湖北省2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編-04圖形的性質(zhì)（含答案解析）

專題04圖形的性質(zhì)

一、單選題

1.（2021?湖北荊州市）如圖，在菱形A5CD中，ND=60。,AB=2,以8為圓心、BC長為半徑畫AC，

點(diǎn)P為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接Q4,PB，PC.當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為（）

萬一為萬一旦2兀

A.2B.2c.D.2兀

32322

【答案】A

【分析】

以點(diǎn)8為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)B且與8c垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，判斷出

ZPBC<90°,再根據(jù)NBCP=90。和/8PC=90。兩種情況判斷出點(diǎn)尸的位置，啟動(dòng)改革免費(fèi)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：以點(diǎn)8為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)B且與8c垂直的直線為），軸建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖，

?.?△BPC為等腰直角三角形，且點(diǎn)P在菱形4BCO的內(nèi)部,

很顯然，ZPBC<9Q°

①若NBCP=90°,則CP=BC=2

這C作CELAD交AD于點(diǎn)E,

??,四邊形A8C。是菱形

；.AB=BC=CD=DA=2,〃=NA8C=60°

：.CE=CDsinZD=2x—=百<2

2

二點(diǎn)P在菱形ABCD的外部，

與題設(shè)相矛盾，故此種情況不存在;

②/8PC=90°

過尸作PFLBC交BC于點(diǎn)F,

???△8PC是等腰直角三角形，

：.PF=BF=—BC=]

2

.,.P(l,l)，F(xiàn)(1,O)

過點(diǎn)A作4G_L8C于點(diǎn)G,

在RAABG中，/ABG=60°

:.NBAG=30°

=

BG=—AB=1(AGy/3BG=>/3

，A(1,e)，G(1,O)

點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合

...點(diǎn)4、P、F三點(diǎn)共線

:.AP=AF-PF=6-I

fBp=gxlx(百一1)=牛1

^ABPC=_x2x1=1

c60%x222zr

3mc*c=-------=

°_2兀8-1、_2兀4+1

S陰影=S扇形BAC~^MBP^=----\=—

KPC2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及求不規(guī)則圖形的面積等知識(shí),

正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖北鄂州市）如圖，RMABC中，ZACB=90°,AC=28，BC=3.點(diǎn)尸為AABC內(nèi)一點(diǎn),

且滿足產(chǎn)牙+PC2=AC2.當(dāng)尸5的長度最小時(shí)，AACP的面積是（）

A.3B.3百C.-D.-

42

【答案】D

【分析】

由題意知NAPC=90。，又AC長度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AC中點(diǎn)。為圓心，,AC長為半徑的

2

圓弧，所以當(dāng)8、尸、。三點(diǎn)共線時(shí)，8P最短；在中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點(diǎn)尸

是BO的中點(diǎn)，由線段長度即可得到APCO是等邊三角形，利用特殊府A4PC三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】

解：PA1+PC2=AC2

ZAPC=90°

取AC中點(diǎn)O,并以。為圓心，,AC長為半徑畫圓

2

由題意知I：當(dāng)8、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短

:.AO=PO=CO

-：CO=-AC=-x2yf3=yf3,BC=3

22

BO=yjB^+CO2=273

:.BP=BO-PO=4i

二點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)

在Rt\BCO中，CP=—BO=乖）=PO

2

APCO是等邊三角形

ZACP=60°

，在用AAPC中，AP=CPxtan600=3

.??5…9Pxm學(xué)者

【點(diǎn)睛】

本題主要考察動(dòng)點(diǎn)的線段最值問期、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度.解

題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓.

3.（2021.湖北武漢市）如圖，A3是。。的直徑，是。。的弦，先將沿翻折交AB于點(diǎn)D.再

將80沿翻折交8C于點(diǎn)E.若BE=DE，設(shè)NA5C=a,則a所在的范圍是（）

A.21.9。<。<22.3。B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<<z<23.5°

【答案】B

【分析】

將。。沿BC翻折得到。0，，將。。，沿8。翻折得到。O",則。0、00\。0"為等圓.依據(jù)在同圓或等圓

中相等的圓周角所對(duì)的弧相等可證明AC=0C=0E=E5,從而可得到弧AC的度數(shù)，由弧AC的度數(shù)可

求得N8的度數(shù).

【詳解】

解：將。。沿BC翻折得到將。。，沿8￡>翻折得到。0",則。。、。。二。。"為等圓.

E'

c

與。。，為等圓，劣弧AC與劣弧CO所對(duì)的角均為/48C,

?#-AC=CD-

同理：DE=CD-

又?.?尸是劣弧8〃的中點(diǎn)，

,,DE-BE-

AC=DC=DE=EB

二弧AC的度數(shù)=180。+4=45。.

/.ZB=—x45°=22.5°.

2

.?.a所在的范圍是22.3°<a<22.7。；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系、圓內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出圖形中的等弧是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?湖北十堰市)如圖，△A6c內(nèi)接于QO,ABAC=120°,AB=AC,BO是。。的直徑，若A。=3,

則8C=()

A.2百B.373C.3D.4

【答案】C

【分析】

首先過點(diǎn)。作0尸，8c于F,由垂徑定理可得8F=CF=L8C,然后由N8AC=120。，AB=AC,利用等邊

2

對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得/C與N8AC的度數(shù)，由8。為。。的直徑，即可求得/8AO與

的度數(shù)，又由4。=3,即可求得8。的長，繼而求得8c的長.

【詳解】

解：過點(diǎn)。作0FJ-8C于尸，

：.BF=CF=-BC,

2

'：AB=AC,/8AC=120。，

.?./C=NA8C=（180。-/84。）+2=30°,

???NC與NO是同弧所對(duì)的圓周角，

/.ZD=ZC=30°,

為。。的直徑，

：.ZBAD=90°,

：.NABD=60°,

/.ZOBC=ZABD-ZABC=30°,

：.BD=AD^cos30°=3^—=2y/3,

2

；.OB=gBD=￡,

n3

BF=OB?cos300=百xXL=一，

22

:.BC=3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、宜角三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值等知

識(shí).此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線.

5.（2021?湖北黃岡市）如圖，。。是RtZXABC的外接圓，OE_LAB交。。于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)。，AE，

C3的延長線交于點(diǎn)凡若。。=3,AB=8,則FC的長是（

【答案】A

【分析】

先根據(jù)垂徑定理可得AD=4,再利用勾股定理可得OE=Q4=5,然后根據(jù)三角形中位線定理即可得.

【詳解】

解：-.-OE±AB,AB=S,

AD=-AB=4,

QOD=3,

:.OA=yJOD2+AD2=5>

OE——5?

-.OEYAB,

ZADO^90°=ZABC,

:.OE//FC,

又?.?Q4=OC,

.?.OE是AACF的中位線，

FC=2O￡=10,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.

6.（2021?湖北宜昌市）如圖，AABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則cosNABC的值為（）

A.也B.克C.1D.迪

3233

【答案】B

【分析】

作A。，8c于。，利用勾股定理求出A8的長，再根據(jù)公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：作AD_L8c于。，

由圖可知：AD=3,80=3,

在對(duì)/MB。中，AB=>jAD2+BD2=V32+32=3>/2-

3_V2

cosZABC=——-

AB3友-2’

【點(diǎn)睛】

此題考查求角的余弦值，勾股定理求邊長，正確構(gòu)建直角三角形并熟記余弦值公式是解題的關(guān)鍵.

7.(2021.湖北宜昌市)如圖，C,。是。。上直徑A8兩側(cè)的兩點(diǎn).設(shè)NABC=25°,則NBDC=()

A.85°B.75°C.70°D.65°

【答案】D

【分析】

先利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到/AC8=90。，從而求出N8AC,再利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可求出

ZBDC.

【詳解】

解：，。是。0上直徑48兩側(cè)的兩點(diǎn)，

NACB=90。,

'：ZABC=25°,

二/BAC=90°-25°=65°,

:.NBDC=NBAC=65°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理的推論，即直徑所對(duì)的圓周角是90。和同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，解決本題的關(guān)

鍵是牢記相關(guān)概念與推論，本題蘊(yùn)含了屬性結(jié)合的思想方法.

8.（2021.湖北黃石市）如圖，A、3是。。上的兩點(diǎn)，ZAOB=60°,OP_LA3交。。于點(diǎn)尸，則N84產(chǎn)

【答案】C

【分析】

由題意得AAO5是等邊三角形，結(jié)合OF_LAB可得N&4尸=30°，再根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)

圓心角的一半”即可得出ZBAF.

【詳解】

解："：OA=OB,ZAOB=60°

...△AOB是等邊三角形，

；OFLAB

ZBOF=-ZAOB=30°

2

，ZBAF=-ZBOF=1x30°=15°

22

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及同弧或等弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，掌握“同弧所對(duì)的

圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半''是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?湖北黃石市）如圖，在RhABC中，ZACB=9Q°,按以下步驟作圖：①以3為圓心，任意長為

半徑作弧，分別交84、于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于的長為半徑作弧,

2

兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線BP，交邊4c于。點(diǎn).若45=10,BC=6,則線段CO的長為（）

【答案】A

【分析】

由尺規(guī)作圖痕跡可知,BD是NA8C的角平分線，過。點(diǎn)作DH1AB于，點(diǎn)，設(shè)DC=DH=x則AD=AC-DC=S-x,

BC=BH=6,AH=AB-BH=4,在Rt“。”中，由勾股定理得到（8-4=V+42,由此即可求出x的值.

【詳解】

解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，8。是N48c的角平分線,

過力點(diǎn)作于”點(diǎn)，

A

HMB

VZC=ZD/7B=90°,

:?DC=DH,

AC=y]AB2-BC2=^lO2-62=8，

設(shè)OC=￡W=x,則AD=4C-DC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,

在RtAAfW中，由勾股定理：AD2=AH2+DH2-

代入數(shù)據(jù)：(8-x)2=X2+42,解得X=3,故CD=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，在角的內(nèi)部角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，勾股定理等相關(guān)知識(shí)

點(diǎn)，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解決本題的關(guān)鍵.

10.(2021?湖北省江漢油田(仙桃市、潛江市、天門市))如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E為對(duì)角

線AC上與A,C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作石/J_A6于點(diǎn)凡EGJ_3C于點(diǎn)G,連接下

列結(jié)論：

①DE=FG；②?！耆薋G-.③NBFG=ZADE；④尸G的最小值為3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】

延長。E，交尸G于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M，連接8E，交所于點(diǎn)。，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等

的判定定理與性質(zhì)得出DE=BE,再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得5E=RG,由此可判斷①；先根據(jù)三角

形全等的性質(zhì)可得=再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得08=OF,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZBFG=ZABE,由此可判斷③；根據(jù)宜角三角形的性質(zhì)可得NA￡)E+NAMD=90°，從而可得

ZBFG+AAMD=90°,由此可判斷②；先根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)￡>E_LAC時(shí)，DE取得最小值，再解

直角三角形可得。E的最小值，從而可得FG的最小值，由此可判斷④.

【詳解】

解：如圖，延性DE，交FG于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M，連接3E,交FG于點(diǎn)。，

???四邊形ABCD是正方形，AB=4，

AD=AB=4,ZABC=/BAD=90°,ZBAE=NDAE=45°,

AB=AD

在AABE和△/!￡>￡中，《N3AE=/OAE，

AE=AE

：.4BE^iADE(SAS),

BE=DE,NABE=ZADE,

ZABC=90°,EF±AB,EGrBC,

，四邊形3EEG是矩形，

:.BE=FG,OB=OF,

:.DE=FG,即結(jié)論①正確；

,;OB=OF,

:"BFG=ZABE,

：.ZBFG=ZADE,即結(jié)論③正確；

QABAD=90°.

:.ZADE+ZAMD=90°,

:.ZBFG+ZAMD=90°

:.NFNM=9Q。,即?！耆薋G，結(jié)論②正確；

由垂線段最短可知，當(dāng)OE_LAC時(shí)，DE取得最小值,

交=2夜,

此時(shí)在汝"。底中,DE=AD-sinNDAE=4x

2

又?；DE=FG.

.?.EG的最小值與。E的最小值相等，即為2&，結(jié)論④錯(cuò)誤；

綜上，正確的結(jié)論為①②③，共有3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造

全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

11.（2021?湖北鄂州市）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用

圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2,已知圓心。

在水面上方，且。。被水面截得的弦AB長為6米，。。半徑長為4米.若點(diǎn)。為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則

點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）

A.1米B.（4-V7）米C.2米D.（4+⑺米

【答案】B

【分析】

連接OC交AB于￡>,根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC,A3,AD=8D=3,根據(jù)勾股定理求得O力的長，由

CD=OC-OD即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，

連接0c交A8于。，則0C_LA8,AD=BD=—AB=3,

2

在Rt^OAQ中，04=4,AD=3,

0D=y]o^-AD2=V42-32=不，

CD=OC-0D=4-V7，

即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（4-J7）米，

故選：B.

水面

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵.

12.（2021.湖北宜昌市）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)尸在AC上，其中NACB=90°,

NABC=60°，NEFD=90°,NO防=45°,ABUDE,則NAFD的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】A

【分析】

設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M,根據(jù)A3〃Z）E,得到NAMF=NE=45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)AB與E尸交于點(diǎn)M,

ABUDE,

二ZAA/F=ZE=45°.

VZACB=9Q°,ZABC=60°.

：.ZA=30°，

/.ZAFM=180°-30°-45°=105。,

NEFD=90。,

二ZAFD=15°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?湖北鄂州市）已知銳角NAO3=4（）°,如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點(diǎn)。，以。為

圓心，。。長為半徑畫MN，交于點(diǎn)C,連接CO.②以。為圓心，。。長為半徑畫G”，交QB于

點(diǎn)E，連接OE.則NCDE的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】

根據(jù)畫圖過程，得到OD=OC,由等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理得到NO￡>C=NOCD=70°,同理得到/

DOE=ZDEO=40。，由/OCD為△OCE的外角，得到結(jié)果.

【詳解】

解：???以。為圓心，OO長為半徑畫MN，交08于點(diǎn)C,

:.0D=0C,

：?N0DC=N0CD,

VZAOB=40°,

:.ZODC=Z0CD=-X18O°-4O°=7O°,

2

?.?以。為圓心，。。長為半徑畫G”，交0B于點(diǎn)、E，

：.DO=DE,

；.NDOE=NDEOEO",

：/0C。為AOCE的外角，

二ZOCD=ZDEC+ZCDE,

A700=40。+/CDE,

：.ZCDE=30°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、以及三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵在于等邊對(duì)等角與三角形的外角等于

與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用.

14.（2021.湖北省江漢油田（仙桃市、潛江市、天門市））用半徑為30cm,圓心角為120。的扇形紙片恰好

能圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面半徑為（）

A.5cmB.10cmC.15cmD.2（）cm

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓錐的側(cè)面是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面周長即可得.

【詳解】

解：設(shè)這個(gè)圓錐底面半價(jià)為Pm,

120萬x30

由題意得:2仃=

180

解得r=10(cm),

即這個(gè)圓錐底面半徑為10cm，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖、弧長公式，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

15.（2021?湖北恩施土家族苗族自治州）如圖，在口A3CZ）中，AB=\3,AD=5,AC±BC,則口ABC。

的面積為（）

A.30B.60C.65D.—

2

【答案】B

【分析】

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC=A￡>=5,再利用勾股定理可得AC=12,然后利用平行四邊形的面積

公式即可得.

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，AD=5,

:.BC=AD=5,

-.ACA.BC,A8=13,

：.AC7AB-Be）=12,

則口ABCD的面積為BC?AC=5x12=60,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與面積公式、勾股定理,熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.（2021?湖北荊州市）如圖,矩形0LBC的邊OA,OC分別在x軸、V軸的正半軸上，點(diǎn)。在OA的

延長線上.若4（2,0）,0（4,0）,以。為圓心、。。長為半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)B,交y軸正半軸于點(diǎn)E,連接

DE，BE、則/BED的度數(shù)是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】

連接08,由題意易得NBOD=60。，然后根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：連接08,如圖所示：

?.?4(2,0),0(4,0),

OA=2,OB=OE=OD=4,

：.OA=-OB.

2

?.?四邊形Q鉆C是矩形,

Z(MB=90°,

二NOfi4=30°,

，NBOD=90°-NOBA=60°，

：.ZBED=-ZBOD=30°；

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓周角定理、矩形的性質(zhì)及含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、矩形的性質(zhì)及

含30。的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.（2021糊北荊州市）如圖，在AABC中，AB^AC,NA=40°,點(diǎn)、D,P分別是圖中所作直線和射

線與AB，。。的交點(diǎn).根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AD=CDB.ZABP=NCBPC.NBPC=115。D.NPBC=ZA

【答案】D

【分析】

根據(jù)角平分線的定義和垂直平分線的性質(zhì)判斷48,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角定理判斷C、

D.

【詳解】

解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖可知，AC的垂直平分線交A8于D,8尸平分/48C,

AAD=CD,ZABP=NCBP；選項(xiàng)4、8正確；

ZA=40°,

：.ZACD=ZA=40°,

：ZA=40。，=

^ABC=ZACB=70°,

???ZABP=ZCBP=35ZA.選項(xiàng)。錯(cuò)誤;

NBCP=ZACB-ZACD=70°-40°=30°,

AZBPC=180°-ZCBP-ZBCP=l15°,選項(xiàng)C正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是

解題的關(guān)鍵

18.（2021.湖北襄陽市）正多邊形的一個(gè)外角等于60。，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【分析】

根據(jù)多邊形的邊數(shù)等于360。除以每一個(gè)外角的度數(shù)60°,計(jì)算即可.

【詳解】

解：邊數(shù)=360。+60。=6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正多邊形的外角與邊數(shù)的關(guān)系，360。除以每一個(gè)外角的度數(shù)就等于正多邊形的邊數(shù)，需要熟

練記憶.

19.（2021.湖北襄陽市）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭（jia）生

其中，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.間水深幾何（丈、尺是長度單位，1丈=10尺，）其大意為：有

一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆

葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度是多少？則水深為（）

A，101

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

【答案】C

【分析】

根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】

設(shè)水池里的水深為X尺，由題意得：

X2+52=（X+1）2

解得：x=12

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理并能根據(jù)勾股定理正確的列出對(duì)應(yīng)的方程式解題的關(guān)鍵.

20.（2021.湖北十堰市）如圖，直線AB//C￡）,N1=55°,N2=32°,則/3=（）

【答案】A

【分析】

利用平行線的性質(zhì)得到NC=N1=55°,再利用三角形外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：VAB//CD,Zl=55°,

：.ZC=Z1=55°,

.??N3=N2+NC=87。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

21.（2021.湖北荊州市）閱讀下列材料，其①?④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是（）

如圖：已知直線4/c,a_Lh,求證：a±c.

A.①B.②C.③D.@

【答案】C

【分析】

根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可

【詳解】

解：證明：①（已知）

/.Zl=90°（垂直的定義）

②又,：bHc（已知）

③，N1=N2（兩直線平行，同位角相等）

N2=N1=9O°（等量代換）

?：.a±c（垂直的定義）.所以錯(cuò)在③

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2021?湖北省江漢油田（仙桃市、潛江市、天門市））如圖，在AA5C中，NC=90°,點(diǎn)。在AC上,

DE//AB,若NCDE=160°,則￡）3的度數(shù)為（）

B

E

7c

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】

先根據(jù)平角的定義可得NAZ）E=20°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NA=NADE=20。，然后根據(jù)直角三角

形的兩銳角互余即可得.

【詳解】

解：QNC0E=16O。，

ZADE=1800-NCDE=20°,

?rDE//AB,

.?.ZA=ZADE=20。，

???在AABC中，NC=90°,

ZB=9（）°-ZA=70°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23.（2021?湖北襄陽市）如圖，allb,AC±b,重足為C,ZA=40°,則N1等于（）

A.40°B.45°C.50。D.60°

【答案】C

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和求出/48C=50。，再利用平行線的性質(zhì)求出Nl=50°即可.

【詳解】

解：VAClb，

：.ZACB=90°,

-：ZA=40°,

：.ZABC=90°-ZA=50°,

'：allb

/.N1=ZABC=5O。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理計(jì)算.

24.（2021.湖北隨州市）如圖，將一塊含有60。角的直角三角板放置在兩條平行線上，若Nl=45°,則N2

為（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【答案】A

【分析】

過60。角頂點(diǎn)作直線平行于已知直線，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)推出/1+/2=60。，從而求出N2即可.

【詳解】

如圖，已知allb，作直線clla,則cHb,

則/I=/3,Z2=Z4,

；N3+/4=60°,

.*.Zl+Z2=60°,

.?.N2=60°-Nl=15°,

故選：A.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線的基本性質(zhì)，理解平行線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

二、填空題

25.（2021?湖北黃岡市）如圖，正方形ABCO中，AB=\，連接AC,NACD的平分線交A￡>于點(diǎn)E，在

A3上截取AE=￡>￡,連接DE,分別交CE,AC于點(diǎn)G,“，點(diǎn)P是線段GC上的動(dòng)點(diǎn)，PQLAC于

點(diǎn)Q,連接P".下列結(jié)論：①CEJ_。w；②。E+OC=AC；③E4=JJA"；④尸"+PQ的最小值

是它.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

2

【答案】①②④

【分析】

先根據(jù)S4S定理證出AADFMADC石，從而可得NADF=NDCE,再根據(jù)角的和差即可判斷結(jié)論①；根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DC=C",AF=AH,然后根據(jù)線段的和差、等量代換即可判斷結(jié)論②；先根據(jù)

正方形的性質(zhì)可得AC=0，再根據(jù)OC=C”=1可得￡>E=4尸=4"=0-1，從而可得

￡4=2-72.由此即可判斷結(jié)論③；過點(diǎn)P作R0_LCD于點(diǎn)M，連接HM，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)

可得PM=PQ,再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短可得當(dāng)CD時(shí)，PH+PQ取得最小值，然

后解直角三角形即可得判斷結(jié)論④.

【詳解】

解：???四邊形4BCO是正方形，A6=l，

CD=AD=1,AC=V2,ZADC=ZDAF=90°,ZACD=45°,AB//CD,

AD=DC

在AAT)/和AOCE中，,NDAF=NCOE=90°,

AF=DE

：.^ADF^^DCE(SAS),

..ZADF=ZDCE,

ZDCE+ZDEG=1800-NCDE=90°,

:.ZADF+/DEG=90。，

:.ZDGE=90°,即CELOF，結(jié)論①正確；

;CE平分NACD,CE1DF.

：.CH=DC=1,

ZCDH=ZCHD=ZAHF,

QAB//CD,

，NCDH=ZAFH，

：.ZAFH=ZAHF,

:.AF=AH,

?;AF=DE

：.DE+DC=AF+CH=AH+CH=AC,結(jié)論②正確；

,;CH=l,AC=y/i，

DE=AF=AH=AC-CH=72-1，

:.EA=AD-DE=l-(血-1)=2-6,

,EA2-V2r-

..=-j==7Z,

AHV2-1

即￡4=血4"，結(jié)論③錯(cuò)誤;

如圖，過點(diǎn)「作加，。￡）于點(diǎn)M，連接HM，

?.?CE平分ZAC。，PM1CD,PQVAC,

:.PM=PQ,

：.PH+PQ=PH+PM,

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，+取得最小值“M，

由垂線段最短得：當(dāng)HM_LC￡＞時(shí)，”70取得最小值，

正

此時(shí)在Rt4cHM中，HM=CH-sinZACD=sin45°=-.

2

即PH+PQ的最小值是旺.結(jié)論④正確；

2

綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④，

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，較難的是④，利用兩點(diǎn)之間線段

最短、垂線段最短得出當(dāng)EMLCD時(shí)，取最小值是解題關(guān)鍵.

26.（2021.湖北隨州市）如圖，在RMABC中，NACB=90°,。為A3的中點(diǎn)，。。平分NAOC交AC

于點(diǎn)G,OO=Q4,8。分別與AC,OC交于點(diǎn)E，八連接AP，C。，則型的值為^CE=CF,

BC

CF

則=的值為.

c

【答案】I72

【分析】

(1)根據(jù)條件，證明△A8=△COO,從而推斷NOGA=90°，進(jìn)一步通過角度等量，證明

△4OG?△ABC，代入推斷即可.

(2)通過。4=OD=OC=Q3,可知A5,C,。四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明代

入推斷即可.

【詳解】

解：（1）???NACB=90°,。為A3的中點(diǎn)

二OA=OC

乂：。。平分NAOC

:.ZAOD=/COD

又,：OD=OD

，AAC>D=ACOD

AD=CD

：.0D1AC

二NOGA=90

在AAOG與△ABC中

ZGAO=ZBAC,^OGA=NBCA=90

；?AAOG?△ABC

OGAO_1

~BC~AB~2

（2-：OA=OD=OC=OB

A,B,C,D四點(diǎn)共圓，如下圖:

,:CE=CF

ZCEF=ZCFE

又???ZCFE^ZBFO

：./CEF=/BFO

'：△AODwRCOD

：.AD=CD

AD=CD

:.ZOBF=ZCBE

/.NBFO+ZOBF=ZCEF+NCBE=90

即ZBOC=90

?：OB=OC

，BC=V2OC=V2OA=42OD

???NOGA=NBC4=9(T

，/ODB=/FBC

?：ZOFD=ZCFB

二A(9￡>F~MBF

.??空=生=3

OFOD

故答案為：—;>/2

2

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

27.(2021?湖北黃石市)如圖，在正方形ABCZ)中，點(diǎn)E、F分別在邊3C、CD上，且NE4F=45。，AE

交BD于M點(diǎn),AF交BD于N點(diǎn)、.

(1)若正方形的邊長為2,則△CM的周長是.

(2)下列結(jié)論：①2+=MN?；②若F是CO的中點(diǎn)，則tanZAEF=2；③連接MF,則4AMF

為等腰直角三角形.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(把你認(rèn)為所有正確的都填上).

【答案】4①③

【分析】

⑴將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，尸點(diǎn)落在G點(diǎn)處，證明DE4F^EE4G(SA5),DRW會(huì)DGAB(SAS),

進(jìn)而得到EE=DF+BE，即可求出△€￡尸的周長；

(2)對(duì)于①：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，M點(diǎn)落在”點(diǎn)處，證明DBAM也IDAH(S4S),

DMAN^LHAN(SAS)即可判斷；

對(duì)于②：設(shè)正方形邊長為2,BE=x,則EF=x+1,CE=2-x,在RsEFC中使用勾股定理求出x,在利用/AEF=

/AEB即可求解；

對(duì)于③：證明A、M.F、。四點(diǎn)共圓，得到NAFM=NA￡>M=45。進(jìn)而求解.

【詳解】

解：(1)將4尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，尸點(diǎn)落在G點(diǎn)處，如下圖所示：

BEC

VZEAF=45°,且？E4G90

，ZE4G=45°，

AF=AG

在NFAF和AE4G中：＜NEAF=NE4G=45°,

AE=AE

，DEAE會(huì)DE4G(SAS),

EF=GE,

又ZI+/2=45°,Z3+Z2-450,

.*.Z1=Z3,

：A8CO為正方形，

J.AD^AB,

AD^AB

在中：＜Z1=Z3,

AF=AG

：.JJFAD^DGAB(SAS),

A?ABG?ADF=9Q°

/.行WG+ABE=90+90=180?

：.G,B、E三點(diǎn)共線，

/.EF=GE=GB+BE=DF+BE,

:.C^EF=EF+EC+CF=(DF+BE)+EC+CF=(DF+CF)+(BE+EC)=CD+BC=4,

故答案為：4；

(2)對(duì)于①：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，M點(diǎn)落在”點(diǎn)處，如下圖所示：

H

VZ1+Z2=45°,N1+N4=NEA”-NE4尸=45°,

,N2=N4,

BA^DA

在AR4M和AZMH中：,N2=/4,

AMAH

：.I￡AM^n)AH(SAS),

/.?ADH?ABM45"，BM=DH，

?NDH?ADH?ADN45°+45°=90、

，在汝EHND中，由勾股定理得：NH2^DH2+DN2=BM'+DM，

'AN=AN

在AMAN和DHAN中：\ZMAN=ZHAN=45",

AM^AH

：.T^AN^LHAN(SAS),

MN=NH,

MN2=NH2=BM2+DN2>故①正確；

對(duì)于②：由⑴中可知：EF=BE+DF,設(shè)正方形邊長為2,當(dāng)F為C￡＞中點(diǎn)時(shí),

GB=DF=l,CF=1,設(shè)3E=x,貝l]EF=x+l,CE=2-x,

AD

在RtAEFC中，由勾股定理：EF2=CF2+CE2.

22

/.(x+1)2=l2+(2-x)2,解得x=一，即BE=一,

33

Afi3

Z.tan?AEFtan?AEB——=2?—3,故②錯(cuò)誤:

BE2

對(duì)于③：如下圖所示：

,/ZEAF=ZBDC=45°,

.?.A、M'F、。四點(diǎn)共圓，

ZAFM=ZADM=45°,

.?.△AM尸為等腰直角三角形，故③正確：

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的證明，四點(diǎn)共圓的判定方法等，屬于綜合題，具有

一定難度，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

28.（2021.湖北十堰市）如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，若AB=5,AD=12,

則四邊形ABOM的周長為.

【答案】20.

【詳解】

：AB=5,AD=12,

,根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理，得AC=13.

VBO為RIAABC斜邊上的中線

.,.BO=6.5

是AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，

.?.OM是AACD的中位線

.*.OM=2.5

四邊形ABOM的周長為：6.5+2.5+6+5=20

故答案為20

29.（2021.湖北黃岡市）在中，NC=90°,NB=30°,以頂點(diǎn)4為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，

分別交AC,A3于點(diǎn)E,F；再分別以點(diǎn)E,尸為圈心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射

2

線AP交于點(diǎn)D則CD與8D的數(shù)量關(guān)系是一.

【分析】

先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得N84c=60。，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可知AO平分N8AC,從而可得

NC4￡>=NHAZ>=30°，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得AD=8。，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得

CD=-AD,由此即可得出答案.

2

【詳解】

解：???在中，NC=90°,ZB=30%

ABAC90°-ZB=60°,

由角平分線的尺規(guī)作圖可知，平分NBAC,

ACAD=/BAD=-ABAC=30°,

2

:.NB=NBAD，

/.AD=BD，

???在用AACO中，ZC=90%ZC4D=30%

:.CD=-AD,

2

:.CD=-BD,

2

故答案為：CD=、BD.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的定義、含30。角的直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作

圖是解題關(guān)鍵.

30.（2021?湖北十堰市）如圖，在中，NAC3=90°,AC=8,5C=6,點(diǎn)p是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且AP=3,。為叱的中點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)線段CQ的長度為相，則相的取值范圍是

.713

【答案】~<m<—

22

【分析】

作A8的中點(diǎn)M,連接CM、QM,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理

求得QM和CM的長，然后在ACQM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】

解：作A8的中點(diǎn)M,連接CM、QM.

-.?AP=3,

???P在以A為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

在直角AABC中，AB^7AC2+BC2=V82+62=10-

：M是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，

：.CM=-AB^5.

2

是BP的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，

13

：.MQ=—AP^~.

22

33713

，在ACMQ中，5<CQ<F5>即一<m<—.

2222

713

心苔'案是：—三〃廠廠——■

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，三角形三邊長關(guān)系，勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半，作圓，作A8的中點(diǎn)M,連接CM、QM,構(gòu)造三角形，是解題的關(guān)鍵.

31.（2021?湖北十堰市）如圖，在邊長為4的正方形A8CO中，以AB為直徑的半圓交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，

以C為圓心、BC長為半徑畫弧交AC于點(diǎn)尸，則圖中陰影部分的面積是.

【答案】3萬-6

【分析】

連接8E,可得八鉆石是等腰直角三角形，弓形8E的面積=;?■-2,再根據(jù)陰影部分的面積=弓形8E的面

積+扇形C8F的面積-46CE的面積，即可求解.

【詳解】

連接BE,

?.?在正方形A8CD中，以AB為宜徑的半圓交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,

：.ZA￡B=90°,即：ACLBE,

"：NCAB=45。，

二AABE是等腰直角三角形，即：AE=BE,

???弓形BE的面積=-7ix2-—x2x2=^r—2，

42

.??陰影部分的面積=弓形BE的面積+扇形CBF的面積-ABCE的面積

-45x乃X4?11..

=?—2+------------x-x4x4=3%-6.

36022

故答案是：3萬-6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，扇形的面積公式，添加輔助線，把不規(guī)則圖形進(jìn)行合理的分割，是解題的關(guān)

鍵.

32.（2021.湖北宜昌市）“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形.如圖，以邊長為2