2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題八

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題八知識點一軌跡問題——橢圓,根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍,求橢圓中的弦長典例1、在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，點M的軌跡為C.（1）求C的方程：（2）設(shè)點P在直線上，過點P的兩條直線分別交C于A，B兩點和G，H兩點，若直線AB與直線GH的斜率之和為0，證明：.隨堂練習(xí)：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，，點M滿足.記M的軌跡為C.（1）說明C是什么曲線，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過的直線l與C交于A，B兩點，若，求.典例2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，過點的動直線與過點的動直線的交點為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動點Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關(guān)于原點O的對稱點為Q.直線NQ交x軸于點T，求的最大值.

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，，點M滿足．記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)點P為x軸上的動點，經(jīng)過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點，且，證明：為定值．典例3、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，動點到，的兩點的距離之和為．（1）試判斷動點的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程．（2）已知直線與圓交于、兩點，與曲線交于、兩點，其中、在第一象限，為原點到直線的距離，是否存在實數(shù)，使得取得最大值，若存在，求出和最大值；若不存在，說明理由．

隨堂練習(xí)：設(shè)是圓：上的一動點，已知點，線段的垂直平分線交線段于點，記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率為的直線l與曲線交于兩點，若線段的垂直平分線交軸于點T，若，求實數(shù)的取值范圍．知識點二根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程,求雙曲線中的弦長,由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù),根據(jù)韋達定理求參數(shù)典例4、已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點分別為，，直線經(jīng)過，斜率為，與雙曲線交于A，兩點，求的值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點到漸近線的距離為.（1）求雙曲線C的方程；（2）過F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.典例5、已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，（1）求圓心的軌跡方程（2）若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.

隨堂練習(xí)：已知點，，動點滿足直線的斜率與直線的斜率乘積為．當(dāng)時，點的軌跡為；當(dāng)時點的軌跡為．（1）求，的方程；（2）是否存在過右焦點的直線，滿足直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，且？若存在，求所有滿足條件的直線的斜率之積；若不存在，請說明理由，典例6、已知雙曲線C的兩焦點在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點對稱.若雙曲線C的實軸長為2，焦距為，且點P（0，-1）到漸近線的距離為.（1）求雙曲線C的方程；（2）若過點P的直線l分別交雙曲線C的左、右兩支于點A、B，交雙曲線C的兩條漸近線于點D、E（D在y軸左側(cè)）.記和的面積分別為、，求的取值范圍.

隨堂練習(xí)：雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，且焦點到其漸近線的距離為2．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與其漸近線分別交于，（從左至右）兩點．①證明：；②是否存在這樣的直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題八答案典例1、答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）根據(jù)橢圓的定義可得，點的軌跡是以為左右焦點，且長軸長為的橢圓，設(shè)其方程為，故可得，故的方程為：.（2）設(shè)，設(shè)，，則，聯(lián)立直線與橢圓的方程得：，則，，則故，故.隨堂練習(xí)：答案：（1）C是以點，為左右焦點的橢圓，（2）解：（1）因為，，所以C是以點，為左右焦點的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.（2）當(dāng)垂直于軸時，，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時，可設(shè)，代入可得.因為，設(shè)，，則，.因為，所以.同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.典例2、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)點坐標(biāo)為，定點，，直線與直線的斜率之積為，，（2）設(shè)，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以的最大值為；隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明過程見解析解：（1）由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點的橢圓，且，，所以，所以C的方程為（2）設(shè)直線l為：，則聯(lián)立得：，設(shè)，則，，，則，AB中點坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線為，令得：，所以，，典例3、答案：（1）動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，（2）2時取得最大值解：（1）由題意知，，所以動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，又因為，所以，所以的軌跡方程為．（2）當(dāng)時，解得，又圓的半徑，所以在橢圓外，在橢圓內(nèi)，點在內(nèi)，在外，在直線上的四點滿足：，，由，消去整理得，因為直線經(jīng)過橢圓內(nèi)的右焦點，所以該方程的判別式恒成立，設(shè)，，所以，，，又因為的直徑，所以，化為，因為為點到直線的距離，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以時取得最大值．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）解：（1）因為點在線段的垂直平分線上，所以，所以，所以點的軌跡是焦點為的橢圓，故，可得，所以曲線的方程為（2）由題意，得直線的方程為：.聯(lián)立方程組得，所以，，則，的中點坐標(biāo)為，所以直線的垂直平分線的方程為，則與軸交點，所以，因為，所以，因為，所以，即，所以的取值范圍為.典例4、答案：（1）（2）6解：（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點得：，即，雙曲線方程為，即；（2）由（1）知：，，即直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，滿足，且，，由弦長公式得.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見解析.解:（1）設(shè)雙曲線方程為由題知雙曲線方程為：（2）設(shè)直線l的方程為代入整理得，設(shè)所以：由弦長公式得：設(shè)AB的中點則，代入l得：AB的垂直平分線方程為令y=0得，即，所以：為定值.典例5、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）因為圓C與圓A、圓B外切，設(shè)C點坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，消去y得：，所以，設(shè)MN中點坐標(biāo)為G，則，所以，，直線GP的方程為:，，所以，所以=1.隨堂練習(xí)：答案：（1）C1：，C2：（2）存在，解：（1）設(shè)，．對于，由題可得，整理得，故的方程為．對于由題可得，整理得．故的方程為．（2）由（1）可得，，的右焦點為，設(shè)，，，．當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與無交點，不滿足題意，故直線的斜率存在，于是可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，恒成立，由韋達定理：，．①于是，將①代人整理得．同理其中，故．因為，所以．設(shè)，則即．平方整理得，因式分解得，解得，，（舍去），即，．于是所有滿足條件的直線的斜率之積為．典例6、答案：（1）；（2）.解:（1）由，知，，，故雙曲線C的方程為或.由點到漸近線的距離為，知雙曲線方程為.（2）設(shè)l：，，.由可得；由可得.由得，∴，.∴.由和的高相等，可，由得，所以，.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）①見詳解；②.詳解:（1）因為雙曲線C的漸近線為y＝±2x，由雙曲線的焦點在x軸上時，則雙曲線，漸近線的方程為，焦點F（±c，0），所以解得a＝1，b＝2，所以雙曲線的方程為；（2）①由（1）知雙曲線的方程為，其漸近線的方程為y＝±2x，設(shè)直線l：y＝kx+2，因為直線l交C雙曲線的左右兩支分別于A，B，所以﹣2＜k＜2，聯(lián)立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝，x1x2＝，聯(lián)立，解得x＝，y＝，則M（，），聯(lián)立，解得x＝，