（初中教案）九年級春季班第20講：幾何證明及通過幾何證明進行說理問題-教師版-張于

（初中教案）九年級春季班第20講：幾何證明及通過幾何證明進行說理問題-教師版-張于（初中教案）九年級春季班第20講：幾何證明及通過幾何證明進行說理問題-教師版-張于/（初中教案）九年級春季班第20講：幾何證明及通過幾何證明進行說理問題-教師版-張于幾何證明及通過幾何證明進行說理問題幾何證明及通過幾何證明進行說理問題內(nèi)容分析內(nèi)容分析較之代數(shù)計算類題型,幾何證明類題型偏重于利用所學(xué)的幾何知識進行相關(guān)證明和說理,解題中一般是先根據(jù)圖形間的幾何關(guān)系,利用全等、相似等性質(zhì)進行相關(guān)的說理和計算．例題解析例題解析如圖,二次函數(shù)的圖像與軸交于點A,且過點B(3,6)．(1)試求二次函數(shù)的解析式及點A的坐標;(2)若點關(guān)于二次函數(shù)對稱軸的對稱點為點,試求的正切值;ABCOxyH(3)若在軸上有一點,使得點關(guān)于直線的對稱點在軸上,試求點的坐標．ABCOxyH【解析】(1)將點B(3,6)代入解析式,可得：,解得：,∴二次函數(shù)解析式為,點A的坐標為(0,2);(2)由題意,知：C(1,6),,,．過點作于點,∴,,,∴;(3)由題意,,則的坐標為(0,)或(0,7)．設(shè),①若點,由,有,解得：,即;②若點,由,有,解得：,即;綜上可知,點的坐標為或．【總結(jié)】本題主要考察二次函數(shù)的綜合,相對比較基礎(chǔ),注意相關(guān)性質(zhì)的運用．已知半圓的直徑,點在半圓上,且,點為上一點,聯(lián)結(jié)．(1)求的長;(2)若射線交射線于點,且與相似,求的長;(3)聯(lián)結(jié),當(dāng)//時,作的平分線交線段于點,求的長．ABCDO圖1【解析】(ABCDO圖1∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∵tan∠ABC=,∴可以假設(shè)AC=k,BC=k,∵AB=6,AB2=AC2+BC2,∴36=8k2+k2,∴k2=4,∵k>0,∴k=2,BC=2;(2)如圖2中,∵與相似,∴∠MBC=∠MCO,∵∠MBC+∠OBC=180°,∠MCO+∠OCD=180°,∴∠OBC=∠OCD,ABCDO圖2M∵OB=OC=OD,∴∠OBC=∠OCB=ABCDO圖2M在和中,,∴≌,∴BC=CD=2;(3)如圖3中,延長ON交BC的延長線于G,作GH⊥OB于H．ABCDO圖3GNH∵BC//OD,∴∠DOGABCDO圖3GNH∴BO=BG=3,∵tan∠HBG=,設(shè)GH=,HB=a,∵BG2=GH2+HB2,∴8a2+a2=9,∴a2=1,∵a>0,∴a=1,HB=1,GH=,OH=2,OG=,∵GC//DO,∴,∴ON=．【總結(jié)】本題在圓的背景下,考查相似三角形的性質(zhì)與判定及銳角三角比的綜合運用．

如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線與x軸交于、兩點,與y軸交于點.(1)求拋物線的表達式;(2)求證：;(3)若點P是拋物線上的一點,且,求直線CP的表達式.OCBAyOCBAyx,解得：.∴拋物線的表達式為;(2)∵,,,∴,∵,∴∽,∴;(3)∵∠PCB+∠ACB=∠BCO,又∠OCA+∠ACB=∠BCO,∴∠PCB=∠OCA,∵∽,∴,∴∠PCB=∠CBO,eq\o\ac(○,1)若點P在x軸上方,∵∠PCB=∠CBO,∴CP//x軸,∴直線CP的表達式是;②若點P在x軸下方,設(shè)CP交x軸于點D(m,0),∵∠PCB=∠CBO,∴CD=BD,∴,,∴.∴直線CP的表達式為.綜上所述,直線CP的表達式為或.【總結(jié)】本題以二次函數(shù)為背景,考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)的運用,第(3)問中,注意對直線的準確理解．

已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點P(0,1)與Q(2,)．(1)求此二次函數(shù)的解析式;(2)若點A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖像上一點,過點A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖像于點B,分別過點B、A作x軸的垂線,垂足分別為C、D,且所得四邊形ABCD恰為正方形．①求正方形的ABCD的面積;②聯(lián)結(jié)PA、PD,PD交AB于點E,求證：∽．【解析】(1)由題意得：,解得：．所以二次函數(shù)解析式是：;(2)①設(shè),則．由四邊形ABCD為正方形,得：,解得：(舍負)．∴正方形ABCD的面積為：．②設(shè)AB交y軸于點H.∵,,∴．∵∠DOP=∠AHP,∴∽．∴,又∵∠DPO=∠PDA,∴．又∵,∴∽．【總結(jié)】本題以二次函數(shù)為背景,考查二次函數(shù)與正方形的結(jié)合,考查的知識點較多,包含了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,正方形面積的求法以及相似三角形的判定．

已知在平面直角坐標系xOy中,拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B右側(cè)),與y軸交于點C(0,),且OA=2OC．(1)求這條拋物線的表達式及頂點M的坐標;(2)求tan∠MAC的值;(3)如果點D在這條拋物線的對稱軸上,且∠CAD=45°,求點D的坐標．【解析】(1)∵C(0,-3),∴OC=3．∵OA=2OC,∴OA=6．∵,點A在點B右側(cè),拋物線與y軸交點C(0,),∴,代入可得：,∴,∴．(2)過點M作MH⊥x軸于點H,交AC于點N,過點N作NE⊥AM于點E．在中,,,．xyAOCENxyAOCENMH∴N(2,-2),∴．在中,∵,∴．D1D2xyAOCED1D2xyAOCENMH(3)當(dāng)D點在AC上方時,∵,又∵,∴．∴．∵點在拋物線的對稱軸直線上,∴,∴．在中,,∴．當(dāng)D點在AC下方時,∵,又∵,∴．∴．在中,,∴．綜上所述：,．

隨堂檢測隨堂檢測如圖,已知線段AB=8,以A為圓心,5為半徑作⊙A,點C在⊙A上,過點C作CD//AB交⊙A于點D(點D在點C右側(cè)),聯(lián)結(jié)BC、AD．ABCD(1)若CD=6ABCD(2)設(shè)CD=x,BC=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;HDCBA圖1(3)設(shè)BC的中點為M,HDCBA圖1⊙A于點E,聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)CD取何值時,CE//AD．【解析】(1)作AH⊥CD,垂足為點H(如圖1)．∵CD=6,∴．∵AD=5,∴AH=4．∴;(2)作CP⊥AB,垂足為點P(如圖2)．PHDCBA圖2∵在中,AH⊥CD,CD=PHDCBA圖2∴．∴．在,∴．ENMFHDCENMFHDCBA圖3∴;(3)設(shè)AH交MN于點F,聯(lián)結(jié)AE(如圖3)．∵BC的中點為M,AD的中點為N,∴MN//CD．∵CE//AD,∴DC=NE=x．∵MN//CD,∴．∵,∴,∴．在和中,∵,∴,解得：(舍負)．即當(dāng)CD長為時,CE//AD．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)與圓的綜合,包含了垂徑定理和勾股定理的綜合運用．如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2＋x的對稱軸為直線x=2,頂點為A．Oyx(1)求拋物線的表達式及頂點Oyx(2)點P為拋物線對稱軸上一點,聯(lián)結(jié)OA、OP．①當(dāng)OA⊥OP時,求OP的長;②過點P作OP的垂線交對稱軸右側(cè)的拋物線于點B,聯(lián)結(jié)OB,當(dāng)∠OAP=∠OBP時,求點B的坐標．【解析】(1)∵拋物線的對稱軸為直線x=2．∴,∴．y圖1PEAOy圖1PEAOx∴頂點A的坐標為(2,1)．(2)設(shè)對稱軸與x軸的交點為E(如圖1)．=1\*GB3①在直角三角形AOE和直角三角形POE中,∵,,又∵OA⊥OP,∴．∴．∵AE=1,OE=2,∴PE=4．∴OP=．=2\*GB3②過點B作AP的垂線,垂足為F(如圖2)．y圖2FBPEAOxy圖2FBPEAOx在直角三角形AOE和直角三角形POB中,,,∵,∴．∵,,∴∽,∴．∵OE=2,∴PF=1,,∴,解得：,(不合題意,舍去)．∴點B的坐標是(10,)．【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)和銳角三角比的綜合運用,解題時注添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造直角三角形．

課后作業(yè)課后作業(yè)yDCFEOAx如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點yDCFEOAxB(,0),與y軸交于點C,點D在線段OC上,OD=t,點E在第二象限,,,EF⊥OD,垂足為F．(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)求線段EF、OF的長(用含t的代數(shù)式表示);(3)當(dāng)∠ECA=∠OAC時,求t的值．【解析】(1)∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(4,0)、B(,0),∴可得：,解得：．∴二次函數(shù)的解析式為：;(2)∵點D在線段OC上,點E在第二象限,∠ADE=90°,EF⊥OD,∴,∴,∴∽,∴．在中,∠ADE=90°,,∴,∴,．∵,∴．∵A(4,0),∴．∴,∴;(3)由(1)得,點的坐標為(0,8)．延長CE交x軸于點G(如圖),yDCFEGOA設(shè)點G的坐標為(x,yDCFEGOA∴,解得：,∴．由已知,可得點F在線段OD上,又∵,∴．∵EF//GO,∴,∴,解得：,即當(dāng)∠ECA=∠OAC時t的值為6．如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(3,0),B(,0),C(0,),頂點為D．(1)求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標;(2)在y軸上找一點P(點P與點C不重合),使得∠APD=90°,求點P的坐標;(3)在(2)的條件下,將沿直線AD翻折,得到,求點Q的坐標．【解析】(1)∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(3,0),B(－1,0),C(0,－3),AyD