的圖像，分析出函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)區(qū)間、奇偶性等

-強(qiáng)調(diào)圖像分析方法和對函數(shù)性質(zhì)的理解

10.正切函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用：

-利用正切函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題，如計(jì)算三角形的邊長、角度等

-強(qiáng)調(diào)性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用方法和技巧八、反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.引入生活實(shí)例：在講授正切函數(shù)的定義和性質(zhì)時(shí)，引入生活實(shí)例，如建筑施工中的角度測量，讓學(xué)生感受到正切函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.利用多媒體技術(shù)：通過多媒體技術(shù)，如動(dòng)畫、視頻等，展示正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，使抽象的概念更直觀、形象，便于學(xué)生理解和記憶。

3.組織小組討論：在學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，組織小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的觀點(diǎn)和想法，提高學(xué)生的參與度和思考能力。

（二）存在主要問題

1.教學(xué)管理：在組織小組討論時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生參與度不高，需要加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)和管理，提高學(xué)生的參與度。

2.教學(xué)方法：在講授正切函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對概念的理解不夠深入，需要改進(jìn)教學(xué)方法，如增加實(shí)例分析、問題引導(dǎo)等，幫助學(xué)生更好地理解和掌握概念。

3.教學(xué)評價(jià)：在評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果時(shí)，發(fā)現(xiàn)評價(jià)方式較為單一，需要增加多種評價(jià)方式，如口頭報(bào)告、小組作業(yè)等，全面評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

（三）改進(jìn)措施

1.加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)和管理：在組織小組討論時(shí)，加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)和管理，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，提高學(xué)生的參與度和思考能力。

2.改進(jìn)教學(xué)方法：在講授正切函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，增加實(shí)例分析、問題引導(dǎo)等教學(xué)方法，幫助學(xué)生更好地理解和掌握概念。

3.增加多種評價(jià)方式：在評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果時(shí)，增加多種評價(jià)方式，如口頭報(bào)告、小組作業(yè)等，全面評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

今天，我們學(xué)習(xí)了正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及如何通過圖像來分析和理解這些性質(zhì)。正切函數(shù)是三角函數(shù)中的一種，它在實(shí)際應(yīng)用中非常重要，例如在建筑、工程、物理等領(lǐng)域。我們通過單位圓和直角三角形推導(dǎo)出了正切函數(shù)的定義，并分析了它的周期性、奇偶性以及單調(diào)性。我們還通過圖像來直觀地理解了這些性質(zhì)，并解決了一些實(shí)際問題。

當(dāng)堂檢測：

1.請解釋正切函數(shù)的定義，并給出一個(gè)具體的例子。

2.請描述正切函數(shù)的周期性，并說明如何計(jì)算正切函數(shù)的周期。

3.請判斷正切函數(shù)的奇偶性，并給出判斷的依據(jù)。

4.請分析正切函數(shù)的單調(diào)性，并說明正切函數(shù)在不同區(qū)間上的增減情況。

5.請通過圖像分析，解釋正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。

6.請給出一個(gè)實(shí)際問題，并利用正切函數(shù)的性質(zhì)來解決它。

7.請解釋正切函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的重要性，并給出一個(gè)具體的例子。

8.請描述正切函數(shù)的圖像特征，并解釋它們?nèi)绾畏从痴泻瘮?shù)的性質(zhì)。

9.請通過圖像分析，解釋正切函數(shù)的圖像特征，并判斷正切函數(shù)的性質(zhì)。

10.請解釋正切函數(shù)的性質(zhì)如何幫助我們理解和解決實(shí)際問題。課后作業(yè)1.請解釋正切函數(shù)的定義，并給出一個(gè)具體的例子。

2.請描述正切函數(shù)的周期性，并說明如何計(jì)算正切函數(shù)的周期。

3.請判斷正切函數(shù)的奇偶性，并給出判斷的依據(jù)。

4.請分析正切函數(shù)的單調(diào)性，并說明正切函數(shù)在不同區(qū)間上的增減情況。

5.請通過圖像分析，解釋正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。

例如題型：

1.定義題型：請解釋正切函數(shù)的定義，并給出一個(gè)具體的例子。答案：正切函數(shù)定義為直角三角形中，對邊與鄰邊的比值。例如，在直角三角形中，如果對邊為5，鄰邊為3，則正切值為5/3。

2.周期性題型：請描述正切函數(shù)的周期性，并說明如何計(jì)算正切函數(shù)的周期。答案：正切函數(shù)的周期為π，因?yàn)檎泻?/p>