八年級數(shù)學(xué)下冊 講義（北師大版）第六章第03講 三角形的中位線(5類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第03講三角形的中位線(5類熱點(diǎn)題型講練)1．掌握中位線的定義以及中位線定理；(重點(diǎn))2．綜合運(yùn)用平行四邊形的判定及中位線定理解決問題．(難點(diǎn))知識點(diǎn)01三角形的中位線定理（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）（2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，.題型01與三角形中位線有關(guān)的求解問題【例題】（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別是、、的中點(diǎn)，連接、，則四邊形的周長為．【變式訓(xùn)練】1．（2024·山東淄博·一模）如圖，在中，，，，E，F(xiàn)分別為邊上的點(diǎn)，M，N分別為的中點(diǎn)．若，則的長為．2．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習(xí)）中，，，分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)C作于F，交于G，連接，則線段的長為．題型02三角形中位線與三角形面積問題【例題】（22-23九年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，若四邊形的面積是，則的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·廣西欽州·階段練習(xí)）如圖所示，已知的面積為，連接三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個三角形，，依此類推，第個三角形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，是的中位線，M是的中點(diǎn)，的延長線交于N，那么，．題型03三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用【例題】（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，如果要測量池塘兩端、的距離，可以在池塘外取一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，測得的長為米，則的長為米．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，要測定被池塘隔開的，兩點(diǎn)的距離．可以在外選一點(diǎn)連接，，并分別找出它們的中點(diǎn)，，連接．現(xiàn)測得，則．2．（23-24八年級上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，A，B兩點(diǎn)分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學(xué)幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，找到，的中點(diǎn)D，E，并且測出的長為，則A，B間的距離為．題型04與三角形中位線有關(guān)的證明【例題】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）已知在中，，為中點(diǎn)，為邊的中線且，連接、．

(1)求證：；(2)若，求的周長．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．(1)如圖1，的延長線與邊相交于點(diǎn)D，求證：；(2)如圖2，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論：．2．（23-24九年級下·北京·階段練習(xí)）已知：在中，，，是邊上的動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，求證：是的中點(diǎn)；(2)如圖2，連接，取線段的中點(diǎn)，連接，直接寫出的大小并證明；(3)若是的中點(diǎn)，，直接寫出的最小值為______．題型05平行四邊形與中位線綜合問題【例題】（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)D，E、F分別是、的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長線交線段于點(diǎn)G，連接、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)，時，的長為______．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級下·江西宜春·開學(xué)考試）如圖，是的中位線，延長至點(diǎn)，使，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．2．（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形的邊上的一點(diǎn)，連接并延長，使，連接并延長，使，連接，為的中點(diǎn)，連接，．(1)若，，求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為平行四邊形；(3)連接，交于點(diǎn)O，若，，直接寫出的長度．一、單選題1．（2024·陜西咸陽·一模）如圖，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)F，，，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24八年級下·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對角線和交于O點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若，，，則的周長是（

）A．12 B．13 C．14 D．153．（23-24八年級下·廣東江門·階段練習(xí)）中，E是的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)D，若，，則（

）

A．1 B．2 C．4 D．84．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，、是的中線，P、Q分別是、的中點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．5．（2024·山東菏澤·一模）如圖，稱為第1個三角形，它的周長是1，以它的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第2個三角形，再以第2個三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第3個三角形，以此類推，則第2024個三角形的周長為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，若，則．

7．（2024八年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接，若，，，則的周長是．8．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，在平行四邊形中，，E為上一動點(diǎn)，M，N分別為的中點(diǎn)，則的長為．

9．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)H，G分別是邊上的動點(diǎn)，連接，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，則的最大值與最小值的差為．10．（2023·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，，，．在平面內(nèi)將平移得到，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．若點(diǎn)P，Q分別是AC，DE的中點(diǎn)，則的最大值是．三、解答題11．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，，，平分，，延長交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的長．12．（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）如圖1，A、B兩地被建筑物阻隔，為測量A、B兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C，連接，分別取，的中點(diǎn)D、E．(1)測得的長為，則A、B兩地的距離為_______．(2)如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是和的中點(diǎn)，求的長13．（23-24八年級下·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求四邊形的周長．14．（23-24八年級下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊上，且，分別交于點(diǎn)E、F．

(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖1，若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖2，若，求證：．15．（2024·河南周口·一模）如圖1，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．(1)觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，的度數(shù)為；(2)探究證明把繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理；(3)拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請直接寫出面積的最大值．16．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習(xí)）【問題初探】（1）李老師給出如下問題：中，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為對角線上的點(diǎn)，且，連接線段．若，求的長．小鵬同學(xué)考慮到點(diǎn)是的中點(diǎn)，從中點(diǎn)的角度思考，想辦法構(gòu)造另一個中點(diǎn)