5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（一）課件高二上學期數(shù)學選擇性

5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用函數(shù)的單調(diào)性（一）

我們知道

f′(x)刻畫了函數(shù)f(x)在每一點處的變化趨勢，而函數(shù)在每一點處的變化趨勢可以反映函數(shù)的一些性質(zhì)，比如函數(shù)的單調(diào)性.

既然導數(shù)能刻畫函數(shù)的變化趨勢，我們不禁會想導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性是否有某種聯(lián)系，這就是本節(jié)課要討論的內(nèi)容.

一、新知引入：

二、新知探求：問題觀察下面幾個圖象，探究函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的正負的關系.提示(1)函數(shù)y＝x的定義域為R，并且在定義域上是增函數(shù)，其導數(shù)y′＝1>0；(2)函數(shù)y＝x2的定義域為R，在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù).而y′＝2x，當x<0時，其導數(shù)y′<0；當x>0時，其導數(shù)y′>0；當x＝0時，其導數(shù)y′＝0.(3)函數(shù)y＝x3的定義域為R，在定義域上為增函數(shù).而y′＝3x2，當x≠0時，其導數(shù)3x2>0；當x＝0時，其導數(shù)3x2＝0；(4)函數(shù)y＝

的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)，而y′＝－

，因為x≠0，所以y′<0.

二、新知探求：思考導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性有什么關系？提示：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上是增函數(shù)，那么對任意x1，x2(a,b)，當x1<x2時，f(x1)<f(x2)，即x1-x2與f(x1)-f(x2)同號，從而有結(jié)論：這表明，導數(shù)大于0與函數(shù)單調(diào)遞增密切相關.

二、新知探求：思考導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性有什么關系？如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上是減函數(shù)，那么對任意x1，x2(a,b)，當x1<x2時，f(x1)>f(x2)，即x1-x2與f(x1)-f(x2)異號，從而有結(jié)論：這表明，導數(shù)小于0與函數(shù)單調(diào)遞減密切相關.

二、新知探求：函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負之間的關系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負f(x)的單調(diào)性f′(x)>0增函數(shù)f′(x)<0減函數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab注意點：(1)當f′(x)＝0時，f(x)是常函數(shù)；(2)原函數(shù)的圖象只看增(減)的變化，導函數(shù)的圖象只看正(負)的變化.思考1:在區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增,反過來也成立嗎提示:不一定.例如f(x)=x3在R上為增函數(shù),但f′(0)=0,所以f′(x)>0是f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.

二、新知探求：思考2:如果函數(shù)在某一個范圍內(nèi)變化得快,圖象比較“陡峭”,則函數(shù)在這一范圍內(nèi)的導數(shù)值越大嗎提示:不一定,函數(shù)在某一范圍內(nèi)變化得快,圖象比較“陡峭”,則說明函數(shù)在這一范圍內(nèi)的絕對值越大,而函數(shù)在這一范圍內(nèi)的導數(shù)可能越小.

二、新知探求：

三、典型例題：解：

三、典型例題：

三、典型例題：反思感悟?qū)τ谠瘮?shù)圖象，要看其在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則在該區(qū)間內(nèi)導數(shù)值大于零．在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則在此區(qū)間內(nèi)導數(shù)值小于零．根據(jù)導數(shù)值的正負可判定導函數(shù)圖象.

三、典型例題：

三、典型例題：解：

三、典型例題：解：

三、典型例題：反思感悟通過觀察導函數(shù)圖象，確定導數(shù)值正負所在區(qū)間，也就確定了增減區(qū)間；根據(jù)導函數(shù)圖象的變化，可確定原函數(shù)增減快慢．

三、典型例題：解：

三、典型例題：解：反思感悟利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：確定函數(shù)的定義域；求導數(shù)f′(x)；確定f′(x)在定義域內(nèi)的符號，在此過程中，需要對導函數(shù)進行通分、因式分解等變形；得出結(jié)論.

三、典型例題：解：

三、典型例題：解：

三、典型例題：反思感悟利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域.(2)求導數(shù)y＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù).(4)解不等式f′(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為減函數(shù).

三、典型例題：解：

三、典型例題：解：

三、典型例題：解：C

三、典型例題：解：B

三、典型例題：反思感悟比較大小的解題類型：(1)通過已知函數(shù)的特點，聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?2)通過判斷導函數(shù)的圖象，根據(jù)導函數(shù)的符號，確定原函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?/p>

四、達標檢測：解：C

四、達標檢測：解：CD

四、達標檢測：解：C

四、達標檢測：解：

五、課堂小結(jié)：1.知識清單：(1)函數(shù)的單調(diào)性與