高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3課件2-3-1離散型隨機(jī)變量的均值

2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義:一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.(2)意義:離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(3)性質(zhì):若X為離散型隨機(jī)變量,則Y=aX+b(其中a,b為常數(shù))也是隨機(jī)變量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.【思考1】

若隨機(jī)變量X等可能地取1,2,3,…,n,其均值為多少?【思考2】

離散型隨機(jī)變量的均值與分布列有什么區(qū)別?提示:離散型隨機(jī)變量的分布列和均值雖然都是從整體和全局上刻畫隨機(jī)變量的,但二者有所不同.分布列只給了隨機(jī)變量取所有可能值的概率,而均值卻反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.【做一做1】

已知隨機(jī)變量X的分布列如下:則E(X)=

,E(2X-1)=

.

2.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p;(2)若X~B(n,p),則E(X)=np.【做一做2】

已知一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8,則他獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X的均值為(

)..83

.4解析:射手獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4.答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析求離散型隨機(jī)變量的均值例1在10件產(chǎn)品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品.從這10件產(chǎn)品中任取3件,求取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.思路點(diǎn)撥:明確隨機(jī)變量X的取值→計(jì)算每個(gè)取值的概率→列其分布列→計(jì)算E(X)當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.求離散型隨機(jī)變量均值的步驟(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值;(2)寫出分布列,并檢查分布列的正確與否;(3)根據(jù)公式求出均值.2.隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,只要找清隨機(jī)變量及相應(yīng)的概率即可計(jì)算.求數(shù)學(xué)期望(均值)的關(guān)鍵是求出其分布列,然后套用數(shù)學(xué)期望(均值)公式求解.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練1某游戲射擊場(chǎng)規(guī)定:①每次游戲射擊5發(fā)子彈;②5發(fā)全部命中獎(jiǎng)勵(lì)40元;命中4發(fā)不獎(jiǎng)勵(lì),也不必付款;命中3發(fā)或3發(fā)以下,應(yīng)付款2元.現(xiàn)有一游客,其命中率為0.5.(1)求該游客在一次游戲中5發(fā)全部命中的概率;(2)求該游客在一次游戲中獲得獎(jiǎng)金的均值.

當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)例2已知隨機(jī)變量X的分布列為:若Y=-2X,則E(Y)=

.

當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析

反思感悟若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ=aX+b,a,b為常數(shù).一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,關(guān)鍵由X的取值計(jì)算ξ的取值,對(duì)應(yīng)的概率相等,再由定義法求得E(ξ).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析答案:A當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值例3

某運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃一次時(shí)命中次數(shù)X的均值;(2)求重復(fù)投籃5次時(shí),命中次數(shù)Y的均值.思路分析:第(1)問中X只有0,1兩個(gè)結(jié)果,服從兩點(diǎn)分布;第(2)問中Y服從二項(xiàng)分布.解:(1)投籃一次,命中次數(shù)X的分布列為,則E(X)=p=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0.6).則E(Y)=np=5×0.6=3.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p(p為成功概率).2.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),則E(X)=np,直接代入求解,從而避免了繁雜的計(jì)算過程.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練3春節(jié)期間,小王用私家車送4位朋友到三個(gè)旅游景點(diǎn)去游玩,每位朋友在每一個(gè)景點(diǎn)下車的概率均為,用ξ表示4位朋友在第三個(gè)景點(diǎn)下車的人數(shù),求:(1)隨機(jī)變量ξ的分布列;(2)隨機(jī)變量ξ的均值.解:(1)這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析均值的實(shí)際應(yīng)用例4隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元,設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位:萬元)為X.(1)求X的分布列;(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值);(3)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%.若此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少?當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析解:(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2,故X的分布列為

(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(萬元).(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依題意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多為3%.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟解決與生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的概率問題時(shí),首先把實(shí)際問題概率模型化,然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相應(yīng)的均值.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練4某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為

.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:記E={甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功},F={乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功},(1)記H={至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功},當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元),則X的可能取值為0,100,120,220,所以所求的分布列為

當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析因?qū)忣}不清而致錯(cuò)典例

某電視臺(tái)舉行電視奧運(yùn)知識(shí)大獎(jiǎng)賽,比賽分初賽和決賽兩部分.為了增加節(jié)目的趣味性,初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行.每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答題的正確率為

.(1)求選手甲可進(jìn)入決賽的概率;(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為X,試寫出X的分布列,并求X的均值.易錯(cuò)分析:選手進(jìn)入決賽有多種形式,要分清楚累計(jì)答對(duì)三題可分答了3題、4題或5題三種情況.若不能審清題意,則可能致錯(cuò).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析因此X的分布列為糾錯(cuò)心得1.甲答4題進(jìn)入決賽指的是前3題中答對(duì)2題,答錯(cuò)1題,第4題答對(duì).只有前3次答題事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),同理答5題進(jìn)入決賽指的是前4題答對(duì)2題,答錯(cuò)2題,第5題答對(duì).只有前4次答題事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),不是全部滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).2.甲答4題結(jié)束比賽,指答對(duì)前3題中的2題,第4題答對(duì)進(jìn)入決賽,或前3題中有2題答錯(cuò),第4題答錯(cuò).甲答5題結(jié)束比賽,指答對(duì)前4題中的2題.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析跟蹤訓(xùn)練甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率;(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).思路分析:(1)先把甲在4局以內(nèi)贏得比賽的情況進(jìn)行列舉,再用獨(dú)立事件和互斥事件概率公式求概率.(2)先寫出X的所有取值,再分析相應(yīng)X的值下對(duì)應(yīng)比賽結(jié)果的情況,求出相應(yīng)的概率,列出分布列,運(yùn)用公式求均值.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析解:用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析(2)X的可能取值為2,3,4,5.故X的分布列為

當(dāng)堂檢測(cè)1.已知隨機(jī)變量X的分布列為則X的均值是(

)A.2 .1.3 D.隨m的變化而變化解析:∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3.∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.答案:B探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)2.設(shè)隨機(jī)變量X~B(40,p),且E(X)=16,則p等于

(

)....4解析:∵X~B(40,p),E(X)=