兩角和與差的余弦公式

3.1.1兩角和與差的余弦公式8/29/2024其中θ∈[0，π

]兩個(gè)向量的數(shù)量積溫故知新!8/29/2024一、新課引入問(wèn)題1:cos15°＝？cos75°=？問(wèn)題2:cos15°＝cos（45°－

30°）＝

cos45°－

cos30°

?cos75°＝cos（45°

+30°）＝cos45°+

cos30°？

cos(α-β)=cos(α+β)=??8/29/2024探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示？思考1：設(shè)α，β為兩個(gè)任意角,你能判斷cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立嗎?例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°因此，對(duì)角α，βcos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.8/29/2024〖探究1〗cos（α-β）公式的結(jié)構(gòu)形式應(yīng)該與哪些量有關(guān)系

？發(fā)現(xiàn)：cos（α-β）公式的結(jié)構(gòu)形式應(yīng)該與sinα,cosα,sinβ,cosβ均有關(guān)系

令則令則令令則則8/29/2024sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)思考2：我們知道cos(α－β)的值與α，β的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀察下表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？8/29/2024從表中,可以發(fā)現(xiàn):cos(60°－

30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－

60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°現(xiàn)在，我們猜想，對(duì)任意角α，β

有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ8/29/2024xyPP1MBOAC+11〖探究2〗借助三角函數(shù)線來(lái)推導(dǎo)cos（α-β）公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)

OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβ8/29/2024-111-1α-β

BAyxoβα∵

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ8/29/2024思考：以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？當(dāng)α-β是任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)若θ∈[0，π]，則若θ∈[π,2π)，則2π-θ∈[0，π

]，且cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)8/29/2024〖探究3〗兩角差的余弦公式有哪些結(jié)構(gòu)特征？注意：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：等號(hào)的左邊是復(fù)角α-β的余弦值，等號(hào)右邊是單角余弦值的乘積與正弦值的乘積的和。2.公式中的α,β是任意角，公式的應(yīng)用要講究一個(gè)“活”字，即正用、逆用、變形用，還要?jiǎng)?chuàng)造條件應(yīng)用公式，如構(gòu)造角β＝(α＋β)－α，β＝等．上述公式稱為差角的余弦公式，記作簡(jiǎn)記“余余正正號(hào)相反”8/29/2024〖公式應(yīng)用〗引例:求cos15°的值.分析：將150可以看成450-300而450和300均為特殊角，借助它們即可求出150的余弦.cos150=cos（450-300）=cos450cos300+sin450sin300=×+×=8/29/2024運(yùn)用公式求值8/29/20248/29/20248/29/20248/29/2024給值求值

8/29/20248/29/20248/29/20248/29/20248/29/202