（初中教案）7年級春季班第15講：等邊三角形 - 教師版

（初中教案）7年級春季班第15講：等邊三角形-教師版（初中教案）7年級春季班第15講：等邊三角形-教師版/（初中教案）7年級春季班第15講：等邊三角形-教師版初一數(shù)學(xué)春季班(教師版)教師日期學(xué)生課程編號15課型復(fù)習(xí)課課題等邊三角形教學(xué)目標(biāo)1．熟練的運用等邊三角形的判定定理和性質(zhì);2．利用等邊三角形的性質(zhì)解決與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的綜合題目．教學(xué)重點利用等邊三角形的性質(zhì)解決證明和求值的相關(guān)問題教學(xué)安排版塊時長1等邊三角形的性質(zhì)與判定40min2等邊三角形的綜合40min3隨堂檢測20min4課后作業(yè)20min

等邊三角形等邊三角形內(nèi)容分析內(nèi)容分析等邊三角形是七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期第三章第三節(jié)的內(nèi)容,本講主要講解等邊三角形的性質(zhì)和判定定理;重點是理清性質(zhì)和判定之間的區(qū)別和聯(lián)系,難點是靈活運用等邊三角形的性質(zhì)解決綜合題目,綜合性更強．知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊一模塊一：等邊三角形性質(zhì)與判定知識知識精講等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°．等邊三角形的判定(1)三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形;(2)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

例題解析例題解析下列說法中錯誤的是()A．等邊三角形是等腰三角形B．等邊三角形是銳角三角形C．等邊三角形的高、中線、角平分線共有3條D．含有60°角的三角形是等邊三角形【難度】★【答案】D【解析】含有60°角的三角形不一定是等邊三角形．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的定義和性質(zhì)．(1)等腰三角形的一個外角等于120°,則它是三角形;(2)等邊三角形是軸對稱圖形,它有______條對稱軸,分別是_______________．【難度】★【答案】(1)等邊三角形;(2)三,三邊的垂直平分線．【解析】(1)當(dāng)一個外角等于時,與這個外角相鄰的內(nèi)角為,因為是等腰三角形,所以另外兩個角也為,則這個三角形為等邊三角形;(2)等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸,分別是三邊的垂直平分線．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)．(1)已知AD是等邊△ABC的高,BE是AC邊的中線,AD與BE交于點F,則∠AFE=_____________;(2)△ABC是等邊三角形,AD∥BC,CDAD,則ACD=．ACDACDBFE【答案】(1);(2)．【解析】(1);

DCBA(2),DCBA,．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)．已知三角形的一個外角等于與它不相鄰的一個內(nèi)角的2倍,且有一個內(nèi)角為60°則這個三角形是()A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【難度】★【答案】A【解析】因為三角形一個外角等于與它不相鄰的一個內(nèi)角的2倍,且同時等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和,所以與它不相鄰的兩個內(nèi)角相等,因為有一個內(nèi)角為,所以三個內(nèi)角均為,所以為等邊三角形．【總結(jié)】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．已知△ABC是等邊三角形,點D在AC上,點E在AB上,BD與CE相交于點F,且BF=CF,說明△ADE是等邊三角形．ABCABCDEF【答案】見解析．【解析】,．．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定及全等三角形的判定．

如圖所示,在△ABC中,AB=AC,△ADB和△ACE都是等邊三角形,ABCDE且∠DAE=∠DBC,求ABCDE【難度】★★【答案】20°．【解析】,．．,．,,即,．【總結(jié)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用．如圖,是等邊三角形,,則的度數(shù)是________．ABCABCD【答案】．【解析】,．,,．【總結(jié)】本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運用．如圖,在等邊三角形ABC中,點D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的動點,ABCDEF且AD=BE=ABCDEF【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．

,．【總結(jié)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定的綜合運用．如圖,在等邊三角形ABC的邊BC上任取一點D,以CD為邊向外作等邊三角形CDE,連接AD,BE,試說明BE=AD的理由．【難度】★★ABCDABCDE【解析】．．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定．如圖,已知在等邊三角形ABC中,D是AC的中點,E為BC延長線上一點,且CE＝CD,DM⊥BC,垂足為M．求證：M是BE的中點．【難度】★★ABCDABCDEM【解析】．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)的運用．

(1)如圖所示,已知：△ABC是等邊三角形,M、N分別是邊BC、AC的中點,AM、BN相交于點P,求∠BPM的大小;(2)如果點M、N分別在BC、AC的延長線上,且BM=CN．∠BPM的大小會發(fā)生變化嗎?【難度】★★ABCNPMABCPMABCNPMABCPMN【解析】(1),．,,．(2),,,,．,故∠BPM的大小會不會發(fā)生變化．【總結(jié)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理的綜合運用．如圖,已知：在等邊△ABC中,D在BC邊上,E在△ABC外,∠BAD=15°,∠DAE=70°,AD=AE,求∠CAE,∠EDC,∠EFC的度數(shù)．ABCABCDEF【答案】．【解析】,．．,,．,．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用．

下列說法中正確的個數(shù)有( )①有一個外角為120°的等腰三角形是等邊三角形;②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形;③有三個外角都相等的三角形是等邊三角形;④有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形;⑤△ABC中三邊為a、b、c,滿足,則這個三角形是等邊三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【難度】★★【答案】B【解析】有一個外角為120°的等腰三角形是等邊三角形,所以①正確;有兩個外角相等的等腰三角形是不一定是等邊三角形,所以②不正確;有三個外角都相等的三角形三個內(nèi)角是相等的,是等邊三角形,所以③是正確;有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等腰三角形但不一定是等邊三角形,所以④不正確;△ABC中三邊為a、b、c,滿足,則這個三角形是等腰三角形但不一定是等邊三角形,所以⑤不正確．故選B．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用．等邊△ABC中,AD=BE=CF,D、E、F不是各邊的中點,AE、BF、CD分別交于點P、M、N在每一組全等三角形中有三個三角形兩兩全等,那么在圖中全等的三角形的組數(shù)是()ABCDEFMNPA．2 B．3 ABCDEFMNP【難度】★★【答案】D【解析】;;;;,共5組．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)．

如圖,在等邊中,點分別在邊上,且,與DAEFDAEFBC(1)求證：;(2)求的度數(shù)．【難度】★★★【答案】(1)見解析;(2)．【解析】(1),,,;(2),,．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)的綜合運用．已知等邊△ABC和點P,設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1,h2,h3,△ABC的高為h．"若點P在一邊BC上［如圖(1)］,此時h3＝0．可得結(jié)論：ABCDMFPABCDEFABCDEMPMFP圖1圖2圖3h1＋h2＋h3＝h．”請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P在△ABC內(nèi)［如圖(ABCDMFPABCDEFABCDEMPMFP圖1圖2圖3【難度】★★★【答案】見解析．【解析】(1)．,,．,,．(2)【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形面積的綜合應(yīng)用．

如圖,△ABC是邊長為1的等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形,PBACDNM以D為頂點作一個600角,角的兩邊分別交AB于PBACDNM【難度】★★★【答案】見解析．【解析】．．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用,注意輔助線的添加．如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=200,在邊AB上取點D,使AD=BC,BCADEBCADE【難度】★★★【答案】．【解析】【總結(jié)】本題考查了等腰三角形、全等三角形和等邊三角形性質(zhì)的綜合運用,綜合性較強．

模塊模塊二：等邊三角形綜合知識知識精講將等邊三角形的性質(zhì)作為一直條件,運用到解題中．例題解析例題解析如圖,已知△ABC是等邊三角形,E是AC延長線上一點,選擇一點D,使得△CDEACENMBDACENMBD【難度】★★【答案】見解析．【解析】【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用．

如圖,已知D是等邊三角形ABC的邊AB邊延長線上一點,BD的垂直平分線HEGABCDEH交AC延長線于點E,那么CEGABCDEH【難度】★★【答案】相等,見解析．【解析】．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),注意輔助線的添加．如圖,已知：等邊三角形ABC,在AB上取點D,在AC上取一點E,使AD=AE,ABCDERPQ作等邊三角形PCD、QAE和RAB,則ABCDERPQ【難度】★★【答案】見解析．【解析】【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合性運用,難度較大．

如圖,已知：在等邊三角形ABC中,D、E分別是AB、AC邊上的點,且BD=AE,GABCDEFOEB與CD相交于點O．EF與CD垂直于點GABCDEFO【難度】★★【答案】見解析．【解析】【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用,注意對方法的選擇．如圖,點O是等邊△ABC內(nèi)的一點,AOB=110°,BOC=135°,試問：以O(shè)A、OB、OC為邊,能否構(gòu)成一個三角形,若能,求出該三角形各角的度數(shù);若不能,說明理由;如果AOB的大小保持不變,那么當(dāng)BOC等于多少度時,以O(shè)A、OB、OCDABDABCO【難度】★★【答案】見解析．【解析】(1),．(2),,．,,,;,,,,綜上,當(dāng)BOC等于100°或150°時,以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形是一個直角三角形．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),注意利用旋轉(zhuǎn)的思想去解題．△CAB與△CDE是有公共頂點C的兩個等邊三角形,△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至以下各位置：當(dāng)E在BC下方時,說明AD=BE;當(dāng)E在BC邊上如圖2、當(dāng)E在△ABC內(nèi)如圖3、當(dāng)E在AC邊上如圖4,當(dāng)CE∥AB時,如圖5,AD=BE還成立嗎?請一一說明理由．ABCDABCDE 圖1ABCDE 圖2CDABCDEBAECEABD圖3圖4圖5【答案】見解析．【解析】(1)．(2)成立．方法同(1),可證,所以．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用．已知A、B、C三點共線,分別AC、BC為邊,在直線AB同側(cè)作等邊△CAN和等邊△BCM,易得AM=BN．(1)將△CAN繞點C旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù),得到圖(2),試問：AM=BN嗎?(2)將(1)中等邊△CAN再繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度,得到圖(3),上述AM=CN還成立嗎?請說明理由;(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,直線AM和直線BN所夾的銳角的大小隨著旋轉(zhuǎn)角的改變而改變嗎?說說你的理由．【難度】★★★【答案】見解析．AABC圖1NMABC圖2MNABCN圖3M【解析】(1),．(2)成立．方法同(1)．(3)不變．,

【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用．

【例26】如圖,△ABC中,已知∠C=600,AC＞BC,又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等邊三角形,而點D在AC上,且BC=DC．(1)說明△C′BD≌△B′DC的理由;(2)說明△AC′D≌△DB′A的理由;(3)對△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C,從面積大小關(guān)系上,你能得出什么結(jié)論?AABCDA′B′C′【難度】★★★【答案】見解析．【解析】(1)(2)(3)【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì),注意總結(jié)等邊三角形的面積與邊長的關(guān)系．隨堂檢測隨堂檢測三個內(nèi)角都相等的三角形是_________三角形,每個內(nèi)角都等于______．【難度】★【答案】等邊;．【解析】略．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的定義和性質(zhì)．

在等腰三角形中,已知兩底角之和等于頂角的2倍,則這個三角形是()A．直角三角形B．鈍角三角形C．等邊三角形D．銳角三角形但不等邊【難度】★【答案】C【解析】,．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形,故選C．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定及三角形內(nèi)角和定理的運用．如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BD⊥AC于點D,DG∥AB交BC于點G,E在BC的延長線上,CE=CD．(1)∠E=________;(2)∠BDE=_______;(3)圖中的等腰三角形有________個;(4)圖中的等邊三角形有_______個．ABCABCDEG【答案】(1);(2);(3)5;(4)2．【解析】(1)(3)等腰三角形有：;(4)等邊三角形有：．【總結(jié)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定及等邊三角形的性質(zhì)和判定．下列三角形：①有兩個角等于60°;②有一個角等于60°的等腰三角形;③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的三角形;④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有()①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【難度】★★【答案】D【解析】①、②正確,是等邊三角形的判定定理,③三個外角相等則三個內(nèi)角必相等,則一定是等邊三角形,故正確;④利用等腰三角形的三線合一,可知,該三角形也是等邊三角形,正確,故選D．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的判定．

ABCDEF如圖,D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點,且AD=BEABCDEF狀是()A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形【難度】★★【答案】A【解析】,．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定的綜合運用．已知Rt△ABC中,∠C=900,∠A=300,在直線BC或AC上取一點P,使得△PAB是等腰三角形,則符合條件的P點有( )2個 B．4個 C．6個 D．8個【難度】★★【答案】C【解析】;【總結(jié)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定,注意利用"兩圓一線”的方法確定等腰三角形．

如圖,等邊△ABC中,AD=CE,CD于BE相交于點P,求BPC的度數(shù)．ABCEABCEDP【答案】【解析】,【總結(jié)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)．如圖,△ABC和△DBE都是等邊三角形,說明AB∥CE的理由．ABCABCDE【答案】見解析．【解析】【總結(jié)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)的運用．如圖,△ABC為等邊三角形,E是BC延長線上一點,CD平分∠ACE,CD=BE,ABCDEABCDE【難度】★★★【答案】見解析．【解析】,【總結(jié)】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用．

如圖,△ABC中,BA=BC=a,B=60°,在BC的延長線上取一點D,使CD=b,ABCDE在BA延長線上取一點E,使AE=a+b,ABCDE【難度】★★★【答案】等腰三角形．F【解析】F【總結(jié)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用,注意平行線的添加,將問題進行轉(zhuǎn)化．課后作業(yè)課后作業(yè)已知一個三角形的任意一個角的平分線都垂直于這個角的對邊,則這個三角形是()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形．【難度】★【答案】D【解析】只有在等邊三角形中任意一個角的平分線是垂線并且是中線．【總結(jié)】本題主要考查全等三角形的判定．

等邊△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I,則∠BIC等于()60° B．90° C．120° D．150°【難度】★【答案】C【解析】,．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合運用．如圖,E是等邊△ABC中AC邊上的點,∠ABE=∠ACD,BE=CD,則△ADE的形狀是()等腰三角形B．等邊三角形C．不等邊三角形D．不能確定形狀A(yù)BCABCDE【答案】B【解析】,．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定．如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=360,D、E是BC上兩點,使∠ADE=∠AED=ABCDE2∠BAD,則圖中等腰三角形共有(ABCDEA．3個 B．4個 5個 D．6個【難度】★【答案】D【解析】,,,．．．．．．．【總結(jié)】本題主要考查了等腰三角形的判定．ABCDE如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形,求證：BD+ABCDE【難度】★【答案】見解析．【解析】,．【總結(jié)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定．如圖,已知△ABC、△ADE是等邊三角形,點E恰在CB的延長線上,ABCDE說明∠ABD=ABCDE【難度】★★【